北师大版八年级数学上册二次根式
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计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？
(1) 49 =
, 4 9=
；
(2) 916 = ，9 16 =
.
49 = 4 9， 916 = 9 16.
一般地，当a≥0，b≥0时，由于
( a · b )2 =( a )2· ( b )2 = a· b ,
因此
a· b = a· b .
力加速度常数g 9.8m / s2 .若已知地球半径R，则第 一宇宙速度v是多少？
因为速度一定大于0， 所以第一宇宙速度 v = gR .
5 的平方根是± 5， 0 的平方根是0， 正实数a的平方根是± a．
我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方根， 一个记作 a，称为a的算术平方根；另一个是 a .
a2
a
a a ≥ 0
a
a＜0
练习
计算：
( 1) 72 ；
(2)
2
-3
；
(3)wk.baidu.com
-
3 4
2
；
(4)
2
-0.01
.
答案：7 答案：3 答案：3
4 答案：0.01
2. 计算：
( 1 )( - 3 )2；
( 2)(
5 )2； 2
答案：3
答案： 5 4
动脑筋
我们把形如 a 的式子叫作二次根式，根号下的数 叫作被开方数.
由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当 被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义．
定义详解
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
= 9 2 = 3 2.
(3) 72 = 98 = 32222 = 23 2 = 6 2.
(2) 20 = 45 = 4 5 = 2 5.
化简二次根式 时，最后结果要求 被开方数中不含开 得尽方的因数.
今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每 一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：从 根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.
1 2
2
90
=
1 2
32 10 = 3 10. 2
(2)
125 12
=
12512 1212
=
1 12
2
12512
=
1 12
25543
= 1 52 22 15 12
=
5 6
15.
结论
从例4、 例5可以看出，这些式子的最后结果， 具有以下特点：
（1） 被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）； （2） 被开方数不含分母.
由此得出：
a· b = a · b ( a≥0 , b≥0 ).
上述公式从左到右看，是积的算术平方根的性质. 猜想一下二次根式商的算术平方根的性质是什么呢？？？
利用这一性质，可以化简二次根式
例4 化简下列二次根式． (1) 18 ； (2) 20 ； (3) 72 .
解 (1) 18 = 92
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
练一练
下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6,
(4) - m (m≤0),
(3) (5)
1 2, xy (x,y 异号，)
(6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
二次根式根号内字母的取值范围必须满足: 被开方数大于或等于零
①被开方数大于或等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
提高训练
若a.b为实数,且 2 a b 2 0
求 a2 b2 2b 1 的值
解: 2 a 0， b 2 0
而 2a b2 0
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 a2 b 12 2 2 2 12 2 1 3
2.7 二次根式
说一说
（1） 5 的平方根是
，0 的平方根是
，
正实数a的平方根是
.
（2）运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定
的速度（称为正第实一数宇a的宙平速方度根）是，才能. 克服地球的引力，
从而将飞船送入环地球运行的轨道.而第一宇宙速度
v与地球半径R之间存在如下关系：v2 = gR ，其中重
提高训练
1.已知 y x 4 4 x 2 你能求出 x y 的值吗？ 切入点：从字母的取值范围入手。
2.已知 x 2y 9 与 x y 3 互为相反数，
求 x、 y的值.
切入点： 从代数式的非负性入手。
3.已知 x 1，你能求出 x 的取值范围吗？
3 x
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作 最简二次根式.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为 最简二次根式.
练习
1. 化简下列二次根式．
(1) 24 ； (3) 32 ；
(2) 28 ； (4) 54 ．
解 (1) 24 = 46 =2 6. (2) 28 = 47 =2 7. (3) 32 = 216 = 242 =4 2. (4) 54 = 96 = 326 =3 6.
例5 化简下列二次根式．
(1)
1； 2
(2) 53.
解
(1)
1 2
=
12 22
=
1 2
2
2
=
1 2
2
(2)
3 5
=
35 55
=
1 5
2
15
=
1 5
15.
化简二次根式时， 最后结果要求被开方 数不含分母.
解
(1)
45 2
=
452 22
=
例1 当x是怎样的实数时，二次根式 x-1 在实数范围内有意义？
解 由 x-1≥0， 解得 x ≥ 1. 因此，当x≥1时， x-1 在实数范围内有意义.
例1、求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1
3 1
1 2a
2 a 32 4 7 a 3a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
切入点：分类讨论思想。
4.已知 10 a 为一个非负整数，试求非负整数 a的值
注意
在本套教材中，我们都是在实数范围 内讨论二次根式有没有意义，今后不再每 次写出“在实数范围内”这几个字.
议一议
当a<0时， a2 = a 是否仍然成立？为什么？
一般地，当a<0时， a2 = -a.因此，我们可以得到：
2. 化简下列二次根式．
(1)
45 ； 2
(2)
125 ． 12
二次根式混合计算：
(1) 49 =
, 4 9=
；
(2) 916 = ，9 16 =
.
49 = 4 9， 916 = 9 16.
一般地，当a≥0，b≥0时，由于
( a · b )2 =( a )2· ( b )2 = a· b ,
因此
a· b = a· b .
力加速度常数g 9.8m / s2 .若已知地球半径R，则第 一宇宙速度v是多少？
因为速度一定大于0， 所以第一宇宙速度 v = gR .
5 的平方根是± 5， 0 的平方根是0， 正实数a的平方根是± a．
我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方根， 一个记作 a，称为a的算术平方根；另一个是 a .
a2
a
a a ≥ 0
a
a＜0
练习
计算：
( 1) 72 ；
(2)
2
-3
；
(3)wk.baidu.com
-
3 4
2
；
(4)
2
-0.01
.
答案：7 答案：3 答案：3
4 答案：0.01
2. 计算：
( 1 )( - 3 )2；
( 2)(
5 )2； 2
答案：3
答案： 5 4
动脑筋
我们把形如 a 的式子叫作二次根式，根号下的数 叫作被开方数.
由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当 被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义．
定义详解
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
= 9 2 = 3 2.
(3) 72 = 98 = 32222 = 23 2 = 6 2.
(2) 20 = 45 = 4 5 = 2 5.
化简二次根式 时，最后结果要求 被开方数中不含开 得尽方的因数.
今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每 一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：从 根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.
1 2
2
90
=
1 2
32 10 = 3 10. 2
(2)
125 12
=
12512 1212
=
1 12
2
12512
=
1 12
25543
= 1 52 22 15 12
=
5 6
15.
结论
从例4、 例5可以看出，这些式子的最后结果， 具有以下特点：
（1） 被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）； （2） 被开方数不含分母.
由此得出：
a· b = a · b ( a≥0 , b≥0 ).
上述公式从左到右看，是积的算术平方根的性质. 猜想一下二次根式商的算术平方根的性质是什么呢？？？
利用这一性质，可以化简二次根式
例4 化简下列二次根式． (1) 18 ； (2) 20 ； (3) 72 .
解 (1) 18 = 92
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
练一练
下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6,
(4) - m (m≤0),
(3) (5)
1 2, xy (x,y 异号，)
(6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
二次根式根号内字母的取值范围必须满足: 被开方数大于或等于零
①被开方数大于或等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
提高训练
若a.b为实数,且 2 a b 2 0
求 a2 b2 2b 1 的值
解: 2 a 0， b 2 0
而 2a b2 0
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 a2 b 12 2 2 2 12 2 1 3
2.7 二次根式
说一说
（1） 5 的平方根是
，0 的平方根是
，
正实数a的平方根是
.
（2）运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定
的速度（称为正第实一数宇a的宙平速方度根）是，才能. 克服地球的引力，
从而将飞船送入环地球运行的轨道.而第一宇宙速度
v与地球半径R之间存在如下关系：v2 = gR ，其中重
提高训练
1.已知 y x 4 4 x 2 你能求出 x y 的值吗？ 切入点：从字母的取值范围入手。
2.已知 x 2y 9 与 x y 3 互为相反数，
求 x、 y的值.
切入点： 从代数式的非负性入手。
3.已知 x 1，你能求出 x 的取值范围吗？
3 x
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作 最简二次根式.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为 最简二次根式.
练习
1. 化简下列二次根式．
(1) 24 ； (3) 32 ；
(2) 28 ； (4) 54 ．
解 (1) 24 = 46 =2 6. (2) 28 = 47 =2 7. (3) 32 = 216 = 242 =4 2. (4) 54 = 96 = 326 =3 6.
例5 化简下列二次根式．
(1)
1； 2
(2) 53.
解
(1)
1 2
=
12 22
=
1 2
2
2
=
1 2
2
(2)
3 5
=
35 55
=
1 5
2
15
=
1 5
15.
化简二次根式时， 最后结果要求被开方 数不含分母.
解
(1)
45 2
=
452 22
=
例1 当x是怎样的实数时，二次根式 x-1 在实数范围内有意义？
解 由 x-1≥0， 解得 x ≥ 1. 因此，当x≥1时， x-1 在实数范围内有意义.
例1、求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1
3 1
1 2a
2 a 32 4 7 a 3a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
切入点：分类讨论思想。
4.已知 10 a 为一个非负整数，试求非负整数 a的值
注意
在本套教材中，我们都是在实数范围 内讨论二次根式有没有意义，今后不再每 次写出“在实数范围内”这几个字.
议一议
当a<0时， a2 = a 是否仍然成立？为什么？
一般地，当a<0时， a2 = -a.因此，我们可以得到：
2. 化简下列二次根式．
(1)
45 ； 2
(2)
125 ． 12
二次根式混合计算：