离散数学课件 第一章 命题逻辑_1

R：我将去学校。
符号化下述语句：
1. 如果明天上午七点不是雨夹雪，则我将去学校
2.((P∧Q)∨(┐P∧Q)∨(P∧┐Q) 如果明天上午七点不下雨并且不下雪，则我将去 (P∨Q)→┐R (P∧Q∧R)∨(┐P∧Q∧R)∨ 学校 ∨(┐P∧┐Q))∧R 4. 明天上午七点我将雨雪无阻一定去学校
┐(P∧Q)→R (┐P∧┐Q)→R
2) Ｅ2：(P→Q) (┐P∨Q) 3) Ｅ3：P∨P P Ｅ4：P∧P P 4) Ｅ5：P∨Q Q∨P (交换律) (结合律) (蕴涵) (幂等律)
Ｅ6：P∧Q Q∧P
5) Ｅ7：P∨(Q∨R) (P∨Q)∨R
Ｅ8: P∧(Q∧R) (P∧Q)∧R
基本等价公式（续）
6) Ｅ9：P∨(P∧Q) P (吸收律)
Ｅ10：P∧(P∨Q) P
7) Ｅ11：P∨(Q∧R) (P∨Q)∧(P∨R) (分配律）
Ｅ12：P∧(Q∨R) (P∧Q)∨(P∧R)
8) Ｅ13：P∨F P Ｅ14：P∧T P 9) Ｅ15：P∨T T Ｅ16：P∧F F (零律) (同一律)
基本等价公式（续）
10) Ｅ17：P∨┐P T (否定律)
第一篇 数理逻辑
第一篇 数理逻辑
什么是数理逻辑 ？ 数理逻辑是用数学的方法研究思维规律的一门学 科。由于它使用了一套符号，简洁地表达出各种推 理的逻辑关系，因此数理逻辑一般又称为符号逻辑。 为什么要研究数理逻辑？ 程序＝算法＋数据 算法＝逻辑＋控制
第一篇
数理逻辑
主要 研究内容
命题逻辑
命题的基本概念 命题联结词 命题公式 命题的范式
“” 与“”的区别
双条件词“”是一种逻辑联结词，公式
GH是命题公式，该公式在某些指派下真值为1，
在某些指派下真值为0；而逻辑等价“”则是描
述了两个公式G与H之间的一种逻辑等价关系 ， GH表示GH在所有指派下真值都为1 ，即“命 题公式G等价于命题公式H” 。
公式的等价
例1： 证明：PQ (P→Q)(Q→P) 证：列出真值表。 P 0 Q 0 PQ 1 Q→P 1 P→Q 1 (P→Q)(Q→P) 1
E24：(P →Q) ∧(P→Q) P
公式的等价
除了可用列出真值表的方法来证明命题公式的 等价外，还可对公式进行一些置换来证明命题公式 的等价。 定义1-4.3 如果X是wff A的一部分，且X也是wff， 则称X是A的子公式。 定理1-4.1 若X是wff A的子wff，XY，则若将A中 的X用Y来置换，所得公式B与A等价，即AB。 证：因为对变元的任一指派,X与Y真值相同，所以以 Y取代X后，公式B与公式A对变元的任一指派真值 也相同,所以AB。
1-2 命题联结词
1、否定联结词
设P是任一命题，复合命题“非P”(或“P的否定”)称 为P的否定式(Negation)，记作P，“”为否定联 结词。 若 P：今天是星期四。 则 P：今天不是星期四。
2、合取联结词
设P、Q是任两个命题，复合命题“P并且Q”(或 “P和Q”)称为P与Q的合取式(Conjunction)，记作 P∧Q，“∧”为合取联结词。 P∧Q为真当且仅当P，Q同为真。 若 则 P：3是素数； Q：3是奇数。
析取联结词“”对应的是相容（可兼）的或。
4、条件联结词
设P、Q是任两个命题，复合命题“如果P，则Q” 称为条件命题(Implication)，记作P→Q，“→” 称为条件联结词，P称为前件，Q称为后件。 P→Q为假当且仅当P为真且Q为假。 若P：周末天气晴朗；Q：我们到郊外旅游。 则P→Q：如果周末天气晴朗，则我们到郊外旅游。
P∧Q：3既是素数又是奇数。
合取联结词“∧”对应了自然语言的 “既… 又…”、“不仅…而且…”、“虽然…但是…”、 “并且”、“和”、“与”等。
3、析取联结词
设P、Q是任两个命题，复合命题“P或者Q”称 为P与Q的析取式(Disjunction)，记作P∨Q，“∨” 为析取联结词。 P∨Q为真当且仅当P，Q中至少一个为真。 若 则 P：张谦是大学生； Q：张谦是运动员。 P∨Q：张谦是大学生或是运动员。
显然(1), (4)两种情况父亲都没失信。 情况(2)正好对应定义中“当前件P为真, 后件Q为假 时, (3)的情况与这位父亲原来的话没有抵触, 当然也不算失信。 命题P Q取值为假”的规定。

只有情况(2), 答应的事却没有做到, 应该算失信了。
5、双条件联结词
设P、Q是任意两个命题，复合命题“P当且仅当Q” 称为P与Q的双条件命题，记作PQ ，“”称为 当且仅当联结词。 PQ为真当且仅当P、Q同为真假。 若 则 P：2+2=4；Q：雪是白的。 PQ：2+2=4当且仅当雪是白的。
1-4 真值表与等价公式
定义 设P1、P2、…、Pn 是出现在公式G中的所有命 题变元，指定P1、P2、…、Pn 一组真值，则这组真 值称为G的一个指派（赋值、解释），记为I。 一般来说，若有ｎ个命题变元，则应有2n个不 同的指派。 定义1-4.1 在wff中，对于分量指派真值的各种可 能组合，就确定了这个命题公式的各种真值情况， 把它汇列成表，称为真值表。
(P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧R) 3. 如果明天上午七点下雨或下雪，则我将不去学校
命题联结词的应用
联结词“∧”、“∨”、“┐”与构成计算机 的与门、或门和非门电路是相对应的，从而命题逻 辑是计算机硬件电路的表示、分析和设计的重要工 具。
命题联结词的应用
例 1 用复合命题表示如下图所示的开关电路：
(((P→Q)∧(R→Q))(P→R))。
等都是命题公式。 符号串：(P→Q)∧┐Q)； (P→Q；
(┐P∨Q∨(R；
P∨Q∨。
等都不是合法的命题公式。 注意: 命题公式是没有真假值的, 仅当在一个公式中命 题变元用确定的命题代入时, 才得到一个命题。 这个命题的真值, 取决于代换变元的那些命题的真值。
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
由真值表可知PQ与(P→Q)(Q→P)真值相同， 命题得证。
不难验证：
P
┐┐P
P
P P
P ┐ P Q ┐Q
( P ┐ P ) Q Q
基本等价公式
设P，Q，R是任何的公式，则：
1) Ｅ1: (PQ) (P→Q)∧(Q→P) (等价)
条件式的真假值首先由公元前三世纪希腊斯多葛学派 以下表所示的真值表给出。
实践证明, 建筑在这个简便的标准之上的数理逻辑, 是复杂精细的数学推理的合适基础。
条件式的真值表
P 0 Q 0 P → Q 1
0
1 1
Hale Waihona Puke Baidu
1
0 1
1
0 1
思考：
有一位父亲对儿子说: “如果我去书店, 就一定给你买电 脑报”。试问: 在什么情况下, 这位父亲算失信？ 解 这位父亲的可能情况有四种： (1)父亲去了书店, 给儿子买了电脑报。 (2)父亲去了书店, 却没有给儿子买电脑报。 (3)父亲没去书店, 却给儿子买了电脑报。 (4)父亲没去书店, 也没给儿子买电脑报。
命题联结词使用约定
为了不使句子产生混淆，对命题联结词之 优先级作如下约定：
1. 否定→合取→析取→条件→当且仅当 2. 同级的联结词，按其出现的先后次序(从左 到右) 3. 若运算要求与优先次序不一致时，可使用 括号；同级符号相邻时，也可使用括号。 括号中的运算为最优先级。
例
设命题 P ： 明 天 上 午 七 点 下 雨 ； Q：明天上午七点下雪；
命题举例
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 太阳是圆的； 成都是一个旅游城市； 1＋1＝10； 我喜欢踢足球； 3能被2整除； 地球外的星球上也有人； 今天是晴天； 你要出去吗？ 今天天气真好啊！
T T T/F T/F F T/F T 非命题 非命题
2、命题的分类
一般来说，命题可分两种类型： 原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命题
P Q
P Q
P
设：Ａ：开关Ｐ闭合；Ｂ：开关Ｑ闭合。
A∧B
A∨B
A
1-3 命题公式与翻译
命题公式是由命题常元、命题变元, 命题联结词和圆括号 等所组成的字符串。 反之, 是否任何的符号串都是命题公式呢？ 例如, ∨B，A?
1-3 命题公式与翻译
定义1-3.1 命题合式公式（wff）
1. 原子命题本身是一个命题公式；
的命题。
复合命题：可以分解为更为简单命题的命题。而且
这些简单命题之间是通过如“或者”、“并且”、
“不”、“如果...则...”、“当且仅当”等这样 的关联词和标点符号复合而构成一个复合命题。
命题举例
1. 今天天气很冷。
2. 今天天气很冷并且刮风。
3. 今天天气很冷并且刮风，但室内暖和。 通常用大写的带或不带下标的英文字母 Ａ、Ｂ、Ｃ、...P、Q、R、... Ai、Bi 、 Ci、...Pi、Qi、Ri、...等表示命题
推理与证明技术
谓词逻辑
谓词的基本概念 命题逻辑推理理论 谓词逻辑推理理论 数学归纳法 按定义证明法
谓词公式
公式的标准型
第一章 命题逻辑
第一章 命题逻辑
命题逻辑也称命题演算，或语句逻辑。 它研究以命题为基本单位构成的前提和结论 之间的可推导关系。 但究竟什么是命题？ 如何表示命题？ 如何构造出复杂的命题？ 如何由一组前提推导一些结论？ 在本章将讨论这些问题。
11) Ｅ18：P∧┐P F
12) Ｅ19：┐(┐P) P Ｅ21：┐(P∧Q) ┐P∨┐Q 14) 15) 16) E22：P→Q Q→P E23：P Q P Q
(否定律)
(对合律)
13) Ｅ20：┐(P∨Q) ┐P∧┐Q (De MoRGan定律)
(假言易位) (等价否定等式) (归谬论)
五个联结词的真值表
p
0 0
q
0 1
p 1 1
pq
0 0
pq
0 1
p q
1 1
pq
1 0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
Ｐ：广东是人口最多的省份。 Ｐ：明天不下雪 ┐Ｐ Ｑ：明天不下雨 符号化下列命题 R：我去学校 P：他生病 （1）广东不是人口最多的省份； PQR Q：他出差 （2）当且仅当明天不下雪且不下雨，我才去学校； R：我同意他不参加学习 ┐(PQ)→┐R （3）若不是他生病或出差，我是不会同意他不参 加学习。
等价关系的证明举例
利用基本的等价关系，证明： （1）Ｐ→(Ｑ→Ｒ) = (Ｐ∧Ｑ)→Ｒ （2）(P∧(Ｑ∧R))∨((Ｑ∧R)∨(P∧R)) = R （3）Q→（P（PQ））= Q→P
等价关系的证明举例（续）
（1）证：P→(Q→R)= P∨(Q→R) = P∨(Q∨R) =(P∨Q)∨R = (P∧Q)∨R =(P∧Q)→R
2. 如A是命题公式，则(┐A)也是命题公式；
3. 如A，B是命题公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、 (AB) 也是命题公式；
命题公式是仅由有限步使用规则1-3后产生的结果。 该公式常用符号G、H、…等表示。
例
符号串：((P∧(Q∨R))→(Q∧(┐S∨R))))； (┐P∧Q)； (P→(┐(P∧Q)))；
第一章内容提要
1 命题及其表示法
2
3
命题联结词
命题公式与翻译
4
5 6 7 8
真值表与等价公式
重言式与蕴含式 其他联结词 对偶与范式 推理理论
1-1 命题及其表示法
1、命题
具有确切真值的陈述句称为命题,该命题可以 取一个“值”，称为真值。 真值只有“真”和“假”两种，分别用 “Ｔ”(或“１”)和“Ｆ”(或“０”)表示。
等价公式
观察表中公式┐(PQ)和公式(┐P┐Q)，它们的 真值完全相同（这两个公式对任何解释都必同为真 假），称┐(PQ)和(┐P┐Q)是相等（等价、等 值）的。 定义1-4.2 设G、H是公式，如果在任意解释Ｉ下， G与H的真值相同，则称公式G、H是等价的，记作 G = H （或 G H）。
真值表
例1：给出┐(PQ)(┐P┐Q)的真值表：
P 0 0 Q 0 1 PQ ┐(PQ) ┐P┐Q ┐(PQ) (┐P┐Q) 0 0 1 1 1 1 1 1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
构造真值表的约定
命题变元按字典序排列
对公式的每个解释，以二进制从大到小（或从小 到大）顺序写出 若公式复杂，可先列出各子公式的真值（括号应 从里层向外层展看），最后列出所给公式的真值