两个计数原理的应用

【解析】(1)只要从其余的10人中再选3人即 可，有C130 =120种；
(2)5个人全部从另外10人中选，总的选 法有C150 =252种；
(3)直接法:分两类：A、B一人当选，有
C
C1 4
2 10
=420种；A、B都不当选，有
C150
=252
种；所以总的选法有420+252=672种；
间接法:从12人中选5人的选法总数中减
=24种方法；再将甲、乙、丙三人插入到这4人的
空隙中(包括两端)，有 A53 =60种方法.所以有
A44 A53 =1440种不同的站法.
排列问题中的难点就是定位排列，捆绑和插 入是两种重要的解题思想方法.元素相邻， 先将其捆绑并看成一个“大”的元素与其他 元素进行排列，再对捆绑的元素进行排列， 这就是“捆绑法”；元素不相邻，先把其他 元素进行排列，再把不相邻元素插入先排好 的元素(包括两端的空隙)之间，这就是“插 空法”.
(2)老师和女生先站好，有 A33 种方法， 再将4名男生插入其中，插法有 A44 种.
故有 A33 A44 =144种站法.
【解析】(3)分两类：第一类，老师站两侧 之一，另一侧由男生站，有 A21 A41 A55 =960种站法；
第二类，两侧由男生站，老师站除两侧 和中间的另外4个位置之一，有 A21 A41 A44 =
(6)摆在3层书架上，每层2本，有多少 种不同的摆法？
【解析】(1)在6本书中，先取2本给甲，从
剩下的4本中取2本给乙，最后2本给丙，
有 C62C42C22 =90种分法；
(2)6本书平均分成3堆，共有 C62C42C22 =15
种分堆方法；
A33
(3)从6本书中先取1本作一堆，在剩下
的5本中，取2本作一堆，最后的3本作一
×3=81种不同的报名方法.
(2)若以学生获得冠军的可能性考虑，第 一位学生获得冠军有4种可能性(没有得冠 军，跑步得冠军，跳高得冠军，跳远得冠 军)，但考虑第二位学生时，并不是有4种 可能，他受到第一位学生得冠军的可能性 的影响，因为第二位学生要获得冠军，要 除去与第一位学生获得冠军的相同的情况， 考虑第三位、第四位获得冠军，相同的情 况就会变得越来越复杂.显然，以学生获 得冠军的可能性来分步，会使解决问题更 加困难.
【变式练习4】有6本不同的书.
(1)甲、乙、丙三人每人2本，有多少种 不同的分法？
(2)分成3堆，每堆2本，有多少种不同 的分堆方法？
(3)分成3堆，一堆一本，一堆2本，一 堆3本，有多少种不同的分堆方法？
(4)分给甲、乙、丙3人，一人一本，一 人2本，一人3本，有多少种不同的分法？
(5)分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本， 有多少种不同的分堆方法？
同ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ站法？
2 要求甲、乙、丙三人不相邻，有多少种
不同的站法？
【解析】(1)分两步：甲、乙、丙捆绑在一起，有
A33 =6种方法；把甲、乙、丙三人看成一个人，
与其他4人共5个元素做全排列，有 =1A2550种方
法.所以有
A=33 6A×55 120=720种不同的站法.
(2)分两步：先将其他4人站成一排，有 A44
可以这样分析：先每个盒子中放一个球，有
A43=24种放法；再将第4个球放入3个盒子
的任何一个，有 A31 =3放法，于是放法总数
为
C
1 4
A43
A31
=288种，这一结果与上述结论不
吻合，原因出在将第4个球放入盒子中时，
使盒子中的两个球无意识地加入了顺序， 当两个球无顺序时，即为288× 1 2=144.
(3)要掌握定位排列的处理方法，掌握 分类组合处理的思想方法.(4)排列、组 合问题的答案一般数字比较大，不易 直接验证.因此在检查结果时，应着重 检查所设计的解决问题的方案是否完 备，有无重复或遗漏，也可以通过一 题多解验证结论.
1．(2011·江苏省扬中调研测试)用红、黄、蓝、 白四种不同颜色的鲜花布置如图所示的花圃， 要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域 用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方 案？
某集体项目的比赛，其中至少有一名女生
入选的组队方案数为
.
【解析】C130 C53 120 10 110
3.某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后 接4个数字组成，其中4个数字互不相同的 牌照号码共有______个(用式子表示)．
【解析】直接应用分步计数原理得C216C216 A140， 所以答案为(C216 )2 A140.
两个计数原理的应用
【例1】1 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，
每人报一项，有多少种报名方法？
2 4名同学争夺跑步、跳高、跳远三个项目的冠军，
共有多少种可能的结果？
【解析】(1)每人选报一个项目，都有三种 选法，当每个人的项目选定后，这件事才 算完成.故由分步计数原理，知共有 3×3×3
堆，共有
C
61C
2 5
=60种分堆方法；
【解析】(4)在(3)中，甲、乙、丙3人任取一
堆，共有 C61C52A33 =360种分堆方法
(5)平均分堆要除以堆数的全排列，不平
均分堆则不除，共有 C61C51
A22
=15种分堆方法;
(6)与6本书放在6个位置上同意义，共
有 A66 =720种不同的摆法.
=6种方法.所以总的选法有
35×60×6=12600种.
组合应用题是计数问题中的核心问题，题目 呈现方式通常由关键词表现出来，如“至 多”“至少”“平均分摊”等.解决的方法 一般有分组法、排除法、间接法.要注意掌 握几何问题、分配问题、分组问题的处理方 法.
【变式练习3】平面上给定10个点，任意三点不 共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线 交于同一点(除原10点外)，无两条直线互相平行． 求这些直线的交点个数(除原10点外)．
4.用数字1, 2,3, 4,5可以组成没有重复数字， 并且比20000大的五位偶数共有_______个． (用数字作答)
【解析】分类：①当万位上是3或5时，个位上可以 是2或4，其余3个数全排列，有C21C21 A33个；②当万 位上是2或4时，个位上只有一种可能，其余3个数 全排列，有C21 A33个． 所以满足题意的五位偶数的个数为C21C21 A33＋C21 A33 24 12 36，即答案为36.
排列与组合的综合应用
【例4】4个不同的小球放入编号是1, 2,3, 4的 四个盒子中，问恰有一个空盒的方法共有 多少种？
【解析】分三步：先确定一个空盒，
有
C
1 4
=4种方法；选出2个小球捆绑
，有
C
2 4
=6种方法；将捆绑的小球与
其余2个小球看成3个小球，再放入3
个盒中，有 A33 =6种方法.于是共有
5. 7名师生站成一排，其中老师1人， 男生4人，女生2人.在下列情况下，各有 不同站法多少种
(1)两名女生相邻；
(2)4名男生不相邻；
(3)老师不站中间，女生不站两端.
【解析】(1)2名女生站在一起有 A22 种站法， 她们与其余5人全排列，有 种A方66 法.
故有 A22 A66=1440种站法.
C41C42 A33 =4×6×6=144种方法.
恰有一个空盒，说明必定有一个盒子内放2 个球，这样问题就分解为三个子问题，即哪 一个盒子不放球；哪两个球放在同一个盒子 里；将球放入盒子里有没有顺序.这三个问 题是相互依存的，故要用分步计数原理.本 题在将空盒留下后，问题就转化为“4个不 同的小球放入3个不同的盒子里，且每个盒 子里至少放一个球”，
1.将数字1，2，3，4填在标号为1，2，3，4 的方格里，每格填一个数字，则每个方格 的标号与所填数字均不相同的填法有
种.
【解析】( 先填数字1，有3种方法；其次任 选一个数字填入符合条件的方格中，有3 种方法；最后两个数字唯一选择，故不同 的填法有3×3×1=9种.
2.从5名男生和5名女生中选3人组队参加
1152种站法.
故共有2112种站法.
1.两个计数原理的应用方法
在处理具体的应用问题时，必须先分 清是分类还是分步.具体来讲，要根据元 素的不同性质进行“分类”，根据事件发 生的过程进行“分步”.两种计数方法， 都必须弄清按什么标准进行“分类”或 “分步”，在分类中，“类”与“类”之 间是确定的和并列的；在分步中，“步” 与“步”之间是相依的和连续的.
2先分类：第一类，若a 1，则ab 1；
第二类，若a 1，则a有4种选法，b也有4种选法， 由分步乘法计数原理，得有4 4 16个不同的幂， 再减去重复的一个24 42，所以共有116 1 16 个不同的幂．
排列问题
【例2】7人站成一排照相.?
1 要求甲、乙、丙三人相邻，有多少种不
【变式练习2】求用数字1,2,3,4,5组成的 无重复数字的四位偶数的个数．
【解析】本题是数字组数问题，有特殊元素和 特殊位置，先考虑特殊位置个位，个位上数字 可以从2和4中选择1个，有A21 =2种排法，其余 三个数位上的数字从余下的四个数中任取三个 排列，有A43 =4 3 2=24种排法．于是由分步计 数原理，得符合题意的偶数共有2 24＝48(个)．
组合问题
【例3】从7名男同学和5名女同学中，选出5人，分 别求符合下列条件的选法总数为多少？
(1)A、B必须当选；(2)A、B都不当选； (3)A、B不全当选； (4)至少有2名女同学当选； (5)选出3名男同学和2名女同学，分别担任体育 委员、文娱委员等五种不同的工作，但体育委员必 须由男同学担任，文娱委员必须由女同学担任.
2.排列与组合综合理解 组合问题与排列问题的共同点都是“从n个不同的 元素中选出m个元素”，区别在于，组合是取出的 元素集中成一组，没有顺序，而排列是取出的元 素要按顺序排成一列.解排列、组合问题时注意以 下几点：(1)审题分析是排列问题，还是组合问题， 按元素的性质分类，按事件发生的过程分步.(2)分 清运算的性质，只要是分类计数，就是加法运算， 只要是分步计数，就是乘法运算.在综合问题中， 常常在分类中有分步，在分步中有分类.
若以每个项目冠军产生的可能性考虑，问
题的思路就清晰多了.完成三个项目都产 生了冠军，事情才算完成，每个项目的冠 军只有一个，4个人都有可能获得某个项 目的冠军，所以每个项目的冠军都有4种 可能的结果.由分步计数原理，知共有可 能的结果为4×4×4=64种.
应用分步计数原理时，也要明确分步的标准. 分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相 互依存的，各个步骤完成了，这件事才算完 成.本题中第(1)问，是以人来分步的，每人选 报一个项目，都有三种选法，4个人都选定了 项目，这件事就完成了；第(2)问是以项目分 步的，每个项目的冠军都有4种可能的结果， 三个项目的冠军确定了，这件事就完成了.
去从不含A、B的10人中选3人的选法总数，
得到总的选法有
C152=6C71320 种；
(4)直接法:分四步：选2名女生，有
C
52C
3 7
=10×35=350种；选3名女生，有
C
53C
2 7
=210种；选4名女生，有
C
54C
1 7
=35种；选5
名女生，有
C
5 5
=1种.所以总的选法有350+
210+35+1=596种；
【变式练习1】1已知集合A＝1, 2,3，B＝4,5，
则从A到B的函数共有多少个？
2取1, 2,3, 4,5五个数字中不同的两个数字分
别作为ab中的底数和指数，得到的幂的不同 值有多少个？
【解析】1 完成这件事情要分三步，每一步中有两
种方法，由分步乘法原理，得从A到B的函数共有 2 2 2 8个．
【解析】由题设知，这10个点所确定的直线是 C120＝45条，这45条直线除原10点外无三条直线 交于同一点，任意两条直线相交于一个点，共
有C425个交点，而在原来10点上有9条直线共点 于此，所以，在原来点上有10C92点被重复计数， 所以这些直线新的交点是C425 10C92 630(个).
间接法：从12人中选5人的选法总数中 减去不选女生与只选一名女生的选法数之
和，即总选法有
C152

C75

C
C1 4
57
=596种；
(5)分三步：先选1男1女分别担任体育委
员、文娱委员的方法有
C
71C
1 5
=35种；再选
出2男1女，补足5人的方法有
C 62C
1 4
=60种；
最后为第二步选出的3人分派工作，有 A33