杨辉三角PPT课件13 (人教课标版)
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杨辉三角PPT
C C C C
0 n 2 n 1 n 3 n
1答案 2答案
3 n 1 n
启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值， 是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
0 2 1 2 2 2 n 2 n 思考2求证: (Cn ) (Cn ) (Cn ) (Cn ) C2 n. 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
(a+b)n展开式的二项式系数依次是:
(1)对称性: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
m n m Cn 这就是组合数的性质 1: Cn
C ,C ,C ,
0 n
1 n
2 n
,C ， , C .
r n
n n
(2)递推性: 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. (3)增减性与最大值. k k 1 增减性的实质是比较 Cn 与Cn 的大小. 从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减 n! n k 1 n! n k 1 k 1 小. C k Cn n k ! (n k )! k (k 1)! (n k 1)! k 0 1 2 r n (4)各二项式系数的和. Cn Cn Cn Cn Cn 2n
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-3
1.3.2《二项式定理 -杨辉三角》
教学目标
• 1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； • 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题； • 3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提 高分析问题和解决问题的能力 学习 • 重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 学习。 • 难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 • 授课类型：新授课 • 课时安排：1课时 • 教 具：多媒体、实物投影仪
杨辉三角课件
1 33 1
1 4641
第5行--
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
1 5 10 10 5 1
第6行-
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
1 6 15 20 15 6 1
知识探究3:
(a+b)1
(a+b)2
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
11 121
(a+b)3
…
)
也就是说, (1+x)n的展开式中的各个
二项式系数的和为2n，且奇数项的二
项式系数和等于偶数的二项式系数和
赋值法
课堂练习:
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同
的项是( C ).
A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项
2、在(a＋b)11展开式中，二项式系数最大的项( C ).
C
5 5
C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
总结提炼2:
C = C m
n-m
n
n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
第1行———
C
10C
1 1
第2行——
C
0 2
C
1 2
C
2 2
第3行—-
C
杨辉三角上课用PPT课件
(a+b)6…1 6 15 20 15 6 1
观察每一行的第一个和最后一个数有什么特点？
(1)对称性: Cn0 1,Cnn 1
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这就是组合数的性质
1: Cnm
C nm n
第2页/共32页
(a性+b质)1…………… 1 1
(2)递推性:
除(a1+以b)外2…的…每…一个…数…都1等2于它1肩上两个数的和.
第15页/共32页
题型 证明不等式
例20．证明： 当n N*且n 1 2 (1 1)n 3
n
证明 (1
1 )n n
1 Cn1
1 n
Cn2
1 n2
11 Cn2
1 n2
2
通项
Cnk
1 nk
n(n
1)
k
(n !
k
1)
1 nk
nk k!
1 nk
1 k!
(1
1)n n
1
C
1 n
1 n
Cn2
1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．
第21页/共32页
探究：横行规律
第0行
1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15
1）杨辉三角中的第1，3，7，15，…行，即第 2n-1行的 各个数字为奇数？
则第2n行的数字有什么特点？除两端的1之外都是偶数.
第22页/共32页
解:?1二项式系数之和为C90 C91 C92 C99 29 512.
解 : 设2x 3y9 a0x9 a1x8y a2x7y2 a9y9. 2令x y 1得各项系数之和为a0 a1 a2 a9 21 319 1.
高二数学人教A版选择性必修第三册第六章数学探究 杨辉三角的性质与应用 课件(共20张PPT)
2
ห้องสมุดไป่ตู้
在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在31岁时发现了“帕斯卡三角”． 布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique(1655年)介绍了这个三角 形．帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响 面广泛，Pierre Raymond de Montmort(1708年)和亚伯拉罕·棣·美弗(1730年)都用 帕斯卡来称呼这个三角形． 21世纪以来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三 角形”(Chinese triangle) 历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家有：
数学探究 杨辉三角的性质与应用
相关知识阅读 杨辉三角的历史沿革 北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算．
1
杨辉，字谦光，南宋时期杭州人．在他1261年所著的《详解九章算法》一书中， 记录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自 11 世 纪 中 叶 ( 约 公 元 1050 年 ) 贾 宪 的 《 释 锁 算 术 》 ， 并 绘 画 了 “ 古 法 七 乘 方 图”．故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”． 元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》(1303年)扩充了“贾宪三角”成“古法七乘 方图”． 意大利人称之为“塔塔利亚三角形”(Triangolo di Tartaglia)以纪念在16世纪发 现一元三次方程解的塔塔利亚．
3
贾宪 中国北宋 11世纪 《释锁算术》 杨辉 中国南宋1261 《详解九章算法》 记载之功 朱世杰 中国元代 1299 《四元玉鉴》 级数求和公式 阿尔·卡西 阿拉伯 1427 《算术的钥匙》 阿皮亚纳斯 德国 1527 米歇尔．斯蒂费尔 德国 1544 《综合算术》 二项式展开式系数 薛贝尔 法国 1545 B·帕斯卡 法国 1654 《论算术三角形》 其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位．中国古 代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页.
ห้องสมุดไป่ตู้
在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在31岁时发现了“帕斯卡三角”． 布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique(1655年)介绍了这个三角 形．帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响 面广泛，Pierre Raymond de Montmort(1708年)和亚伯拉罕·棣·美弗(1730年)都用 帕斯卡来称呼这个三角形． 21世纪以来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三 角形”(Chinese triangle) 历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家有：
数学探究 杨辉三角的性质与应用
相关知识阅读 杨辉三角的历史沿革 北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算．
1
杨辉，字谦光，南宋时期杭州人．在他1261年所著的《详解九章算法》一书中， 记录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自 11 世 纪 中 叶 ( 约 公 元 1050 年 ) 贾 宪 的 《 释 锁 算 术 》 ， 并 绘 画 了 “ 古 法 七 乘 方 图”．故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”． 元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》(1303年)扩充了“贾宪三角”成“古法七乘 方图”． 意大利人称之为“塔塔利亚三角形”(Triangolo di Tartaglia)以纪念在16世纪发 现一元三次方程解的塔塔利亚．
3
贾宪 中国北宋 11世纪 《释锁算术》 杨辉 中国南宋1261 《详解九章算法》 记载之功 朱世杰 中国元代 1299 《四元玉鉴》 级数求和公式 阿尔·卡西 阿拉伯 1427 《算术的钥匙》 阿皮亚纳斯 德国 1527 米歇尔．斯蒂费尔 德国 1544 《综合算术》 二项式展开式系数 薛贝尔 法国 1545 B·帕斯卡 法国 1654 《论算术三角形》 其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位．中国古 代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页.
人教A版高中数学选修人教杨辉三角与二项式系数的性质课件
• [例2] 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ a7x7.
• 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； • (2)a1＋a3＋a5＋a7； • (3)a0＋a2＋a4＋a6； • (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
• [分析] 由题目可获取以下主要信息：
• ①令x＝1可求a0＋a1＋a2＋…＋a7； • ②令x＝－1可求a0－a1＋a2－…－a7； • ③令x＝0可求a0. • 解答本题可利用赋值法，求出常见的几种
• 1．3.2 “杨辉三角”与二项 式系数的性质
• 1．能用不完全归纳法写出杨辉三角形；能根据 杨辉三角形(a＋b)n(n≤6)的二项式进行展开；
• 2．能根据组合思想及不完全归纳法猜二项展 开式的系数，C(r＝0,1,2，…，n，n∈N*)以及二 项式的通项Tr＋1＝C·an－r·br；
• 3．能正确区分二项式系数和某一项的系数；能 应用定理对任意给定的一个二项式进行展开， 并求出它特定的项或系数．
[解析] 由图知，数列中的首项是 C22，第 2 项是 C21，第 3 项是 C23，第 4 项是 C13，…，第 15 项是 C29，第 16 项是 C19，
∴S(16)＝C21＋C22＋C31＋C32＋…＋C91＋C92 ＝(C12＋C13＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29) ＝(C22＋C12＋C13＋…＋C19－C22)＋(C22＋C23＋…＋C29) ＝C210＋C310－1＝164.
• [例3] 如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示 的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这 个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于
•( )
• A．144
B．146
人教A版高中数学选修23.2“杨辉三角”与二项式系数的性质PPT课件
人 教A版高 中数学 选修23 .2“杨 辉三角 ”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
人 教A版高 中数学 选修23 .2“杨 辉三角 ”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
《九章算术》
人 教A版高 中数学 选修23 .2“杨 辉三角 ”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
人 教A版高 中数学 选修23 .2“杨 辉三角 ”与二 项式系 数的性 质PPT 课件 人 教A版高 中数学 选修23 .2“杨 辉三角 ”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
解析：
∵(1-x3)(1+x)10 =(1-x3)(1+C101x+C102x2+C103x3+C104x4+…)，
∴x4的系数为C104+(-1) C101=200.
3. 若n∈N且n为奇数，则6n+6n-1+6n-2+…+61被8除所得的余数是( C ).
(A)0 (B)2 (C)5 (D)7
第3行中的数是 C03，C13，C32，C33 则第n行中的数是 Cn0，C1n，Cn2， ，Cnn 设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2 : 3
则 C1n3·C1n4 = 2 : 3 ，解得 n = 34
2.(1-x3)•(1+x)10的展开式中含x4的项的系数 2为00_____(用数字作答).
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为_C__17_1 .
2.选择
（1）( 2 3 3)100的展开式中，无理项的个
数是（ ）
√ A .83 B.84 C.85
D.86
（2）（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数
是（ ）
√ A.4032 B.-4032 C.126
人 教A版高 中数学 选修23 .2“杨 辉三角 ”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
《九章算术》
人 教A版高 中数学 选修23 .2“杨 辉三角 ”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
人 教A版高 中数学 选修23 .2“杨 辉三角 ”与二 项式系 数的性 质PPT 课件 人 教A版高 中数学 选修23 .2“杨 辉三角 ”与二 项式系 数的性 质PPT 课件
解析：
∵(1-x3)(1+x)10 =(1-x3)(1+C101x+C102x2+C103x3+C104x4+…)，
∴x4的系数为C104+(-1) C101=200.
3. 若n∈N且n为奇数，则6n+6n-1+6n-2+…+61被8除所得的余数是( C ).
(A)0 (B)2 (C)5 (D)7
第3行中的数是 C03，C13，C32，C33 则第n行中的数是 Cn0，C1n，Cn2， ，Cnn 设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2 : 3
则 C1n3·C1n4 = 2 : 3 ，解得 n = 34
2.(1-x3)•(1+x)10的展开式中含x4的项的系数 2为00_____(用数字作答).
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为_C__17_1 .
2.选择
（1）( 2 3 3)100的展开式中，无理项的个
数是（ ）
√ A .83 B.84 C.85
D.86
（2）（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数
是（ ）
√ A.4032 B.-4032 C.126
人教版数学高二《“杨辉三角与二项式系数的性质》 精品课件
(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．
高中数学
• 根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性 确定二项式系数最大的项．列出不等关系 解不等式组，可求系数最大的项．
高中数学
• [规范解答] 令x＝1， • 则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n， • 又展开式中二项式系数和为2n， • ∴22n－2n＝992，n＝5.2分 • (1)∵n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的
高中数学
• 解得5≤r≤6， • 因为r＝0,1,2，…，8， • 所以r＝5或r＝6. • 故系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
高中数学
高中数学
• 如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方， 从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列： 1,2,3,3,6,4,10,5，…记其前n项和为Sn，求S19的 值．
高中数学
• (4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零， 而a1，a3，a5，a7小于零，
• ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| • ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)， • ∴由(2)(3)即可得其值为2 187.
高中数学
[题后感悟] (1)赋值法——对恒等式中的变量代入数 值，可得到为解决某些问题而所需的关系．
②Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…
＝ 2n－1
.
高中数学
• 1．设(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若n ＝4，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝( )
• A．256
B．136
• C．120
D．16
• 解析： 在展开式中令x＝－1得a0－a1＋a2－ a3＋a4＝44.故选A.
高中数学
• 根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性 确定二项式系数最大的项．列出不等关系 解不等式组，可求系数最大的项．
高中数学
• [规范解答] 令x＝1， • 则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n， • 又展开式中二项式系数和为2n， • ∴22n－2n＝992，n＝5.2分 • (1)∵n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的
高中数学
• 解得5≤r≤6， • 因为r＝0,1,2，…，8， • 所以r＝5或r＝6. • 故系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
高中数学
高中数学
• 如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方， 从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列： 1,2,3,3,6,4,10,5，…记其前n项和为Sn，求S19的 值．
高中数学
• (4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零， 而a1，a3，a5，a7小于零，
• ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| • ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)， • ∴由(2)(3)即可得其值为2 187.
高中数学
[题后感悟] (1)赋值法——对恒等式中的变量代入数 值，可得到为解决某些问题而所需的关系．
②Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…
＝ 2n－1
.
高中数学
• 1．设(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若n ＝4，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝( )
• A．256
B．136
• C．120
D．16
• 解析： 在展开式中令x＝－1得a0－a1＋a2－ a3＋a4＝44.故选A.
教版高中数学人教A版选修2-3第一章-1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学课件 (共17张PPT)
“杨辉三角”与二项式系 数的性质
湖南师大附中 杨章远
1 复习引入
1、组合数的两个性质：
C n k C n n k,C n k C n k 1 C n k 1
2、二项式定理：
(a + b)n = C 0an + C 1an- 1b + L + C nbn
n
n
n
3、二项展开式的通项：
T k 1 C n k a n k b k(k 0 ,1 ,2 ,L ,n )
2 知识提炼 1、什么是“杨辉三角”？
（杨 辉）
（杨辉三角）
2 知识提炼 2、在二项式系数 C n 0,C n 1,C n 2,L,C n n1,C n n 中，哪些二项式系数是相等的？
C n kC n n k(k0,1 ,2,Ln)
2 知识提炼
3、二项式系数的增减性如何？当n分别
为偶数与奇数时，第几项的二项式系数
功地把自己推销给别人之前，你必须百分之百的把自己推销给自己。即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。
（4）求 a0a1a2La2014 的值。
(1 )1 ( 2 )1
(3) 1 32014 (4)32014
2
5 总结归纳与作业布置
自主小结：
数学知识： 思想方法：
作业布置： 《5.3》上的相应练习题
课后思考： 探索“杨辉三角”所蕴含的 其他数字规律。
思考题1、（2007湖南）将杨辉三角中 的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图 所示的0—1三角数表．从上往下数，第 1次全行的数都为1的是第1行，第2次全 行的数都为1的是第3行，…，第 n 次全 行的数都为1的是第 行。
T3=C5 2(2x)240x2 T4=C3 5(2x)380x3
湖南师大附中 杨章远
1 复习引入
1、组合数的两个性质：
C n k C n n k,C n k C n k 1 C n k 1
2、二项式定理：
(a + b)n = C 0an + C 1an- 1b + L + C nbn
n
n
n
3、二项展开式的通项：
T k 1 C n k a n k b k(k 0 ,1 ,2 ,L ,n )
2 知识提炼 1、什么是“杨辉三角”？
（杨 辉）
（杨辉三角）
2 知识提炼 2、在二项式系数 C n 0,C n 1,C n 2,L,C n n1,C n n 中，哪些二项式系数是相等的？
C n kC n n k(k0,1 ,2,Ln)
2 知识提炼
3、二项式系数的增减性如何？当n分别
为偶数与奇数时，第几项的二项式系数
功地把自己推销给别人之前，你必须百分之百的把自己推销给自己。即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。
（4）求 a0a1a2La2014 的值。
(1 )1 ( 2 )1
(3) 1 32014 (4)32014
2
5 总结归纳与作业布置
自主小结：
数学知识： 思想方法：
作业布置： 《5.3》上的相应练习题
课后思考： 探索“杨辉三角”所蕴含的 其他数字规律。
思考题1、（2007湖南）将杨辉三角中 的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图 所示的0—1三角数表．从上往下数，第 1次全行的数都为1的是第1行，第2次全 行的数都为1的是第3行，…，第 n 次全 行的数都为1的是第 行。
T3=C5 2(2x)240x2 T4=C3 5(2x)380x3
杨辉三角ppt 人教课标版
在《详解九章算法》中载有一张珍贵的图形 ——“开方作法本源”图(图2-7)．根据杨辉自注 此图“出《释锁算书》，贾宪用此术”．就是说 这张图是贾宪(11世纪)创造的，原载于 《释锁算书》(已失传)中，这张图实际上是 一个二项式展开式的系数表，它包括了0次到 6次二项式的全部系数．这些展开式用现代数 学符号表示就是： (a+b)0=1 (a+b)1＝a＋b (a＋b)2=a2+2ab+b2
杨辉三角与“纵横路线图” “纵横路线图”是数学中的一类有趣 的问题．图 1 是某城市的部分街道 图，纵横各有五条路，如果从 A 处 走到 B 处 ( 只能由北到南，由西向 东 ) ，那么有多少种不同的走法？
我们把图顺时针转 45 度，使 A 在 正上方， B 在正下方，然后在交叉 点标上相应的杨辉三角数．有趣的 4 是， B 处所对应的数 C 8 =70 ， 正好是答案 ( 70) ． 一般地 , 每个交点上的杨辉三角数， 就是从 A 到达该点的方法数．由此 看来，杨辉三角与纵横路线图问题 有天然的联系．
2.1 杨辉三角(1)
杨辉最重要的著作是《详解九章算法》． 为了使《九章算术》便于自学，杨辉对 该书的246个问题中较难的80题作了详解， 并增添了“图解、乘除算法和纂类”三卷． “详解”包括三个方面：一是“解题”，即解 释题意、名词术语，校勘文字，并对题目 作出评注；二是“细草”，即详细的解题过 程及必要的图示；三是“比类”，即增选与 原题算法相同或类似的例题进行对照分析． “纂类”是把《九章算术》中的全部问题按 解题方法由浅入深的顺序重新整理分类．
5、在杨辉三角中，若行数P是 质数（素数），则P整除第P行 中除1外的所有数。 你能证明吗？
作业：请思考：杨辉三 角还有什 性质吗？
14.2乘法公式--杨辉三角(共19张PPT)
(2)直接写出25+5×24×(-3)
+10×23×(-3)2+10×22×(-3)3
+5×2×(ー3)4+(-3)5=
；
(3)直接写出25-5×24+10×23-
10×22+5×2-1=
；
13
知识点二：利用“杨辉三角”解决规律问题
针对练习 1
(4)若(2xー1)2018＝a1x2018+a2x2017+a3 x2016+ …+a2017 x2+a2018 x+a2019， 求a1+a2+a3+…+a2017+a2018的值.
14
知识点二：利用“杨辉三角”解决规律问题
针对练习
我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋 数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中， 用下图所示的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系 数，此三角形称为“杨辉三
角”根据“杨辉三角”,计算(a+b)20
的展开式中第三项的系数为( D )
6
知识点一：“杨辉三角”的认识
新知探究
杨辉三角中斜行和水平行之间的关系
①
把斜行①中第7行之前的数
②
字相加得1+1+1+1+1+1+1=6
③
②：1+2+3+4+5=15
④ ⑤
⑥
③：1+3+6+10=20 ④：1+4+10=15 ⑤：1+5=6
⑥1
将上面得到的数字与第7行中的数字对比你有什么发现？
人教版数学高二-新课标 《“杨辉三角与二项式系数的性质》 精品课件
则
C2r0
320r
2r
C r1 20
319r
2r1
C2r0
320r
2r
C r1 20
321 r
2r1
即 3(r+1)>2(20-r) 得 2
2
2(21-r)>3r
7 r8
5
5
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为
T9
C280
312 28 高中数学
x12 y8
即 3(r+1)>2(20-r) 2(21-r)>3r
第0行
1
第1行
11
第2行
12 1
第3行
13 3 1
第4行
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第8行 1 8 28
56高中数…学7…0 56 28 8 1
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经 出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说 明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11 世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个 表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发 现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代 数学的成就是非常值得中华民族自豪的.
杨辉三角
高中数学
点击图片可以演示“杨辉三角”课件
杨辉三角
第0行
1
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证明：1)当n=1时，左边＝a+b,右边＝a+b 所以等式成立． 2）假设当n=k时等式成立，即
( a b ) k C k 0 a k C k 1 a k 1 b 1 C k r a k r b r C k k b k
则当n=k+1时，(ab)k1 (ab)k(ab)
( C k 0 a k C k 1 a k 1 b 1 C k r a k r b r C k k )a ( b )
1
1
4
3
6
1 6=3+3 3 1 10=6+4
4 1 20=10+10
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
…… ……
Cn r Cn r 1 1Cn r1
… … 第n-1行
1
C C 1
2
n1 n1
C C r 1 r n1 n1
C n2 n1
第n行 1
C
1 n
C
2 n
…
C
r n
…
2. 杨辉三角与弹子游戏
在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小 球 (黑色 ) 向容器内跌落，碰到第一层阻 挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层 阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，
如是，一直下跌，最终小 球落入底层，根据具体区 域获得奖品。试问：为什 么两边区奖品高于中间区 奖品？
3.杨辉三角与“纵横路线图” “纵横路线图”是数学中的一类有趣
C k 0 a k 1 C k 1 a k b C k r 1 a k r b b 1 C k k a k b
C k 0 a k b C k r a k r b r 1 C k k 1 a k C b k k b k 1
= C k 0 a k + 1+ (C k 1 C k 0)a k b+ + (C k r+ 1 C k r)a k rb b + 1+ + (C k k C k k － 1 )ak+ b C k k b k + 1
1＋1＋1＋ ．．．＋1＝ 1 （第1条斜线 ）
Cn
C 1＋2＋3＋
．．．＋ C
1＝
n1
2 （第2条斜线 ）
n
C 1＋3＋6＋
．．．＋
C
2＝
n1
3 （第3条斜线 ）
n
C C 1＋4＋10＋ ．．．＋ 3 ＝ 4 （第4条斜线 ）
n1
n
? C r r C r r 1 C r r 2 C n r 1C nr 1 (n>r)
Cn r Cn r 1 1Cn r1
3）杨辉三角具有对称性 Cnr Cnnr
4）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）n展开 式的二项式系数即
( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b 1 C n r a n r b r C n n b n
求证：( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b 1 C n r a n r b r C n n b n
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第8行 1 8 28 56 …7…0 56 28 8 1
四.应用: 1.斐波那契“兔子繁殖问题”
中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中 提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就 能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后 每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均 无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？
1
C C 1
2
n1 n1
C C r 1 r n1 n1
C n2 n1
第n行 1
C
1 n
C
2 n
…
C
r n
…
…… … …
C n1 n
一.复习:杨辉三角的基本性质
1）表中每个数都是组合数，第n行的第
r+1个数是
Cr n
n! r!•(nr)!
2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余 的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是
…… … …
C n1 n
1.研究斜行规律：
第一条斜线上：
1+1+1+1++1=6
C
1 6
第二条斜线上：
1+2+3+4+5=15
C
2 6
第三条斜线上：1+3+6+10=20
C3 6
第四条斜线上：1+4+10=15
C
4 6
猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下） 上前n个数字的和，等于 第m+1条斜线上的第n个数.
的问题：如图是某城市的部分街道图， 纵横各有五条路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那么有多 少种不同的走法？
A
B
从某种意义上说, 发现问题更重要.
三.新课:杨辉三角蕴含的数字排列规律.
第0行
1
第1行
11
第2行 第3行 第4行 第5行 第6行
12
4=1+3
10=6+4 15=5+10
结论1：杨辉三角中，第m条斜(从右上 到左下)上前n个数字的和，等于第m+1 条斜线上第n个数
即 C r r C r r 1 C r r 2 C n r 1 C n r 1 ( n r )
根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角 中，第m条斜(从左上到右下)上前n个数字的和 ，等于第m+1条斜线上第n个数。
利用组合数的重要性质可得
( a b ) k 1 C k 0 1 a k 1 C k 1 1 a k b 1 C k r 1 1 a k r b r 1 C k k 1 1 b k 1
二.引入:
1. 斐波那契“兔子繁殖问题”:
中世纪意大利数学家斐波那契的传 世之作《算术之法》中提出了一个饶有 趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一 个月就能长成大兔子，再过一个月就开 始生下一对小兔子，并且以后每个月都 生一对小兔子．设所生一对兔子均为一 雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的 小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？
研究性课题：
杨辉三角
第0行
1
第1行
11
第2行 第3行 第4行 第5行
12
4=1+3
10=6+4 1
15=5+10
1
4
3
6
1 6=3+3 3 1 10=6+4
4 1 20=10+10
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
…… ……
Cn r Cn r 1 1Cn r1
… … 第n-1行
即 C r 0 C r 1 1 C r 2 2 C n n 1 r 1 C n n r 1 ( n r )
从第三个数起，任一数都等于前两个数的和; 2.这如就图是，著写名出的斜斐线波上那各契行数数列字的。和，有什么规律？
第0行
1
第1行
11
第2行
12 1
第3行
13 3 1
第4行
( a b ) k C k 0 a k C k 1 a k 1 b 1 C k r a k r b r C k k b k
则当n=k+1时，(ab)k1 (ab)k(ab)
( C k 0 a k C k 1 a k 1 b 1 C k r a k r b r C k k )a ( b )
1
1
4
3
6
1 6=3+3 3 1 10=6+4
4 1 20=10+10
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
…… ……
Cn r Cn r 1 1Cn r1
… … 第n-1行
1
C C 1
2
n1 n1
C C r 1 r n1 n1
C n2 n1
第n行 1
C
1 n
C
2 n
…
C
r n
…
2. 杨辉三角与弹子游戏
在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小 球 (黑色 ) 向容器内跌落，碰到第一层阻 挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层 阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，
如是，一直下跌，最终小 球落入底层，根据具体区 域获得奖品。试问：为什 么两边区奖品高于中间区 奖品？
3.杨辉三角与“纵横路线图” “纵横路线图”是数学中的一类有趣
C k 0 a k 1 C k 1 a k b C k r 1 a k r b b 1 C k k a k b
C k 0 a k b C k r a k r b r 1 C k k 1 a k C b k k b k 1
= C k 0 a k + 1+ (C k 1 C k 0)a k b+ + (C k r+ 1 C k r)a k rb b + 1+ + (C k k C k k － 1 )ak+ b C k k b k + 1
1＋1＋1＋ ．．．＋1＝ 1 （第1条斜线 ）
Cn
C 1＋2＋3＋
．．．＋ C
1＝
n1
2 （第2条斜线 ）
n
C 1＋3＋6＋
．．．＋
C
2＝
n1
3 （第3条斜线 ）
n
C C 1＋4＋10＋ ．．．＋ 3 ＝ 4 （第4条斜线 ）
n1
n
? C r r C r r 1 C r r 2 C n r 1C nr 1 (n>r)
Cn r Cn r 1 1Cn r1
3）杨辉三角具有对称性 Cnr Cnnr
4）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）n展开 式的二项式系数即
( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b 1 C n r a n r b r C n n b n
求证：( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b 1 C n r a n r b r C n n b n
14 6 4 1
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第8行 1 8 28 56 …7…0 56 28 8 1
四.应用: 1.斐波那契“兔子繁殖问题”
中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中 提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就 能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后 每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均 无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？
1
C C 1
2
n1 n1
C C r 1 r n1 n1
C n2 n1
第n行 1
C
1 n
C
2 n
…
C
r n
…
…… … …
C n1 n
一.复习:杨辉三角的基本性质
1）表中每个数都是组合数，第n行的第
r+1个数是
Cr n
n! r!•(nr)!
2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余 的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是
…… … …
C n1 n
1.研究斜行规律：
第一条斜线上：
1+1+1+1++1=6
C
1 6
第二条斜线上：
1+2+3+4+5=15
C
2 6
第三条斜线上：1+3+6+10=20
C3 6
第四条斜线上：1+4+10=15
C
4 6
猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下） 上前n个数字的和，等于 第m+1条斜线上的第n个数.
的问题：如图是某城市的部分街道图， 纵横各有五条路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那么有多 少种不同的走法？
A
B
从某种意义上说, 发现问题更重要.
三.新课:杨辉三角蕴含的数字排列规律.
第0行
1
第1行
11
第2行 第3行 第4行 第5行 第6行
12
4=1+3
10=6+4 15=5+10
结论1：杨辉三角中，第m条斜(从右上 到左下)上前n个数字的和，等于第m+1 条斜线上第n个数
即 C r r C r r 1 C r r 2 C n r 1 C n r 1 ( n r )
根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角 中，第m条斜(从左上到右下)上前n个数字的和 ，等于第m+1条斜线上第n个数。
利用组合数的重要性质可得
( a b ) k 1 C k 0 1 a k 1 C k 1 1 a k b 1 C k r 1 1 a k r b r 1 C k k 1 1 b k 1
二.引入:
1. 斐波那契“兔子繁殖问题”:
中世纪意大利数学家斐波那契的传 世之作《算术之法》中提出了一个饶有 趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一 个月就能长成大兔子，再过一个月就开 始生下一对小兔子，并且以后每个月都 生一对小兔子．设所生一对兔子均为一 雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的 小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？
研究性课题：
杨辉三角
第0行
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第1行
11
第2行 第3行 第4行 第5行
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4=1+3
10=6+4 1
15=5+10
1
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1 6=3+3 3 1 10=6+4
4 1 20=10+10
1 5 10 10 5 1
第6行
1 6 15 20 15 6 1
…… ……
Cn r Cn r 1 1Cn r1
… … 第n-1行
即 C r 0 C r 1 1 C r 2 2 C n n 1 r 1 C n n r 1 ( n r )
从第三个数起，任一数都等于前两个数的和; 2.这如就图是，著写名出的斜斐线波上那各契行数数列字的。和，有什么规律？
第0行
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第1行
11
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13 3 1
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