高三一轮复习 排列组合

1． 组合数公式有两种形式， (1)乘积形式； (2)阶乘形
式．前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式
及合并组合数简化计算．注意公式的逆用．即由
m
n！ ！?n－m
?！写出
C
m n
.
2． 要搞清组合与排列的区别与联系： 组合与顺序无关，
排列与顺序有关；排列可以分成先选取 (组合)后排列
两个步骤进行．
9 个人的全排列数有 A99种，甲排在每一个位置的机会都是均 等的，依题意，甲不在中间及两端的排法总数是 A99×69＝
241920(种)．
方法四 (间接法 ) A99－3·A88＝6A88＝241 920(种)． (2)先排甲、乙，再排其余 7 人， 共有 A22·A77＝10 080(种)排法． (3)(插空法 ) 先排 4 名男生有 A44种方法，再将 5 名女生插空，有 A55种方 法，故共有 A44·A55＝2 880(种)排法．
解 (1) 方法一 (元素分析法)
先排甲有 6 种，其余有 A88种， 故共有 6·A88＝241 920(种)排法．
方法二 (位置分析法) 中间和两端有 A38种排法，包括甲在内的其余 6 人有 A66种排 法，故共有 A38·A66＝336×720＝241 920(种)排法．
方法三 (等机会法)
4．(2010·北京)8 名学生和 2 位老师站成一排合影， 2 位老
师不相邻的排法种数为 ( A )
A．A88A29
B．A88C
2 9
C．A88A27
D．
A88C
2 7
解析 不相邻问题用插空法，先排学生有 A88种排法，老 师插空有 A29种方法，所以共有 A88A29种排法．
5．某电视台连续播放 5 个广告，其中有 3 个不同的商业广告和
探究提高 本题集排列多种类型于一题， 充分体现了 元素分析法 (优先考虑特殊元素 )、位置分析法 (优先 考虑特殊位置 )、直接法、间接法 (排除法 )、等机会 法、插空法等常见的解题思路．
变式训练 1 有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不
同的排列方法总数．
(1)选其中 5 人排成一排；
2 个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传
广告，且 2 个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方
式有( C ) A．120 种
B．48 种
C．36 种
D．18 种
解析 先安排后 2 个，再安排前 3 个，由分步乘法计数原理 知，共有 C12C13A33＝36(种)不同的播放方式．
题型分类 深度剖析
2．组合
(1) 组合的定义：从 n 个不同元素中取出 m (m≤n)个元
素 合成一组 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m(m ≤n)个元
素的一个组合．
(2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m (m≤n)个元素的
所有不同组合 的个数，叫做从 n 个不同元素中取出
m (m≤n)个元素的组合数，用 Cnm表示．
(2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻 .
解 (1)从 7 个人中选 5 个人来排列， 有 A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)． (2)分两步完成，先选 3 人排在前排，有 A37种方法，余下 4 人 排在后排，有 A44种方法，故共有 A37·A44＝5 040(种)．事实上， 本小题即为 7 人排成一排的全排列，无任何限制条件．
元素的排列数，用
A
m n
表示．
(3)排列数公式： Amn ＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
(4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元
素的一个全排列，Ann＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝ n！.排列数公 式写成阶乘的形式为 Amn ＝?n－n！m ?！，这里规定 0！＝ 1 .
题型一 排列问题 例 1 有 4 名男生、5 名女生，全体排成一行，问下列情形各
有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端； (3)男女相间． 思维启迪：这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到 限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起．对 于相邻问题，常用 “捆绑法”；对于不相邻问题，常用 “插 空法”(特殊元素后考虑 )；对于 “在”与“不在”的问题， 常常使用“直接法”或“排除法”，(特殊元素先考虑 )．
§10பைடு நூலகம்2 排列与组合
基础知识 自主学习
要点梳理
1． 排列
(1) 排列的定义：从 n 个 不同 元素中取出 m (m ≤n)个元素， 按照一定的 顺序 排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m
个元素的一个排列．
(2) 排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m (m ≤n)个元素
的 所有不同排列 的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个
基础自测 1．某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服
务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案有 ___1__4___ 种．
解析 ①有 1 名女生：C12C34＝8. ②有 2 名女生：C22C24＝6. ∴不同的选派方案有 8＋6＝14(种)．
2. 从 1,2,3,4,5,6 六个数字中，选出一个偶数和两个奇数， 组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有 _5_4__个．
解析 选出符合题意的三个数有 C13C23＝9(种)方法， 每三个数可排成 A33＝6(个)三位数， ∴共有 9×6＝54(个)符合题意的三位数．
3．从 3 名男生、4 名女生中，选派 1 名男生、2 名女生参加 辩论赛，则不同的选派方法共有__1_8_____种．
解析 从 3 名男生中选一名有 C13种方法，从 4 名女生中选 2 名，有 C24＝6(种)方法，根据分步乘法计数原理知，不同的 选派方法共有 C13C24＝18(种)．
n!
(3)组合数的计算公式：
C
m n
＝AAmnmm＝
m!(n? m)!
n(n ? 1)(n ? 2) (n ? m ? 1)
＝
m(m ? 1) 2 1
，由于
0！＝
1
，所以
C
0 n
＝
1
.
C (4)组合数的性质：① Cmn ＝
C n? m n
；②
C
m n＋
1＝
m
n＋
C m?1 n
.
[难点正本 疑点清源]