高中数列通项公式求法及数列求和

数列的综合应用

【教学目标】：

1、掌握常见的求数列通项的一般方法；

2、用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题。

【教学重难点】：

1、掌握常见的求数列通项的一般方法；

2、用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题

3、灵活应用等差数列、等比数列的定义，把非等差或等比数列的问题，转化成等差或等比数列问题来

解决.

4、用数列知识对数列应用题进行正确的建模。

【教学过程】

知识要点梳理

知识点一：求数列通项公式的一般求法

1．公式法：

①若数列是等差数列或等比数列，可利用等差数列或等比数列的通项公式求.

②若已知数列的前n项和公式，则。

2．观察法：

观察数列特征，找出各项共同的构成规律，归纳找出通项公式。

（1）根据所给数列的前几项求其通项时，常用观察分析法，先找相同的部分，再找出不同部分与序号

n之间的关系。

（2）熟记以下数列的前几项：，，，，，，。

（3）项若正负相间，注意用或表示。

3．累加法：

利用恒等式求通项公

式的方法；形如（为可求和的等差或者等比数列）的递推数列求通项公式常用此法。

4．累乘法：

利用恒等式求通项公式的方法；形如

的递推数列求通项公式常用此法。

5．转化法：

通过对递推关系式进行适当变形，将非等差（等比)数列转化为与等差数列或等比数列有关的数列形式，从而求得通项公式的方法。常用转化途径：

（1）把数列的每一项都取倒数，构成一个新的数列，看新数列是否为等差或者等比

数列；

（2）一般地，对递推式为，（为常数，）的数列,均可用待定

系数法转化为一个新的等比数列来求通项公式。具体步骤：设

得

，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列

的通项。

6．数列通项与的关系法：

如果已知条件是关于、的关系式，可利用，将条件转化为仅含或的关系式再根据关系式想法求通项公式。注意分n=1和n≥2两种情况讨论，若能统一，则应统一，否则，分段表示。

知识点二：数列应用题

在我们生活中经常遇到利息、分期付款和优化等实际问题.

1.复利的概念：

银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算方法叫做复利.

2.分期付款

采用分期付款，可以提供几种付款方案，供顾客选择，对于每一种分期付款方案应明确

以下几点：

(1)规定多少时间内付清全部款额；

(2)在规定时间内分几期付款，选择什么还款方式；

(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息按复利计算.

在选择分期付款方案时，必须计算各种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样才便于比较，优化选择方案.

规律方法指导

求数列通项公式的常用方法总结：

1．公式法：

①若数列是等差数列或等比数列，可利用等差数列或等比数列的通项公式求.

②若已知数列的前n项和公式，则。

2．观察法：

观察数列特征，找出各项共同的构成规律，用不完全归纳法求通项公式。

3．累加法：

已知（可求和），求通项公式常用此法。

4．累乘法：

已知，求通项公式常用此法。

5．转化法：

通过对递推关系式进行适当变形构造，得到一个新数列为等差数列或等比数列。一般地，

对递推式为，（为常数，）的数列,均可用待定系数

法转化为一个新的等比数列来求通项公式。具体步骤：设得

，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列的通项。

6．数列通项与的关系法：

已知、的关系式，利用，将条件转化为仅含或的递推关系式，再根据关系式选用以上方法求通项公式。注意分n=1和n≥2两种

情况讨论，若能统一，则应统一，否则，分段表示。

7．先猜后证法：

根据已知条件求出前几项，猜出通项，再用数学归纳法证明。

类型一：观察法求数列的通项公式

1．写出下面各数列的一个通项公式：

（1）1，，，，，…；

（2）2，11，101，1001，10001，…；

（3）3，0，3，0，3，…；

解析：

（1）各项正负相间，可用表示；

各项分母是2―1，22―1，23―1，……，

∴数列的一个通项公式为。

（2）各项为100+1，101+1，102+1，103+1，

∴数列的一个通项公式。

（3）因为1，0，1，0，……的通项为，

∴3，0，3，0，……的通项公式为。

总结升华：

（1）根据所给数列的前几项求其通项时，常用观察分析法，先找相同的部分，再找出不同部分与序号

n之间的关系。

（2）熟记以下数列的前几项：，，，，，，。

（3）项若正负相间，注意用或表示。

举一反三：

【变式】写出下面各数列的一个通项公式：

（1），，，，…。

（2）8，88，888，8888，88888，…

【答案】

（1），，，

∴数列的通项公式为。

（2）将数列改写为

∴.

类型二：累加法求数列的通项公式

2．求分别满足下列条件的数列的通项公式.

（1），；（2），.

思路点拨：分析（1）题的结构，可以判断数列是等差数列，因此可

以利用通项公式求解，（2）题的结构与（1）题相似，虽然不是等差数列，但可以利用等差数列的通项公式的推导过程中的方法（叠加法）求解.

解析：

（1）∵，∴数列是等差数列，且首项为，公差为

∴.

（2）∵，

当时，

，

，

，

将上面个式子相加得到：