数字信号最佳接收

第3章 数字信号最佳接收原理

§ 3.1 引言

1．问题的提出

数字通信系统

e

P 噪声与干扰

最佳接收准则

e P 使最小

M 元信号

问题：在给定信道条件下（白噪声、非白噪声、有ISI 信道、多径衰落信道），如何设计最佳接收机，以获得最佳性能（P e 最小）。

关键：建立最佳接收准则，由此导出最佳接收机的结构，分析系统性能。

2．信号空间的描述

发送信号（M 元） {}1,2,,,()i i M s t = 或{}i s ，信道噪声n ，接收信号 y 。

如何由y 判别发送信号i s ，使错误概率最小。

3．如何获得最佳接收

1）建立一个最佳接收准则——如“最小错误概率准则”（最常用、最合理） 2）充分利用信号结构的先验知识和信号与噪声的先验统计特性。 如()p s ，()p n ，(|)p s y

4．本章讨论的内容

1）最佳接收准则。

2）讨论在不同噪声和干扰的信道条件下的最佳接收机结构（数学模型）。 3）分析最佳接收机的性能（重点是白噪声信道条件下）。

§ 3.2 最佳接收准则

引言：最直接最合理的准则——最小错误概率准则。

可以证明：在一定条件下，它又等价于最大后验概率准则和最大似然函数准则。

1. 最小错误概率准则

在M 元数字通信系统中，

{}(1,2,,)()

i i M i M P x x = 元 统计独立e P

→

该M 元系统的错误概率为：

1

11

()(|)()M M M

e e i j i i i i j j i

P P P d x P x ===≠==∑∑∑

使e P 最小的准则，就是最小错误概率准则。

可表示为： 11min (|)()M M e j i i i j j i P P d x P x ==≠⎧⎫

⎪⎪

=⎨⎬⎪⎪⎩⎭

∑∑

2． 最大后验概率准则（MAP 准则） Maximum Posterior Probability

可以证明：最小错误概率准则等价于MAP 准则： 即 (|)max i P x =y 判i x 【证明】：

1

11

()(|)()M M M

e e i

j

i i i i j j i

P P P d

x P x ===≠=

=∑∑∑

11

()(|)j

M

M

i i Y j i i j

P x p x dy ==≠=∑∑⎰y (|)(|)j

j j i i Y j d P d x p x dy

Y =⎰y y 为信号空间中接收信号向量

为的判决域

1

1()(|)j

M

M

i

i

Y j i i j

P x p x dy ==≠=∑∑⎰

y

上式中, 被积函数≥0，因此要使e P 最小，也就要求被积函数最小。

即

1()(|)min M

i

i

i i j

P x p x =≠=∑y

由概率乘法定理（见注），上式可化为

1

(|)()1(|)()min M

i

j

i i j

P x p P x

p =≠⎡⎤=-=⎣⎦∑y y y y

或，

[]1

(|)()1(|)()min M

j

i j j i

P x

p P x p =≠=-=∑y y y y

因此，要使上式最小，应使后验概率(|)i P x y 最大。 所以，最小错误概率等价于最大后验概率。 注：由概率乘法定理：()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==

令 A ⇒y ， i B x ⇒

则有：()(|)()(|)i i i P P x P x P x =y y y 两边对y 微分：

(|)()

(|)()

i i i dP x dP P x P x d =y y y y

所以，

()(|)()(|)i i i p P x P x p x =y y y

3．最大似然函数准则（ML 准则） Maximum Likelihood

在发送符号等概条件下：1

()i P x P M

==，(1,2,,)i M = 最大后验概率：

()(|)(|)(|)max ()()

i i i i P x P

P x p x p x p p =

==y y y y y 时，判i x 成立，1,2,,i M = 。

在给定接收信号y 及发送符号等概条件下，()

P

p y 与i x 无关，在比较M 个后验概率时可视为常量，不必考虑。

故上式等价于：

(|)max i p x =y ，判i x 成立，(1,2,,)i M = ——即最大似然函数准则。

结论：在发送信息符号等概条件下，MAP 准则与ML 准则等价。亦即三个准则也是等价的。

ML 接收机的操作：

1） 计算： M 个似然函数

2） 比较： 选择最大的似然函数

3） 判决： 根据最大似然函数判决发送符号。

当发送符号不等概时，最大后验概率等价于：

max )()(=i i x p x P y 判i x 成立，(1,2,,)i M =

即，似然函数概率加权最大。