第9章-配方实验设计

(m d 1)! 回归系数 d !(m 1)! 的个数
m—组分数 d—等分数，多项式阶数
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（二）无约束单纯形格子点设计
无约束的配方设计，是指除了约束条件： xj≥0 （j＝1，2，…，m）， x1＋x2＋…＋xm＝1
之外，不再有对各组分含量加以限制的其他条件。 各组分含量xj的变化范围可以用高为1的正单纯形表示。 xj的取值与阶数d有关，为1 / d的倍数，即： xj = 0，l / d，2 / d，…，d / d = 1 如果对xj进行线性变换（即编码），则： xj = zj， （xj为自然变量 zj为规范变量） 所以对于无约束单纯形格子点设计，不必区分xj 和 zj
x x xj
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9.2.3 单纯形格子点设计 ——试验点在相应阶数的正规单纯形的格子点上 （一） 单纯形格子点设计原理 设｛m，d｝为单纯形格子点设计中，m 组分d 阶 格子点集，例如： ｛3，2｝为组分数m = 3的2阶格子点集
其中：3 表示正规单纯形的顶点个数（m = 3）
2 表示每边的等分数（d = 2）
其中要求红葡萄浓缩汁（x3）的含量不得低于10％， 即三种组分有下界约束：al = 0，a2 = 0，a3 = 0.1
用编码公式将自然变量xj 转换成规范变量zj：
x1 (1 a j ) z3 a3 (1 0.1) z3 0 0.9 z1
x2 (1 a j ) z2 a2 (1 0.1) z3 0 0.9 z3 x3 (1 a j ) z3 a3 (1 0.1) z3 0 0.9 z1 0.1
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单纯形格子点设计表————附录9（P.228）
组分数m
阶数d
试验点数n
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（三）有约束单纯形格子点设计 除了xj≥0 （j＝1，2，…，m）， x1＋x2＋…＋xm＝1约束 条件之外，还有其他约束条件，如： aj≤xj≤bj，j = l，2，…，m 这种配方称为有约束的配方。 X 1=1 (0.2≤x1≤0.6)
j 1 j 1 3
3
j 1 3
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（2）选择单纯形格子点设计表，进行试验设计 ※ 根据组分数m和阶数d，选择相应的｛m，d｝单纯形 格子点设计表。 ※ 注意：设计表中的数值为规范变量zj 本例中 m=3，取d=2，故选择｛3，2｝单纯形格子点设计 表，用编码公式计算出自然变量xj 的取值，试验方案和 试验结果见表9-4。
一次式（d = 1）：
bx y j j
j 1
m
m
回归系数: 有m个 m(m+1)/2 个
y 二次式（d = 2）： b j x j bkj xk x j
j 1 k j m
bx b x x 不完全三次式（d = 3）： y j j kj k j
j 1 k j
(m d 1)! ｛m，d｝ 中共有 d !(m 1)! 个点
与所采用的d 阶完全型规范多项式回归方程中待 估计的回归系数的个数相等，故单纯形格子点设计是 5 饱和设计。
｛3，1｝ 3个试验点
｛3，2｝ 6个试验点
｛3，2｝ 10个试验点
1阶
2阶
3阶
｛4，2｝ 10个试验点 2阶
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｛m，d｝子集中试验点为：
y =-0.833+7.32x1+6.65x2+8.33x3+12.35x1x2-0.99x1x3-5.43x2x3
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9.2.4 单纯形重心设计 ——试验点在正规单纯形的重心上
点的重心就是自己本身 单纯形 维数 重心数 总重心数 1 1 点（0维） 0 0 2 3 线（1维） 1 1 0 3 正三角形 1 3 7 （2维） 2 1 0 4 正四面体 （3维） 1 2 3 6 4 1 15
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（3）回归方程的建立
直接将每个试验结果代入对应的回归模型中，解方程组， 可求出各回归系数。 ∵ d 阶完全型规范多项式回归方程数=回归系数的个数 ∴ 回归方程有定解（单纯形格子点设计是饱和设计）
书中解出试验指标y 与规范变量zj 的回归方程为： y = 6.5z1＋5.5z2 + 7.5z3 + 10z1z2－0.8z1z3－4.4z2z3 （4）最优配方的确定——求回归方程的极值 用Excel中的“规划求解”工具求最佳配 方 （5）回归方程的回代 用编码公式将规范变量zj转换成自然变量xj ：
1
9. 1 配方试验设计约束条件
根据配方试验的特点，如果用y表示试验指标，x1 ， x2 ，…，xm 表示配方中m种组分各占的百分比，显 然每个组分的比例必须是非负的： xj≥0 （j＝1，2，…，m）， 而且它们的总和必须是1： x1＋x2＋…＋xm＝1 这就是配方试验设计的约束条件。 混料约束条件决定了混料配方设计中的数学模型，不 同于一般回归设计中所采用的模型。
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(二) 配方均匀设计的基本步骤——例9-3 某种新材料由三种金属组成：x1，x2，x3 ， 选择了UM15 (153)表来安排配方试验， 结果列于表9－7中。试确定最优配方。 步骤： 这两步题目 （1）明确试验指标，确定混料组分 已完成 （2）选择配方均匀设计表，进行试验设计 配方均匀设计表的选择由组分数m和试验次数n确定: n越大，试验点分布越均匀，但计算越复杂 n越小，计算简单，但不均匀：n≥回归系数的个数 （3）回归方程的建立——解方程法、回归分析法 （4）最优配方的确定——直观分析法 回归分析法—回归方程的极值
对于有约束配方的设计， 试验点空间变得更加复 0. 6 杂，是正规单纯形内的 一个凸几何体。不是规 则的单纯形，不能使用 0. 2 单纯形格子点设计。
0. 1 0. 4
X 2=1
0. 5
0. 2
X 3=1
(0.2≤x2≤0.5)
9 (0.1≤x3≤0.4)
有下界约束的单纯形格子点设计：
试验范围为原正规单纯形内的一个规则单纯形（如 图9－4所示），可以使用单纯形设计。
第9章
配方试验设计
配方或配比问题是工业生产及科学试验中经常遇到的 另一类问题：
• 因素是配比—百分比、百分率：无因次（与总量无 关)，因素一般是不独立的：xj=1
• 取值有界性：0≤xj≤1 配方设计——建立试验指标y与混料系统中各组分xj的 回归方程，再利用回归方程来求取最佳配方。 主要内容： 一、配方试验设计的约束条件 二、单纯形配方设计 三、配方均匀设计
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9. 2 单纯形配方设计
9.2.1 单纯形的概念
平面上的正规单纯形： 等边三角形 三维空间的正规单纯形： 正四面体
特点：取正规单纯形的高为1，则此单纯形内任一点到 单纯形各边（面）的距离之和为1 。 3
9.2.2 单纯形配方设计的回归模型 在单纯形混料配方设计中，m 种组分的d 次多项 式回归模型为Scheffe多项式回归方程。 ———规范多项式回归方程：
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9.3 配方均匀设计
——试验点在正规单纯形上均匀分布
与单纯形配方试验设计的方法基本相同, 区别：试验点设计表不同——配方均匀设计表 (一)配方均匀设计表 UMn(n m) 式中，UM──配方均匀设计表的符号； n ──试验次数； m ── 组分数。 注意：配方均匀设计表是由均匀设计表变换出来的，所 以它也有带“*”的表， 见附录11 （P.229～239）
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在选用单纯形格子点设计表之前， 应将自然变量xj 转换成规范变量 （编码值）zj。
编码公式如下：
x j a j (1 a j ) z j
j 1 m
或
zj
xj aj 1 a j
j 1 m
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（四）单纯形格子点设计基本步骤—用例9-1说明
（1）明确试验指标，确定混料组分 试验指标：综合评分，越高越好 混料组分：纯净水（x1）、白砂糖（x2）和红葡萄浓缩汁（x3），
0
m为单纯形的顶点数 ——配方的组分数
m-1维
2m-1 14
单纯形重心设计的基本步骤: 与单纯形格子点试验设计的方法基本相同, 区别：试验点设计表不同——单纯形重心设计表 （1）明确试验指标，确定混料组分 （2）选择单纯形重心设计表，进行试验设计 （3）回归方程的建立 （4）最优配方的确定——求回归方程的极值 （5）回归方程的回代
l k j
b
lkj l k
x x xj
完全三次式（d = 3）：
m j 1 k j k j
m(m+1) (m+2) /3!个
l k j
b x b x x x x (x x ) y j j kj k j kj k j k j
b
lkj l k