二次函数在闭区间上的最值教师版
二次函数在闭区间上的最值 (经典)
二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b aac b a 2442，、对称轴为x ba =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈bam n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b af x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉ba m n 2，时 若-<b am 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n ()若n ba<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n ()当a <0时，可类比得结论。
二、例题分析归类： （一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
练习. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
二次方程根的分布情况以及二次函数在闭区间上的最值归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求； 2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
二次函数在区间上的最值问题
值域为 , 4
如 : y x 2 2 x 3 ( x 1) 2 4
另外也可以从函数的图象上去理解。
2 1 0 -1
2 1 1 2 3
2
b 4ac b2 A( , ) 2a 4a
-1
b 4ac b A( , ) 2a 4a
-1
0 -1
1
2
3
二、定义域不为R的二次函数的值域
a0
时，
1
ymax f (1) a 4 ymin f (0) 3
图（2）
例3、求
x
f ( x) x2 ax 3 在
a 2
0 x 1
上的最值。
3、由图（3）得： 当 0
a 2 1 ，即1 a 0 时， 2
0
1 2
1
ymax f (1) a 4 ymin
2 x 2 x 3 的值域 例1、 当x∈(2,3] 时, 求函数 y
从图象上观察得到当x (2, 3] 时y [0, 3
4
y
(1,4)
3
练习
在下列条件下求函数 y x 2 x 3的值域
2
2
1
(1) x [ 1, 4)
x
-1
1
2
3
4
答(1) y [2,11)
(1)求g a 的函数表达式；（2）求g a 的最大值。
例2、①已知函数f(x)= - x2+2ax+1-a在0≤x≤1 时有最大值2，求a的值。 ②已知y=f(x)=x2-2x+3,当x∈[t,t+1]时，求函 数的最大值函数g（t）和最小值函数h（t） 并求h（t）的最小值。
二次函数在闭区间上的最值
O x=1
t t+1
x
3--1
（3）若对称轴x=1在区间[t,t+1]右侧时，有 t+1<1，即t<0,如图4--1所示： 当x=t+1时，函数取得最小值, 即 f(x)min=f(t+1)=t2+1。
y
1 t t+1 O x=1 x
4--1
2）最大值 ）
（1）若
时，如图5--1所示:
1 t + ( t + 1) t ≥ ≥ 1，即 2 2
3 −2 ∉ − , 2 2
，所以
a = −
1 不合题意； 2
y -2 -1.5 o
X=-2 2
x
9--1
线开口向上，对称轴为x=0，如图 10--1所示: 闭区间的右端点离对称轴较远，
1 所以 a = 2 符合题意；
1 （2）若f(2)=3，则 a = 2 此时抛物
（3）若
x=− 7 4
3 f − = 3，则 2
a=−
此时抛物线开口向下，对称轴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为 ，如图10--2所示:
2 3
闭区间的右端点离对称轴远， 所以 a = − 2 符合题意。
3
y y
2
-1.5 o -1.5 o
2
x
x
X=-1.75
10--1 1 a = 综上所述： 2
或
2 a=− 3
10--2
二次函数在闭区间上的最值
(高中数学） 高中数学） 高中数学
y
m 0 n x
X=a
马街中学---张天琼 马街中学 张天琼
前面我们学习了二次函数是确定的，并且定义域也是 确定的最值（即定函数在定区间上的最值）的情况， 如：已知f(x)=2x2-3x+1，x ∈[-2,1],求它的最值？
“二次函数在闭区间上的最值”的教学设计与反思
录 下来 ．然 后 笔 者 请 几 位 学 生 讲 一 下 他
们所写的内容． （ 下面附三位学生 的记
录材料 ）
０ｑ （ 旧即 ）
Ｌ
函数 闭 区 间 上 的最 值 问 题 的 理 解 ． 时 同 感 受 新 的 学 习 方 式 带 来 的 学 习 数 学 的
教学过程实录
１ ．知识回顾、 提出问题 （ 分钟 ） 约７
笔 者 首 先 请 每 个 学 生 在 事 先 准 备
好 的 纸 上 将 自 己 对 二 次 函 数 的 认 识 记
值 ｝ 发 ． 过 不 断 地 变 动 区 间 ． 中 总 Ｈ 通 从 结 出 求 二 次 函 数 闭 区 间 上 最 值 的 基 本 解题思路 ． 体会 数 形 结 合 的 必 要性 ． 教 在 学 重 、 点 上 ， 者 步 步 设 问 、 发 学 生 难 笔 启 的思 维 ， 过 课 堂 练 习 、 究 活 动 ． 讨 通 探 用 论 的方 式 来 加 深 理 解 ． 力求 很 好 地 突 破 难 点 和提 高 教 学 效 率 ． 学 生 在 教 师 的 让 引 导 下 ， 分 地 动 手 、 口 、 脑 ， 握 充 动 动 掌
教 研 教 反 学 究＞ 学 思
数学教学通讯（ 教师版 ）
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“ 二次函数在闭区间上的最值’ ’ 的教学设计与反思
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吴莉娜
江 苏常 州高级 中学 ２ ３ ０ １０ ３
在 或 多 或 少 的恐 惧感 ．因此 ．需 要 教 师
函数 在 闭 区间 上 的 最值 的求 解 方 法 ：
二次函数在闭区间上的最值问题
所以，当t=50时，h(t)取得区间[0 ，200]上的最大值100；
当 200<t≤300时，配方整理得
1 t 3502 100 ht 200
所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87.5 综上，由100>87.5可知， h(t)在区间[0，300]上可以取最大值 100，此时，t=50 ，即从二月一日开始的第50天时，上市的西 红柿纯收益最大。
∴ 当1＜a时， f(x)min=f(a)=a2-2a+3 f(x)max=f(3)=6
∴ 当-1＜a≦1时， f(x)min=f(1)=2 f(x)max=f(3)=6 ∴ 当a≦-1时， f(x)min=f(1)=2 f(x)max=f(a)=a2-2a+3
3 2 1 -2
1 2 3
1 2 1 175 t t , 0 t 200 , 200 2 2 ht 1 t 2 7 t 1025 , 200 t 300 . 2 2 200
当0≤t≤200时，配方整理得
1 t 502 100 ht 200
（I）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)；
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；
（ II ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西 红柿收益最大？
（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）
解：（I）由图一可得市场售价与时间的函数关系为
b 2a
（2）二次函数y=ax² +bx+c (a<0)
b 4ac b 2 顶点坐标 , 2 a 4 a 在（-∞， 2ba )上，单调递增；在（ 2ba ，+ ∞）上，单调递减。
二次函数最值知识点总结典型例题及习题
二次函数最值知识点总结典型例题及习题必修一二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：对于一元二次函数在闭区间上的最值问题，关键在于讨论函数的对称轴与区间的相对位置关系。
一般分为对称轴在区间左侧、中间和右侧三种情况。
例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，求其在闭区间[x1.x2]上的最大值和最小值。
分析：将函数f(x)配方，得到其顶点为(-b/2a。
c - b^2/4a)。
因此，对称轴为x = -b/2a。
当a。
0时，函数f(x)的图像为开口向上的抛物线。
结合数形结合可得在闭区间[x1.x2]上f(x)的最值：1）当对称轴在[x1.x2]之外时，f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者。
2）当对称轴在[x1.x2]之间时，若x1 ≤ -b/2a ≤ x2，则f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者；若x1.-b/2a或x2 < -b/2a，则f(x)在闭区间[x1.x2]上单调递增或单调递减，最小值为f(x1)，最大值为f(x2)。
当a < 0时，情况类似。
二、例题分析归类：一）正向型此类问题是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1.轴定区间定二次函数和定义域区间都是给定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例如，对于函数y = -x^2 + 4x - 2在区间[0.3]上的最大值为2，最小值为-2.2.轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例如，对于函数f(x) = (x-1)^2 + 1，在区间[t。
t+1]上的最值为f(t)和f(t+1)中的较大者。
用问题引发探究 让课堂充满活力——“探究二次函数在闭区间上的最值”教学设计
３ 教 学重难 点
课题名称 ： 甘肃省教育科 学“ 一 五” 划一 般课题 ： 于新课程 高 中数学 高效课 堂教 学设 计 问题 的 研究． １二 规 关 课题批 号： Ｓ Ｇ Ｅ Ｏ Ｉ Ｇ Ｂ ０ ２Ｉ３ Ｈ Ｏ８
２ ４
数学教学研 究
第 ３ 卷第 １ １ Ｏ期
２１ ０ ２年 １ Ｏ月
１知识 与 能力 ： 步 掌 握解 决 二 次 函数 ） 初
中不断摸索 出适合 自己所带学 生 的教学模 式 ， 断进行 完 善和 提高 ． 不
二次 函数在 闭 区间上 的最 值是 高 中数学
在闭区间上最值 问题的一般解法 ， 总结归纳 出二次函数在闭区间上最值的一般规律． ２过程与方法 ： ） 通过实验 ， 观察影响二次 函数在闭区间上 的最值的因素 ， 在此基础上 讨论探究出解决二次 函数在闭区间上最值问
想 在解 决数 学 问题 中的重 要 作 用 ， 同时 也 为 “．． 奇 偶性 ” １３ ２ 的教学 埋下 伏笔 ．
２ 教 学 目标 设 置
动手实践 、 合作交流等学习数学的方式． 在新 课程理 念 的指 导 下 ， 堂 教 学 的 面貌 发 生 了 课
很大 的改观 ， 堂 教 学 的质 量 有 了较 为 明显 课 的提高 ， 同 时我 们 也 要 清 醒 地 认识 到在 课 但 堂教学 中实 施 有 效 、 效 的教 学 还 需要 教 师 高 进行深 入 的探 索 研究 ， 要 教 师 在 教 学 实践 需
１ 重 点 ： 次 函数 在 闭 区问 上 最值 问题 ） 二 的一般解 法和规 律．
联 系学生 的学 习实 际 ， 教 材 内容 进 行灵 活 对
处理 ， 比如调 整 教 学 进度 、 合 教 学 内容 等 ． 整 本节 课是 一节 数 学探 究 课 ， 紧 衔接 刚 刚 学 紧 过 的 函数单 调 性 与最 大 （ ） 的知识 ， 小 值 以二 次 函数为 背景提 出问题 ． 在探 究 的过程 中 ， 使 学 生既巩 固 了函数 的单 调性 与最 大 （ ） 的 小 值 知识 ， 突破 了含 参 二 次 函数 在 闭 区 问上 的 又 最 值这一 难点 ， 是对 教材做 了一 次加工 整合．
2017-2018人教版高中数学二轮复习习题：第五周 闭区间上二次函数最值问题
2017-2018人教版高中数学二轮复习习题：第五周 闭区间上二次函数最值问题第五周 闭区间上二次函数最值问题重点知识梳理1．求二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．2．解题流程：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，先将f (x )配方，得顶点为⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a ，对称轴为x ＝－b 2a，再结合开口方向和函数图象，数形结合得出f (x )的最值： 当a >0时，f (x )的图象开口方向向上，(1)当－b 2a∈[]m ，n 时，f (x )的最小值是f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝4ac －b 24a ，f (x )的最大值是f (m )、f (n )中的较大者．且哪个端点离对称轴远就在哪个端点取最大值．(2)当－b 2a ∉[]m ，n 时，若－b 2a<m ，由f (x )在[]m ，n 上是增函数，得f (x )的最小值是f (m )，最大值是f (n )；若n <－b 2a，由f (x )在[]m ，n 上是减函数，得f (x )的最大值是f (m )，最小值是f (n )． 当a <0时，可类比得结论．3．分类讨论的标准(1)分类要做到不重不漏；(2)分类的标准要统一，层次要分明；(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．典型例题剖析例1 求函数f (x )＝x 2＋x ＋1在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最值． 【解析】将二次函数配方得f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34，其对称轴方程x ＝－12，顶点坐标⎝⎛⎭⎫－12，34，且图象开口向上．显然其顶点横坐标不在区间⎣⎡⎦⎤0，32内，如图所示．2∴函数f (x )的最小值为f (0)＝1，最大值为f ⎝⎛⎭⎫32＝194.变式训练 函数y ＝－x 2＋4x －2在区间[0,3]上的最大值是________，最小值是________．【答案】2 －2【解析】函数y ＝－x 2＋4x －2＝－(x －2)2＋2是定义在区间[0,3]上的二次函数，其对称轴方程是x ＝2，顶点坐标为(2,2)，且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在[0,3]上，如图所示．∴函数的最大值为f (2)＝2，最小值为f (0)＝－2.例2 设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，则函数的最小值g (a )＝________.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1 【解析】∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，当－2<a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1. 变式训练 如果函数f (x )＝(x －1)2＋1定义在区间[]t ，t ＋1上，求f (x )的最小值．2017-2018人教版高中数学二轮复习习题：第五周闭区间上二次函数最值问题【解析】函数f(x)＝(x－1)2＋1，其对称轴方程为x＝1，顶点坐标为(1,1)，图象开口向上．t，t＋1左侧，有1<t，此时，当x＝t时，函数有最小值如图1所示，若顶点横坐标在区间[]f(x)min＝f(t)＝(t－1)2＋1.图1t，t＋1内，有t≤1≤t＋1，即0≤t≤1.当x＝1时，函数有如图2所示，若顶点横坐标在区间[]最小值f(x)min＝f(1)＝1.图2如图3所示，若顶点横坐标在区间[t，t＋1]右侧，有t＋1<1，即t<0.当x＝t＋1时，函数有最小值f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋1.图34综上，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (t －1)2＋1，t >11，0≤t ≤1t 2＋1，t <0.【思考】为什么最值讨论时，有时分两种情况讨论，有时分三种情况讨论？【提示】这是因为二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到，而且二次函数的单调性又与函数图象开口方向有关，因此究竟分两种还是分三种情况讨论，取决于两点：一是开口方向是向上还是向下，二是所求最值是函数的最大值还是最小值． 若二次函数开口向上，如果讨论的是最小值，由于在闭区间上它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；如果讨论的是最大值，由于它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，因此就根据对称轴与左右端点的远近分两种情况讨论．当函数开口方向向下时，可类比进行讨论．例3 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．当a ＝－2时，求f (x )的最值．【解析】当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]．所以f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，故f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.变式训练 已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________．【答案】2或－1【解析】f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，当a >1时，y max ＝a ；当0≤a ≤1时，y max ＝a 2－a ＋1；当a ＜0时，y max ＝1－a .根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1－a ＝2， 解得a ＝2或a ＝－1.2017-2018人教版高中数学二轮复习习题：第五周 闭区间上二次函数最值问题跟踪训练1．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1，2a ]，则y ＝f (x )的最大值为( ) A.3127 B ．1 C.23D ．2 2．函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是( ) A.45 B.54 C.34 D.433．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M的值为( ) A.14 B.12 C. 22 D. 324．函数f (x )＝x 2－4x －6的定义域为[0，m ]，值域为[－10，－6]，则m 的取值范围是( )A ．[0,4]B ．[2,4]C ．[2,6]D ．[4,6]5．已知函数y ＝12x 2＋x ＋12(0≤x ≤6)，则当x ＝______时，y 有最大值________；当x ＝________时，y 有最小值________．6．函数f (x )＝x 2＋2x －3，x ∈[0,2]的值域为________．7．已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[a ，b ]的值域为[－1,3]，则b －a 的取值范围是________．8．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．9．函数y ＝2x －1－13－4x 的最大值为________．10．已知二次函数f (x )满足条件f (0)＝1和f (x ＋1)－f (x )＝2x .(1)求f (x )；(2)求f (x )在区间[－1,1]上的最大值和最小值．11．函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)．(1)试写出g(t)的函数表达式；(2)求g(t)的最小值．12．已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值．62017-2018人教版高中数学二轮复习习题：第五周 闭区间上二次函数最值问题13．函数f (x )＝2x 2－2ax ＋3在区间[－1,1]上最小值记为g (a )．(1)求g (a )的函数表达式；(2)求g (a )的最大值．参考答案1．A ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，∴其定义域[a －1,2a ]关于原点对称，即a －1＝－2a .∴a ＝13. ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，即f (－x )＝f (x )，∴b ＝0.∴f (x )＝13x 2＋1，x ∈[－23，23]，8y ＝f (x )的最大值为3127，选A. 2．D ∵f (x )＝1(x －12)2＋34， ∴当x ＝12时，f (x )有最大值43. 3．C 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0x ＋3≥0，得函数的定义域是{x |－3≤x ≤1}， y 2＝4＋21－x ·x ＋3＝4＋2－(x ＋1)2＋4，当x ＝－1时，y 取得最大值M ＝2 2；当x ＝－3或1时，y 取得最小值m ＝2，∴m M ＝ 22. 4．B 函数f (x )＝x 2－4x －6的图象是开口朝上，且以直线x ＝2为对称轴的抛物线， 故f (0)＝f (4)＝－6，f (2)＝－10.∵函数f (x )＝x 2－4x －6的定义域为[0，m ]，值域为[－10，－6]，∴2≤m ≤4，即m 的取值范围是[2,4]，故选B.5．6 492 0 12. 解析 y ＝12x 2＋x ＋12＝12(x ＋1)2,0≤x ≤6 ∴对称轴为x ＝－1，函数在[0,6]上单调递增，2017-2018人教版高中数学二轮复习习题：第五周 闭区间上二次函数最值问题∴x ＝0时，y 取最小值12，x ＝6时，y 取最大值492， 故答案为6492 0 12. 6．[－3,5]解析 由f (x )＝(x ＋1)2－4，知f (x )在[0,2]上单调递增，所以f (x )的值域是[－3,5]．7．[2,4]解析 f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，因为x ∈[a ，b ]的值域为[－1,3]，所以当a ＝－1时，1≤b ≤3；当b ＝3时，－1≤a ≤1，所以b －a ∈[2,4]．8．(1，54) 解析 如图，在同一直角坐标系内画出直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a ，观图可知，a 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a >14a －14<1， 解得1<a <54. 故答案为(1，54)．9.112解析 方法一：令t ＝13－4x (t ≥0)，则x ＝13－t 24. 所以y ＝13－t 22－1－t ＝－t 22－t ＋112＝－12(t ＋1)2＋6.10因为t ≥0，所以y ＝－12(t ＋1)2＋6在[0，＋∞)上为减函数，所以当t ＝0时，y 有最大值112. 方法二：函数的定义域为(－∞，134]． 因为f (x )＝2x －1在(－∞，134]上单调递增， g (x )＝ 13－4x 在(－∞，134]上单调递减， 所以y ＝2x －1－13－4x 在(－∞，134]上为增函数． 所以当x ＝134时，y 有最大值112. 10．解析 设二次函数表达式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，由已知可得，f (0)＝c ＝1，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2ax ＋a ＋b ＝2x ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝1a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)f (x )＝x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34， 则当x ∈[－1,1]时，f (x )max ＝f (－1)＝3，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝34.11．解析 (1)f (x )＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8.当t >2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数，∴g (t )＝f (t )＝t 2－4t －4；2017-2018人教版高中数学二轮复习习题：第五周 闭区间上二次函数最值问题 11 / 12当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，g (t )＝f (2)＝－8；当t ＋1<2，即t <1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数，∴g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7.从而g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2－2t －t ，－t ，t 2－4t －t(2)g (t )的图象如图所示，由图象易知g (t )的最小值为－8.12．解析 ∵对称轴x ＝1，①当1≥t ＋2即t ≤－1时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3，f (x )min ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3.②当t ＋t ＋22≤1<t ＋2，即－1<t ≤0时， f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3，f (x )min ＝f (1)＝－4.③当t ≤1<t ＋t ＋22，即0<t ≤1， f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3，f (x )min ＝f (1)＝－4.④当1<t ，即t >1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3，12f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t －3.设函数f (x )的最大值为g (t )，最小值为φ(t )，则有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2－2t －t t 2＋2t －t ，φ(t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋2t －t ≤－－－1<tt 2－2t －t .13．解析 (1)①当a <－2时，函数f (x )的对称轴x ＝a 2<－1，则g (a )＝f (－1)＝2a ＋5；②当－2≤a ≤2时，函数f (x )的对称轴x ＝a 2∈[－1,1]，则g (a )＝f (a 2)＝3－a 22；③当a >2时，函数f (x )的对称轴x ＝a 2>1， 则g (a )＝f (1)＝5－2a .综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋a <－，3－a 22－2≤a ，5－2a a(2)①当a <－2时，g (a )<1；②当－2≤a ≤2时，g (a )∈[1,3]；③当a >2时，g (a )<1.由①②③可得g (a )max ＝3.。
谈二次函数闭区间最值的求法
即： 已知 函数 ）＝ａ ＋ ＋ｃ ｘ ｘ＋ｄ ａ≠０ ， （ ） 为了得 到其 对称 中心 ， 我们 不妨设 ： Ｙ＝ａ ＋ｍ） ＋ （ 。 ｎ 展开得 ： ， Ｙ＝ａ ｘ ＋ ｍ ＋ ｍ ＋ｒ ）＋ ， （。 ３ ｘ ３ ｌ ｚ 。 ｎ 由待定
系数法 得 ： ｍ＝ ｂ
，
是该 函数 的对称 中心 ， 难 以解决 ．Ｆ 但 面用 平移 的手
一
．ｎ 一， ）ｎ＋ ｄ 解 ： ｇ（ ＝了 ） ＝ 一 ，（ ｄ２ ＝ ＋ ａ ，即 、 ａ ｚ ， ｊ ， ） 易知 ） １ ３ ２３ ２ ＝ ＋ 一＋ ÷ ／所 其 称 心 ： ３ｄ ， 然 （。一３ ＋３ ）＋２（ １ ＋了 即 ｇ（ ａ 以 对 中 为（－ － ． —１ — ）＋ 、￣ 二 ） ， ／ 一 ａ当 １ ）
‘ ． ．
３ 动 轴 定 区 间 型
例 ３ 求 函数 ）＝ ｘ 一 ａ ２ 。 ２ ｘ＋１ 区间［一１ 在 ，
（ ）‘ ＝１１ ２３ ， ２ ． ， 隹［ ，］ 函数 ）＝一 ＋ ＋ ２ ４在 区间［ ，］ 单调递 减． ２３上 ＝ ２时 ） ＝ ２ ４ ）＝ ，
￡ （一１ ）＝ ）＝ 一 ． ２
给区间上函数的单调性； 如果含有参数 ， 还要注意对 称 轴与 区间 的位 置关 系 ， 借助数形 结合 ， 分类讨 进行 论． 以， 次 函数 的最 值是 高 中 数学 的教 学 难点 ， 所 二 也是 高考 的热点． 本文根 据对 称轴与区间的变化情况 ， 以下 四种 从 经典类 型对二次 函数 在闭 区间上 的最值 问题 进 行探 究 ， 给出结 论 ， 并 以期对当下的 中学生解题有所 帮助．
二次函数在闭区间上的最值问题
解和重视，更是对体育事业的关怀。因此。在设计和建造上要
力求与校园环境及学校的办学特色和谐。 （３）发展好校园媒体，引导学生现场观赏。高校应该加强高 校体育竞赛的宣传力度，拓展宣传方式，扩大社会和校园影响
２００９．Ｎ０２２＠
万方数据
二次函数在闭区间上的最值问题
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 杨家丽 重庆市第十一中学 科学咨询 SCIENTIFIC CONSULT 2009(22)
轴ｘ＝３－２ａ 讨论：（１）当３－２ａ＜ａ，即ａ＞ｌ时，ｆ（ｘ）…＝ｆ（ａ）＝（ａ一３）２ （２）当３＿２ａ＞ａ，即Ｏ＜ａ＜１时，ｆ（ｘ）。；。＝ｆ（３－２ａ）＝１２ａ－８ａ２ 所以
ｒ１
２
关系讨论，由数形结合可知函数在区间上的最大值与最小值。
例２：不等式９ｘ２－６ａｘ＋ａ２－２ａ＿６＞０在－１／３＜ｘ＜１／Ｓ内恒成 立，求实数ａ的取值范围。
二次函数在某闭区间上的最值问题是高考考查的重点内容 之一，备受命题者的青睐。但学生在初学时，往往会感到错综复
杂，难以把握。其实，这类问题的关键在于函数对称轴与给定区 间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边、中
间、右边三种情况。本文将从下面四种类型加以归纳：轴定区间 定；轴动区间定；轴定区间动；轴动区间动。 一、轴定区间定
（２）当一１／３＜ａ／３＜１／３，即一１＜ａ＜１时，ｆ（ｘ）。＝ｆ（ａ／３）一
２ａ＿６，由－２ａ＿６＞０得ａ＜－３，与ａ∈［＿１，１】矛盾，合去。
的情操、价值观等。这些物质会折射人人们的心灵，对人起到 一种潜移默化的陶冶作用。 （２）注重体育场馆的设计理念。体育场馆不仅是学校开展 体育教学和进行体育比赛的重要场所，也是一所高校的标志 性建筑，是校园功能结构和基础设施的重要组成部分，是学校 建筑环境的亮点，体育馆的修建给学校的环境增加不少光环。 体育馆建设体现出来的是一所学校对学校体育教学设施的理
两类二次函数在闭区间上最值问题的求解策略
（ 当 时 ） ， 口 １ 日专 ， ＝ 得 ）
（ ２）当 口＞ １时
，
ｆ Ｏ ＝１ 口 二 ，得 口＝ ３ （） 一 ＝４
１ ３
．
１
（ ２）当ｔ １ ＋１ ＜ｔ １ ， （ ＝， １＝１ ＜ ＜ｔ 即０ ＜ 时 ｆ ） （ ） （ ３）当ｔ １ （ ＝ｆ（ ＝ｔ 一 ｔ 时， ｆ ） ｔ ２ ＋２ ）
［ 词］ 二 次函数 ，闲 区间 ，对 称轴 ，最值 关键
影 响二 次 函数 在 闭区 间上 的最值 主要 有 三个 因素 ：抛 物线 的开 口方 向 、对称 轴 和 区间 的位置 。就 高 中学生 而 言 ，感 到 困难 的主 要 是这 两类 问题 ：一 是 动 函数定 区 间 ，二 是定 函数 动 区 间。本 文 以实 例说 明具 体 的求解 方法 ，供读 者 参考 。
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两类二次函数在闭区问上最值问题的求解策略
李冬 明
（ 江苏省泰 兴市扬子江高级 中学，江苏 泰 兴 ２５０ ） ２４０
［ 要］ 二次函数是 高考热点问题之一。因为很 多问题可划归为二次函数来处理 ，所以必须熟练掌握二次函数的图像和性质 ，并能 摘 灵活运用图像和性质去解决问题。主要考查学生由数到形，再由形列出代数条件的能力。在二次函数ｅ ，尤其是含参数的的最值问题。 ｌ ，
厂 ＝ ［ （） 一１
一
＋１＿ｆ＋１ ） ２
（一 ） ＋ ３ 口 ２ 。 ３ ａ］ （一 ）＋ （ ）
ｔ —２ ＋２ ｔ ２ ｔ ，
ｙ ＞Ｏ ．２ ａ ≥０ 而 口 ．－ｘ ． ＞０ ． ∈ ０ ． ［， ． 】
二次函数在闭区间上的最值教师版
一、 知识要点：一班函数求最值，二次函数求最值一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b a ac b a 2442，、对称轴为x b a=-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b af x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉b am n 2，时 若-<b am 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。
二、 题型：求最值，含参求最值，已知最值求参数（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
解：函数y x x x =-+-=--+224222()是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是x =2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。
二次函数在闭区间上最值
二次函数在闭区间上的最值一．知识点精讲1 二次函数的三种形式（1）一般式 c bx ax x f ++=2)(； （2）交点式))(()(21x x x x a x f --=； （3）顶点式k h x a x f +-=2)()( 2．二次函数的基本性质（1）开口方向 0>a 时，开口向上， 0<a 时，开口向上，（2）对称轴方程ab x 2-= （3）02=++c bx ax 根的判别式 ac b 42-=∆（4）02=++c bx ax 的求根公式 aac b b x 2422,1-±-=（5）02=++c bx ax 两根和，两根积 a b x x -=+21 ac x x =21 3 解决二次函数问题的常用方法——数形结合法二次函数()0)(2≠++=a cbx ax x f 的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等。
结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观。
因为二次函数()0)(2≠++=a cbx ax x f 在区间]2,(a b --∞和区间),2[+∞-ab上分别单调，所以函数()x f 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数)(x f 在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得。
4 二次函数c bx ax x f ++=2)(在区间［p ，q ］上的值域求法方法：讨论或分析对称轴和区间的位置关系。
由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质。
二 典型例题1 求函数22)(2+-=x x x f 在]1,[+m m 上的最小值 解析：二次函数的对称轴为1=x ，（1）当11<+m 时，即0<m ，12m in +=m y（2）当1>m 时，1)1(2m in +-=m y （3）当10≤≤m 时，1m in =y变式1：求函数22)(2+-=x x x f 在]1,[+m m 上的最大值 解析：（1）当21≤m 时，1)1(2m ax +-=m y （2）当21>m 时，12max +=m y变式2 求函数22)(2+-=ax x x f 在]1,1[-上的最小值 解析：二次函数的对称轴为a x =， （1）当1-<a 时， 12m in +=a y （2）当1>a 时，1)1(2m in +-=a y （3）当10≤≤a 时，1m in =y变式3：求函数22)(2+-=ax x x f 在]1,1[-上的最大值 解析：（1）当0≤a 时， a y 24m ax -=（2）当0>a 时，a y 24m ax +=二次函数是个筐，什么东西都能往里装变式4求124)(1+-=+x xx f ，]2,1[-∈x 的值域解析：xt 2=]4,21[∈t ，22)1(12)(-=+-=t t t t g ，当1=t 时，即0=x ，0)(m in =t g 当4=t 时，即2=x ，9)(m ax =t g ，∴]9,0[)(∈t g 即]9,0[∈y变式5 求1log log )(222++=x x x f ]2,81(∈x 的值域 注意：22)(log log x x a a =解析：x t 2log =，]1,3(-∈t ，43)21(1)(22++=++=t t t t g ，当21-=t 时，即22=x 时，43)(min =t g 当3-=t 时，即81=x ，7)(m ax =t g ，∴]7,43()(∈t g 即]9,0[∈y 当4=t 时，即2=x ，9)(m ax =t g ，∴]9,0[)(∈t g 即]7,43[∈y变式6 （2009福建理）函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称。
二次函数的最值问题
例4. 若函数f(x)=x2+(a+2)x+3中，x∈[a,b]的图象关于直线 6 x=1对称，则b=________
2 , 0 （2） x 0 , 3 在（1） x x （3） 2 ,3 上的值域.
例1：分别求函数 y x 2 x 3
2
对称轴x = -
2. 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最 值，并求此时x的值。 解: 对称轴：x=1, 抛物线开口向上 1.当0<a≤1时，函数在[0，a]上单调递减， ∴当x=0时，ymax=3 y 当x=a时，ymin=a2-2a+3 2.当1<a<2时 ,函数在[0,1]上单 调递减,在[1,a]上单调递增, 3 ∴当x=1时,ymin=2 2 当x=0时，ymax=3 o 1 2 x 3.当a≥2时 ,函数在[0,1]上单调 a 递减,在[1，a]上单调递增, ∴当x=1时,ymin=2,当x=a时,ymax= a2-2a+3
例1：求二次函数f(x)=x2-2ax-1在区间 [0,2]上的最小值？
变式：求二次函数f(x)=-x2+4ax-3在区间 [-2,1]上的最大值？
例3：求函数y=x2+2ax+3在x[-2,2]时的 最值？ 解析： 因为函数y=x2+2ax+3 =（x+a)2+3-a2 的对称轴为x=-a。要求最值则要看x=-a 是否在区间[-2，2]之内，则从以下几个 方面解决如图：
t 2 2 t 7 ( t 1) 从而 g ( t ) 8 (1 t 2 ) t 2 4 t 4 (t 2 )
小结：
本节课讨论了两类含参数的二次函数 最值问题: (1)轴动区间定 (2)轴定区间动 核心思想仍然是判断对称轴与区间的 相对位置，从中体会到数形结合思想、分类 讨论思想。
二次函数的最值问题--初升高数学衔接课程 (教师版含解析)
第7章 二次函数的最值问题【知识衔接】————初中知识回顾————二次函数的增减性当0a >时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大；当0a <时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减少． 二次函数的最值 一般二次函数求最值根据最值公式计算即可，或把对称轴代入表达式，对应的函数值就是最值。
————高中知识链接————给定自变量取值范围求二次函数的最值①如果给定的范围在对称轴的一侧，只需要计算两个端点的函数值，两个值中最大的为最大值，最小的为最小值。
②如果给定的范围包含对称轴，需要计算两个端点的函数值和顶点的纵坐标，三个值中最大的为最大值，最小的为最小值。
具体归纳如下：1、一元二次函数)0(2≠++=a c bx ax y044,02min<-=>••a a b ac y a 时，ab ac y 442max -=2、一元二次函数)0()(2>++==a c bx ax x f y 在区间[m,n]上的最值。
1°当m ab<-2 ，)()(),()(min max m f x f n f x f ==2°当22n m a b m +≤-≤，a b ac x f n f x f 44)(),()(2min max -==3°当n ab n m ≤-<+22时， a bac x f m f x f 44)(),()(2min max -==4°n ab>-2时， )()(),()(min max n f x f m f x f ==3、一元二次函数)0()(2<++==a c bx ax x f y 在区间[m,n]上的最值类比2可求得。
【经典题型】初中经典题型1．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 的坐标为(4，3)．D 是抛物线26y x x =-+上一点，且在x 轴上方．则△BCD 的最大值为 ．【答案】152．2．已知当x 1=a ，x 2=b ，x 3=c 时，二次函数21y x mx 2=+对应的函数值分别为y 1，y 2，y 3，若正整数a ，b ，c 恰好是一个三角形的三边长，且当a ＜b ＜c 时，都有y 1＜y 2＜y 3，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】5m >2-．3．已知二次函数2y x bx c =++(b ，c 为常数)． (Ⅰ)当b =2，c =-3时，求二次函数的最小值；(Ⅱ)当c =5时，若在函数值y =1的情况下，只有一个自变量x 的值与其对应，求此时二次函数的解析式； (Ⅲ)当c=b 2时，若在自变量x 的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式．【答案】(Ⅰ)二次函数取得最小值-4． (Ⅱ)542++=x x y 或542+-=x x y ．(Ⅲ)772++=x x y 或1642+-=x x y ．(Ⅲ)当c=b 2时，二次函数的解析式为22b bx x y ++=，它的图象是开口向上，对称轴为2bx -=的抛物线．分三种情况进行讨论，①对称轴位于b≤x≤b+3范围的左侧时，即2b-＜b ；②对称轴位于b≤x≤b+3这个范围时，即b≤2b-≤b+3；③对称轴位于b≤x≤b+3范围的右侧时，即2b -＞b+3，根据列出的不等式求得b 的取值范围，再根据x 的取值范围b≤x≤b+3、函数的增减性及对应的函数值y 的最小值为21可列方程求b 的值(不合题意的舍去)，求得b 的值代入也就求得了函数的表达式．(Ⅲ)当c=b 2时，二次函数的解析式为22b bx x y ++=．它的图象是开口向上，对称轴为2bx -=的抛物线． ①若2b-＜b 时，即b ＞0， 在自变量x 的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y 随x 的增大而增大，故当x=b 时，2223b b b b b y =+⋅+=为最小值．∴2132=b ，解得 71=b ，72-=b (舍去)．②若b≤2b-≤b+3，即-2≤b≤0， 当x=2b -时，22243)2()2(b b b b b y =+-⋅+-=为最小值．∴21432=b ，解得 721=b (舍去)，722-=b (舍去)．高中经典题型1．二次函数213222y x x =-++的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是( )A ．3．125B ．4C ．2D ．0【答案】C ．2．已知函数()42f x x x x =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是__________． 【答案】()64,81 【解析】根据题意， ()222,442{ 6,4x x x f x x x x x x x -≥=-+=-+<，由图象可知， 126,x x +=()()()1231116x x f x x x f x ∴⋅⋅=⋅-⋅ ()()2111166x x x x =⋅-⋅-+= ()22116x x -+=()22139x ⎡⎤--+⎣⎦， ()()21123,398,9x x <<∴--+∈， ()()12364,81x x f x ∴⋅⋅∈，故答案为()64,81． 3．已知函数，其中为常数．(1)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； (2)若，都有，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】分析：(1)根据二次函数性质得对称轴不在区间 内，解不等式可得实数的取值范围，(2) 根据二次函数图像得得在x 轴上方，即，解得实数的取值范围．详解：(1)因为开口向上，所以该函数的对称轴是因此，解得所以的取值范围是． (2)因为恒成立，所以，整理得解得因此，的取值范围是．4．如图，抛物线21251233y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．若点P 是线段AC 上方的抛物线上一动点，当△ACP 的面积取得最大值时，点P 的坐标是( )A ．(4，3)B ．(5，3512)C ．(4，3512) D ．(5，3) 【答案】C ．【分析】连接PC 、PO 、P A ，设点P 坐标(m ，21251233m m -++)，根据S △P AC =S △PCO +S △POA ﹣S △AOC 构建二次函数，利用函数性质即可解决问题．【解析】连接PC 、PO 、P A ，设点P 坐标(m ，21251233m m -++) 令x =0，则y =53，点C 坐标(0，53)，令y =0则212501233x x -++=，解得x =﹣2或10，∴点A 坐标(10，0)，点B 坐标(﹣2，0)，∴S △P AC =S △PCO +S △POA ﹣S △AOC =21511251510()10232123323m m m ⨯+⨯⨯-++-⨯⨯=25125(5)1212m --+，∴x =5时，△P AC 面积最大值为12512，此时点P 坐标(5，3512)．故选C ．【实战演练】————先作初中题 —— 夯实基础————A 组1．已知二次函数2()1y x h =-+(h 为常数)，在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为( )A ．1或﹣5B ．﹣1或5C ．1或﹣3D ．1或3 【答案】B ．【分析】由解析式可知该函数在x =h 时取得最小值1、x ＞h 时，y 随x 的增大而增大、当x ＜h 时，y 随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．2．一次函数与二次函数交于x轴上一点，则当时，二次函数的最小值为( )A．15 B．-15 C．16 D．-16【答案】D【解析】分析：首先根据一次函数得出与x轴的交点坐标，从而得出二次函数的解析式，根据二次函数的增减性得出函数的最值．详解：根据一次函数解析式可得与x轴的交点坐标为(－5，0)，将(－5，0)代入二次函数可得：25－10－b=0，解得：b=15，∴二次函数的解析式为：，∴在中当x=－1时，函数的最小值为－16，故选D．点睛：本题主要考查的是二次函数的性质以及一次函数与x轴的交点坐标问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是得出一次函数与x轴的交点，从而得出二次函数解析式．3．二次函数y＝x2－2x－3，当m－2≤x≤m时函数有最大值5，则m的值可能为___________【答案】0或4【解析】分析：根据二次函数的图像和解析式，判断出函数的最值的自变量x的值，然后根据m的范围求出m的值即可．详解：令y=5，可得x2－2x－3=5，解得x=-2或x=4所以m-2=-2，m=4即m=0或4．故答案为：0或4．点睛：此题主要考查了二次函数的最值，求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图像直接得出，第二种配方法，第三种公式法，此题关键是根据最值构造一元二次方程求解．4．如图，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y=a(x+m)2+n的顶点在线段AB上，与x轴交于C，D两点(C在D的左侧)，点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标的最大值为______．【答案】8【解析】分析：当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A(1，4)，根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD 间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B(4，4)，再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．详解：当点C横坐标为−3时,抛物线顶点为A(1,4)，对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；当抛物线顶点为B(4,4)时,抛物线对称轴为x=4,且CD=8,故C(0,0),D(8,0)；由于此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8；故选：D．点睛：本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，用直接开平方法解一元二次等知识点，理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键．5．已知二次函数，当时，函数值的最小值为，则的值是________．【答案】或【解析】分析：将二次函数配方成顶点式，分m<-1、m>2和-1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为-2，结合二次函数的性质求解可得．详解：y=x²−2mx=(x−m)²−m²，①若m<−1，当x=−1时，y=1+2m=−2，解得：m=−；②若m>2，当x=2时，y=4−4m=−2，解得：m=<2(舍)；③若−1⩽m⩽2,当x=m时,y=−m2=−2，解得：m=或m=−<−1(舍)，∴m的值为−或，故答案为：−或．点睛：本题主要考查了二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解答本题的关键．6．若实数a，b满足a+b2=1，则2a2+7b2的最小值是_____．【答案】2【解析】分析：根据得到代入所求式子，用配方法即可求出最小值．详解：∵∴，∴∵∴∴当，即b=0时，的值最小．∴最小值是2．7．在平面直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象与x轴交于点A，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A．(1)当m=4时，求n的值；(2)设m=﹣2，当﹣3≤x≤0时，求二次函数y=x2+mx+n的最小值；(3)当﹣3≤x≤0时，若二次函数﹣3≤x≤0时的最小值为﹣4，求m、n的值．【答案】(1)3(2)-15(3)m=2，n=-3【解析】分析：(1)根据一次函数与x轴的交点，求出A点的坐标，然后把A点坐标和m的值代入可求出n 的值；(2)表示出二次函数的对称轴，由m的值以及二次函数的图像与性质得到二次函数的最值；(3)根据函数的对称轴的位置，分类讨论即可求出m、n的值．详解：(1)当y=x+3=0时，x=﹣3，∴点A的坐标为(﹣3，0)．∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A，∴0=9﹣3m+n，即n=3m﹣9，∴当m=4时，n=3m﹣9=3．(2)抛物线的对称轴为直线x=﹣，当m=﹣2时，对称轴为x=1，n=3m﹣9=﹣15，∴当﹣3≤x≤0时，y随x的增大而减小，∴当x=0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为﹣15．(3)①当对称轴﹣≤﹣3，即m≥6时，如图1所示．在﹣3≤x≤0中，y=x2+mx+n的最小值为0，∴此情况不合题意；②当﹣3＜﹣＜0，即0＜m＜6时，如图2，有，解得：或(舍去)，∴m=2、n=﹣3；③当﹣≥0，即m≤0时，如图3，有，解得：(舍去)．综上所述：m=2，n=﹣3．点睛：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合，正确判断二次函数的对称轴，以及函数的图像与性质，利用二次函数的图像与性质判断其最值是关键，解题时应用到分类讨论思想和方程思想．8．如图, 已知抛物线经过A(-2，0)、B(4，0)、C(0，4)三点．(1)求此抛物线的解析式；(2)此抛物线有最大值还是最小值？请求出其最大或最小值；(3)若点D(2，m)在此抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使得△BDP是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．学科-网【答案】(1)；(2)最大值为；(3)符合条件的点的坐标为或．【解析】分析：(1)将A(-2，0)、B(4，0)、C(0，4)代入y=ax2+bx+c，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；(2)由于二次项系数a=-＜0，所以抛物线有最大值，最大值为，代入计算即可；(3)先将点D(2，m)代入(1)中所求的抛物线的解析式，求出m的值，得到点D的坐标，然后假设在y轴的正半轴上存在点P(0，y)(y＞0)，使得△BDP是等腰三角形，再分三种情况进行讨论：①PB=PD；②BP=BD；③DP=DB；每一种情况都可以根据两点间的距离公式列出关于y的方程，解方程即可．详解：(1)将A(-2，0)、B(4，0)、C(0，4)代入y=ax2+bx+c，得，解得：，所以此抛物线的解析式为y=-x2+x+4；(2)∵y=-x2+x+4，a=-＜0，∴抛物线有最大值，最大值为；(3)∵点D(2，m)在抛物线y=-x2+x+4上，∴m=-×22+2+4=4，∴D(2，4)，∵B(4，0)，∴BD=．假设在y轴的正半轴上存在点P(0，y)(y＞0)，使得△BDP是等腰三角形，分三种情况：①如果PB=PD，那么42+y2=22+(y-4)2，解得y=，所以P1(0，)；②如果BP=BD ，那么42+y 2=20，解得y=±2(负值舍去)，所以P 2(0，2)；③如果DP=DB ，那么22+(y-4)2=20，解得y=0或8，y=0不合题意舍去，y=8时，(0，8)与D ，B 三点共线，不合题意舍去；学=科网综上可知，所有符合条件的P 点的坐标为P 1(0，)，P 2(0，2)．点睛：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的最值的求法，等腰三角形的性质等知识，难度适中．运用分类讨论、方程思想是解题的关键．————再战高中题 —— 能力提升————B 组1、函数242-+-=x x y 在区间]4,1[上的最小值是( )A 、－7B 、－4C 、－2D 、2 2、已知函数322+-=x x y 在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A 、),1[+∞B 、[0,2]C 、[1,2]D 、]2,(-∞ 3、如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数都有)2()2(t f t f -=+，那么( )A 、)4()1()2(f f f <<B 、)4()2()1(f f f <<C 、)1()4()2(f f f <<D 、)1()2()4(f f f <<4、若0,0≥≥y x ，且12=+y x ，那么232y x z +=的最小值为( )A 、2B 、43C 、32D 、05、设21,,x x R m ∈是方程01222=-+-m mx x 的两个实数根，则2221x x +的最小值是 。
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一、 知识要点：一班函数求最值，二次函数求最值一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b a ac b a 2442，、对称轴为x b a=-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b af x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉b am n 2，时 若-<b am 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。
二、 题型：求最值，含参求最值，已知最值求参数（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
解：函数y x x x =-+-=--+224222()是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是x =2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。
函数的最大值为f ()22=，最小值为f ()02=-。
练习1. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
解：由已知232x x ≤，可得032≤≤x ，即函数f x ()是定义在区间032，⎡⎣⎢⎤⎦⎥上的二次函数。
将二次函数配方得f x x ()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+12342，其对称轴方程x =-12，顶点坐标-⎛⎝ ⎫⎭⎪1234，，且图象开口向上。
显然其顶点横坐标不在区间032，⎡⎣⎢⎤⎦⎥内，如图2所示。
函数f x ()的最小值为f ()01=，最大值为f 32194⎛⎝ ⎫⎭⎪=。
练习2. 已知x 21≤，且a -≥20，求函数f x x ax ()=++23的最值。
解：由已知有-≤≤≥112x a ，，于是函数f x ()是定义在区间[]-11，上的二次函数，将f x ()配方得：f x x a a ()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+-23422二次函数f x ()的对称轴方程是x a =-2顶点坐标为--⎛⎝ ⎫⎭⎪a a 2342，，图象开口向上 由a ≥2可得x a =-≤-21，显然其顶点横坐标在区间[]-11，的左侧或左端点上。
函数的最小值是f a ()-=-14，最大值是f a ()14=+。
2、轴动区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。
例2. (1) 求2f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。
练(2) 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。
解：(1)二次函数的对称轴方程为x a =-， 当1a 2-<即1a 2>-时，max f (x )f (2)4a 5==+； 当1a 2-≥即1a 2≤-时，max f (x )f (1)2a 2=-=+。
综上所述：max 12a 2,a 2f (x )14a 5,a 2⎧-+≤-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩。
(2)函数4)2(22a a x y +--=图象的对称轴方程为2a x =，应分121≤≤-a ，12-<a ，12>a 即22≤≤-a ，2-<a 和2>a 这三种情形讨论，下列三图分别为（1）2-<a ；由图可知max ()(1)f x f =-（2）a ≤-22≤；由图可知max ()()2a f x f =（3） 2>a 时；由图可知max ()(1)f x f =∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<-=2,)1(22,)2(2,)1(a f a a f a f y 最大；即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<+-=2,122,42,)1(2a a a a a a y 最大3、轴定区间动二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例3. 如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[]t t ，+1上，求f x ()的最小值。
解：函数f x x ()()=-+112，其对称轴方程为x =1，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。
如图1所示，若顶点横坐标在区间[]t t ，+1左侧时，有1<t ，此时，当x t =时，函数取得最小值f x f t t ()()()min ==-+112。
如图2所示，若顶点横坐标在区间[]t t ，+1上时，有t t ≤≤+11，即01≤≤t 。
当x =1时，函数取得最小值f x f ()()min ==11。
如图3所示，若顶点横坐标在区间[]t t ，+1右侧时，有t +<11，即t <0。
当x t =+1时，函数取得最小值f x f t t ()()min =+=+112综上讨论，⎪⎩⎪⎨⎧<+≤≤>+-=0110,11,1)1()(22min t t t t t x f 练. 已知2()23f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最大值． 解：由已知可求对称轴为1x =．（1）当1t >时，2min max ()()23()(1)2f x f t t t f x f t t ∴==-+=+=+，．（2）当11t t +≤≤，即01t ≤≤时，．根据对称性，若2121≤++t t 即102t ≤≤时，2max ()()23f x f t t t ==-+． 若2121>++t t 即112t <≤时，2max ()(1)2f x f t t =+=+． （3）当11t +<即0t <时，2max ()()23f x f t t t ==-+． 综上，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+->+=21,3221,2)(22max t t t t t x f 观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。
不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。
第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。
根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。
对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a >0时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<-+≥-=))((212)())((212)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543m i n 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f当a <0时⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，，如图如图212212910（二）、逆向型：是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。
例4. 已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。
解：2()(1)1,[3,2]f x a x a x =++-∈-（1）若0,()1,a f x ==，不符合题意。
（2）若0,a >则max ()(2)81f x f a ==+ 由814a +=，得38a = （3）若0a <时，则max ()(1)1f x f a =-=- 由14a -=，得3a =- 综上知38a =或3a =-例5.已知函数2()2x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m 最大值是3n ，求m ，n 的值。
解法1：讨论对称轴中1与,,2m n m n +的位置关系。
①若，则max min ()()3()()3f x f n n f x f m m==⎧⎨==⎩ 解得②若12m n n +≤<，则max min()(1)3()()3f x f n f x f m m ==⎧⎨==⎩，无解 ③若12m n m +≤<，则max min()(1)3()()3f x f n f x f n m ==⎧⎨==⎩，无解 ④若，则max min ()()3()()3f x f m n f x f n m ==⎧⎨==⎩，无解 综上，4,0m n =-=解析2：由211()(1)22f x x =--+，知113,,26n n ≤≤，则[,](,1]m n ⊆-∞， 又∵在[,]m n 上当x 增大时)(x f 也增大所以max min ()()3()()3f x f n n f x f m m ==⎧⎨==⎩ 解得4,0m n =-=。