第3章 离散傅里叶变换

引入了负频率
指数形式的傅里叶级数的系数
F (n0 ) Fn
1 Fn T1

t0 T1
t0
f (t )e
jn0t
dt
两种傅氏级数的系数间的关系 F0 c0 a0
Fn Fn e
j n
1 (an jbn ) 2
F n F n e
j n
1 (an jbn ) 2


~ nk X (k )WN
k 0
N 1
时域、频域都具有离散、周期特性。
图3-2 的幅度特性
可见，离散时间周期序列的频谱也是频域的离散 周期序列。离散傅立叶级数（DFS）对周期序列实 现了时域离散和频域离散的对应关系。
3.2.2 离散傅里叶级数系数的性质
1．线性
2．移位特性
3．周期卷积
由于时域和频域都是离散的，因而这种 傅里叶变换对有其特殊的性质，这些性质使 离散傅里叶变换在实际应用中会存在一些特 殊问题，因此有必要对它们进行仔细的了解。 离散傅里叶变换由于有快速计算方法， 因而不仅有理论意义，也有实际意义，在数 字信号处理实现中起着重要的作用。
为了对各种形式的傅里叶变换有个总体 认识，我们在这一章的开始首先回顾各种傅 里叶变换，这样也就明确了DFT在傅里叶变换 中所占的地位和研究DFT的目的。 然后，我们再了解DFT是怎样导出的，为 此我们先讲述离散傅里叶级数，在得到DFS之 后，DFT也就随之得到了。 接下来，我们要研究DFT的性质和应用， 最后还要讲述DFT解决具体问题时所遇到的一 系列技术性问题，这是这一部分的难点。
其中τ为脉冲宽度，也就是信号的持续时间。很明显， 信号的持续时间与其频带宽度成反比。这就是为什么 如果我们为了提高信号传输速率，即压缩信号的持续 时间，就必须拓宽传输线路的带宽。
3.1.3 离散时间、非周期信号的傅里叶 变换
将以上三种傅里叶变换时域和频域对应 关系归纳为表3-1。
表3-1 三种傅里叶变换形式的归纳
n 4, N 9 n 4 9 5 N 5 49 5
2. xn N xn1 含义
先取模值，后进行函数运算; 而
xn1 xnN 视作将 xn1
周期延拓。
二.有限长序列x(n)和周期序列 ~ x (n) 的关系
一.预备知识 1.余数运算表达式 如果 n n1 mN ， 0 n1 N 1 m为整数；则有：
((n)) N (n1 )
此运算符表示n被N除，商为m，余 数 n1 。
例如： (1)
259
(2)
n 25, N 9 n 25 2 9 7 2 N n1 7
3.2 离散傅里叶级数
3.2.1 离散傅里叶级数的推导 3.2.2 离散傅里叶级数的性质
3.2.1
离散傅里叶级数的推导
正如连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示一样，离散周 期序列也可以用离散傅里叶级数表示，也就是用周期为N的复指 数序列来表示。 表3-2表示了连续周期信号与离散周期序列的复指数对比。
一、三角函数形式的傅里叶级数
直流 分量
基波分量 n =1
2 0 T1
谐波分量 n>1
n0
直流 系数Байду номын сангаас
余弦分量 系数
1 t a0 t T1
0
T1
f (t ).dt
0
2 t an t T1
2 bn T1
0
T1
0
f (t ). cos n1t.dt
f (t ). sin n1t.dt
表3-2 连续周期信号与离散周期序列的复指数对比
连续周期函数FS（3-1）
x(t )
n
Fe
n

jn0t
x(n) X (k )e
k 0
离散周期序列DFS （3-7） 2 N 1 j ( ) nk N
科学上定义为离散时间周期序列的离散傅立叶级 数系数（DFS），记为
E e n
j
1 E jn 0t E j 0 t Fn [ e dt ( )e dt] T 0 2 2 T

T 2
T
2
(n为奇数)(n为偶数时为0)
单边谱和双边谱
Fn
cn
2E

n 0
0
0
0
3 0

n 0
双边幅度频谱Fn F n 是n1的偶函数, 相位谱 n是n1的奇函数; 单边幅度频谱 cn 2 Fn (n 0)
三、三角函数级数与复指数级数的关系
由前知
f (t ) a0 (an cos n0t bn sin n0t )
n 1
由欧拉公式 其中
f (t )
n


F (n 0 )e jn0t
F (0) a0
1 F (n0 ) (an jbn ) 2
1 F (n0 ) (an jbn ) 2
其逆变换即
旋转因子：WN e
j
2 N
上述两式构成一个离散周期信号的离散傅立叶级数对。它们都 是以N为周期的离散周期序列。 注意：离散傅立叶级数（DFS）由于是有限项求和，所以总是收 敛的
~ nk ~ ~ X (k ) DFS x (n ) x (n )WN
n 0
N 1
1 ~ ~ x (n ) IDFS X (k ) N
FS FT DTFT
时 域 连续，周期 连续，非周期 离散，非周期
频 域 离散，非周期 连续，非周期 连续，周期
3.1.4 离散时间、周期信号的离散傅里 叶级数
前面讨论的三种傅里叶变换对，都不适 用在计算机上运算。 我们感兴趣的是时域及频域都是离散的 情况，这就是离散傅里叶级数（变换） （DFS）。 根据以上讨论，时域离散信号其频谱具 有周期性，同时为使频域离散，则信号时域 必须具有周期性。 因此，DFS必是一种时域、频域均为离散 和周期的一种傅里叶变换。
正弦分量
系数

t 0 T1
t0
周期信号频谱： 周期信号的频谱 f (t ) a0 (an cos n 0t bn sin n 0t )
n 1
和差化积：f (t ) c0 cn cos(n 0t n )
n 1

周期信号频谱： 二、复指数形式的傅里叶级数 f (t )
对于一个周期信号，一般可以分解成直流分量、 基波和无穷多个高次谐波分量的叠加。各次谐波 的频率是基频的整数倍；各次谐波的振幅一般也 不同，通常高次谐波分量的幅值较小。
可以看出，对于一个以T为周期的周期矩形 脉冲信号，可以利用傅立叶级数的指数形式 方便地分析出其离散频谱。基频越低（即周 期T越长）其频谱的谱线越密。
3.3 离散傅里叶变换（DFT）--有限 长序列的离散频域表示
3.3.1 从离散傅里叶级数到离散 傅里叶变换 3.3.2 DFT和Z变换、DTFT之间 的关系 3.3.3 离散傅里叶变换的性质
3.3.1 从离散傅里叶级数到离散傅里 叶变换
由上一节的讨论可知，周期序列实际上只 有有限个序列值有意义，因而它和有限长序 列有着本质的联系。 本节将根据周期序列和有限长序列之间的 关系，由周期序列的离散傅里叶级数表示式 推导得到有限长序列的离散频域表示即离散 傅里叶变换（DFT）。
单边傅里叶级数
双边傅里叶级数
积分区间不一样，[0,T];[-T,0]
3.1.1 连续时间、周期信号的傅里叶级数
傅立叶系数Fn表示组成周期信号x(t)的各个复指数分量之复数幅度
周期信号的幅度谱只会出现在离散频率 点上，这种谱称为离散谱，它是周期信号频 谱的主要特点。
图3-1 连续时间信号傅里叶变换对示意图
3.1 傅里叶变换的几种形式
3.1.1 连续时间、周期信号的傅里叶 级数 3.1.2 连续时间、非周期信号的傅里 叶变换 3.1.3 离散时间、非周期信号的傅里 叶变换 3.1.4 离散时间、周期信号的离散傅 里叶级数
在深入讨论离散傅里叶变换DFT之前，先 概述四种不同形式的傅里叶变换对。
3.1.1 连续时间、周期信号的傅里叶级数
x ( n)
周期序列 ~ x (n) 是有限长序列x(n)的周期延拓。
x ( n) =
m
x(n mN ) x n
~ x ( n)
0 , , 0nN-1 其他n

N
或x(n) ~ x (n) RN (n) ~ 有限长序列x(n)是周期序列 x (n) 的主值序列。
到目前为止，我们已经学习了三种形式 的傅里叶变换： （1）周期连续信号的傅里叶级数，这个 周期连续信号的频谱系数在频域上是离散的、 非周期的。 （2）非周期连续函数的傅里叶变换，这 个傅里叶变换的结果在变换域的频谱是连续 的、非周期的。 （3）非周期离散序列的离散时间傅里叶 变换，这种傅里叶变换的频谱是连续的、周 期的。 其中，第一种和第二种变换都是针对连 续时间信号的，而第三种变换是针对离散时 间信号的。
n
cn为单边频谱。
Fe
n

jn 0t
2 Fn f (t )e jn0t dt TT cn 2 Fn (n 0)
Fn为展开式中各频率分量的幅度 ，一般是复函数
周期信号频谱的数学表达式
信号的频谱:振幅谱,相位谱. 例1：计算下图傅里叶级数和频谱 f(t) 解:
an 0 b2 n 0
傅里叶的两个最主要的贡献—— “周期信号都可表示为谐波关系的正弦 信号的加权和” ——傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积 分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
傅里叶变换是在傅里叶正交函数展开的 基础上发展起来的，傅里叶变换建立了以时 间t为自变量的“信号”与以频率f为自变量 的“频率函数”（频谱）之间的某种变换关 系，可以将信号从时域映射到频域。 由于采用频域分析方法较之经典的时域 方法有许多突出的优点，傅里叶分析方法已 经成为信号分析与系统设计不可缺少的重要 工具。 考虑到信号时域和频域都有连续和离散 两种情况，因此存在四种形式的傅里叶变换 对。
回想这三种傅里叶变换，我们不难验证， 通过傅里叶变换或傅里叶逆变换后，时域中 的一个周期函数对应频域中的一个离散序列， 时域中的一个非周期函数对应频域中的一个 连续函数，反过来也是一样，即 周期 离散 非周期 连续
以上三种傅里叶变换，尽管在理论上有 重要意义，但在实际中往往难于实现，尤其 在数字计算机上实现是困难的，因为它们总 有一个域是连续的。 为此我们需要一种时域和频域上都是离 散的傅里叶变换对，这就是离散傅里叶变换， 简称DFT。 离散傅里叶变换的导出可以有各种方法， 比较方便、同时物理意义也比较清楚的是从 离散傅里叶级数着手。
第3章 离散傅里叶变换
3.1 傅里叶变换的几种形式 3.2 离散傅里叶级数
3.3 离散傅里叶变换 3.4 频域采样理论
3.5 DFT的应用
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何周期 信号都可用正弦函数级 数表示” 1829年狄里赫利第一个 给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热 的分析理论”一书中
T 2
T
T
t
2 E bn [ sin n 0 tdt T 0 2
E sin n 0 tdt] 2 T
2
2E n
(n为奇数)(n为偶数为0)
1 f (t ) sin n0t n 1,3,5. n
2E

1 E 2 E n [ (1 cos n )] [1 (1) ] T jn 0 j 2n
图3-4 有限长序列及其周期延拓
定义从n=0 到（N-1）的第一个周期为主值序列或区间。
~ 三.周期序列X ( k )与有限长序列X(k)的关系
~ X (k ) X k N ~ X (k ) X (k ) RN ( k )
有限长序列X(k)的周期延拓。
3.1.2 连续时间、非周期信号的傅里叶 变换
可见，非周期信号（如单个矩形脉冲）的频谱 是连续曲线。与相应的周期函数（如周期矩形 脉冲）的离散频谱的包络变化一致。再一次显 示周期函数与非周期函数的内在联系。
此外需要指出的是，从频谱图可以看出，非周期信号 的频率成分遍布整个频率轴，但信号的能量主要集中 在频谱函数的第一个零点以内的频率范围上。科学界 通常规定这个频率范围为信号的频带宽度，简称带宽， 记为