【新教材】高中数学 新人教B版必修第二册 5.3.2事件之间的关系与运算 课件

事件称为 A 的 □01 对立 事件，记作 □02 －A ，用集合的观点来看， □03 －A 是
A 在 Ω 中的 □04 补 集，如图所示．
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(2)如果 B＝－A ，则称 A 与 B □05 相互对立 ．
(3)由定义可知，每次随机试验，在事件 A 与－A 中，有一个发生，而且
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(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件； (2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
[解] (1)因为事件 C1，C2，C3，C4 发生，则事件 D3 必发生，所以 C1⊆D3， C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.
同理可得，事件 E 包含事件 C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1，D2，D3，F， G；事件 D2 包含事件 C4，C5，C6；事件 F 包含事件 C2，C4，C6；事件 G 包 含事件 C1，C3，C5.
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知识点一 事件的包含
(1)一般地，如果事件 A 发生时，事件 B 一定发生，则称“ □01 A 包含于 □02 B ”(或“ □03 B 包含 □04 A ”)，记作 □05 A⊆B (或 □06 B⊇A )，这一关
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知识点三 事件的和(并)
(1)给定事件 A，B，由所有 A 中的样本点与 B 中的样本点组成的事件称
为 □01 A 与 B 的和(或并) ，记作 □02 A＋B
(或 □03 A∪B )．
事件 A 与 B 的 □04 和 可以用如图所示的阴影部分表示．
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1．对互斥事件与对立事件的理解 (1)事件 A 与事件 B 互斥是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不可能同时 发生，A 与 B 发生与否有三种可能：A 发生，B 不发生；A 不发生，B 发生； A 不发生，B 不发生．即 A 与 B 两个事件同时发生的概率为 0. (2)两个事件互斥的定义可以推广到 n 个事件中，如果事件 A1，A2，A3，…， An 中的任意两个事件互斥，就称事件 A1，A2，A3，…，An 彼此互斥．
事件 AB＝∅，③不正确；事件 AD：恰有一件次品，即事件 A，所以④不正确．
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答案
解析
(3)某射击手在一次射击中，射中 10 环，9 环，8 环的概率分别是
0.20,0.30,0.10，则此射击手在一次射击中不够 8 环的概率为( )
A．0.40
B．0.30
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(2)由定义可知：①事件 A＋B 发生时，当且仅当 □05 事件 A 与事件 B 中
至少有一个 发生；
②A □06 ⊆ (A＋B)且 B □07 ⊆(A＋B)． 因此，P(A) □08 ≤P(A＋B)且 P(B)□09 ≤ P(A＋B)，P(A＋B)□10 ≤ P(A)＋P(B)．
且易知事件 C1 与事件 D1 相等，即 C1＝D1.
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答案
(2)因为事件 D2＝{出现的点数大于 3}＝{出现 4 点或出现 5 点或出现 6 点}，
所以 D2＝C4＋C5＋C6(或 D2＝C4∪C5∪C6)． 同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2 ＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5，E＝F＋G.
系可用下图表示．
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(2) □07 A⊆B 也可用充分必要的语言表述为：A 发生是 B 发生的 □08 充分条件 ，B 发生是 A 发生的 □09 必要条件 ．
(3)如果 A⊆B，则 P(A) □10 ≤ P(B)．
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(5)A，B，C 不多于一个发生． －A －B －C ＋A－B －C ＋－A B－C ＋－A －B C. (6)A，B，C 不多于两个发生． －A －B －C ＋A－B －C ＋－A B－C ＋－A －B C＋AB－C ＋A－B C＋－A BC＝－A ＋－B ＋－C . (7)A，B，C 至少有两个发生． AB－C ＋A－B C＋－A BC＋ABC＝AB＋AC＋BC.
这称为互斥事件的概率加法公式．
一般地，如果 A1，A2，…，An 是两两互斥的事件，则 P(A1＋A2＋…＋An)
□ ＝ 09 P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)
．
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知识点六
事件的对立
(1)给定样本空间 Ω 与事件 A，则由 Ω 中所有不属于 A 的样本点组成的
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( √ ) (2)设 M，N 是两个随机事件，若 M＋N＝Ω，则事件 M 与事件 N 不会同 时发生．( × ) (3)设 A，B 是两个随机事件，若 A，B 为互斥事件，则－A ＋－B 为必然事 件．( √ ) (4)在同一试验中的两个事件 A 与 B，一定有 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．( × ) (5)若事件 A，B 是对立事件，则一定有 P(A)＋P(B)＝1.( √ )
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2．设 A，B，C 为三个随机事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列各事
件．
(1)A，B，C 都发生． ABC.
(2)A 发生，B 与 C 都不发生． A－B －C .
(3)A，B，C 至少有一个发生． A＋B＋C.
(4)A，B，C 都不发生．
－－－ A B C.
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2．做一做 (1)掷一枚骰子，设事件 A＝{出现的点数不大于 3}，B＝{出现的点数为 偶数}，则事件 A 与事件 B 的关系是( ) A．A⊆B B．AB＝{出现的点数为 2} C．事件 A 与 B 互斥 D．事件 A 与 B 是对立事件
答案 B
解析 由题意知事件 A 表示出现的点数是 1 或 2 或 3；事件 B 表示出现 的点数是 2 或 4 或 6.故 AB＝{出现的点数为 2}．
事件的互斥
(1)给定事件 A，B，若事件 A 与 B 不能同时发生，则称 A 与 B □01 互斥 ， 记作 □02 AB＝∅ (或 □03 A∩B＝∅ )，这一关系可用下图表示．
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(2)任意两个基本事件都是 □04 互斥 的， □05 ∅ 与任意事件互斥． (3)当 A 与 B □06 互斥 (即 AB＝ □07 ∅ )时，有 P(A＋B)＝ □08 P(A)＋P(B) ，
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知识点四
事件的积(交)
(1)给定事件 A，B，由 A 与 B 中的公共样本点组成的事件称为 □01 A 与
B 的积 (或 □02 交 )，记作 □03 AB (或 □04 A∩B )．
事件 A 与 B 的 □05 积 可以用如图所示的阴影部分表示．
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5.3.2 事件之间的关 系与运算
(教师独具内容) 课程标准：1.了解随机事件的并、交、互斥与对立的含义，能结合实例 进行随机事件的并、交运算.2.通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概 率的运算法则. 教学重点：事件的关系和运算，互斥事件、对立事件的概念，用概率的 性质求事件的概率. 教学难点：区别互斥事件和对立事件，事件的混合运算.
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答案
事件间的运算方法 (1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果， 分析并利用这些结果进行事件间的运算． (2)利用维恩图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可 能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．
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(3)若事件 A，B 为对立事件，则在一次试验中，事件 A 与它的对立事件 只能发生其中一个，并且必然发生其中之一．
(4)若两个事件对立，那么这两个事件一定是互斥事件．若两个事件是互 斥事件，但这两个事件不一定是对立事件．
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知识点二
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事件的相等
(1)如果事件 A 发生时，事件 B 一定发生；而且事件 B 发生时，事件 A 也
一定发生，则称“ □01 A 与 B 相等 ”，记作 □02 A＝B . (2)A＝B⇔ □03 A⊆B 且 B⊆A . A＝B 也可用充分必要的语言表述为：A 发生是 B 发生的 □04 充要条件 ． (3)当 A＝B 时，有 P(A) □05 ＝ P(B)．
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盒子里有 6 个红球，4 个白球，现从中任取 3 个球，设事件 A＝{3 个球 中有一个红球，两个白球}，事件 B＝{3 个球中有两个红球，一个白球}，事 件 C＝{3 个球中至少有一个红球}，事件 D＝{3 个球中既有红球又有白 球}．则：
(1)事件 D 与事件 A，B 是什么样的运算关系？ (2)事件 C 与事件 A 的交事件是什么事件？
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(2)由定义可知：①事件 AB 发生时，当且仅当 □06 事件 A 与事件 B 都发
生．
②AB □07 ⊆ A，AB □08 ⊆ B. 因此，P(AB) □09 ≤ P(A)，P(AB) □10 ≤ P(B)．
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知识点五
□06 只有一个发生 ．又由于必然事件的概率为 1，因此 P(A)＋P(－A )＝1.
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知识点七
事件的混合运算
同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我
们规定： □01 求积 运算的优先级高于 □02 求和 运算．
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C．0.60
D．0.90
答案 A
解析 依题意，射中 8 环及以上的概率为 0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不 够 8 环的概率为 1－0.60＝0.40.
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答案
解析
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题型一 事件的关系与运算 例 1 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件 C1＝{出现 1 点}，事件 C2＝{出现 2 点}，事件 C3＝{出现 3 点}，事件 C4＝{出现 4 点}， 事件 C5＝{出现 5 点}，事件 C6＝{出现 6 点}，事件 D1＝{出现的点数不大于 1}，事件 D2＝{出现的点数大于 3}，事件 D3＝{出现的点数小于 5}，事件 E ＝{出现的点数小于 7}，事件 F＝{出现的点数为偶数}，事件 G＝{出现的点 数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题．
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3．互斥事件的概率与对立事件的概率 (1)只有当事件 A，B 互斥时，公式 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)才成立；只有当 事件 A，B 对立时，公式 P(A)＝1－P(B)才成立． (2)当事件的概率正面求解较难，但其对立事件的概率易求时，可用对立 事件的概率公式间接求解，对于含有“至多”“至少”等这样的问题，常用 此法求解．
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①A＋B＝C；
②D＋B 是必然事件；
③AB＝C；
④AD＝C.
其中正确结论的序号是( )
A．①②
B．③④
C．①③
答案 A
D．②③
解析 事件 A＋B：至少有一件次品，即事件 C，所以①正确；事件 D
＋B：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以②正确；
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答案
解析
(2)一批产品共有 100 件，其中 5 件是次品，95 件是合格品．从这批产品 中任意抽取 5 件，现给出以下四个事件：
事件 A：恰有一件次品； 事件 B：至少有两件次品； 事件 C：至少有一件次品； 事件 D：至多有一件次品． 并给出以下结论：