福州大学 2011线性代数 考卷答案
线性代数习题及解答完整版
线性代数习题及解答完整版线性代数习题及解答HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）A ．??A B 可逆，且其逆为-1-1A B B ．??A B 不可逆 C ．??A B 可逆，且其逆为-1-1?? ???B AD ．??A B 可逆，且其逆为-1-1??A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
线性代数试卷及答案
2011线性代数试卷答案一、填空题 （每小题4分，共20分） 1. 设矩阵A 为3阶方阵，且|A |=12，则|2A |= 4 ； 2. 设三元线性方程组b Ax =的两个特解为12[1,2,3],[1,1,1]T Tηη==，且2)(=A R ,则b Ax =的通解为[1,2,3][0,1,2](T Tk k +为任意数）；3. 二次型222123123121332(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++的标准形是2221235f y y y =--+4. 设三阶方阵A 的特征值为0,-1,1, 且2B A A E =-+,则B = 3 .5. 设二次型2221231323242f x x x x x x x =+--+，则二次型f 的矩阵为 102011212-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦二、单项选择题（每小题5分，共20分）1.设,A B 都是n 阶方阵，下列命题正确的是 （ D ） （A ）222()2A B A AB B +=++ （B ） 222()AB A B = (C) 22()()A B A B A B +-=- （D ） ()TTTAB B A =2. 设A 是35⨯矩阵，B 是3维列向量，()3R A =.则方程组AX B = （ A ） （A ）必定有解 (B)未必有解 （C ）必定无解 （D ）必有唯一解3.矩阵110021003A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似于 （ C ）（A ） 123-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（B ）110010004⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）213⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（D ）222⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 4. 设二次型222123122322f x x x x x x x λ=++-+，则f 为正定的充要条件是λ满足（ B ）（A ）4λ> （B ） 2λ> （C ） 1λ>- （D ）0λ> 三、下列各题（本题共6小题，每小题6分，共36分）1．计算行列式1124 2051 1126 2323-----;解：原式=11242051200105049----=122511(1)2010549+-⨯---（4分）=251059210521055490416---=--（1分） =59288416---=（1分）。
11级线性代数试卷A答案
中南大学考试试卷答案2011——2012学年第二学期（2012.4） 时间：100分钟《线性代数》 课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭卷专业年级：2011级 总分：100分一、填空题（本题15分，每题3分）1、0；2、8132（练习册P99）； 3、3-； 4、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--12333212312113311n n A ；5、12+⎪⎪⎭⎫⎝⎛λA （练习册P113）。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、D ；2、B （练习册P106）；3、C ；（教材P55）4、D ；5、A （练习册P120）。
三、（本题10分） （练习册P102）解：解： D n ====+++c c c c c c n 131121000120012201222=2n –1， 设D n 展开式中正、负项总数分别为x 1, x 2， 则x 1+x 2=n !，x 1–x 2=2n –1，于是正项总数为x 1=1221(!)n n -+。
四、（本题10分）（典型题解P121）解：由X A E AX +=+2，得：E A X E A -=-2)(，)(,010********E A E A -∴≠-==- 可逆，故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A X ；由于09≠=X ，()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛===∴---*-201030102911)(1111X X X X X 。
五、（本题14分）解：将矩阵()4321,,,αααα化为最简形阶梯形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000011003101032001000011001030101121306014211035271，（1）()3,,,4321=ααααR ；（2）321,,ααα为所求的一个最大线性无关组，且32143132αααα++=。
六、（本题14分）解：()0311********--=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==λλλααA E A T，(1)A 的特征值为0,0,3；由0=AX 得对应0的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101011l k ，l k ,为不全为零的任意常数，由0)3(=-X A E 得对应3的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111c ，c 为任意非零常数。
2010-2011-1线性代数A答案
2010-2011学年第一学期线性代数试卷A 参考答案和评分标准一、单项选择题（每小题4分，本大题共20分） 1．B ； 2．C ； 3. A ； 4. B ； 5. A 二、填空题（每小题4分，本大题共20分）1. 5 ；2、()!11n n +-；3. 1 ；4． 1226⎡⎤⎢⎥⎣⎦；5．负数. 三、（本题10分）解：(1)(1)(1) (1) n x n a x n a x n a x n aa x a a D a a x a aaaax+-+-+-⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅111 1((1)) ax a ax n a aaxa a a a a x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ …………4分1111((1))00 0000x a a ax n a x a a x a⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅- …………7分1((1))()n x n a x a -=+-- …………10分四、（本题10分）求方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025 的逆矩阵. 解：,21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ,112251==A ,125382==A .……….……..……..（3分） ,5221111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==*-A A .……….……………………………………………（5分）,8532212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==*-A A .…………………………………………..……..…（7分）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=- 8 5-003-2000000 2- 1 521A .……….…………………………………….…（10分） 五、（本题10分）解.对方程组的增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=000017510017221211117847246373542A ………………………..（3分） 于是方程组的同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=434217517221x x x x x ，42,x x 为自由未知量……………………..………..（6分） 所以方程组的通解为：21432117507200120101k k x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ . …………….…..….（10分） 六、（本题10分）解：解 ()()232300121103λλλλλλ--=----=-E A ， ……………………2分所以得特征值32321===λλλ, ……………………3分对21=λ，解方程组()02=-x E A ，由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1001011012E A ，得特征向量 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0101ξ所以对应 21=λ的全部特征向量为001011≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛c c , …………………… 7分对 332==λλ，解方程组()03=-x E A ，由0011103111001000000r A E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=--−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得特征向量 211,0ξ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭全部特征向量为2211,00c c ⎛⎫ ⎪-≠ ⎪ ⎪⎝⎭ ……………………9分A 没有三个线性无关的特征向量，所以不能对角化. ……………………10分七、（本题8分）设321,,ααα线性无关，证明3213221,,ααααααα++++也线性无关.证明：设0)()()(3213322211=++++++αααααααk k k ，………..…….（2分） 则有0)()()(3322321131=++++++αααk k k k k k k ， ……………….（4分）321,,ααα 线性无关，⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+∴0003232131k k k k k k k ，0321===∴k k k ……….….（6分）所以3213221,,ααααααα++++线性无关. …………………………..….（8分） 八、（每小题6分，本大题共12分）1．BA AB -为对称矩阵。
福州大学2010-2011年数值分析考题及答案1
1、若向量 x (4, 2,3) ，则
T
x 2 =___ 29 _________
＝____ 6 ____，A 的
2、
1 1 A ， 则 A 的谱半径 -5 1
=____6____
3、 确定求积公式 尽量高,则 A0=_
1
1
f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f '(1) 中的待定参数，使其代数精度
0 2 0 5、设 B 2 1 2 ,试用平面旋转矩阵对矩阵 A 进行 QR 分解，其中 Q 为正交 0 2 1
矩阵，R 为上三角阵（8 分）
4
记A1 A, 先将A的第一列变得与e1平行 cos = 0 2 0,sin = 1 04 04 0 1 0 0 1 0 0 P A 2 P A1 1 12 12 0 0 0 1
3、
h 用二步法 yn1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 )] 求解一阶常微分方程初值问题 2
y f ( x, y ) 问：如何选择参数 , 的值，才使该方法的阶数尽可能地高？写出 y ( x0 ) y0
此时的局部截断误差主项，并说明该方法是几阶的。 证明:局部截断误差为：
( x x )l ( x) 等于
i 0 i i
4
（ a ） 1 (c) 2 (d) 4
(a)
0
(b)
3、设 f ( x) 3x5 4 x 4 x 2 1 和节点 xk k / 2, k 0,1 则差商 f [ x0 , x1 x5 ] (a) 4 (b) 2 (c) 3 (d) 1 （ （ c ） c ）
2011线性代数(答案)
线性代数复习参考2011A1、 设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111111111，B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--154211321，求3AB-2A 及A T B 。
解:111123111323111124211111105111110A B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭=≠ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T .B 中的1-1应该是-1吧 如果是1-1=0 则答案如下;1111231113231110242111111051111A B A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1581111132231562111117201901111292⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=---=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭,111123158111024156111051190TA B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、设A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3121，B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2101，问： （1） AB=BA 吗？ （2）（A+B ）2=A 2+2AB+B 2吗？ （3）（A+B ）(A-B)=A 2-B 2吗？ (1)AB =BA 吗?解 AB ≠BA 因为⎪⎭⎫⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2. 因为⎪⎭⎫⎝⎛=+5222B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148,但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610,所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗? 解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2. 因为⎪⎭⎫⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2. 3、设A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡101x，求A 2，A 3，……，A k 。
线性代数试题及答案
线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
2011级线性代数答案和评分标准
2011~2012学年第2学期期末考试《线性代数》试卷（A ）标准答案和评分标准一、选 择二、填 空 题（5×4分）1. 0, 108;2. 3, (1,1,T; 3. 1 ; 4. 105011023⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ; 5. 12, 17-- 三、解：1111231113231111242111111051111AB A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=----- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭21322 217204292-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………5分 111123058111124056111051290T A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=---=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………………………10分四、解：以每个向量作为列构造一个矩阵，对该矩阵施以初等行变换.设()432,,,αααα=A 2132130202243416-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦……………………..…………2分 13020*********00⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦行变换－－⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−→−0000110010101001行变换…………………………6分 故()3=A r ……………………………………………………………………8分321,ααα，为向量组4321,αα,α,α的一个极大无关组…………………………………12分3214αααα++=…………………………………………………………………15分五、解法一：将方程组表示为矩阵形式b Ax =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a 1111111A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11a b()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--a a a a a a a a a r r ar r 1110011011111111111121212 b A ………………2分（1）当1≠a 时 ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111001101111111111111a a a a a b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-−−→−--1211000100013212a r r r r ，得()()3==A b A R R ，因此当1≠a 时，线性方程组有唯一解……………………4分（2）当1=a 时 ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010000001111111111111 a a a b A ………………6分 ()()1==A b A R R ，213=-=-r n ，有两个自由变量即自变量………………8分同解方程组为⎪⎩⎪⎨⎧⋅+⋅+=⋅++=--=32332232100001xx x x x x x x x ……………………………………………10分则12123111010001x x x c c x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（其中21,c c 为任意常数）………………12分解法二、将方程组表示为矩阵形式b Ax =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a 1111111A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11a b211111111011(1)11001A a a a a a a ==--=---…………………………3分1 应用Cramer 法则, 0A ≠时有唯一解，即1a ≠时，有唯一解……………..5分2 1a =时，()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010000001111111111111 a a a b A ， ()()1==A b A R R ，213=-=-r n ，有两个自由变量即自变量……………7分同解方程组为⎪⎩⎪⎨⎧⋅+⋅+=⋅++=--=32332232100001xx x x x x x x x ……………………………………………………9分则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10101100121321c c x x x x ，（其中21,c c 为任意常数）…………………12分六、解：⑴()AX X x x x x x x f T=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=321321*********,,则二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=011101110A ……………………..…….2分⑵ 由λλλλλλλλλλ-----=-----=-----=--2111100111110111111111221c c r r A ()()()()212122+--=-+-=λλλλλ得特征值为1,2321==-=λλλ …………………5分1 对应21-=λ，解方程组()02=+X E A由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+0001101012111211122r E A得基础解系 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1111ξ，将1ξ单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111311e …………………6分2 对应132==λλ，解方程组()0=-X E A由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-000000111111111111r E A 得基础解系 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112ξ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1013ξ，将2ξ，3ξ正交化 …………………8分取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==01122ξη，()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-=2112101121101,,2222332ηηηηξξη再将2η，3η单位化，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011212e ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211613e ………………10分将321,,e e e 构造正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=62031612131612131T ， 有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010002AT T T于是求得一正交变换TY X =，将二次型f 化为如下标准形2322212y y y f ++-= …………………13分 （3） 由上述标准形可知，该二次型并不是正定二次型． …………………15分七、证：已知321,,ααα线性无关，4321,αααα,,线性相关，所以4α可由321,,ααα惟一的线性表出，设为 3322114ααααk k k ++=. …………………2分假设()4,45321<-ααααα,,r ，则45αα-也可由321,,ααα惟一的线性表出，令其为 33221145αααααl l l ++=-. ………………4分 从而()()()33322211143322115ααααααααk l k l k l l l l +++++=+++=，………5分 即5α可由321,,ααα线性表出， 故5321,αααα,,线性相关，这与4),,,(5321=ααααr 矛盾. ……………6分因此()4,45321=-ααααα,,r ， …………………7分 故向量组45321,ααααα-,,线性无关. …………………8分。
福州大学《线性代数》含参考答案
福州大学《线性代数》试卷2014年4月27日一、填空(共30分,每空3分)1. 设1211102,2243x x y t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 则t =____________. 2. T (1,2,3),A E A A =-=设则3_______________．3. 313233112103,,3312ij ij D A D a A A A _____.-=-+-=-设表示中元素的代数余子式则.4. ,A B 设都是n 阶方阵，13,2,3______A B A B *-==-=且则.5. 2333231232221131211==a a a a a a a a a M 如果，则=D 111112132121222331313233532532532a a a a a a a a a a a a ----=--__________. 6. 若方程组2123123123000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩存在非零解，则.__________=λ7. 设方阵A 的特征值3对应的特征向量为T (1,3,1)-，则T (1,3,1)A-= .8. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛50413102x 可相似对角化，则x 的值为 .9. 二次型222123123121323(,,)3222f x x x x x x x x x x x x =+++++的矩阵表达式为_____________________________________________，可经正交变换=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y 化为标准形 123(,,)f y y y =______________.学院 专业 级 班 姓 名 学 号二、单项选择（每小题2分，共10分） n 1.设,,,A B C ABC E =阶方阵满足则必有（ ）.(C) (D)CBA E BAC E ACB E === 2. 设A 是n 阶非奇异矩阵.其伴随矩阵为A *，则( )．2112(A) () (B) () (C) () (D)() n n n n A AA AAA A AA A AA ++--********====3. 设A 是s m ⨯矩阵,B 为n s ⨯矩阵,则使0=ABx 与0=Bx 是同解方程组的一个充分条件是( ).(A) (R A m =) (B ) (R A s =) (C )(R B n =) (D) (R B s =) 4．已知3阶方阵A 的特征值是0，1，1-，则下列命题中不正确的是( ). (A) 方阵A 是不可逆的 (B) 方阵A 与对角矩阵相似(C) 1和1-所对应的特征向量正交 (D) 0=Ax 的基础解系由一个向量组成5. 设1234(,,,)A αααα=是4阶方阵，若T (1,0,1,0)是方程0AX =的一个基础解系，则*0A X =的基础解系可为( ).(A)12,αα (B)13,αα (C)123,,ααα (D)234,,ααα三(10分) 1,6,A B A BA A BA -=+设三阶矩阵满足A =且111(,,),234diag 试求矩阵B ．.四(10分) 11002131101121210111003200110022A B ,⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭设； (1)B 求；(2)R 求()AB .五(10分)设矩阵A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1129513151133173113311，求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属该最大无关组的列向量用该最大无关组线性表示．六(10分) 当λ取何值时，线性方程组 ,1)5(4224)5(2122)2(321321321⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-λλλλx x x x x x x x x (1)有唯一解? (2)无解? (3)有无穷多解? 并求其通解．装 订 线 装 订 线 装 订 线11)6(---=∴E A B ).21,31,41(---=diag -------------10分四、解 (1) .40104222312122200230012121312-=⨯-=-⋅-=--=B ----------5分(2) 由(1)知,040≠-=B 所以B 可逆, 从而有 ).()(A R AB R =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100111011010011A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−1100111011100011r ,0000110011100011⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−r,3)(=∴A R 因此.3)()(==A R AB R ----------10分 法二 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=4100531254122504AB ,0000410001205312⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−r .3)(=∴AB R 五、解 记),,,,( 54321ααααα=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1129513151133173113311 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−00000210001121013311r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−00000210003021080101r ---------6分故一个最大无关组为421,,ααα.且有,2213ααα+=.2384215αααα++-=六、解 对方程组的增广矩阵)(b A B =施行初等行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------==154224521222)|(λλλλb A B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------−→−)4)(1()10)(1(0011101452λλλλλλλλr（或 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------+-−→−=)4)(1()10)(1(0011101542)|(λλλλλλλλλrb A B ）(1) 当 λ ≠ 1且λ ≠ 10时, R (A )=R (B )=3,方程组有唯一解.(2) 当 λ = 10时, R (A )=2, R (B )=3, 方程组无解. ----------6分(3) 当 λ=1时, R (A )=R (B )=1, 方程组有无穷多解.此时,000000001221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−rB故方程组的一个特解为,)0,0,1(T =η导出组的基础解系为,)1,0,2(,)0,1,2(21T T=-=ξξ故所求方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (R k k ∈21,) ---------10分解法二 方程组的系数行列式为λλλ-------=542452222||A ,)1)(10(2--=λλ(1) 当 λ ≠ 1且λ ≠ 10时, |A| ≠0, 方程组有唯一解.(2) 当 λ = 10时, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------==221121215112)|(b A B ,90000330211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−λrR (A )=2, R (B )=3, 方程组无解. ----------6分(3) 当 λ=1时, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==244224421221)|(b A B ,000000001221⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−rR (A )=R (B )=1, 方程组有无穷多解.得方程组的一个特解为,)0,0,1(T =η导出组的基础解系为,)1,0,2(,)0,1,2(21T T =-=ξξ故所求方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (R k k ∈21,)----------10分七、解(1),000210101000210321622412321),,(21⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=r r x x β.221x x --=∴β ----------6分(2) 212121222)2(x x Ax Ax x x A A +-=--=--=β.026⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ----------10分八、证明 “充分性”设T ab A =,其中b a ,为非零列向量,则有.1)()(==T b R a R 由Sylverster 不等式有)},(),(min{)(1)()(T T T b R a R ab R b R a R ≤≤-+即有,1)(1≤≤T ab R 故,1)(=T ab R 即.1)(=A R ----------4分“必要性” 设,1)(=A R 则A 的标准形为n m O O O E F ⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1n m ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000001 所以存在m 阶可逆阵P , n 阶可逆阵Q , 使得,F PAQ =(1) 从而有,11--=FQ P A 记 ),,,,(211m p p p P =-,211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n q q q Q则),,2,1(m i p i =为m 阶非零列向量, ),,2,1(n j q j =为n 阶非零行向量,112121000000001),,,(q p q q q p p p A n n m m =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴⨯令,,11q b p a T ==则b a ,均为非零列向量,且有T ab A =. ----------10分（或(2) 推出 11000000001--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q P A 1111)0,,0,1(001-⨯⨯-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Q P n m 记11001⨯-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m P a ,11)0,,0,1(-⨯=Q b n T , 则b a ,均为非零列向量,且有T ab A =. -------10分）。
2011年福州大学硕士生入学考试试卷
2011年福州大学硕士生入学考试试卷福州大学2005年招收硕士研究生入学考试试卷招生学院机械工程及自动化学院招生专业1、机械电子工程2、机械制造及其自动化考试科目机械原理科目编号414注意：作图题答案可直接做在试卷上。
所有的作图题均应保留精确的作图线条。
试卷必须与答卷一起交。
答题时不必抄原题，但必须写清所答题目顺序号。
1．（10分）试绘制图示机构的机构运动简图。
2．（10分）先明确指出下图机构运动简图中的复合铰链、局部自由度、和虚约束，然后计算机构的自由度，并说明该机构具有确定运动的条件。
（要求列出计算公式、代入数字、得出结果。
每个构件只能有一个构件序号）。
1234BCD A共 6 页第 1 页In the six-bar mechanism shown below, X A =0, Y A =0, X D =450mm, Y D =0,L AB =150mm, L BC =400mm, L DC =350mm, ∠CDE=30︒, L DE =150mm, L EF =400mm. Crank AB rotates at a constant speed 10rad/sec. A main program is required to analyze the output motions of the point F. The mechanism will be analyzed for the whole cycle when the driver AB rotates from 0︒ to 360︒ with a step size of ∆θ1 =5︒.5．（15分）对于图示铰链四杆机构，主动件AB 匀速顺时针针转动，试用作图法：1） 求该机构的极位夹角θ、杆CD 的最大摆角ψ； 2）求机构的最小传动角γmin ；3） 判断机构有无死点？ 4） 判断CD 杆的快速行程方向。
AB CEF2345θω116DBAL ABεωθy AB AABBM=+1M=-1XYABABABθθθθBABCL ABCBL ABCBA1234AB CD6．(15分)在曲柄摇杆机构ABCD中，连架杆AB是主动件。
线性代数(含全部课后题详细答案5-1.
称为通解。
4. 解的结构
AX 0 的通解是 x k11 k22 knr n。
4 7
4 7
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
x1
13 7
3 7
x3
13 7
x4
x2
4 7
2 7
x3
4 7
x4
25
13 7
令 x3 x4 0,
得
4 7
0
0
又原方程组对应的齐次方程组的通解是
x1 x3
2x2 3
10 x4
1 5
x4
令
x2 x4
1
0
得
1
1 0 0
1
5
令
x2
x4
0
1
得
2
0 3
10 1
2
举例说明消元法具体步骤：
例1：解线性方程组
2 4
x1 x1
2 x1
2 1 3
解：(
A,
b)
4 2
2011试题及答案
12011年线代试题答案1. 解：由于21E P A P =，所以1112121A P P P P ---==，(D)正确.2. 解：由T (1,0,1,0)是0Ax =的基础解系知，130αα+=且()3R A =，从而234,,ααα线性无关且()1,0R A A *==，于是0A A A E *==，所以1234,,,αααα是0A x *=的解向量.因此234,,ααα为0A x *=的基础解系，(D)正确.3. 解：2131,ηηηη--是0Ax =的两个线性无关的解，所以3()2R A -≥，所以()1R A =，即2131,ηηηη--是0Ax =的基础解系.又232ηη+是Ax β=的解，所以(C)正确.4.解：二次型2223222x y z axy xz yz +++++的矩阵1131111a A a ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭，由已知可得A 的特征值为1,4,0，所以2(1)0A a =--=，所以 1.a =（或由已知可得()2R A =.因为1111131~031111010a A aa a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 所以 1.a =）5. 解：二次型的矩阵111131111A ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭，因为(1)(4)A E λλλλ-=--所以A 的特征值为0,1,4，所以二次型的正惯性指数为2. （或配方得：2212312(,,)4f x x x y y =+，所以二次型的正惯性指数为2.）6. 解：因为A 的行元素之和为3，所以3是A 的一个特征值，又()1R A =，所以A 的另两个特征值为0，因此f 在正交变换x Q y =下的标准形为213y .7.解：123123111101(,,,,,)~011112005210a βββααα⎛⎫ ⎪-⎪--⎝⎭，因为123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，所以123,,50a βββ=-=，得5a =.且此时1231231(,,)2(,,,)3R R ββββββα=≠=，可知1α不能由123,,βββ线性表示，即5a =满足要求.又 123123100215(,,,,,)~0104210001102αααβββ⎛⎫⎪⎪--⎝⎭，所以11232123312324,20,5102βαααβαααβααα=+-=++=+-. 8.解：令T T 12(1,0,1),(1,0,1)αα=-=，则1212(,)(,)A αααα=-，所以1,1-是A 的特征值，对应的特征向量分别为T T12(1,0,1),(1,0,1)αα=-=.因为()2R A =，所以0是A 的一个特征值，设对应的特征向量为T 3123(,,)x x x α=.因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以13130,0,x x x x -=⎧⎨+=⎩解得T 3(0,1,0)α=.令1231(,,),10P ααα-⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪⎝⎭，则1P AP -=Λ，所以1001000100A P P -⎛⎫⎪=Λ= ⎪⎝⎭.另解：显然，123,,ααα已正交.单位化得：112233,,βββα===.令1231(,,),10T βββ-⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪⎝⎭, 则1T AT -=Λ，所以1T001000100A T TT T-⎛⎫⎪=Λ=Λ= ⎪⎝⎭.。
线性代数习题参考答案
线性代数习题参考答案(总96页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一章行列式§1 行列式的概念1．填空(1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。
(2) i = ，j = 时，排列1274i56j9为偶排列。
(3) n阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n元排列。
若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。
(4) 在6阶行列式中，含152332445166a a a a a a的项的符号为，含324314516625a a a a a a的项的符号为。
2．用行列式的定义计算下列行列式的值(1)112223323300 0aa aa a解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。
(2)12,121,21,11, 12,100000nn nn n n n n n n n n nnaa aa a aa a a a------解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。
3．证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。
证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。
对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n2n 。
4．若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2多，则此行列式为0，为什么 5．n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少（提示：利用3题的结果） 6．利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）21141183---（2）222111ab c a b c§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。
《线性代数、概率统计》期末考试试卷及详细答案 二
《线性代数、概率论》期末考试试卷答案一、选择题（每小题后均有代号分别为A, B, C, D的被选项, 其中只有一项是正确的, 将正确一项的代号填在横线上，每小题2分，共40分）：1．行列式G的某一行中所有元素都乘以同一个数k得行列式H，则------------C-------------;(A) G=H ；(B) G= 0 ；(C) H=kG ；(D) G=kH 。
2．在行列式G中，A ij是元素a ij的代数余子式，则a1j A1k+ a2j A2k+…+a nj A nk--------D------;(A) ≠G (j=k=1,2,…,n时) ；(B) =G（j, k=1,2,…,n; j≠k时) ；(C) =0 (j=k=1,2,…,n时) ；(D) =0（j, k=1,2,…,n ;j≠k时) 。
3．若G，H都是n⨯ n可逆矩阵，则----------B------------；(A) (G+H)-1=H-1+G-1；(B) (GH)-1=H-1G-1；(C) (G+H)-1=G-1+H-1；(D) (GH)-1=G-1H-1。
4．若A是n⨯ n可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵, 则--------A----------；(A) |A*|=|A|n-1；(B) |A*|=|A|n ；(C) |A*|=|A|n+1；(D) |A*|=|A|。
5．设向量组α1, α2,…,αr (r>2)线性相关, 向量β与α1维数相同，则------------C----------- (A) α1, α2,…,αr-1 线性相关；(B) α1, α2,…,αr-1 线性无关；(C) α1, α2,…,αr ,β线性相关；(D) α1, α2,…,αr ,β线性无关。
6．设η1, η2, η3是5元齐次线性方程组AX=0的一组基础解系, 则在下列中错误的是D-------------------(A) η1, η2, η3线性无关；(B) X=η1+η2+ η3是AX=0的解向量；(C) A的秩R(A)=2；(D) η1, η2, η3是正交向量组。
线性代数考试和答案解析
线性代数考试和答案解析一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 向量组的线性相关性是指（）。
A. 至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合B. 所有向量都是零向量C. 向量组中不存在非零向量D. 向量组中所有向量都线性无关答案：A解析：向量组的线性相关性是指至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合。
这是线性相关的定义，其他选项都不符合线性相关的定义。
2. 矩阵的秩是指（）。
A. 矩阵中非零行的个数B. 矩阵中非零列的个数C. 矩阵中线性无关的行向量的最大个数D. 矩阵中线性无关的列向量的最大个数答案：C解析：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行向量的最大个数，也可以是矩阵中线性无关的列向量的最大个数。
这是矩阵秩的定义，其他选项都不符合矩阵秩的定义。
3. 线性方程组有解的充分必要条件是（）。
A. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩B. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且等于未知数的个数答案：D解析：线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且等于未知数的个数。
这是线性方程组有解的条件，其他选项都不符合有解的条件。
4. 二次型可以表示为（）。
A. 一个二次多项式B. 一个二次多项式，其中变量的系数是对称矩阵C. 一个二次多项式，其中变量的系数是反对称矩阵D. 一个二次多项式，其中变量的系数是任意矩阵答案：B解析：二次型可以表示为一个二次多项式，其中变量的系数是对称矩阵。
这是二次型的定义，其他选项都不符合二次型的定义。
5. 正交矩阵是指（）。
A. 一个方阵，其转置矩阵等于其逆矩阵B. 一个方阵，其转置矩阵等于其伴随矩阵C. 一个方阵，其逆矩阵等于其伴随矩阵D. 一个方阵，其转置矩阵等于其伴随矩阵的转置答案：A解析：正交矩阵是指一个方阵，其转置矩阵等于其逆矩阵。
这是正交矩阵的定义，其他选项都不符合正交矩阵的定义。
6. 矩阵的特征值是指（）。
线代试题A答案
线封密三峡大学试卷班级姓名学号2011年 秋季 学期《 线性代数I 》课程考试试卷( A 卷)答案注意：1、本试卷共 4 页；2、考试时间: 120 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、选择题 (每小题 3 分，共 30 分)1.若方程组0=Ax 有非零解，则方程组b Ax =必（ B ）．（A ）有唯一解； （B ）没有唯一解； （C ）有无穷多解； （D ）没有无穷多解．2.若B A ,都是n 阶可逆矩阵，则下列结论不一定正确的是 ( D )． (A)TTTA B AB =)(； (B) 111)(---=A B AB ；(C)***=A B AB )(； (D) 222)(A B AB =. 3.已知n 维向量组m ααα,,,21 (n m >)，则（ A ）.(A)m ααα,,,21 一定线性相关； (B)m ααα,,,21 可能相关，也可能无关； (C)m ααα,,,21 一定线性无关； (D)以上均不对.4.已知()nn ija A ⨯=，()nn ijb B ⨯=，a A =，0≠=b B ．如果()nn ijc C ⨯=，其中kj nk ik ij b a c ∑==1，则=C （ C ）． (A)b a +； (B)b a -； (C)ab ； (D)ba． 5. 已知d c b a ,,,互不相同，则方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++++++++33332222)2()2()2()2()2()2()2()2(22221111d c b a d c b a d c b a 的秩为 （ D ）.（A ）1； (B) 2； (C) 3； (D) 4． 6.设A 为3阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，2||-=A ，则|321|1*--A A 等于( C )． （A ）-32； (B) -2； (C)32； (D) 2． 7.设两个n 阶矩阵A 与B 相似，以下结论不成立的是( B )．（A ）A 与B 有相同的特征值； （B ）A 与B 有相同的特征向量； （C ）若A 可对角化，则B 一定可对角化； （D ）)()(B R A R =. 8. A 与B 均为n 阶矩阵，且22))((B A B A B A -=-+，则必有( D )．（A ）E B =； （B ）E A =； （C ）B A =； （D ）BA AB =. 9.设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+λ132121111的秩为2，则λ=（ B ） （A ）2； (B) 1； (C) 0； (D) -1．10.二次型322123222132110643),,(x x x x x x x x x x f ++-+=的矩阵是（ C ）（A ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-405033531； (B)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4001030061；(C)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-450533031；(D)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41001036061．二、填空题 (每小题 2 分，共 10 分)1.若3阶矩阵A 的特征值分别为2,2,1，|4|1E A--=___3____.2.A 为n 阶矩阵，且0722=-+E A A ，则1)3(-+E A =___)(41E A -____.线封密三峡大学试卷班级姓名学号3. 设矩阵E A ,2112⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=为2阶单位矩阵，矩阵B 满足E B BA 2+=，则B =____⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111___. 4. 已知54535251764043211111--=D ，则=+++44434241A A A A ___0____.5. 行列式003032321=___-27____.三、 计算题(每小题 6 分，共 12 分)1.计算行列式（6分）5111151111511115D =解：511115111151111185111151111518888==D …………(3分) 51248404000040111183=⨯==. …………(6分)2.已知B AX X +=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101111010A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=301521B ，求矩阵X .（6分）解：由B AX X +=，则B X A E =-)(， …………(2分)因为A E -⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201101011可逆，所以B A E X 1)(--=1201101011-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--301521⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30152111012312031⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=101123. …………(6分)四、(共 15 分)判断下面的方程组是否有解，若有解，求其解.12345123451234512345222422334103578221x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+-+=⎪⎨-+-+=⎪⎪+-+-=-⎩。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
福州大学《线性代数》试题
一、填空(共30分,每小题3分)
1,3||2,||3,|2(T
A B A B A ==--1
、设都是阶方阵，且则行列式B )|=( ).
1
2111012.,( ).
13410x x
t y
t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
⎝⎭设则 3. 设AX ＋B ＝2X ，其中-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1132,,0111A B 则X ＝（ ）。
-⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
.设则(A+3E)(A -9E)=( ).121014020,011A
312301214A -⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪
-⎝⎭
*
*5.设矩阵，A 是A 的伴随矩阵，则A 中位于3行2列的
元素是（ ）。
61712, 1
2A E B ⎛
===⎪⎪⎭
6.设，且B 则（）。
||2,A n A k ==*-17.已知为阶方阵,且则（ )时,kA 是3A +4A 的逆矩阵.
8.A ααα设方阵和非零向量满足+5A =0,则A 的一个特征值为( ）。
123409. 0
x x x x -=⎧⎨-=⎩四元齐次线性方程组的基础解系是（）。
=222
1231232310,,)2( ).
.二次型f(x ++-2可通过正交变换化为标准形
x x x x x x x
二、单项选择（每小题2分，共10分）
1.A|3|2 2| (A) 8 |A| (B) 2|A| (C) 8|| (D) -2||
A A ααααααα-1233212设|是阶行列式，A=(,,),则 2 +=（）。
λ-⎛⎫
⎪⎝⎭1
2A ( )
34()
312.设=2是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于113 (B)(C) (D)424
A A
,,,()(,1,2),(2,,3),(0,0,0)(1,1,1,),(2,2,2,),(0,0,0,)(,1,1),(2,,3),(2,3,),(,0,)(1,,1,1),(1,,1,0),(1,,0,0)
3.对任意实数以下向量组中线性无关的向量组是（ ）。
(B)(C) (D)a b c A a b a b c b a c a c a b c --===2121
4.,n (),() (B)(BA) (C)r(A)=r(B) (D) A =BAB 设为两个阶方阵，满足则下列命题中可能错误的是( ).A B AB E A A B E ⨯5 ()、设A 是56矩阵，则下列命题中正确的是( ).
(A)若A 中所有5阶子式为0,则秩(A)=4;(B)若秩(A)=4,则A 中所有5阶子式为0(C)若A 中存在不为0的4阶子式,则秩(A)=4;若秩(A)=4,则A 中所有4阶子式不为0
D
11121311121331+-=++=,,
(,D i j )223
三、（10分）设行列式D=112且2y x
其中分别表示行列式的第行第列元素的余子式和代数余子式，试求的值。
ij ij M M M A A A M A D
-⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
116610),B 025011A -1四（分）设(2E-C ＝，
123C=012，求矩阵。
001T B A C
.
1231231
233102
2
x x x x x x x x x λλλλλ++=-⎧⎪
++=-⎨⎪++=-⎩五(分)对于线性方程组讨论取何值时，方程组无解、有唯一解和有无穷多解。
在方程有无穷多解时，试用其导出组的基础解系表示全部解。
⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭
111A 131,,111六（10分）设求正交矩阵使得
为对角矩阵。
T Q Q AQ
------=+⎧==⎨=+⎩⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11
00
111100
1x 2,2,1,
43n n n n
n n n n n n x y x y y x y x x x y y 七（10分）已知且(1)试将与的关系写成矩阵形式;（2）求
12323123(510八证明每小题分，共分)：
1.设向量组a ,a ,a 线性相关，向量组a ,a 线性无关证明：a 能由a ,a 线性表示.
⨯=2.m n a ,.
T
T
b A ab 设A 为矩阵，证明rank(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量及非零行向量使。