第6章梯度法为基础的数值求解.
梯度法
A1=A0+△A0 推广到一般的k+1次构造矩阵
Ak+1=Ak+△Ak
矩阵序列的 基本迭代式
△Ak称为校正矩阵
拟牛顿条件
设F（x）为一般形式n阶的目标函数，并具有连续的一、二 阶偏导。在点 处的二次泰勒近似展开
该近似二次函数的梯度是
沿g(k)方向一维搜索，
求最优步长(k)。
x(k+1)= x(k)- (k) g(k)
出口
例 8-4 用最速下降法求解下列问题
min f (x) 2x12 x22 ，
给 定 初 始 点 x(1) (1, 1)T , 1 ．
10
解 目 标 函 数 f (x) 的 梯 度 及 x(1) 处 的 最 速 下 降 方 向 为
f(xk+1)
>
阻尼牛顿法
对原始牛顿法的改进
为解决原始牛顿法的不足，加入搜索步长(k)
因此，迭代公式变为：
x (k+1) = x (k) - (k) Hk-1gk 这就是阻尼牛顿法的迭代公式，最优步长(k)也称
为阻尼因子，是沿牛顿方向一维搜索得到的最优步 长。
牛顿法算法步骤
⑴任选初始点 ，给定精度ε，置k←0 ⑵计算 点的梯度矢量及其模
(x)=
x (k)
gk+
Hkx=0
得 x (k+1) = x (k) - Hk-1gk
即牛顿法迭代公式，方向- Hk-1gk称为牛顿方向
三、原始牛顿法的特点
若用原始牛顿法求某二次目标函数的最优解，则 构造的逼近函数与原目标函数是完全相同的二次式， 其等值线完全重合，故从任一点出发，一定可以一次 达到目标函数的极小点。
二、 确k定的方确法定自学，不作要求。记住
东北大学流体力学与传热学-6
信息学院·次英
第六章 稳态热传导
§6.1 几个基本概念
1、温度场 各个时刻空间所有各点温度所组成的集合
数学上来讲，是时间和空间的函数，即
t f ( x, y, z, )
在传热过程中确定物体的温度场是热过程分析的首要目标 稳态温度场
t 0
t f ( x, y, z )
t y
；q z
t z
；
t t t ( ) ( ) ( )]dxdydzd x x y y z z
[2]
微元体中内热源的发热量 dτ 时间内微元体中内热源的生成热：
[2] qv dxdydzd
t dxdydzd
[3]
微元体热力学能的增量
dτ时间内沿x 轴方向导入与导出微元体净热量：
q x dx) dydz d x
dτ时间内沿y 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQy dQy dy q y y dy dxdz d
dτ时间内沿z 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQz dQz dz q z dz dxdy d z
② 随温度的升高而减小；
液体 0.07～0.7 W ( m K )
3) 固体的导热系数 导热机理 纯金属主要依靠：自由电子的迁移， 合金和非金属主要依靠：晶格的振动 特点 ① 纯金属随温度的升高导热系数 减小 ② 合金和非金属随温度的升高而导 热系数增大；
金属 12～418 W ( m K ) 非金属 0.025～3 W ( m K )
①
若物性参数λ、c和ρ均为常数：
qv t 2t 2t 2t a( ) x 2 y 2 z 2 c
梯度法计算步骤
梯度法计算步骤嘿，朋友们！今天咱来聊聊梯度法计算步骤这档子事儿。
你说梯度法啊，就好像是在迷雾中找路。
想象一下，你在一个大雾弥漫的地方，啥都看不清，但是你知道有个目标在那儿，你得想办法找到去目标的路。
这时候，梯度就像是给你指了个大致的方向。
咱先来说说第一步，得找到那个起始点。
这就好比你准备去一个陌生的地方，你得先站在一个地方开始走呀。
这个起始点可重要了，选得好可能后面就顺顺利利，选不好可能就得多绕些弯子啦。
然后呢，根据梯度来迈出一小步。
这一小步可不能乱迈哦，得按照梯度指引的方向来。
就好像你在雾里虽然看不太清，但有人在旁边告诉你往那边走一点点，你就试着走那么一点点。
这一小步走出去后，咱就得看看走到哪儿啦。
接下来又到了关键的时候，重新计算梯度。
为啥要重新算呢？因为你走了一小步，情况可能就变啦。
就好像你在雾里走了一段，周围的环境可能就不一样了，那指引方向的信息也得变一变呀。
再然后呢，再根据新的梯度迈一小步。
就这么一步一步地走，就像在黑暗中摸索着前进。
有时候可能会走偏一点，但没关系呀，咱及时调整回来就行。
这过程中会不会出错呢？那肯定会呀！就像你走路还可能会摔一跤呢。
但是别害怕，爬起来继续走呗。
梯度法不就是这样嘛，不断地尝试，不断地调整。
你说这梯度法计算步骤是不是挺有意思的？它能帮我们在一堆数据或者问题里找到一个相对好的答案。
虽然过程可能有点曲折，但最后能得到我们想要的，这不就值了嘛！大家想想，要是没有梯度法，我们面对那些复杂的问题该咋办呀？那可真是像无头苍蝇一样乱撞啦。
有了梯度法，就好像有了一盏明灯，虽然灯光不是特别亮，但至少能让我们看到一点希望呀。
咱在生活中不也经常这样嘛，有时候不知道该往哪儿走，那就一点点摸索，根据一些线索和提示来前进。
这和梯度法计算步骤多像呀！所以说呀，知识都是相通的，学会了这个，对咱生活也有帮助呢。
反正我觉得梯度法计算步骤挺神奇的，能解决好多难题呢。
你们觉得呢？。
梯度求解方法
梯度求解方法梯度求解方法是一种常用的优化算法，用于求解函数的极值点。
在机器学习和深度学习中，梯度求解方法被广泛应用于模型训练和参数优化过程中。
本文将介绍梯度求解方法的原理和常用的算法，以及其在实际应用中的一些注意事项。
一、梯度的概念在数学中，梯度是一个向量，表示函数在某一点上的变化率最大的方向。
对于多元函数而言，梯度是一个向量，其每个分量分别对应函数在每个自变量上的偏导数。
梯度的方向指向函数在某一点上变化最快的方向，而梯度的模表示函数在该点上的变化率。
二、梯度下降法梯度下降法是一种基于梯度的优化算法，用于求解函数的极小值点。
其基本思想是从一个初始点开始，沿着梯度的反方向迭代更新自变量，直到达到收敛条件或迭代次数达到上限。
具体来说，梯度下降法的更新规则如下：1. 初始化自变量的初始值；2. 计算当前点的梯度；3. 根据梯度的反方向更新自变量；4. 重复步骤2和3，直到达到收敛条件或迭代次数达到上限。
在梯度下降法中，学习率是一个重要的超参数，它控制了自变量在每次迭代中的更新幅度。
学习率过大可能导致震荡或发散，学习率过小可能导致收敛速度过慢。
三、常用的梯度下降算法1. 批量梯度下降法（Batch Gradient Descent，BGD）：在每次迭代中，BGD使用全部训练样本计算梯度，并更新自变量。
BGD的优点是每次迭代都朝着全局最优解的方向前进，但计算梯度的代价较高。
2. 随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent，SGD）：在每次迭代中，SGD使用一个样本计算梯度，并更新自变量。
SGD的优点是计算梯度的代价较低，但由于每次迭代只使用一个样本，更新方向可能不够准确。
3. 小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent）：在每次迭代中，Mini-batch GD使用一小批样本计算梯度，并更新自变量。
这种方法综合了BGD和SGD的优点，既可以保证较准确的更新方向，又能降低计算梯度的代价。
非线性方程组-最速下降法(梯度法)
梯度法（又名,最速下降法）(该法总可以收敛，但是，在接近真解时收敛的速度会放慢。
) 梯度法又称为最速下降法，用于求解实系数非线性方程组12(,,,)0,1,2,,i n f x x x i n== （7－15）的一组根。
梯度法首先是定义一个目标函数212121(,,,)(,,,)nn i n i x x x f x x x =Φ=∑（7－16）使目标函数21nii f =Φ=∑达到最小的12,,,n x x x 是我们寻找的一组解，这是非线性最小二乘法问题。
如果第(0,1,2,)k k = 步求得一组解12,,,nk k k x x x ，使得12(,,,)n k k kx x x εΦ< （7－17）则认为12,,,nk k k x x x 是原方程组满足一定精度的()ε要求的一组解。
梯度法的计算过程是：（1）先给定一组不全为零的初值12000,,,nx x x ，第k 步的一组根为12,,,nk k kx x x ；（2）计算目标函数12(,,,)nk k k x x x Φ 的值；(单独子程序:fn =TargetFunction)（3）若12(,,,)nk k k x x x εΦ< ，则认为12,,,nk k k x x x 是满足一定精度()ε的一组解，否则，作如下修正计算1α+=∂Φ=-∂iki ik k ki ix x x x x （7－18）其中121212*********1111222(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)*,1,2,,α==⎫Φ=⎪⎛⎫⎪∂Φ ⎪ ⎪∂⎝⎭Φ+-Φ∂Φ=∂⎬Φ+-Φ∂Φ=∂Φ+-Φ∂Φ=∂==∑ n kj jn n n n n n k k kkn j j x x k k k k k kk k k k k k k k k k k kn n nki i x x x x x h x x x x x x h x x h x x x x x h x x x h x x x x h h H x i n ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭（7－19）H 为控制收敛的常数，通常选为（10－5～10－6），收敛精度ε选为（10－6～10－8）。
计算机数值方法教案
计算机数值方法教案第一章：数值方法概述1.1 引言介绍数值方法的定义和重要性解释数值方法与解析方法的区别1.2 数值方法的分类描述直接方法和迭代方法的区别和应用场景讨论数值逼近、数值积分和数值解微分方程等常见数值方法1.3 误差分析介绍误差的定义和来源解释绝对误差、相对误差和机器误差的概念探讨误差估计和误差控制的方法第二章：插值与逼近2.1 插值方法介绍插值的定义和应用场景讨论线性插值、二次插值和样条插值等方法解释插值多项式的构造和性质2.2 逼近方法介绍逼近的定义和目标讨论最佳逼近问题和worst-case 逼近误差的概念探讨常用的逼近算法，如切比雪夫逼近和傅里叶逼近第三章：数值积分3.1 数值积分概述介绍数值积分的定义和重要性解释数值积分与解析积分的关系3.2 梯形规则和辛普森规则介绍梯形规则和辛普森规则的原理和实现探讨误差估计和收敛性分析3.3 高斯求积法介绍高斯求积法的原理和应用场景讨论高斯求积公式的构造和选择第四章：常微分方程的数值解4.1 微分方程的数值解概述介绍微分方程数值解的定义和重要性解释数值解与解析解的区别4.2 初值问题的数值解法讨论Euler法、改进的Euler法和Runge-Kutta法等常见数值解法解释数值解的精度和稳定性4.3 边界值问题的数值解法介绍有限差分法和有限元法等常见数值解法探讨边界条件处理和误差估计第五章：线性代数的数值方法5.1 线性方程组的数值解法介绍高斯消元法、LU分解法和迭代法等常见数值解法解释数值解的收敛性和条件数的概念5.2 特征值问题的数值解法讨论幂法和QR算法等特征值求解方法探讨特征值问题的对称性和奇异性处理5.3 稀疏矩阵和迭代法介绍稀疏矩阵的概念和存储方法讨论迭代法的原理和应用场景，如Jacobi法、Gauss-Seidel法和SOR法第六章：非线性方程和系统的数值解6.1 非线性方程的数值解法介绍牛顿法、弦截法和迭代法等常见数值解法解释数值解的收敛性和局部性条件6.2 非线性系统的数值解法讨论迭代法、牛顿法和拟牛顿法等常见数值解法探讨系统方程的性质和求解策略第七章：最优化问题的数值方法7.1 最优化问题概述介绍最优化问题的定义和目标解释无约束和有约束最优化问题的区别7.2 无约束最优化问题的数值解法讨论梯度下降法、牛顿法和共轭梯度法等常见数值解法探讨最速下降法的收敛性和改进策略7.3 有约束最优化问题的数值解法介绍惩罚函数法、约束梯度法和内点法等常见数值解法探讨约束条件的处理和求解策略第八章：数值模拟和蒙特卡洛方法8.1 数值模拟概述介绍数值模拟的定义和应用场景解释模拟与解析方法的区别和优势8.2 蒙特卡洛方法介绍蒙特卡洛方法的原理和步骤讨论随机数、收敛性分析和误差估计等问题8.3 蒙特卡洛方法的应用探讨蒙特卡洛方法在金融、物理和工程等领域中的应用案例第九章：并行数值方法和计算性能评估9.1 并行数值方法概述介绍并行数值方法的定义和目标解释并行计算的优势和挑战9.2 并行数值计算模型讨论数据并行、任务并行和混合并行等常见并行计算模型探讨并行计算的调度和负载均衡问题9.3 计算性能评估和优化介绍性能评估指标和评估方法探讨性能优化技术和策略，如并行化和向量化等第十章：数值方法的应用案例10.1 数值方法在工程领域的应用讨论数值方法在结构分析、流体力学和电磁场分析等领域的应用案例10.2 数值方法在物理科学领域的应用介绍数值方法在量子力学、分子动力学和宇宙模拟等领域的应用案例10.3 数值方法在数据分析和经济领域的应用探讨数值方法在数据拟合、图像处理和经济预测等领域的应用案例重点和难点解析重点环节1：数值方法与解析方法的区别数值方法依赖于计算机实现，适用于解决复杂或无法解析求解的问题。
梯度算法原理
梯度算法原理梯度算法是一种常用的优化算法，广泛应用于机器学习和深度学习领域。
它通过不断调整参数来最小化或最大化一个目标函数，以达到优化的目的。
本文将介绍梯度算法的原理以及其在优化问题中的应用。
一、梯度算法的原理梯度算法的核心思想是基于目标函数的梯度信息来决定参数的更新方向和步长。
梯度是一个向量，表示函数在某一点上的变化率。
对于一个多元函数，其梯度是一个向量，包含了各个自变量的偏导数。
梯度算法的基本步骤如下：1. 初始化参数：给定初始参数值。
2. 计算梯度：根据当前参数值，计算目标函数的梯度。
3. 更新参数：根据梯度信息和学习率，更新参数值。
4. 判断停止条件：判断是否达到停止条件，如果满足则停止算法；否则回到第2步。
二、梯度算法的优化问题梯度算法可以用于求解各种优化问题，包括无约束优化问题、约束优化问题和非线性优化问题等。
下面分别介绍这些问题。
1. 无约束优化问题：无约束优化问题是指在没有约束条件的情况下，求解目标函数的最小值或最大值。
梯度算法可以通过不断调整参数来寻找最优解。
2. 约束优化问题：约束优化问题是指在一定约束条件下，求解目标函数的最小值或最大值。
梯度算法可以通过引入拉格朗日乘子法或者投影法等技术，将约束问题转化为无约束问题来求解。
3. 非线性优化问题：非线性优化问题是指目标函数是非线性的情况下，求解最优解。
梯度算法可以通过计算目标函数的梯度来寻找最优解。
三、梯度算法的改进梯度算法虽然简单有效，但也存在一些问题。
例如，容易陷入局部最优解、收敛速度较慢等。
为了解决这些问题，研究者们提出了许多改进的梯度算法，以下介绍几种常用的改进方法。
1. 学习率衰减：学习率决定了参数更新的步长，如果学习率过大，可能会导致算法发散；如果学习率过小，可能会导致算法收敛速度慢。
学习率衰减方法可以在迭代过程中逐渐减小学习率，以平衡收敛速度和稳定性。
2. 动量法：动量法是一种常用的加速梯度算法。
它引入了动量项，通过累积之前梯度的方向和大小信息，来决定参数的更新方向和步长。
梯度法
基本思想 1、任一点的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。 2、将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法 寻优的问题。 3、利用负梯度作为搜索方向，故称最速下降法或梯度法。
收敛准则
|| f ( x (k) ) ||
梯度法（最速下降法）：
1. 搜索方向：pk f (xk ) ,也称为最速下降方向；
最速下降法的收敛性
性质. 证明
设 f ( x) 有一阶连续偏导数，若步长 k 满足
f
(xk
kd k
)
min
f
(xk
d k
)
则有 f ( xk kd k )T d k 0。
令 ( ) f ( xk d k )，所以
( ) f ( xk d k )T d k .
f
(xk
kd k )
min
梯度法的内容
几个概念
1、梯度：f(x)是定义在Rn上的可微函数，称以f(x)的n个偏导
数为分量的向量，为f(x)的梯度，记作▽ f(x)即：
T
f(x)
f(x x1
)
,
f(x) x2
,,
f(x xn
)
2、梯度向量：
f
Hale Waihona Puke ( x0 )f (x0 ) x1
,
f (x0 ) x2
,
,
f (x0 ) xn
T
上式即为为f(x) 在x0处的梯度向量。
3、梯度▽ f(x)的模：
|| f (x) ||
f (x) x1
2
f (x) x2
2
,
,
f (x) xn
2
梯度法的基本原理
由高等数学知识知道任意一点的负梯度方向是函数值 在该点下降最快的方向，那么利用负梯度作为极值搜索方 向，达到搜索区间最速下降的目的。
梯度法练习题
梯度法练习题梯度法是一种优化算法，其应用广泛且重要。
在本篇文章中，我们将探讨梯度法的基本原理，并通过几个练习题来加深对其应用的理解和掌握。
梯度法的基本原理梯度法是一种通过迭代的方式逐步优化目标函数的方法。
在每一步迭代中，我们计算目标函数在当前点处的梯度，然后按照梯度的反方向更新当前点，从而使得目标函数的值逐渐减小。
具体而言，梯度法的迭代公式为：x_(x+1) = x_x− x∇x(x_x)其中，x_x表示第t次迭代后得到的x的值，x(x_x)表示目标函数在x_x处的值，∇x(x_x)表示目标函数在x_x处的梯度，x为学习率，控制每次迭代的步长。
练习题1：最小化二次函数考虑以下二次函数：x(x) = x² + 2x + 1我们的目标是通过梯度法找到该函数的最小值。
首先，我们计算目标函数在当前点处的梯度。
对x(x)求导可得：∇x(x) = 2x + 2然后，选择学习率x的值。
由于该函数为凸函数，我们可以选择一个较小的学习率，比如0.1。
接下来，我们使用梯度法进行迭代。
假设初始点x₀为0，代入迭代公式可得：x₁ = x₀− x∇x(x₀)= 0 − 0.1(2(0) + 2)= -0.2继续迭代：x₂ = x₁ − x∇x(x₁)= -0.2 − 0.1(2(-0.2) + 2)= -0.36类似地，我们可以继续迭代，直到满足收敛条件为止。
在该例中，迭代后可以得到x的最小值为-1。
练习题2：最小化损失函数现在假设我们有一组数据x和对应的标签x，我们要通过梯度法来拟合一个线性模型，使得预测值与实际标签之间的均方差最小。
我们定义损失函数为均方差：x(x) = 1/x∑(x - xx)^2其中，x为模型的参数，x和x为样本数据和实际标签，x为样本数量。
首先，我们计算损失函数在当前参数x处的梯度。
对x(x)求导可得：∇x(x) = 2/x∑(x - xx)(-x)然后，选择学习率x的值。
通常情况下，较小的学习率可以稳定梯度法的迭代过程。
传热学知识点
传热学主要知识点1.热量传递的三种基本方式。
热量传递的三种基本方式：导热（热传导）、对流（热对流）和热辐射。
2.导热的特点。
a必须有温差；b物体直接接触；c依靠分子、原子及自山电子等微观粒子热运动而传递热量；d在引力场下单纯的导热一般只发生在密实的固体中。
3.对流（热对流）（Convection）的概念。
流体中（气体或液体）温度不同的各部分之间，山于发生相对的宏观运动而把热量由一处传递到另一处的现象。
4对流换热的特点。
半流体流过一个物体表面时的热量传递过程，它与单纯的对流不同，具有如下特点：;导热与热对流同时存在的复杂热传递过程b必须有直接接触（流体与壁面）和宏观运动；也必须有温差C壁面处会形成速度梯度很大的边界层5.牛顿冷却公式的基本表达式及其中各物理量的定义。
= （w）0 = q"A = Ah（t w -t x） w/m2h是对流换热系数单位w/（m:-k）g”是热流密度（导热速率），单位（W/m‘）0是导热量W&热辐射的特点。
a任何物体，只要温度高于0K,就会不停地向周围空间发出热辐射；b可以在真空中传播；c伴随能量形式的转变；d具有强烈的方向性；e辐射能与温度和波长均有关；f发射辐射取决于温度的4次方。
7.导热系数，表面传热系数和传热系数之间的区别。
导热系数：表征材料导热能力的大小，是一种物性参数，与材料种类和温度关。
表面传热系数：、流体与壁面温度相差1度时、每单位壁面面积上、单位时间内所传递的热量。
影响力因素：流速、流体物性、壁面形状大小等传热系数：是表征传热过程强烈程度的标尺，不是物性参数，与过程有关。
T （x, y, z ）为标量温度场圆筒壁表面的导热速率①= -kA — = -k(27rrL) — dr dr垂直导过导热微分方程式的理论基础。
傅里叶定律+热力学第一定律导热与导出净热量（使用傅里叶定律）+微元产生的热量二微元的内能变化量。
导热微分方程（热 ' 2伙—）+-伙兰）+2伙岂）+厂兀, ■ ox ox dy dy oz ozdT ~d （k 是导热率一一导热系数）d 2Td 2T（可以用热扩散率的概第一章导热理论基础1傅立叶定律的基本表达式及其中各物理量的意义。
梯度法
2 x1 f ( x1 , x2 ) 8 x 2 f ( x(0) ) (2,8)T
f ( x (0) ) 8.24621
d (0) f ( x(0) ) (2, 8)T x(1) x(0) 0d (0) , 其中0由min f ( x(0) d (0) ) min(1 2 )2 4(1 8 )2
1 2 0.73846 x 0.13077 1 8 0.04616
(1)
f ( x(1) ) (1.47692, 0.36923)T
f ( x (1) ) 1.52237
d (1) f ( x(1) ) (1.47692,0.36923)T
形的；对于高维的非线性函 数，接近极值点处，容易陷 入稳定的锯齿形搜索路径。
四、梯度法的例题
试用梯度法求
2 的极小点。迭代两次，计算各迭代点的函数值、梯 f ( x1, x2 ) x12 4x2
度、及其模，并验证相邻两个搜索方向是正交的。 解：设初始点为
x(0) . (1,1)T
由 x(0) (1,1)T
f ( x(2) ) 0.06134 f ( x(2) ) (0.22152,0.88608)T
f ( x ( 2) ) 0.91335
d (2) (0.22152, 0.88608)T
验证d 和d 及d 和d 的正交性：
0 1 1 2
d
d
(1)T
d (0) (1.47692)(2) (0.36923)(8) 0
k arg min f ( x( k ) k d ( k ) )
于是，就有
df ( x ( k ) d ( k ) ) k f ( x ( k 1) )T d 0 d
梯度运算法则
梯度运算法则梯度运算法则是机器学习和深度学习中非常重要的概念之一，它在模型参数的更新中起到了至关重要的作用。
本文将介绍梯度运算法则的原理和应用。
一、梯度运算法则的原理梯度运算法则是一种通过计算目标函数对模型参数的偏导数来更新模型参数的方法。
在机器学习和深度学习中，我们通常通过最小化损失函数来优化模型，而梯度运算法则就是帮助我们找到使损失函数最小化的最优参数。
具体来说，假设我们有一个损失函数L(w)，其中w是模型的参数。
我们的目标是找到使L(w)最小化的w。
梯度运算法则通过计算损失函数L(w)对w的偏导数，即∂L(w)/∂w，来确定参数w的更新方向和步长。
这样，我们就可以沿着梯度的反方向更新参数，使得损失函数不断减小，最终达到最优解。
梯度运算法则在机器学习和深度学习中有着广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 参数更新在训练神经网络时，我们需要通过梯度运算法则来更新网络的参数。
在反向传播算法中，我们通过计算损失函数对网络中每个参数的偏导数，然后使用梯度下降法来更新参数。
梯度运算法则在这个过程中起到了至关重要的作用。
2. 模型优化梯度运算法则也可以应用于模型优化中。
在优化问题中，我们通过最小化或最大化目标函数来找到最优解。
梯度运算法则可以帮助我们确定参数的更新方向，从而逐步接近最优解。
3. 特征选择在特征选择中，我们希望找到对目标变量有最大预测能力的特征。
梯度运算法则可以通过计算特征对目标变量的偏导数，来评估特征的重要性。
通过选择梯度较大的特征，我们可以提高模型的预测能力。
4. 梯度提升算法梯度提升算法是一种集成学习方法，它通过迭代地训练一系列弱学习器，并通过梯度运算法则来更新每个弱学习器的权重。
通过将多个弱学习器组合起来，梯度提升算法可以得到一个更加强大的模型。
5. 梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化算法，它通过梯度运算法则来更新参数，使得损失函数不断减小。
梯度下降法在机器学习和深度学习中被广泛应用于模型训练和参数优化。
梯度的计算方法和公式
梯度是一个向量，用于表示函数在某个点处的变化率和方向。
在多变量函数中，梯度
可以计算函数在每个自变量方向上的偏导数，并将它们组合成一个向量。
对于一个具有n个自变量的多变量函数f(x1, x2, ..., xn)，梯度可以通过以下公式计算：grad(f) = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)
其中，∂f/∂xi表示函数f对第i个自变量的偏导数。
梯度计算的一般方法是通过分别计算函数对每个自变量的偏导数来得到梯度向量的各
个分量。
这可以使用求导规则和链式法则来完成。
例如，对于一个二元函数f(x, y)，我们可以使用以下公式计算梯度向量：
grad(f) = (∂f/∂x, ∂f/∂y)
注意，梯度向量的方向指向函数增长最快的方向，其模表示函数在该方向上的变化率。
在实际计算中，可以使用数值方法（如差分法）或符号计算方法（如计算软件）来计
算梯度。
数值方法通过在目标点附近进行微小的自变量变化，并计算函数在这些变化
上的差分来近似梯度。
符号计算方法则利用数学软件对函数进行符号求导，得到精确
的梯度表达式。
需要注意的是，对于非标量函数（如向量值函数或张量函数），梯度的定义和计算方
法可能会有所不同。
在这种情况下，可以使用雅可比矩阵或Hessian矩阵来表示梯度。
一非线规划问题的几种求解方法1罚函数法外点法
第三步：主程序main1.m
%最速下降方法实现一个非线性最优化问题 % min f(x)=2*x1^2+x2^2 global x0 x0=[ 1 1 ]; yefi=0.0001; k=1; d=-fun1gra(x0); lamada=1;
主程序main1.m（续）
while sqrt(sum(d.^2))>=yefi
对参数nonlcon的进一步示例
x12 x22 x32 100
x12 10x32 60
x1 x22 Leabharlann 3 802个不等式约束，x13
x
2 2
x3
80
2个等式约束
3个决策变量x1，x2，x3 如果nonlcon以‘mycon1’作为参数值，则程序 mycon1.m如下
对照约束条件编写myfun1.m
一、非线性规划问题的几种求解方法 1. 罚函数法（外点法）
min f (x) s.t. gi (x) 0(i 1,2,, m)
h j (x) 0( j 1,2,,l)
基本思想： 利用目标函数和约束函数构造辅助函数：
F(x,) f (x) P(x)
要求构造的函数 F(x, ) 具有这样的性质：当 点x位于可行域以外时，F(x, )取值很大，而
离可行域越远则越大；当点在可行域内时，
函数 F(x, ) f (x)
因此可以将前面的有约束规划问题转换为下 列无约束规划模型：
min F(x,) f (x) P(x)
其中称为 P(x)罚项， 称为罚因子，
F (x, ) 称为罚函数。
P( x) 的定义一般如下：
m
l
P(x) (gi (x)) (hj (x))
越是接近极值点，收敛越慢；
梯度类算法
梯度类算法介绍梯度类算法是机器学习中一类常用的优化算法，用于求解目标函数的最优解。
该算法以梯度为基础，通过迭代更新模型参数，逐步优化模型的准确性和性能。
梯度类算法广泛应用于回归问题、分类问题等多个领域，并在深度学习中得到了广泛的应用。
主要梯度类算法1. 梯度下降法（Gradient Descent）梯度下降法是一种常用的优化算法，通过迭代更新模型参数，使目标函数最小化。
其主要思想是根据目标函数的梯度方向，逐步向最陡峭的下降方向移动，直至达到极小值点。
梯度下降法有批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）和随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）两种形式。
批量梯度下降法批量梯度下降法在每一次迭代中使用所有的训练样本来计算梯度，并更新模型参数。
该方法保证了每一次迭代都能朝着全局最优解的方向前进，但计算量较大。
随机梯度下降法随机梯度下降法在每一次迭代中只使用一个样本来计算梯度，并更新模型参数。
该方法具有计算速度快的优点，但由于随机选择样本，可能导致朝着局部最优解的方向前进。
2. 最速下降法（Steepest Descent）最速下降法是一种基于梯度的优化算法，用于求解无约束问题的最优解。
该算法通过计算梯度方向和步长，逐步迭代向最陡峭的下降方向移动。
最速下降法的关键步骤是确定步长，常用的方法有精确线搜索和回溯线搜索。
3. 共轭梯度法（Conjugate Gradient）共轭梯度法是一种迭代的最优化算法，用于求解对称正定系统的线性方程组。
该算法通过构造一组共轭的搜索方向，逐步迭代更新模型参数，直至达到最优解。
共轭梯度法的收敛速度较快，尤其在求解大规模线性方程组时具有优势。
4. 牛顿法（Newton’s Method）牛顿法是一种基于二阶导数的优化算法，用于求解非线性方程和最优化问题。
该算法通过构造二阶导数矩阵的逆，优化目标函数的二次近似。
牛顿法的收敛速度较快，但对于高维大规模问题，计算复杂度较高。
高等数学梯度计算
二、方向导数
讨论函数 z f (x, y) 在一点P沿某一方向的
变化率问题．
设函数 z f ( x, y) 在点 P( x, y) 的某一邻域 U(P) 内有定义，自点 P 引射线 l．
设 x 轴正向到射线 l 的转角
为 ,并设 P( x x, y y)
为 l 上的另一点且 P U (P).
二、求函数z 1 ( x 2 y2 )在点( a , b )处沿曲线
a2 b2
22
x 2 y2 1在这点的内法线方向的方向导数. a2 b2
三、设u, v 都是 x, y, z 的函数,u, v 的各偏导数都存在且 连续,证明:grad(uv) vgradu ugradv
四、求 u
x2 a2
l x
y
其中 (gradf ( x, y), l )
某点梯度的方向就是函数 f ( x, y) 在这点增长
最快的方向.
思考题
问函数在某点处沿什么方向的方向导数最大？
答：梯度方向
求函数u xy2z在点P(1, 1, 2)处方向导数的 最大值.
答： gradf
f
2 x
f
2 y
f
2 z
P
21
作业
其中
(gradf ( x, y),e)
当
cos(
gradf
(
x,
y),
e)
1
时，f
l
有最大值.
结论 函数在某点的梯度是这样一个向量，
它的方向与取得最大方向导数的方向一致 ,
而它的模为方向导数的最大值．
l
gradf
梯度的模为
| gradf ( x, y) |
梯度法求极值例题
选择题：在使用梯度下降法求解函数极值时，每一步的迭代方向是？A. 随机的B. 与当前点梯度方向相反（正确答案）C. 与当前点梯度方向相同D. 固定的梯度下降法中，学习率（步长）的选择对算法收敛性有何影响？A. 学习率越大，收敛越快B. 学习率越小，收敛越慢，但更稳定C. 学习率过大可能导致算法发散，过小则收敛速度缓慢（正确答案）D. 学习率对收敛性无影响对于二次函数f(x) = ax2 + bx + c (a > 0)，使用梯度下降法求解最小值时，迭代过程中会？A. 一直增加B. 一直减少（正确答案）C. 先增加后减少D. 无法确定在梯度下降法中，如果目标函数是凸函数，则？A. 一定会收敛到全局最小值（正确答案）B. 可能会收敛到局部最小值C. 一定会收敛到局部最大值D. 无法确定收敛性下列哪个条件不是梯度下降法收敛的必要条件？A. 目标函数连续可导B. 学习率适当C. 初始点任意选择D. 目标函数必须是凸函数（正确答案）在梯度下降法的实现中，为了避免数值计算中的溢出或下溢，通常会？A. 增加学习率B. 减少学习率C. 对梯度进行归一化处理（正确答案）D. 对目标函数进行缩放对于非凸函数，梯度下降法可能？A. 收敛到全局最小值B. 收敛到局部最小值（正确答案）C. 一定不会收敛D. 收敛到鞍点（一种特殊类型的临界点，可能但不是必然）在使用随机梯度下降法（SGD）时，与标准梯度下降法相比，其优点是？A. 收敛速度更快（在某些情况下，特别是大数据集时）（正确答案）B. 更容易陷入局部最小值C. 计算复杂度更低（每次迭代只需计算一个样本的梯度）D. 对学习率的选择不敏感（实际上更敏感，需要更好的调参）。
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k 0
Pk H k gk
求 k , min f ( X k P使k ) f ( X k k Pk )
X k1 X k k Pk
N
Y
g k1 ?
Y X0 Xn
k n?
N
计 g k1 gk Xk Zk Bk ,Ck
H k1 H k Bk C k
k f ( X k ) 2
对于正定的二次函数，X En，最多经过n次 迭代就能得到最优点
2.共轭梯度法
迭代过程
给出 X 0 En , 0
P0 f ( X 0 ), k 0
求 k , 使 min f ( X k Pk ) f ( X k k Pk ) 取 X k1 X k k Pk
k
T f ( X )Sk SkT ASk
1.最优梯度法
迭代过程
给出 X 0, 0 k=0
计算( X k )，Sk
f ( X k ) f ( X k )
X k 1 X k k Sk k k 1
f (X k ) ? N
Y
停
X* Xk
求
，使
1.最优梯度法
优缺点分析 最速下降方向是局部性质而非全局性质 开始步长大，越接近极小点，步长越小。所
以在开始范围能较快接近最优点，适合解决 问题的开始阶段，作为收局结尾是不利的 （一般是锯齿状的收敛方向）
2.共轭梯度法
对负梯度方向进行修正（Fletcher&Reeves）
每一步迭代均利用上一步的 X k 的负梯度方向 f ( X k )与上一步搜索方向的向量 Pk1 进行线性
3.牛顿法及阻尼牛顿法
（2）阻尼牛顿法解决了牛顿法的计算繁琐问题， 构造一个矩阵代替牛顿法中的赫森矩阵。因迭代 过程中使用最优步长，故能保障每步函数值都有 所下降，即使初始点选取不当，也能搜索成功。
其迭代公式如下：
X k1 X k k
Ak1f ( X k ) f ( X k )gAk1
组合，构成一个与 Pk1 方向互相共轭的方向 Pk 然后再沿 Pk 方向做唯一寻优
2.共轭梯度法
共轭方向的构成
迭代公式 Pk1 f ( X k1) k Pk 条件：Pk1 与 Pk 关于Q 互为共轭，即
(Pk1)T QPk 0
近似的取 k 为
f ( X k1) 2
停 X * X k 1
算 k k 1
4.变尺度法
算法特点
以逐次逼近的算法实现对 A1的计算 当目标函数可以用二次函数近似时，其方向矩阵 H
可以很快收敛 应用于二次函数时，变尺度法与共轭梯度法一样
具有二次终结性质，计算具有稳定性。
谢 谢！
（1）牛顿法又叫二阶梯度法，不仅考虑了目标函 数的梯度，而且考虑了目标函数的二阶导数（即 梯度的变化方向），能更快的搜索出最优点。 其迭代公式如下：
X k1 X k Ak1f ( X k )
3.牛顿法及阻尼牛顿法
迭 代 过 程
给出 X 0 En , 0 k 0
计算f ( X k )
这种方法用一个对称矩阵 H k 去逼近 Ak1 ，得到的 搜索方向为：
Pk H kf ( X k )
其迭代公式为：
X k1 X k k Pk
迭代过程
给 出X 0 En , 0
N
g0 ?
Y
停
X* Xk
H 0 I , g 0 f ( X 0 )
k
min a
f (X k
Sk )
f (X k
kSk )
1.最优梯度法
收敛准则
梯度准则：梯度的模达 到充分小
点距准则：相邻两迭代 点之间的距离达到充分 小
函数下降量准则：相邻 两迭代点的函数值下降 量达到充分小
f ( X k1)
X k1 X k
f (X k1) f (X k )
Y f ( X k ) ?
N 计算 Ak1 A 1 A
停 X* Xk
X k 1 X k Ak1 f ( X k ) k k 1
优缺点分析
收敛速度很快
用到了赫森矩阵， 考虑了等值线曲率 的意义
在极值点附近可以 一步到达
计算繁琐 有可能是发散的
X 0 X n1
f ( Xபைடு நூலகம்k1) ?
Y
停 X * X k 1
N Y
k n?
N
f ( X k1) 2 f ( X k 1)T f ( X k )
k
f ( X k ) 2
Pk 1 f ( X k 1) k Pk k k 1
3.牛顿法及阻尼牛顿法
梯度法为基础的数值求解
内容提要
无约束非线性问题的数值求解，应用于连续 可导的目标函数。以梯度法为基础，要计算 目标函数的一阶和二阶偏导数。
➢ 最优梯度法 ➢ 共轭梯度法 ➢ 牛顿法及阻尼牛顿法 ➢ 变尺度法
1.最优梯度法
目标函数的负梯度方向作为每一步迭代的搜索 方向，每一步都取负梯度方向的最优步长。 （柯西提出）
n维非线性函数f(X)的梯度定义如下：
f ( X ) f [ f , f ,, f ] X x1 x2 xn
1.最优梯度法
最优梯度法的迭代公式
X k 1 X k k Sk
其中单位向量和最优步长分别是：
Sk
f ( X k ) f ( X k )
3.牛顿法及阻尼牛顿法
A）当 Ak I 时，则为最优梯度公式：
X
k 1
X
k
k
f ( X k ) f ( X k )
B）当k Ak1f (X k ) 时，则为牛顿法迭代公式：
X k1 X k Ak1f ( X k )
4.变尺度法
变尺度法是结合最优梯度法和牛顿法的优点一种综 合算法，也称为拟牛顿法。