二次函数在闭区间上的最值教师版
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一、 知识要点：一班函数求最值，二次函数求最值
一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
设f x ax bx c a ()()=++≠2
0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b a ac b a 2442，、对称轴为x b a
=-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：
（1）当[]-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a
f x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉b a
m n 2，时 若-
m 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a
<-2，由f x ()在[]
m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。 二、 题型：求最值，含参求最值，已知最值求参数
（一）、正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动。
1. 轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数y x x =-+-2
42在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
解：函数y x x x =-+-=--+224222()是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是x =2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，
如图1所示。函数的最大值为f ()22=，最小值为f ()02=-。
练习1. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。 解：由已知232x x ≤，可得032
≤≤x ，即函数f x ()是定义在区间032，⎡⎣
⎢⎤⎦⎥上的二次函数。将二次函数配方得f x x ()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+12342，其对称轴
方程x =-12，顶点坐标-⎛⎝ ⎫⎭⎪1234，，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间032，⎡⎣
⎢⎤
⎦⎥内，如图2所示。函数f x ()的最小值为f ()01=，最大值
为f 32194
⎛⎝ ⎫
⎭⎪=。 练习2. 已知x 21≤，且a -≥20，求函数f x x ax ()=++23的最值。
解：由已知有-≤≤≥112x a ，，于是函数f x ()是定义在区间[]
-11，上的二次函数，将f x ()配方得：f x x a a ()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+-234
22
二次函数f x ()的对称轴方程是x a =-2顶点坐标为--⎛⎝ ⎫⎭⎪a a 2342，，图象开口向上 由a ≥2可得x a =-≤-2
1，显然其顶点横坐标在区间[]
-11，的左侧或左端点上。 函数的最小值是f a ()-=-14，最大值是f a ()14=+。 2、轴动区间定
二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。
例2. (1) 求2
f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。
练(2) 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。
解：(1)二次函数的对称轴方程为x a =-， 当1a 2-<即1a 2
>-时，max f (x )f (2)4a 5==+； 当1a 2-≥即1a 2≤-时，max f (x )f (1)2a 2=-=+。 综上所述：max 12a 2,a 2f (x )14a 5,a 2
⎧-+≤-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩。 (2)函数4)2(22a a x y +--=图象的对称轴方程为2a x =，应分121≤≤-a ，12- >a 即22≤≤-a ，2-a 这三种情形讨论，下列三图分别为