平面向量与三角函数、解三角形的综合习题.doc

三角函数与平面向量、解三角形综合题

题型一： 三角函数与平面向量平行 ( 共线 ) 的综合

【例 1】 已知 A 、 B 、C 为三个锐角，且 A ＋B ＋ C ＝π . 若向量 →

＝ (2 － 2sinA ，cosA ＋ sinA) 与向 p →

＝ (cosA － sinA ，1＋ sinA) 是共线向量 .

量 q

（Ⅰ）求角 A ；（Ⅱ）求函数 y ＝ 2sin 2

C － 3B

B ＋ cos 2 的最大值 .

题型二 . 三角函数与平面向量垂直的综合

→

→

3

【例 2】

已知向量 a ＝(3sin α,cos α) ， b ＝(2sin α， 5sin α－ 4cos α) ，α∈ ( 2 ，2π) ， → → 且 a ⊥ b ．

α

（Ⅰ）求 tan α 的值；（Ⅱ）求 cos(

2＋ 3)的值．

题型三 . 三角函数与平面向量的模的综合

→

→ → → 2

【例 3】 已知向量 a ＝(cos α,sin α) ， b ＝(cos β,sin β) ， | a － b | ＝ 5 5.( Ⅰ ) 求 cos( α

－β ) 的值； ( Ⅱ ) 若－ 2 ＜β＜ 0＜α＜ 2

5

，且 sin β＝－ 13，求 sin α 的值 .

题型四

三角函数与平面向量数量积的综合

→ →

→

→

，x ∈R ，且 f( 2 ) 【例 3】

设函数 f(x) ＝ a · b . 其中向量 a ＝ (m ，cosx) ， b ＝ (1 ＋ sinx ，1) ＝ 2. （Ⅰ）求实数 m 的值；（Ⅱ）求函数 f(x) 的最小值 .

题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算

【例 5】（山东卷）在

ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ， tan C 3 7 ．

uuur uuur 5 ，且 a b 9 ，求 c ． （1）求 cosC ；（ 2）若 CB CA

2

题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算

【例 6】f ( x)

r

r

r

r

(1 sin 2x,1) ，

R ，且函数 y f ( x)

a b ，其中向量 a

(m,cos 2x) ，b

x

的图象经过点 ( ,2) ．

4

（Ⅰ）求实数 m 的值； （Ⅱ）求函数 y f ( x) 的最小值及此时

x 值的集合。

题型七：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题

r r r r r 【例 7 】设向量a (sin x,cos x), b (cos x,cos x), x R ，函数 f ( x) a ( a b) .

（Ⅰ）求函数 f ( x) 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式 f ( x) 3

成立的 x 的取值集. 2

题型八：三角函数平移与向量平移的综合

→

【例 8】把函数 y＝ sin2x的图象按向量 a ＝ ( －6，－ 3) 平移后，得到函数y＝Asin( ωx＋)(A ＞ 0，ω＞ 0， | | ＝2 ) 的图象，则和B的值依次为（）A．，－3B．，3C．，－3D．－，3 123312

题型九：结合向量的数量积, 考查三角函数的化简或求值

【例 9】已知0 ，为 f ( x) cos(2x) 的最小正周期，

4 8

r r r

r

m，求 2cos 2 sin 2() 的值．

(tan( (cos

a ), 1),

b ,2), a b

cos

4 sin

题型十：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题

【例 10】如图，函数y 2sin( x), x R （其中 0）的图像与y 轴交于点（0，

2

1）。

（Ⅰ）求的值；

uuuur uuur

（Ⅱ）设 P 是图像上的最高点，M、 N是图像与x轴的交点，求PM 与 PN 的夹角。