离散数学课件 第五章 代数结构_1

特殊元素：逆元
定义5-2.9 设<A, >是二元代数系统，e是幺元， a∈A，若存在一个元素b∈A， （1）使得： （2）使得： （3）使得： b a = e， a b = e， a b = b a = e，
则称b是a的一个左逆元，记为al1；
则称b是a的一个右逆元，记为ar1。 则称a可逆，并称b是a的一个逆元，记为a1；
5-2 二元运算的性质
定义 可以用 o 、*、·、⊕、 或一元运算,称为算符。 等符号表示二元
定义5-2.1 设*是定义在集合A上的二元运算，如果 对于任意的x，y∈A，都有x*y∈A，则称二元运算* 在A上是封闭的。
二元运算的主要算律
定义 设o为S上的二元运算, (1)如果对于任意的x,y∈S,有xoy=yox,则称运 算o在S上满足交换律。
幺元的性质
定理5-2.1 设*是定义在集合A上的一个二元运算， 且在A中有关于运算的左幺元el和右幺元er，则el= er= e，且A中的幺元是唯一的。 证明：（先证左幺元el=右幺元er=e） el= el er = er= e （再证幺元e是唯一的） 设还有一个幺元e’ A,则
e’ = e’ e = e
5-4 群与子群
定义5-4.1 称代数结构<G,>为群(groups),如果 （1） <G，>中运算是封闭的； （2） <G，>中运算是可结合的； （3） <G，>中有幺元e； （4） <G，>中每一元素x都有逆元x-1。
群举例
例题1 R={0°,60°,120°,180°,240°,300°}, *是R上的二元运算，a*b表示先旋转a再旋转b的角 度，并规定旋转360°等于原来的状态。运算表如 表5-4.1所示。验证代数结构<R,*>为群。 解题思路： 需证明<R,*>：（1）运算*封闭；（2）运算*是可 结合的；（3）有幺元0°;（4）每一元素x都有逆 元x-1。
（2）〈（A）,∪,∩〉
对运算∪，是幺元， A是零元，
对运算∩，A是幺元 ，是零元。
（3）〈N，+〉 有幺元0，无零元。
幺元、零元性质
定理5-2.3 如果代数结构<A，>有关于 运算 的零元 和幺元e ，且集合A中元素个数大于2，则 ≠e 。 证明：用反证法： 设幺元e =零元 ，则对于任意xA ，必有 x= e x = x= = e 于是，推出A中所有元素都是相同的，矛盾。
幺元、零元举例
例：代数A=〈{a，b，cLeabharlann Baidu， 。 〉用下表定义：
。 a a a b b c b
b
c
a
a
b
b
c
a
则 b是左么元，无右么元； a是右零元，b是右零元；无左零元; 运算：既不满足结合律，也不满足交换律。
幺元、零元举例（续）
例:求出下列集合的幺元，零元。
（1）〈I，×〉， I为整数集
则幺元为1，零元为0
练习：指出下面运算的性质，并求出幺元,零元， 可逆元素的逆元。 1、在Q集合上， x,y Q，x*y=x+y-xy
2、在I+集合上, x,y I+ ，x*y=lcm(x,y)
1、满足交换律、结合律，不满足幂等律，幺元为0， 零元为1，x的逆元x-1=x/(x-1) (x≠1)
2、满足交换律、结合律、幂等律，幺元为1，无零 元，只有1有逆元，其逆元为1。
证明思路：1、证明运算的封闭性； Zm ＝｛[0], [1], [2], …, [m－1]｝, 任意[x],[y]∈Zm, 显然[x] +m[y]∈Zm, [x] × m[y]∈Zm, 所以+m、×m运算封闭性成立。 2、证明运算满足结合律； 任意[x],[y],[z]∈ Zm, 有 ([x]＋m[y])＋m[z] ＝([x]＋[y]+[z])(mod m)＝[x]＋m([y]＋m[z]) 所以+m满足结合律，同理可证×m满足结合律。 3、显然，[0]、[1]分别为+m和×m的幺元。
综上所述，< Zm,+m > 和 <Zm, ×m>都是独异 点。由定理5-3.3可知，这两个运算的运算表中任 两行或两列都不相等。
独异点的性质
定理5-3.4 设<S,,e>是一个独异点,如果对于任 意a,bS ，且a,b均有逆元，则 a) (a-1)-1=a b) ab 有逆元，且(ab)-1 =b-1 a-1 。 证明: a)因a-1和a为互为逆元，直接得到结论。 b)必须证明两种情况： (ab)(b-1a-1) = e 和 (b-1a-1)(ab) = e 利用结合律容易得出。
典型的群
1、<Z,+> 2、<R+, ×> 3、<Z6，+6>,其中Z6 ={0，1，2，3，4，5}，单位 元是0；1、5互为逆元，2、4互为逆元，3的逆元为 3，0的逆元为0。 注：<Z+,+>不是群，其不存在幺元，且每个元素也 不存在逆元。 而<N,+>存在幺元，除0以外，均不存在逆元， 故其只是半群。
含幺半群（独异点）
定义5-3.3 设代数结构<S,>为半群，若<S,>含 有关于 运算的幺元,则称它为独异点，或含幺半 群，有时也记为<S, , e>。
独异点的性质——运算表中任两行两列不相同
定理5-3.3 设<S,,e>是一个独异点,则在关于运 算的运算表中任何两行或两列都是不相同的。 例:设I是整数集合，m是任意正整数， Zm是由模m 的同余类组成的同余类集，在Zm上定义两个二元 运算+m和×m分别如下： 对于任意的[i]，[j]Zm，有 [i] +m[j]=[(i+j)(mod m)] [i]×m[j]=[(i×j)(mod m)] 试证明在这两个二元运算的运算表中任何两行 或两列都是不相同的。
(2)如果对于任意的x,y,z∈S 有
(xoy)oz=xo(yoz),则称运算o在S上满足结合律。 (3)如果对于任意的x∈S有xox=x,则称o运算在 S上满足幂等律（等幂律）。
二元运算的主要算律（续）
定义 设o和*为S上两个不同的二元运算, (1)如果对于任意的x,y,z∈S有 (x*y)oz=(xoz)*(yoz) 和 zo(x*y)=(zox)*(zoy), 则 称o运算对*运算满足分配律。 (2)如果o和*都可交换,并且对于任意的x,y∈S 有xo(x*y)=x和x*(xoy)=x,则称o和*运算满足吸收 律。
5-3 半群
定义5-3.1 如果集合S上的二元运算是封闭的， 则称代数系统<S，>为广群。 定义5-3.2 如果集合S上的二元运算 是封闭的 并且满足结合律，则称代数结构<S，>为半群。 例：P186例题1，例题2
子半群
定理5-3.1 设<S,>为一半群, BS且在B上封 闭，那么<B, >也是一个半群，称为<S,>的子半 群。 例：乘法运算在某些集合上构成<R, ×>的子半群。
陪集与拉格朗日定理 集合的表示方法
同态与同构
5-1 代数系统的引入
定义5-1.1 如果 为An 到B的一个函数，则称 为集合A上的n元运算（ operater ）。如果 BA， 则称 该n元运算在A上封闭。
代数系统的定义
定义5-1.2 一个非空集合A连同若干个定义在该集 合上的运算 f1,f2,…,fk 所组成的系统称为一个代 数系统（代数结构），记为<A, f1,f2,…,fk >。 代数结构由以下三个部分组成： 非空集合S，称为代数结构的载体。 载体S上的若干运算。 一组刻划载体上各运算所满足性质的公理。 代数系统常用一个多元序组<S，，，… >来表 示。
逆元的性质
注： 一般地，一个元素的左逆元不一定等于它的 右逆元。一个元素左、右逆元不一定同时存在。甚 至一个元素的左（右）逆元不一定是唯一的。 定理 设*为S上可结合的二元运算,e为该运算的 单位元,对于x∈S如果存在左逆元yl和右逆元yr,则 有yl = yr= y，且y是x的唯一的逆元。
证明： 因为 yl*x = e ， x*yr = e， 故
子独异点
定义5-3.3 设代数结构<S,>为半群，若BS且 在B上封闭， B含有<S,>关于 运算的幺元,那么 <B, >称为子独异点，或子幺半群。
独异点举例
设Σ是一个非空有限集合，称为字母表，由 Σ中有限个字母组成的有序集合（即字符串）称 为Σ上的一个字，串中的字母个数m称为字长， m=0时，称为空字，即为单位元，记为e。Σ∗表示 Σ上的字的集合，Σ∗上的连接运算· 定义为α， β∈Σ∗，α· β=αβ，则<Σ∗，· >是一个代数系 统，而且是一个独异点, 是在计算机科学中自动 机理论及形式语言中最基本的结构。Σ∗的任一子 集就称为语言。
特殊元素1：幺元（单位元）
定义5-2.7 设<A, >是二元代数系统， （1）若存在el∈A，使得对任意a∈A，都有 el a = a， 则称el是A中关于运算“”的一个左幺元（左单位 元） （2）若存在er∈A，使得对任意a∈A，都有 a er = a， 称er是A中关于运算“”的一个右幺元（右单位元） （3）若存在e∈A，对任意a∈A，都有 a e = e a = a， 则称e是A中关于运算“”的一个幺元（单位元）
代数系统举例
(1) R上的“+”、“×”运算，构成一个代数系统 〈R，+，×〉； (2) ρ(S)上的“∩”、“∪”、“―”运算，构成 代数系统〈ρ(S),∩,∪,―〉，称集合代数； (3) 含有n个命题变元的命题集合A与A上的“∧”、
“∨”、“┐”运算，构成代数系统〈A，∧，∨，
┐〉，称之为命题代数。
yl = yl*e = yl*(x*yr) = (yl*x)*yr = e*yr = yr
令yl = yr = y,则y是x的逆元。设y＇∈S也是x的逆
元,则
y'= y' *e = y' *(x*y) = (y'*x)*y = e*y = y
所以y是x唯一的逆元。
通过运算表观察二元运算的性质
1）封闭性：表中的每个元素都属于A。 2）可交换性：运算表关于主对角线是对称的。 3）等幂性：运算表的主对角线上的每一元素与它 所在行（列）的表头元素相同。 4）A中关于运算具有零元：该元素所对应的行和 列中的元素都与该元素相同。 5）A中关于运算具有幺元：该元素所对应的行和 列依次与运算表的首行和首列相一致。 6）A中关于运算具有幺元，a和b互逆：位于a行b 列的元素以及b行a列的元素都是幺元。
例：P182 例题9，10，11，12
例：设X={e,a,b,c,d}，*是X上的二元运算，*的 运算表如下。 从表中可知，<X，*> * e a b c d 是代数系统，e是关于* e e a b c d 的幺元。X中无零元。 a a a a e e 表中 b*c=c*b=e； b b a a e e b*d=d*b=e，故c和d均 c c e e c c 为b的逆元，即b的逆元 d d e e c c 不唯一。原因在于运算 *不满足结合律。 从本例还可以看到a的逆元也是c, d。 运算*满足可交换性，但不满足等幂性。
第五章 代数结构
由于数学和其他科学的发展，人们需要对若干 不是数的事物，用类似普通计算的方法进行相似的 计算。如矩阵、向量等。 研究代数系统的学科称为“近世代数”或“抽
象代数”。
本章主要内容
1 2 3 4 1 5 2 6
代数系统与性质 集合的概念 集合的表示方法 半群 群与子群 阿贝尔群与循环群 集合的概念
特殊元素2：零元
定义5-2.8 设<A, >是一个二元代数系统， （1）若存在l∈A，使得对任意a∈A，都有 l a = l ， 则称l是A中关于运算“”的一个左零元； （2）若存在r∈A，使得对任意a∈A，都有 a r = r， 则称r是A中关于运算“”的一个右零元。 （3）若存在∈A，使得对任意a∈A，都有 a = a =， 则称θ 是A中关于运算“”的一个零元；
零元的性质
定理5-2.2 设*是定义在集合A上的一个二元运算， 且在A中有关于运算的左零元l和右零元r，则l = r= ，且A中的零元是唯一的。 证明：（先证左零元l=右零元r= ） l = l r = r = （再证零元是唯一的） 设还有一个零元’ A,则 ’ = ’ =