平面解析几何测试题(卷)带答案解析

1．(本小题满分12分)已知：圆C ：x 2＋y 2

－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.

(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；

(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．

2．设椭圆ax 2

＋by 2

＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为2

2

，求椭圆的方程．

3．(本小题满分12分)(2010·模拟)已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线l ：y ＝－2相切．

(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；

(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过F (0,2)，分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明：AQ ⊥BQ

.

4．已知圆(x －2)2＋(y －1)2＝203，椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2

(a >b >0)的离心率为22，若圆与椭圆相交于A 、B ，

且线段AB 是圆的直径，求椭圆的方程．

5．已知m 是非零实数，抛物线)0(2:2

>=p px y C 的焦点F 在直线2

:02

m l x my --=上. （I ）若m=2，求抛物线C 的方程

（II ）设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，F AA 1∆，F BB 1∆的重心分别为G,H.

求证：对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外。

6． (本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且

|AB |＝8，动点P 满足AP u u u r ＝35

PB u u u r

，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另

外一点Q .

(1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值．

7．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟只进水、不出水，在随后的30分钟既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y 与x 的函数关系．

8(理)已知矩形ABCD 的两条对角线交于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，AB 边所在直线的方程为3x －4y －4＝0.点N ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1，13在

AD 所在直线上．

(1)求AD 所在直线的方程及矩形ABCD 的外接圆C1的方程；

(2)已知点E ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，0，点F 是圆C1上的动点，线段EF 的垂直平分线交F M 于点P ，求动点P 的轨迹方程．

9．已知直线l1过点A(－1,0)，且斜率为k ，直线l2过点B(1,0)，且斜率为－2

k ，其中k≠0，又直线l1

与l2交于点M.

(1)求动点M 的轨迹方程；

(2)若过点N ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．

10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A(33，2)的入射光线l1被直线l ：y ＝

33

x 反射，反射光线l2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l1、l2都相切，求l2所在直线的方程和圆C 的方程．

11设)1,0,2(),1,1,3(),0,0,1(C B A 为o ——xyz 的点。（1）求矢量与的夹角，（2）求射影AB

？

12、求以直角坐标系中矢量{}{}{}2,2,1,3,4,2,1,0,3--=-=-=c b a 为三邻边作成的平行六面体的体积。

13、求球面z z y x 22

2

2

=++与旋转抛物面)(232

2

y x z +=的交线在xoy 坐标面上的射影。

14、求两平行平面1π：035623=--+z y x 和2π：056623=--+z y x 间的距离；并将平面

035623=--+z y x 化为法式方程。

15、一直线通过点且与),0,1,1(z 轴相交，其夹角为4

π

，求此直线的方程。

16、求准线为⎪⎩

⎪⎨⎧==+-

329

42

22z z y x 且母线平行于z 轴的柱面方程。

17、求过单叶双曲面116

492

22=-+z y x 上点)8,2,6(的直母线方程。

18、（本题10分）设矢量b a B b a A +=+=λ,2，其中2,1==b a 且b a ⊥，试求（1）λ为何值时B A ⊥；（2）λ为何值时，以A 和B 为邻边构成的平行四边形面积为6。

19、（本题12分）设一平面垂直于平面0=z ，并通过从点)1,1,1(-到直线⎩⎨⎧==+-0

1x z y 的垂线，求此平

面的方程。

20（本题6分）试证明两直线1l ：01+=-=z y x ，2l ：0

1

11+=-=-z y x 为异面直线。

1解：将圆C 的方程x 2

＋y 2

－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2

＋(y －4)2

＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.

(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |

a 2＋1＝2.

解得a ＝－3

4

.

(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎪⎨⎪

⎧

CD ＝

|4＋2a |

a 2＋1，

CD 2

＋DA 2

＝AC 2＝22

，

DA ＝12AB ＝ 2.

解得a ＝－7，或a ＝－1.

故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.

2解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么A 、B 的坐标是方程组⎩

⎪⎨

⎪⎧

ax 2

＋by 2

＝1，x ＋y －1＝0的解．

由ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 2

2＝1，两式相减，得

a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋

b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，

因为y 1－y 2

x 1－x 2

＝－1， 所以

y 1＋y 2x 1＋x 2＝a

b

， 即

2y C 2x C ＝a b ，y C x C ＝a b ＝2

2

，所以b ＝2a .① 再由方程组消去y 得(a ＋b )x 2

－2bx ＋b －1＝0， 由|AB |＝(x 1－x 2)2

＋(y 1－y 2)2

＝2(x 1－x 2)2

＝2[(x 1＋x 2)2

－4x 1x 2]＝22， 得(x 1＋x 2)2

－4x 1x 2＝4，即(

2b a ＋b )2－4·b －1a ＋b

＝4.② 由①②解得a ＝13，b ＝2

3，

故所求的椭圆的方程为x 2

3＋2y

2

3

＝1.

3解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点，L ：y ＝－2为准线的抛物线． 因为抛物线焦点到准线距离等于4， 所以圆心的轨迹是x 2

＝8y .