初二下期末几何压轴题及解析汇报

初二下期末几何及解析

1、以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G．

（1）当四边形ABCD为正方形时（如图1），E B和FD的数量关系是_____________；

（2）当四边形ABCD为矩形时（如图2），EB和FD具有怎样的数量关系?请加以证明；

（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化?如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数．

难度一般：证全等即可（第三问，图1中就能看出是45°。）

解（1）EB=FD 。（2）EB=FD。

证：∵△AFB为等边三角形,∴AF=AB，∠FAB=60°

∵△ADE为等边三角形，∴AD=AE，∠EAD=60°,∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD

即∠FAD=∠BAE,∴△FAD≌△BAE,∴EB=FD

（3）解：∵△ADE为等边三角形，∴∠AED=∠EDA=60°

∵△FAD≌△BAE，∴∠AEB=∠ADF

设∠AEB为x°，则∠ADF也为x°

于是有∠BED为（60-x）°，∠EDF为（60+x）°

∴∠EGD=180°-∠BED-∠EDF

=180°-（60-x）°-（60+x）°=60°

2、已知：如图，在□ABCD中，点E是BC的中点，

连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．

（1）求证：△ABE≌△FCE；

（2）若AF=AD，求证：四边形ABFC是矩形．

简单题

证明：（1）如图1．

在△ABE和△FCE中，∠1=∠2，∠3=∠4，BE=CE，∴△ABE≌△FCE．

（2）∵△ABE≌△FCE，∴AB=FC．

∵AB∥FC，∴四边形ABFC是平行四边形．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC．

∵AF=AD，∴AF=BC．∴四边形ABFC是矩形．

F

A

B C

D

E

图1

4

3

2

1

E

D

C

B

A

F

3、已知：△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠B =90°，AB =BC =1． （1）要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在△ABC 的边上．小林设计出了一种剪法，如图1所示．请你再设计出一种不同于图1的剪法，并在图2中画出来．

（2）若按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪，记图1为第一次裁剪，得到1个正方形，将它的面积记为1S

，则1S =___________；余下的2个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪（如图3）， 得到2个新的正方形，将此次所得2个正方形的面积的和．记为2S ，则2S =___________；在余下的4个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪（如图4），得到4个新的正方形，将此次所得

4个正方形的面积的和．记为3S ；按照同样的方法继续操作下去……，第n 次裁剪得到_________个新的正方形，它们的面积的和．n S =______________．

（题外题：把你剪出的正方形的面积与图1中的正方形面积进行比较。） 本题相当于中考12题的简单题 解：（1）如图2； -------------1分

（2）

14，18，1

2n -，112

n +． ----------6分

4、已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的边长为4，它的顶点A 在x 轴的正半轴上运动，顶点D 在y 轴的正半轴上运动（点A ，D 都不与原点重合），顶点B ，C 都在第一象限，且对角线AC ，BD 相交于点P ，连接OP ．

（1）当OA =OD 时，点D 的坐标为______________， ∠POA =__________°；

（2）当OA

（3）设点P 到y 轴的距离为d ，则在点A ，D 运动的 过程中，d 的取值范围是________________．

（第二问：如果点P 到OP 证：OP 平分∠DOA ；）

图1

E

F

A B

C

D 图2

A

B

C

图3

图4

B

图2

C

B

A

解：（1）

(0,，45；

证明：（2）过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ．（如图3） ∵四边形ABCD 是正方形， ∴PD =PA ，∠DPA =90°． ∵PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，

∴∠PMO =∠PNO =∠PND =90°．

∵∠NOM =90°，∴四边形NOMP 中，∠NPM =90°．∴∠DPA =∠NPM ．

∵∠1=∠DPA －∠NPA ，∠2=∠NPM －∠NPA ，∴∠1=∠2． 在△DPN 和△APM 中， ∠PND =∠PMA ，∠1=∠2，PD =PA ， ∴△DPN ≌△APM ． ∴PN =PM ． ∴OP 平分∠DOA ． （3）2d <≤

． -

5、已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的 顶点A ，C 的坐标分别为（4,0），（0,3）．将△OCA 沿直线翻折，得到△DCA ，且DA 交CB 于点E ．

（1）求证：EC =EA ； （2）求点E 的坐标； （3）连接DB ，请直接写出．．．．

四边形DCAB 的周长和面积．

（第二问，有坐标，用代数法勾股定理可得CE=AE 的长）

（第三问的证明：过D 做DM ⊥AC 于M ，过B 做BN ⊥CA 于N ，则由相似可得，DM=BN=梯形的高（能求出具体数），CM=AN （具体数）还看得DB=MN （具体数）这样即可求出周长，有可求出面积。） 证明：（1）如图1．∵△OCA 沿直线CA 翻折得到△DCA ， ∴△OCA ≌△DCA ． ∴∠1=∠2． ∵四边形OABC 是矩形，∴OA ∥CB ． ∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴EC =EA ． 解：（2）设CE = AE =x ． ∵点A ，C 的坐标分别为（4,0），（0,3），∴OA =4，OC =3． ∵四边形OABC 是矩形，∴CB =OA =4，AB =OC =3，∠B =90°． 在Rt △EBA 中，222

EA EB BA =+， ∴2

2

2

(4)3x x =-+．解得 258x =． ∴点E 的坐标为(25,38

)． （3）

625，192

25

． 6、已知：△ABC 的两条高BD ，CE 交于点F ，点M ，N 分别是AF ，BC 的中点，连接ED ，MN ．

（1）在图1中证明MN 垂直平分ED ； （2）若∠EBD =∠DCE =45°（如图2），判断以M ，E ，N ，D 为顶点的四边形的形状，并证明你的结论．

M

A

B

C

D E

F N

M

F E

D

C

B

A

图2