数学九年级上华东师大版25.3解直角三角形1教案

25.3解直角三角形

解直角三角形是初中数学的一个重要内容，它在实际生活中应用非常广泛，是中考的重点和热点，也是今后学习三角函数的基础．

解直角三角形及应用与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，它是在研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，通过计算求未知的边长、角度和面积等的过程．要学好解直角三角形及应用，必须理解直角三角形中边、角之间的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数来解直角三角形，并会应用解直角三角形的有关知识来解决某些简单的实际问题．现把直角三角形的解法及应用简析如下：

1、明确解直角三角形的依据和思路

在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则解直角三角形的主要依据是：

（1）边角之间的关系：

sinA ＝cosB ＝c a

， cosA ＝sinB ＝c b

，tanA ＝cotB ＝b a

，cotA ＝tanB ＝a b

．

（2）两锐角之间的关系：A ＋B ＝90°．

（3）三条边之间的关系：

． （4）三角形面积：．

（5）同角三角函数的关系： 平方关系：；

商数关系：A A

A cos sin tan =，A A

A sin cos cot =；倒数关系：1cot tan =A A

以上每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形及应用的思路，就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解．

2、解直角三角形的基本类型和方法

在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么已知了什么样的条件的直角三角形才可解呢？

解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系．除直角以外，已知两个元素（至少有一个是边）则可作出此直角三角形，即此直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的．由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长．所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边．由此可得，解直角三角形就分为两大类，一类为：已知一条边及一个锐角，二类为：已知两条边．基本类型和解法归纳如下：

已知条件 解法

一边及

一锐角 直角边a 及锐角A B ＝90°－A ，b ＝a ·cotA ，A a

c sin = 斜边c 及锐角A B ＝90°－A ，a ＝c ·sinA ，b ＝c ·cosA

两边

两条直角边a 和b

22b a c +=，B ＝90°－A ，22a c b -= 直角边a 和斜边c c a

A =sin ，

B ＝90°－A ，22a c b -=

例1、如图，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A ＝α，AE ＝1，求AB 的长．

[分析一]：所求AB 是Rt △ABC 的斜边，但在Rt △ABC 中只知一个锐角A ＝α，暂不可解．而在Rt △ADE 中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解Rt △ADE 入手．

[解法一]：在Rt △ADE 中，∵AD AE A =

cos ，且∠A ＝α，AE ＝1，

， 在Rt △ADC 中， ，

在Rt △ABC 中，．

[分析二]：观察图形可知，CD 、CE 分别是Rt △ABC 和Rt △ACD 斜边上的高，具备应用射影定理的条件，可以利用射影定理求解．

[解法二]：同解法一得，，

在Rt △ACD 中，，

在Rt △ABC 中，．

点评：本题是由几个直角三角形组合而成的图形．这样的问题，总是先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解．另外，射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，在解直角三角形时经常要用到．

例2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线．若BD＝，∠B＝30°，求AD 的长；

[分析]：由AD是BC边的中线，只知DC一条边长，仅此无法直接在Rt△ADC中求解AD．而在Rt△ABC中，由已知BC边和∠B可以先求出AC，从而使Rt△ADC可解．

[解析]：在Rt△ABC中，∵BC＝2BD＝2，∠B＝30°，

∴AC＝BC ·tanB＝2，

在Rt△ADC中，∵DC＝BD＝，

∴．

点评：在解直角三角形的问题中，经常会遇到如上的图形，它是含有两个直角三角形的图形．这样的问题常常是利用其中一个直角三角形来解另一个直角三角形．

例3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠ABC＝45°,∠ADC＝60°，BD＝1，求AB．

分析：已知的角度告诉我们，Rt△ABC 和Rt△ADC都是特殊的直角三角形，抓往这个特点设未知数，根据线段间的数量关系，可以列出一元一次方程求解．

解：在Rt△ADC中，设DC＝x，∵∠ADC＝60°，∴AD＝2x，AC＝x，

在Rt△ABC中，∵∠ABC＝45°，BD＝1，∴1＋x＝x，

∴x＝，∴AB＝AC＝x＝．

点评：解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，要注意发掘图形的几何性质，建立已知与未知的联系，利用线段的和差的等量关系布列方程．

例4、Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a＝10，，解这个直角三角形．

[分析]：因Rt△ABC的面积为，故用已知条件可求出b的值，这样一来，Rt△ABC就已知两直角边了，再由直角三角形中的锐角三角函数定义，便可求出锐角和斜边．

[解析]：∵∠C＝90°，，∴＝，

∵a ＝10，∴b ＝，∴33310

10

tan ===b a

A ，∴∠A ＝60°，

∵∠A ＋∠B ＝90°，∴∠B ＝90°－60°＝30°，

∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴c ＝2b ，∴c ＝

． ∴b ＝，c ＝，∠A ＝60°，∠B ＝30°．

点评：在直角三角形中，锐角三角函数定义是连接三角形中边角关系的纽带，因此要熟练地掌握定义，进而灵活运用，要注意：直角三角形中若已知一边长和一个特殊锐角（30°、45°、60°），则可利用三角函数定义求出其它两边的长，利用这一方法有时比利用勾股定理要简单得多．

例5、已知：如图，在△ABC 中，BC ＝＋1，∠B ＝30°，∠C ＝45°，求△ABC 的面积．

[分析]：构造Rt △ABD ，利用特殊角的三角函数值，求

出BC 边

上的高AD 即可．

[解析]：过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，设AD ＝x ，则DC ＝x ，

BD ＝

x ，∵BC ＝BD ＋DC ＝＋1， ∴x ＝1，∴

点评：本题体现了基本图形基本性质的综合应用．同时要注意，作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．

3、解直角三角形在实际问题中的应用

借助解直角三角形来解决实际问题的关键是要从实际问题中抽象出几何图形，把实际问题中的数量关系转化为直角三角形的边角之间的关系，从而通过解直角三角形使实际问题得到解决．

例1、如图所示，河对岸有一座铁塔AB ，若在河这边C 、D 处分别用测角仪器测得塔顶B 的仰角为30°和60°．已知测角仪器高为1.5米，CD ＝20米，求铁塔的高．（精确到0.1米）．

[解析]：设BG ＝x ，在Rt △BGF 中，∵cot ∠BFG ＝，

∴FG ＝BG ·cot ∠BFG ＝x ·cot60°＝x ，

在Rt △BGE 中，EG ＝BG ·cot ∠BEG ＝x ．