空间向量的标准正交分解与坐标表示

空间向量的标准正交分解与坐标表示

【学习目标】

理解空间向量的正交分解及坐标表示

【学习重点】

单位正交基底，空间直角坐标系的概念

【学习难点】

掌握空间向量的正交分解及坐标表示

【课前预习案】

一、复习

1.平面向量基本定理：对平面上的任意一个向量P，,a b是平面上两个向量，总是存在实数对(),x y，使得向量P可以用,a b来表示，表达式为，其中,a b叫做。若a b

⊥，则称向量P正交分解。

2.平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的向量

=+，，,i j作为基底，对平面上任意向量a，有且只有一对实数x，y，使得a xi y j

则称有序对(),x y为向量a的，即a＝。

二、课本助读：认真阅读课本第33—34页的内容。

1.空间向量的标准正交分解与坐标表示

在给定的空间直角坐标系中，i，j，k分别为正方向上的向量，对于空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数，使得a=x i＋y j＋z k，我们把a=x i＋y j＋z k叫作a的，把i，j，k叫作。

（x，y，z）叫作空间向量a的，记作a=(x，y，z)，a=(x，y，z)叫作向量a的。

2.我们把,,a i x a j y a k z ⋅=⋅=⋅=分别称为向量a 在x 轴，在y 轴，在z 轴正方向上的投影。

向量的坐标等于 。 一般地，若b 0为b 的单位向量，称 为

上的投影。

3.如下图所示，问：

（1）向量OP 在x 轴上的投影； （2）向量OP 在y 轴上的投影； （3）向量OP 在z 轴上的投影；

【课堂探究案】

探究一：向量的坐标表示

例1（P34例1）如图在直角坐标系中有长方体''''ABCD A B C D -,且

2,3,'5AB BC AA ===

(1) 写出点'C 的坐标，给出'AC 关于,,i j k 的分解式 (2) 求'AD 的坐标

探究二：向量a 在向量b 上的投影

例2（P34例2）已知单位正方体''''ABCD A B C D -，求

（1）向量'CA 在CB 上的投影， （2）向量'CA 在BC 上的投影

【课后检测案】

1.正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，AB=2，A 1C 1∩B 1D 1=O ，写出以下各点的坐标

Ａ____________ B____________ C_____________ D____________ A 1____________ B 1____________ C 1____________ D 1 ____________ O____________

x 轴上的点的坐标可写为____________ y 轴上的点的坐标可写为____________ z 轴上的点的坐标可写为____________

2.长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，AB=4，AD=2，AA 1=1, 写出以下各向量的坐标 1A B =____________ 1AB =____________ 11B C =____________ 1BC =____________

11AC =____________ 1FB =___________

与x O y 平面平行的向量坐标的特点为_______________

与y O z 平面平行的向量坐标的特点为

______________

与x O z 平面平行的向量坐标的特点为__________ 3.已知向量(1,3,2)a =-，求向量a 沿123,,e e e 的正交分解：

123(2,1,1),(1,1,1),(0,3,3)e e e =-=-=

4.如图，在空间直角坐标系中有长方体''''ABCD A B C D -，AB=1，BC=2，AA ’=3。求： （1）',','AC BD AD 的坐标；

（2）'2',''2'AC BD AC BD AD ++-的坐标。

A B

C

O

A 1

B 1

C 1

D 1

x

y

z

D

A B

C

D

A 1

B 1

C 1

D 1

F

y

x

z

A

B

C

D

A 1

B 1

C 1

D 1

y

x

z