高三第五次月考数学理科试题及答案
2023届河南省洛阳市第一高级中学高三9月月考数学(理)试题(解析版)
2023届河南省洛阳市第一高级中学高三9月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}22,B y y x x R ==-+∈，则A B =（ ）A ．(,2]-∞B ．[1,2]C ．[1,2)D ．[1,)+∞【答案】B【解析】转化条件为{}1A x x =≥，{}2B y y =≤，再由集合的交集运算即可得解.【详解】因为{{}1A x y x x ===≥，{}{}22,2B y y x x R y y ==-+∈=≤，所以{}[]121,2A B x x ⋂=≤≤=. 故选：B.【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 2．利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】C【分析】设3()log 3f x x x =-+，根据当连续函数()f x 满足f （a ）f （b ）0<时，()f x 在区间(,)a b 上有零点，即方程3log 3x x =-在区间(,)a b 上有解，进而得到答案． 【详解】解：设3()log 3f x x x =-+，当连续函数()f x 满足f （a ）f （b ）0<时，()f x 在区间(,)a b 上有零点， 即方程3log 3x x =-在区间(,)a b 上有解， 又f （2）3log 210=-<，f （3）3log 33310=-+=>，故f （2）f （3）0<，故方程3log 3x x =-在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是(2,3). 故选：C ． 3．若函数y的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，12]B ．（0，12） C ．[0，12]D ．[0，12）【答案】D【分析】根据题意将问题转化为二次型不等式恒成立问题，结合对参数a 的讨论，根据∆即可求得结果.【详解】要满足题意，只需2420ax ax -+>在R 上恒成立即可. 当0a =时，显然满足题意. 当0a >时，只需2Δ1680a a =-<， 解得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.综上所述，10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：D .【点睛】本题考查二次型不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.4．已知公比为q 的等比数列{}n a 前n 项和为n S ，则“1q >”是“{}n S 为递增数列”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 【答案】D【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质即可得到结论. 【详解】解：①在等比数列中，若1,2q n >≥时，1n n n S S a --=，当10a <时，110n n a a q -=<，则1n n S S -<，此时{}n S 为递减数列，即充分性不成立； ②若“{}n S 为递增数列”，即2n ≥时，1n n S S ->，则有10n n S S -->，而110n n a a q -=>并不能推得1q >，如111,2a q ==，故必要性不成立， 故“1q >”是“{}n S 为递增数列”的既不充分也不必要条件， 故选：D.5．已知函数()f x 的导函数f x 的图像如图所示，那么函数()f x 的图像最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由导函数图象可知原函数的单调区间，从而得到答案．【详解】由导函数图象可知，()f x 在（-∞，-2），（0，+∞）上单调递减， 在（-2，0）上单调递增， 故选：A ． 6．函数6()e 1||1xmxf x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．与m 值有关【答案】C【分析】利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解.【详解】由题意可知，()3e 16()3e 1||1e 1||1x x x mx mxf x x x =+=--+++++， 设()()3e 1e 1||1x x mxg x x =--+++，则()g x 的定义域为(),-∞+∞，所以()()()()()3e 13e 1e 1||1e 1||1x x xx m x mx g x g x x x --⎡⎤-⎢⎥-=-+=--+=-+-+++⎢⎥⎣⎦--， 所以()g x 为奇函数， 所以()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 336f x f x M N g x g x +=+=+++=, 故选：C.7．函数f （x ）的图象与其在点P 处的切线如图所示，则()()11f f -'等于（ ）A ．－2B ．0C ．2D ．4【答案】D【分析】根据图象求出切线斜率和方程，由导数的几何意义和切点在切线上可解. 【详解】由题意，切线经过点(2,0),(0,4)，可得切线的斜率为40202k -==--，即()12f '=-，又由切线方程为24y x =-+，令1x =，可得2y =，即()12f =， 所以()()11224f f '-=+=. 故选：D8．若函数()ln 1f x x x ax =-+在[e,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(,2]-∞ C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞【答案】B【分析】求导，导函数在[e,)+∞上恒非负，根据恒成立的问题的办法解决.【详解】()1ln f x x a '=+-，又()f x 在[e,)+∞上单调递增，故()0f x '≥在[e,)+∞上恒成立，而[e,)x ∈+∞时，易见min ()2f x a '=-，只需要20a -≥即可，故2a ≤. 故选：B.9．已知()1xf x e =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，则()f x 与()g x 的公切线条数（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条【答案】C【分析】设直线l 是()f x 与()g x 的公切线，分别设出切点，分别得出切线方程，根据方程表示同一直线，求出参数即可得到答案.【详解】根据题意，设直线l 与()1xf x e =-相切于点(),1m m e - ，与()g x 相切于点(),ln 1n n +，对于()1x f x e =-，()x f x e '=，则1mk e =则直线l 的方程为()1m my e e x m +-=- ，即(1)1m m y e x e m =+--，对于()ln 1g x x =+，()1g x x'=，则21=k n则直线l 的方程为()()1ln 1y n x n n -+=-，即1ln y x n n=+， 直线l 是()f x 与()g x 的公切线，则()11ln 1m m e n m e n ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩， 可得110mm e ，即0m =或1m =则切线方程为：1y ex =- 或y x =,切线有两条. 故选：C10．已知()()11e x f x x -=-，()()21g x x a =++，若存在1x ，2R x ∈，使得()()21f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B ．1,e ∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．()0,eD ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】原命题等价于max min ()()f x g x ≥，再求max ()f x 和min ()g x 解不等式即得解. 【详解】12R ,x x ∃∈，使得()()21f x g x ≥成立，则max min ()()f x g x ≥，由题得()()111e 1e e x x xf x x x ---=-+-=-'，当0x >时，()0f x '<，当0x <时，()0f x '>，所以函数()f x 在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减， 所以()()max 10ef x f ==，由题得min ()(1)g x g a =-=， ∴1ea ≤故选：B.11．已知函数3,0,()212,0,x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-++<⎪⎩若存在唯一的整数．．x ，使得03()2x a f x -<-成立，则所有满足条件的整数．．a 的取值集合为（ ） A ．{2,1,0,1,2}-- B ．{2,1,0,1}-- C ．{1,0,1,2}- D ．{1,0,1}-【答案】B【分析】作出()3()g x f x =的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与(),2a 连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得a 范围.【详解】令33,0,()3()616,0,x x g x f x x x ⎧≥⎪==⎨-++<⎪⎩作出()g x 的图象如图所示：03()2x a f x -<-等价于()20ax x g --<，表示点()(),x g x 与点(),2a 所在直线的斜率，可得曲线()g x 上只有一个整数点()(),x g x 与(),2a 所在的直线斜率小于0，而点(),2a 在直线2y =上运动，由()20,(1)6,(0)0g g g -=-== 可知当-21a ≤≤-时，只有点()00，满足()20a x x g --<，当01a ≤≤时，只有点()16-，满足()20ax x g --<，当1a >时，至少有()16-，，()13，满足()20ax x g --<，不满足唯一整数点，故舍去， 当2a <-时，至少有()()0020-，，，满足()20ax x g --<，不满足唯一整数点，故舍去， 因为a 为整数，故a 可取2101--，，， 故选：B12．已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】A【分析】0.20.20.20.2e e ln e b ==，令()ln f x x x =，利用导数求出函数()f x 的单调区间，令()e 1xg x x =--，利用导数求出函数()g x 的单调区间，从而可得出0.2e 和1.2的大小，从而可得出,a b 的大小关系，将,b c 两边同时取对数，然后作差，从而可得出,b c 的大小关系，即可得出结论.【详解】解：0.20.20.20.2e e ln e b ==，6ln1.2 1.2ln1.25a ==，令()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10ex <<时，()0f x '<，当1e x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，令()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>， 所以函数()g x 在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增， 所以()()0.200g g >=，即0.21e10.2 1.2e>+=>，所以()()0.2e 1.2f f >，即0.20.2e e 1.22ln ln1.>，所以b a >，由0.20.2e b =，得()0.211ln ln 0.2e ln 55b ==+，由13c =，得1ln ln 3c =，11151ln ln ln ln ln 35535c b -=--=-，因为55625510e 3243⨯⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 3>，所以51ln 35>，所以ln ln 0c b ->，即ln ln c b >， 所以c b >， 综上所述a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.二、填空题13．已知命题“R x ∀∈，210x ax ++>”是假命题，则实数a 的取值范围为______. 【答案】(,2][2,)-∞-+∞【解析】根据“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题，得出它的否定命题是真命题，求出实数a 的取值范围．【详解】解：∵命题“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题， ∴R x ∃∈，210x ax ++≤是真命题， 即R x ∃∈使不等式210x ax ++≤有解； 所以240a ∆=-≥，解得：2a ≤-或2a ≥. ∴实数a 的取值范围是(,2][2,)-∞-+∞. 故答案为：(,2][2,)-∞-+∞.【点睛】本题主要考查根据特称命题与全称命题的真假求参数，考查了一元二次不等式能成立问题，属于基础题.14．已知()f x 为R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，当10x -<<时，()2xf x =，则()22log 5f +的值为______． 【答案】45--0.8【分析】由题设条件可得()f x 的周期为2，应用周期性、奇函数的性质有()2242log 5(log )5f f +=-，根据已知解析式求值即可.【详解】由题设，(2)()()f x f x f x -=-=-，故(2)()f x f x +=，即()f x 的周期为2，所以()22225542log 5(22log )(log )(log )445f f f f +=⨯+==-，且241log 05-<<，所以()24log 5242log 525f +=-=-.故答案为：45-.15．已知函数()1,03,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪-+≤⎩，若方程()f x a =有三个不同的实数根123,,x x x ，且123x x x <<，则123ax x x +的取值范围是________.【答案】(]1,0-【分析】画出函数图象，数形结合得到a 的取值范围，且23x x a +=，解不等式得到(]11,0x ∈-，从而求出(]11231,0ax x x x =∈-+. 【详解】画出函数()f x 的图象：由函数()f x 的图象可知：10x ≤，23a <≤，令1x a x+=，则210x ax -+=， 所以23x x a +=，令1233x <-+≤，解得：(]11,0x ∈-，所以(]11231,0ax x x x =∈-+. 故答案为：(]1,0-.16．已知函数()()()2log 120kx kf x x k k +=+->，若存在0x >，使得()0f x ≥成立，则k的最大值为______． 【答案】12eln 【分析】由()0f x ≥，可得()()()()121log 1120k x x x k x +++-+≥，同构函数()2log g x x x =，结合函数的单调性，转化为()()2log 11x h x x +=+的最大值问题.【详解】由()()2log 120kx kf x x k +=+-≥，可得()()()()121log 1120k x x x k x +++-+≥ 即()()()()121log 112k x x x k x +++≥+，()()()()11221log 12log 2k x k x x x ++++≥⋅构造函数()2log g x x x =，显然在()1,+∞上单调递增， ∴()112k x x ++≥，即()2log 11x k x +≤+，令()()2log 11x h x x +=+，即求函数的最大值即可，()()()()()222221log 1log log 1ln 211x e x h x x x -+-+'==++， ∴在()1,1e -上单调递增，在()1,e -+∞上单调递减， ∴()h x 的最大值为()11ln 2h e e -= ∴10e 2k ln <≤，即k 的最大值为1e 2ln 故答案为：1e 2ln .三、解答题17．已知(){}23log 212A x x x =-+>，11216x aB x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭．(1)当2a =时，求R A B ⋂；(2)已知“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)R {2A B x x ⋂=<-或46}<≤x (2)0a ≥【分析】（1）先求出,A B ，从而可求R B ，故可求R A B ⋂.（2）根据题设条件可得B A ⊆，从而可求0a ≥.【详解】(1){}2|219{2A x x x x x =-+>=<-或4}x >，当2a =时211{6}216x B x x x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}R6B x x =≤，所以R {2A B x x ⋂=<-或46}<≤x ，(2)11{4}216x aB x x x a -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=>+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，由“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件得B A ⊆ 所以44+≥a ，解得0a ≥．18．命题p ：22430x ax a -+->(0a >)，命题q :302x x -<-. (1)当1a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； (2)若p ⌝ 是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)(2,3) (2)[1,2]【分析】（1）结合已知条件分别化简命题p 和q ，然后由1a =且p q ∧为真即可求解； （2）结合（1）中结论分别求出p ⌝ 和q ⌝，然后利用充分不必要的概念即可求解. 【详解】(1)结合已知条件可知，22430()(3)03x ax a x a x a a x a -+->⇔--<⇔<<， 30(2)(3)0232x x x x x -<⇔--<⇔<<-， 当1a =时，命题p ：13x <<，命题q ：23x <<， 因为p q ∧为真，所以132323x x x <<⎧⇒<<⎨<<⎩，故求实数x 的取值范围为(2,3).(2)结合（1）中可知，命题p ⌝：x a ≤或3x a ≥，命题q ⌝：2x ≤或3x ≥， 因为p ⌝ 是q ⌝的充分不必要条件，所以{|x x a ≤或3}x a ≥是{|2x x ≤或3}x ≥的真子集，从而0233a a <≤⎧⎨≥⎩且等号不同时成立，解得12a ≤≤，故实数a 的取值范围为[1,2].19．函数()2131log 1x x x f x x x ⎧-≤⎪⎨>⎪⎩＋，＝，，()2g x x k x =-+-，若对任意的12,R x x ∈，都有()()12f x g x ≤成立.(1)求函数()g x 的最小值； (2)求k 的取值范围. 【答案】(1)|k －2| (2)79,,44⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）根据绝对值的三角不等式，即可得答案.（2）分析可得求max min ()()f x g x ≤即可，根据()f x 解析式，作出图象，结合函数的性质，可得max ()f x ，所以可得|k －2|≥14，根据绝对值不等式的解法，即可得答案. 【详解】(1)因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以min ()2g x k =- (2)对任意的12,R x x ∈，都有()()12f x g x ≤成立，即max min ()()f x g x ≤ 观察f (x )＝2131log 1x x x x x ⎧-≤⎪⎨>⎪⎩＋，，的图象，结合函数性质可得，当x ＝12时，函数max 1()4f x = 所以|k －2|≥14，解得k ≤74或k ≥94.故实数k 的取值范围是79,,44⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭20．低碳环保，新能源汽车逐渐走进千家万户.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.为了提高生产质量，有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速80km/h.经数次测试，得到纯电动汽车每小时耗电量Q （单位：wh ）与速度x （单位：km/h ）的数据如下表所示： x 0 10 40 60 Q132544007200为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量Q 与速度x 的关系，现有以下三种函数模型供选择：①3211()40=++Q x x bx cx ；②22()10003⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭xQ x a ；③3()300log a Q x x b =+.(1)当080x ≤≤时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；(2)现有一辆同型号纯电动汽车从A 地行驶到B 地，其中，国道上行驶30km ，高速上行驶200km.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量Q 与速度x 的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速v （单位：km/h ）满足[80,120]v ∈，且每小时耗电量N （单位：wh ）与速度v （单位：km/h ）的关系满足()()221020080120N v v v v =-+≤≤.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 【答案】(1)选①，理由见解析；321()215040=-+Q x x x x (2)高速上的行驶速度为80km/h ，在国道上的行驶速度为40km/h ；33800wh【分析】（1）判断③、②不符合题意，故选①，再利用待定系数法求解即可． （2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及对勾函数的性质进行求解． 【详解】(1)解：对于③3()300log a Q x x b =+，当0x =时，它无意义，故不符合题意，对于②，22()1000()3x Q x a =-+，()0220100003Q a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，解得999a =-，则22()13x Q x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当10x =时，()02121013Q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又100122033<⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭，所以()021210131Q ⎛⎫=- ⎪⎭<⎝，故不符合题意，故选①3211()40=++Q x x bx cx ， 由表中数据，可得323211010101325401404040440040b c b c ⎧⨯+⨯+⨯=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯+⨯=⎪⎩，解得2150b c =-⎧⎨=⎩，321()215040Q x x x x ∴=-+． (2)解：高速上行驶200km ，所用时间为200h v， 则所耗电量为2200200100()()(210200)400()2000f v N v v v v v v v=⋅=⋅-+=+-，由对勾函数的性质可知，()f v 在[80,120]上单调递增，min 100()(80)400(80)200030500wh 80f v f ∴==⨯+-=， 国道上行驶30km ，所用时间为30h v， 则所耗电量为322303013()()(2150)604500404g v Q v v v v v v v v =⋅=⋅-+=-+， 080v ≤≤，∴当40v =时，min ()(40)3300wh g x g ==，∴当这辆车在高速上的行驶速度为80km /h ，在国道上的行驶速度为40km/h 时，该车从A 地行驶到B 地的总耗电量最少，最少为30500330033800wh +=． 21．已知函数()ln af x x b x x=--. (1)若函数()f x 在1x =处的切线是10x y +-=，求a b +的值； (2)当1a =时，讨论函数()f x 的零点个数. 【答案】(1)4a b +=(2)当2b ≤时，()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点，当2b >时，()f x 在()0,∞+上有3个零点.【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解；（2）由（1）知()1ln f x x b x x =--，求导()221x bx f x x -+'=，分类讨论22b -≤≤，2b <-和2b >时，利用导数研究函数的单调性，进而得出函数的零点.【详解】(1)∵切点()()1,1f 也在切线10x y +-=上，∴1110a -+-=，即1a =. 函数()ln a f x x b x x =--，求导()21a bf x x x'=+-， 由题设知()111f a b =+-=-'，即3b =， ∴4a b +=.(2)当1a =时，()1ln f x x b x x =--，0x >求导()222111b x bx f x x x x -+'=+-=. ①当22b -≤≤时，二次函数210x bx -+≥恒成立，即()0f x '≥在()0,x ∈+∞上恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增， 又()10f =，故()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点.②当2b <-时，方程210x bx -+=有两个不同的根，设12,x x ，此时120x x b +=<，1210x x =>，即10x <，20x <，()0f x '>在()0,x ∈+∞上恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增，故()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点.③当2b >时，方程210x bx -+=有两个不同的根，设12,x x ， 此时120x x b +=>，1210x x =>，即1201x x <<<， 当10x x <<时，()0f x '>，()f x 在()10,x 上单调递增； 当12x x x <<时，()0f x '<，()f x 在()12,x x 上单调递减； 当2x x >时，()0f x '>，()f x 在()2,x +∞上单调递增. 又()()()1210f x f f x >=>，所以21111e ln e 0e ee e bb bb b bf b b ⎛⎫=--=-+< ⎪⎝⎭在()2,b ∈+∞上恒成立， 所以()f x 在()10,x 上有且只有1个零点.又()10f =，故()f x 在()12,x x 上有且只有1个零点.又()2111e e ln e e 0e e e b bb b b b b f b b f ⎛⎫=--=--=-> ⎪⎝⎭在()2,b ∈+∞上恒成立， 故()f x 在()2,x +∞上有且只有1个零点.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点，当2b >时，()f x 在()0,∞+上有3个零点.22．已知函数()()2ln 211f x x ax a x a =+-+++，其中R a ∈.(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，求函数()g x 在区间[]1,2上的最小值 (3)若()f x 在区间[]1,2上的最大值为2ln21-，直接写出a 的值. 【答案】(1)0y = (2)详见解析 (3)ln 2【分析】（1）求导求切线方程；（2）求导，含参讨论求最值；（3）求导判断单调性验证成立即可【详解】(1)()()2ln 211f x x ax a x a =+-+++，则()10f =()()1221f x ax a x'=+-+，则()10k f '== 则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为0y = (2)()()1()221g x f x ax a x'==+-+，[]1,2x ∈ 则222121()2ax g x a x x-'=-+=，[]1,2x ∈ ①当0a ≤时，2221()0ax g x x -'=<，则()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 在[]1,2上的最小值为()11(2)421222g a a a =+-+=-②当108a <≤时，由[]1,2x ∈，可得2281ax a ≤≤，则2221()0ax g x x-'=≤ 则()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 在[]1,2上的最小值为1(2)22g a =-③当1182a <<时，222221()a x x ax g x x x ⎛ -⎝⎭⎝⎭'==，[]1,2x ∈当1x ≤<()0g x '<，()g x 单调递减；2x ≤时，()0g x '>，()g x 单调递增则当x =()g x取最小值()2211)1g a a =+=- ④当12a ≥时，由[]1,2x ∈，可得2221ax a ≥≥，则2221()0ax g x x -'=≥则()g x 在[]1,2上单调递增，()g x 在[]1,2上的最小值为(1)0g = (3)ln 2a =，理由如下：此时，函数()()2ln 211ln 2ln 2ln 2f x x x x =+-+++，[]1,2x ∈则()()()ln 21(1)ln 2ln 221221x f x x x xx '-+--=+= 由[]1,2x ∈，可得ln 2ln 2ln 4122x ≥=>，10x -≥，0x > 则()()ln 21(120)x f x x x--'=≥，则()f x 在[]1,2单调递增.则()f x 在[]1,2上的最大值为()()ln 2ln 2ln 2ln 212ln2422112f =-+++=-+。
宁夏银川一中2017届高三上学期第五次月考数学(理)试题 含答案
银川一中2017届高三年级第五月考数 学 试 卷（理)命题人:第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}4-==x y x A ，{}0121≤-≤-=x x B ,则()UC A B ⋂=A ．),4(+∞B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,42⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]1,42．已知i 为虚数单位，若()2ii ,1ia b a b +=+∈+R ,则()2log a b +的值是 A ．0 B ．1- C ．2- D ．12 3．设,,R b a ∈若,0||>-b a 则下列不等式中正确的是A ．0>-a bB ．033<+b aC ．0>+a bD ．022<-b a4．已知数列}{na 是等差数列，其前n 项和为,nS 若40342017=S ,则=++201510093a a aA ．2B ．4C ．6D ．8 5．对于直线m ，n 和平面α,β，αβ⊥的一个充分条件是 A ．//m n ，n β⊥，m α⊂ B ．.B m n ⊥,//m α，//n βC ．m n ⊥，m αβ⋂=，n α⊂D ．.D //m n ，m α⊥，n β⊥6．函数ax x f =)(满足4)2(=f ,那么函数)1(log )(+=x x g a 的图象大致为7．已知某几何体的三视图（单位： cm ）如图所示，则该几何体的体积是A ．108cm 3B ．84cm 3C ．92cm 3D ．100cm 38．已知1x ，2x (12xx <）是函数1()ln 1f x x x =--的两个零点，若()1,1a x ∈,()21,b x ∈，则A ．()0f a <,()0f b <B ．()0f a >，()0f b >C ．()0f a >,()0f b <D ．()0f a <，()0f b > 9．设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是A ．函数的一条对称轴为π6x =B ．函数在区间π5π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增C ．00,3πx∃∈()，使()1=-0f xD ．a ∃∈R ，使得函数)(a x f y +=在其定义域内为偶函数10．如图，正方形ABCD 中,M 是BC 的中点，若BD AM AC μλ+=，则λμ+=A ．43B ．53C ．158D ．211．三棱锥P ABC -中，6,AB BC AC PC ==⊥平面,2ABC PC =,则该三棱锥的外接球的表面积为A ．253πB ．252πC ．833πD ．832π12．定义：如果函数()f x 在[],a b 上存在1x ，2x （12a xx b <<<），满足1()()()f b f a f x b a-'=-,2()()()f b f a f x b a-'=-，则称数1x ，2x 为[],a b 上的“对望数”，函数()f x 为[],a b 上的“对望函数”．已知函数321()3f x x x m=-+是[]0,m 上的“对望函数"，则实数m 的取值范围是A ．3(1,)2B ．3(,3)2C ．(1,2)(2,3)D ．33(1,)(,3)22第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题,考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分．13．由2,1,===x xy x y 及x 轴所围成的平面图形的面积是 ．14．若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,0,0,01x y x y x 则y x z 2+=的最大值是.15．已知0,0a b >>,若不等式3103ma b a b --≤+恒成立，则m 的最大值FCP为 .16．数列{}n a 中，11a =,n S 为数列{}n a 的前n 项和,且对2n ∀≥,都有221nn n na a S S =-，则数列 {}na 的通项公式na = 。
天津市第一中学2024届高三第五次月考数学试卷(含答案与解析)_1189
天津一中2024届高三年级第五次月考试卷数 学本试卷总分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}1,0,2,3B =-，则()UB A ⋃=ð（ ）A. {}3B. {}0,2,3,4,5C. {}1,0,2,3,4,5-D. {}2,3,4,52. 已知n 为正整数，则“22n n ≥”是“3n =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知4log 2a =，e12b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12πc =，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. c a b >>4. 已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ()2e ln e 1x xx f x ⋅=-B. ()21sin x f x x +=C. ()22e ex xx f x -+=- D. ()e 1cos e 1x x f x x +=⋅-.5. 已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，211lg lg lg2n n n a a -++=，*n ∈N ，则9S =（ ） A. 511B. 61C. 41D. 96. 在一段时间内，分5次测得某种商品价格x （万元）和需求量()t y 之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为ˆ28.111.5yx =-，根据上述信息，如下判断正确的是（ ）价格x 1.4 1.6 1.822.2 需求量y12 10 7m3A. 商品的价格和需求量存在正相关关系B. y 与x 不具有线性相关关系C. 6m =D. 价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25t7. 已知AB ，CD 分别是圆台上、下底面圆直径，且AB CD ⊥，若圆台上底面圆直径为2，下底面圆直径为8，母线长为5，则三棱锥A BCD -的体积为（ ） A283B.323C. 14D. 188. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点记为1F ，2F 且124F F =，直线l 过2F 且与该双曲线的一条渐近线平行，记l 与双曲线的交点为P ，若所得12PF F △的内切圆半径恰为3b，则此双曲线的方程为（ ）A. 2213y x -=B. 2213x y -=C. 22122x y -=D. 22331210x y -=9. 已知函数()()sin cos ,0f x x a x x ωωω=+∈>R 的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列判断错误的是（ ）的的.A. a ω⋅=B. 函数π6f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数 C. 若函数()f x 在区间(]0,m 上至少有4个零点，则11π6m ≥ D. ()f x 在区间ππ,36⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知i 为虚数单位，化简1i1i-+的结果为______．11. 在6x ⎛+ ⎝的展开式中，3x 项的系数为______．12. 已知抛物线()220y px p =>，经过抛物线上一点()1,2的切线截圆()()22:40C x a y a -+=>的弦长为a 的值为______．13. 市场上某种产品由甲、乙、丙三个厂商供应且甲、乙、丙三家产品市场占比为2:3:5由长期的经验可知，三家产品的正品率分别为0.9,0.9,0.8，将三家产品按照市场比例混合在一起．从中任取一件，则此产品为正品的概率______；若在市场上随机购买两件产品，则这两件产品中恰有一个是正品的概率为______．14. 在ABC 中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，AB a =，AC b = ，若13AMAC = ，13BH BM = ，则AH = ______（用a ，b表示）；若P 是AC 上一动点，过P 分别做PF BC ⊥交BC 于F ，PE AB ⊥交AB 于E ，则()PE PF PA +⋅的最小值是______．15. 若方程0x x a k -+=在区间[]0,2上有解，其中44a -+≤<，则实数k 的取值范围为______．（结果用a 表示）三．解答题（本大题共5小题，共75分）16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2cos 3cos23A A -=． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 为锐角三角形，3b =，2c =， （ⅰ）求a 值；（ⅱ）求()sin 2A C -的值．17. 如图，已知多面体111ABC A B C -，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值； （3）求点A 到平面111A B C 的距离．18. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>左右焦点为1F ，2F ，A 是上顶点，B是右顶点，2AB AF =．（1）求椭圆的离心率；（2）当13BF =+时，直线l 与椭圆相切于第二象限的点D ，与y 轴正半轴相交于点M ，直线AB 与直线l 相交于点H ，H '为H 在x 轴上投影，若3DHB HH S MO'=V （DHB S 表示DHB △的面积，O 为坐标原点），求直线l 的方程．19. 已知数列{}n a 是等差数列，2516a a +=，534a a -=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22=-n n S b ，（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；的（2）若集合1|nn i i *M n b a λ=⎧⎫=∈<⎨⎬⎩⎭∑N 中恰有四个元素，求实数λ的取值范围；（3）设数列{}n c 满足1,,n n n b n b b n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数，{}n c 的前n 项和为n T ，证明：12111118846nn k k T =-⨯<<∑． 20. 已知0m >，函数()1emx f x x -=-，()()ln 1x g x f x x m+=-+． （1）若函数()f x 的最小值是0，求实数m 的值；（2）已知曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的纵截距为正数． （ⅰ）证明：函数()g x 恰有两个零点； （ⅱ）证明：()11mmg x m m->-．参考答案一．选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分）1. 已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}1,0,2,3B =-，则()UB A ⋃=ð（ ）A. {}3B. {}0,2,3,4,5C. {}1,0,2,3,4,5-D. {}2,3,4,5【答案】C 【解析】【分析】先求U A ð，再根据并集运算求解.【详解】由题意可得：{}3,4,5U A =ð，所以()U B A ⋃=ð{}1,0,2,3,4,5-. 故选：C.2. 已知n 为正整数，则“22n n ≥”是“3n =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断.【详解】若“22n n ≥”，不能推出3n =，例如2n =，即充分性不成立； 若“3n =”，则29,28n n ==，可得22n n ≥，即必要性成立；综上所述：“22n n ≥”是“3n =”的必要不充分条件. 故选：B.3. 已知4log 2a =，e12b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12πc =，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. c a b >>【答案】D 【解析】【分析】利用换底公式计算a ，利用指数函数单调性判断b ，c 即可得答案.【详解】因为242log 21log 2log 42a ===，e 2111224b ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，102ππ1c =>=， 所以c a b >>. 故选：D4. 已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A. ()2e ln e 1x xx f x ⋅=-B. ()21sin x f x x +=C. ()22e ex xx f x -+=- D. ()e 1cos e 1x x f x x +=⋅-【答案】A 【解析】【分析】利用排除法，根据题意结合函数定义域以及函数值的符号分析判断. 【详解】由题意可知：()f x 的定义域为{}|0x x ≠，故B 错误； 当0x >，()f x 先正后负，则有：对于C ：因为2e 1e ,20x x x -<<+>，则e e 0x x --<，可知()220e e x xx f x -+=<-，故C 错误；对于D ：因为e 1x>，则e 10e 1x x +>-，但cos x 的符号周期性变化，故D 错误；故选：A.5. 已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，211lg lg lg2n n n a a -++=，*n ∈N ，则9S =（ ） A. 511 B. 61 C. 41 D. 9【答案】A 【解析】【分析】由对数运算可知2112n n n a a -+=，分析可知数列{}n a 的奇项、偶项均构成公比为4的等比数列，利用分组求和以及等比数列求和公式运算求解. 【详解】因为2111lg lg lg lg 2n n n n n a a a a -+++==，可得2112n n n a a -+=，则21122n n n a a +++=，可得24n na a +=， 可知数列{}n a 的奇项、偶项均构成公比为4的等比数列， 且数列{}n a 的各项均为正数，11a =，且122a a =，可得22a =，所以()()()459135792468214145111414S a a a a a a a a a --=++++++++=+=--.故选：A.6. 在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x （万元）和需求量()t y 之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为ˆ28.111.5yx =-，根据上述信息，如下判断正确的是（）价格x 1.4 1.6 1.822.2 需求量y12 10 7m3A. 商品的价格和需求量存在正相关关系B. y 与x 不具有线性相关关系C. 6m =D. 价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25t【答案】D 【解析】【分析】由散点图判断A ，根据回归直线方程判断B ，求出x ，y ，根据回归直线方程必过样本中心点求出m ，令 1.9x =求出 y ，即可判断D.【详解】由散点图可知，商品的价格和需求量存在负相关关系，故A 错误；由经验回归方程ˆ28.111.5yx =-，可知y 与x 具有线性相关关系，故A 错误； 又 1.4 1.6 1.82 2.2 1.85x ++++==，1210733255m my +++++==，又经验回归直线方程ˆ28.111.5yx =-必过样本中心点(),x y ， 则3228.111.5 1.85m+=-⨯，解得5m =，故C 错误； 当 1.9x =时， 28.111.5 1.9 6.25y =-⨯=，所以价格定为1.9万元，预测需求量大约为6.25t ，故D 正确． 故选：D ．7. 已知AB ，CD 分别是圆台上、下底面圆的直径，且AB CD ⊥，若圆台上底面圆直径为2，下底面圆直径为8，母线长为5，则三棱锥A BCD -的体积为（ ） A.283B.323C. 14D. 18【答案】B 【解析】【分析】由题意可得：圆台的高124O O =，可证CD ⊥平面2O AB ，结合锥体的体积公式运算求解. 【详解】设圆台上、下底面圆的圆心分别为12,O O ，为如图所示：可知圆台的高124O O ==，因为12,O O CD AB CD ⊥⊥，且121O O AB O =I ，12,O O AB ⊂平面2O AB ， 可知CD ⊥平面2O AB ，所以三棱锥A BCD -的体积为1132824323A BCD V -=⨯⨯⨯⨯=. 故选：B.8. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点记为1F ，2F 且124F F =，直线l 过2F 且与该双曲线的一条渐近线平行，记l 与双曲线的交点为P ，若所得12PF F △的内切圆半径恰为3b，则此双曲线的方程为（ ）A. 2213y x -=B. 2213x y -=C. 22122x y -=D. 22331210x y -=【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件探求出12PF F △的内切圆圆心坐标，借助点到直线距离公式计算可得2c a =，结合124F F =求,,a b c ，即可得方程.【详解】设双曲线22221x y a b-=半焦距为c ，则12(,0),(,0)F c F c -，由对称性不妨令与l 平行的渐近线为by x a=， 直线l 方程为：()by x c a=-，即0bx ay bc --=， 设12PF F △的内切圆O '与12PF F △三边相切的切点分别为0(,0)A x ，B，C ， 如图所示，的则1212||||||||(||||)PF PF PC CF PB BF -=+-+()()1200022AF AF x c c x x a =-=+--==， 即0x a =，而AO x '⊥轴，圆O '半径为3b ，则(,)3b O a '-， 点O '到直线l3b =，整理得|43|a c c -=， 且c a >，解得2c a =，又因为1224F F c ==，可得2221,2,3a c b c a ===-=，所以双曲线的方程为2213y x -=.故选：A.9. 已知函数()()sin cos ,0f x x a x x ωωω=+∈>R 的最大值为2，其部分图象如图所示，则下列判断错误的是（ ）A. a ω⋅=B. 函数π6f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数 C. 若函数()f x 在区间(]0,m 上至少有4个零点，则11π6m ≥ D. ()f x 在区间ππ,36⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增【答案】D 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据函数的最大值及()00f >求出a ，由π14f ⎛⎫=⎪⎝⎭求出ω的取值，再根据周期确定ω的值，即可得到函数解析式，即可判断A ，根据图象变换结合奇偶性判断B ；根据题意以π23x +为整体，结合正弦函数性质分析判断CD.【详解】因为()()sin cos f x x a x x ωωωϕ=+=+（其中sin ϕ=cos ϕ=，2=，且0a >，解得a =则()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==+⎪⎝⎭， 又因为πππ2sin 1443f ω⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ1sin 432ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 结合图象可知ππ5π2π,436k k ω+=+∈Z ，解得28,k k ω=+∈Z ， 且π,024T ω>>，则2ππ2ω>，解得04ω<<，所以0,2k ω==，可知a ω=，故A 正确； 所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 对于选项B ：πππ2sin 22sin 2663f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数，故B 正确； 对于选项C ：因为(]0,x m ∈，则πππ2,2333x m ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦， 由题意可得：π24π3m +≥，解得11π6m ≥，故C 正确； 对于选项D ：因为ππ,36x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则ππ2π2,333x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，且sin y x =在π2π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭内不单调，所以()f x 在区间ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误； 故选：D.【点睛】方法点睛：函数()sin y A x ωϕ=+的解析式的确定： （1）A 由最值确定； （2）ω由周期确定；（3）ϕ由图象上的特殊点确定．提醒：根据“五点法”中的零点求ϕ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型．二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）10. 已知i 为虚数单位，化简1i1i-+的结果为______． 【答案】i - 【解析】【分析】根据题意结合复数的除法运算求解即可.【详解】由题意可得：()()()21i 1ii 1i 1i 1i --==-++-. 故答案为：i -.11. 在6x ⎛+ ⎝的展开式中，3x 项的系数为______．【答案】15 【解析】【分析】根据二项式定理可得通项为36216C rr Tx-+=，令3632r -=，运算求解即可.【详解】因为6x ⎛+ ⎝的展开式通项为3662166C C ,0,1,2,,6rr r r r r T x x r --+===⋅⋅⋅， 令3632r -=，解得2r =， 所以3x 项的系数为2615C =. 故答案为：15.12. 已知抛物线()220y px p =>，经过抛物线上一点()1,2的切线截圆()()22:40C x a y a -+=>的弦长为a 的值为______． 【答案】1 【解析】【分析】由题意可得：24y x =，设切线方程()21x m y =-+，结合相切可得1m =，根据垂径定理结合弦长关系列式求解即可.【详解】因为抛物线()220y px p =>过点()1,2，则24p =，可得24y x =，显然切线斜率不为0，设切线方程为()2112x m y my m =-+=+-，联立方程2124x my m y x=+-⎧⎨=⎩，消去x 得()244210y my m -+-=，则()21616210m m ∆=--=，解得1m =，可得切线方程为1x y =-，即10x y -+=，又因为圆()()22:40C x a y a -+=>的圆心(),0C a ，半径2r =，则圆心(),0C a 到直线10x y -+=的距离d =，由题意可得：2222+=，解得1a =.故答案为：1.13. 市场上某种产品由甲、乙、丙三个厂商供应且甲、乙、丙三家产品市场占比为2:3:5由长期的经验可知，三家产品的正品率分别为0.9,0.9,0.8，将三家产品按照市场比例混合在一起．从中任取一件，则此产品为正品的概率______；若在市场上随机购买两件产品，则这两件产品中恰有一个是正品的概率为______． 【答案】 ①. 0.85##1720 ②. 0.255##51200【解析】【分析】设相应事件，结合全概率公式求此产品为正品概率；并结合独立重复性事件的概率公式求恰有一个是正品的概率.【详解】记任取一件，此产品由甲、乙、丙三个厂商供应分别为事件123,,A A A ，此产品为正品为事件B ， 由题意可知：()()()()()()1231230.2,0.3,0.5,|0.9,|0.9,|0.8P A P A P A P B A P B A P B A ======， 可得()()()()()()()112233|||0.85P B P B A P A P B A P A P B A P A =++=， 所以此产品为正品的概率为0.85；的这两件产品中恰有一个是正品的概率为()20.8510.850.255⨯⨯-=. 故答案为：0.85；0.255. 14. 在ABC 中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，AB a =，AC b = ，若13AMAC = ，13BH BM = ，则AH = ______（用a ，b表示）；若P 是AC 上一动点，过P 分别做PF BC ⊥交BC 于F ，PE AB ⊥交AB 于E ，则()PE PF PA +⋅的最小值是______．【答案】 ①. 2139a b + ②. 14-##0.25-【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则计算出AH，利用余弦定理求出BC ，即可得到AB BC ⊥，设D 为AB 的中点，则()21PE PF PA PD =+⋅- ，再求出min PD ，即可得解.【详解】依题意()1133AH AB BH AB BM AB AM AB =+=+=+-2133AB AM =+21121213333939AB AC AB AC a b =+⨯=+=+ ；因为2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，由余弦定理BC ===， 所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，则四边形PEBF 为矩形，则PE PF PB +=，设D 为AB 的中点，则()()()PB PD P D E PF P P B DA A PA D +⋅⋅⋅==++()()2221PD DB D PD PD D DB P B =⋅+-=-=- ，当PD AC ⊥时PD取得最小值，且最小值为sin AD BAC ∠=，所以221114PD -≥-=- ， 即()PE PF PA +⋅ 的最小值是14-.故答案为：2139a b + ；14-15. 若方程0x x a k -+=在区间[]0,2上有解，其中44a -+≤<，则实数k 的取值范围为______．（结果用a 表示）【答案】2,04a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】把方程0x x a k -+=在区间[]0,2上有解，转化为函数()22,,x ax x af x x ax x a⎧-≥=⎨-+<⎩的图象与直线y k =-在区间[]0,2上有交点，根据函数单调性，分类讨论分别求出最值求解即可.【详解】因为方程0x x a k -+=，即x x a k -=-在区间[]0,2上有解，设函数()22,,x ax x af x x x a x ax x a⎧-≥=-=⎨-+<⎩，则函数()f x 的图象与直线y k =-在区间[]0,2上有交点．因为44a -+≤<，所以0222a<-+≤<， 所以函数()f x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2a a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，在(),a ∞+上单调递增． 当24a ≤<时，在区间[]0,2上，()2max24a af x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()min 00f x f ==，则204a k ≤-≤，解得204a k -≤≤．当42a -+≤<时，因为()()00f f a ==，224a af ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()242f a =-．令2424a a =-，解得4a =-±，又42a -+≤<，所以2424a a ≥-，则204a k ≤-≤，解得204a k -≤≤，综上，实数k 的取值范围为2,04a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 故答案为：2,04a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将问题转化为函数()22,,x ax x af x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩的图象与直线y k =-在区间[]0,2上有交点，分类讨论得到()f x 的最值，即可求出k 的取值范围.三．解答题（本大题共5小题，共75分）16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2cos 3cos23A A -=． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 为锐角三角形，3b =，2c =，（ⅰ）求a 的值；（ⅱ）求()sin 2A C -的值． 【答案】（1）1cos 3A =或cos 0A =（2）（ⅰ）3；【解析】【分析】（1）根据题意，利用二倍角余弦公式化简求解； （2）（ⅰ）由题意可知：1cos 3A =，利用余弦定理分析求解；（ⅱ）由1cos 3A =结合倍角公式求sin2,cos 2A A ，利用正弦定理可得sin C =，结合两角和差公式运算求解.【小问1详解】由题可得()22cos 32cos 13A A --=，即23cos cos 0A A -=， 解得1cos 3A =或cos 0A =. 【小问2详解】因为△ABC 为锐角三角形，则1cos 3A =， 由余弦定理可得22212cos 9423293a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，即3a =；因为1cos 3A =，且π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin A ==，可得227sin22sin cos 2cos sin 9A A A A A A ===-=-由正弦定理可得sin sin a c A C =，则sin sin c A C a ==，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则7cos 9C ==，所以()sin 2sin 2cos cos 2sin A C A C A C -=-=. 17. 如图，已知多面体111ABC A B C -，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===．（1）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（2）求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值； （3）求点A 到平面111A B C 的距离． 【答案】（1）证明见解析（2（3） 【解析】【分析】（1）首先取AC 的中点O ，11A C 的中点D ，连接OD ，OB ，以O 为原点，,,OB OC OD 分别为,,x y x 轴建系，再利用向量法证明即可；（2）求出平面1ABB 的法向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值； （3）利用空间向量法求出点到平面的距离. 【小问1详解】取AC 的中点O ，11A C 的中点D ，连接OD ，OB . 因为120ABC ∠=︒，2AB BC ==，所以AC ==，BO AC ⊥，又因为1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，11////DO AA CC ， 所以DO ⊥平面ABC ，以O 为原点，,,OB OC OD 分别为,,x y x 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则()0,A ，()1,0,0B ，()11,0,2B，()10,4A，()1C ，()12AB =，()112A B =-，()110,3A C =-.设平面111A B C 的法向量(),,n x y z = ，则1111=0=0n A B n A C ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩ ，即2030x z z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，令y =，得()2n = ， 所以1//n AB ，又1AB ⊄平面111A B C ，所以1AB ⊥平面111A B C ； 【小问2详解】因为()1=AC，()1=2AB ，()1=0,0,2BB，设平面1ABB 的法向量(),,m a b c = ，则11=0=0m AB m BB ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩ ，即2020a c c ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令1b =，得()m = ，设直线1AC 与平面1ABB 所成角为θ，则11sin AC m AC m θ⋅===⋅ ， 所以直线1AC 与平面1ABB. 【小问3详解】因为平面111A B C的法向量为()2n =，()10,0,4AA = ，所以点A 到平面111A B C的距离1n AA d n ⋅===.18. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>左右焦点为1F ，2F ，A 是上顶点，B是右顶点，2AB AF =．（1）求椭圆的离心率；（2）当13BF =+时，直线l 与椭圆相切于第二象限的点D ，与y 轴正半轴相交于点M ，直线AB 与直线l 相交于点H ，H '为H 在x 轴上投影，若3DHB HH S MO'=V （DHB S 表示DHB △的面积，O 为坐标原点），求直线l 的方程． 【答案】（1（2）250x y -+= 【解析】【分析】（1）根据题意可得相应坐标，结合长度关系可得249b a =，即可得离心率；（2）设()0000,,0,0D x y x y ，分析可知直线l 的方程为00194x x y y+=，求相应点的坐标，结合面积关系列式求解即可. 【小问1详解】由题意可知：()1,0F c -，()2,0F c ，()0,A b ，(),0B a ，则2ABAF ==，整理得249b a =，所以椭圆的离心率c e a ===. 【小问2详解】 由（1）可知：c =，则13BF a c a =+=+=，解得3,2a c b ===， 可知椭圆方程为22194x y +=，直线:132x y AB +=，设()0000,,0,0D x y x y ，则2200194x y +=，对于直线00194x x y y+=，可知点()00,D x y 在该直线上， 联立方程0022194194x x y yx y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得00x x y y =⎧⎨=⎩， 可知直线00194x x y y +=与椭圆切于点()00,D x y ，即直线l 的方程为00194x x y y+=， 令0x =，解得04y y =，即040,M y ⎛⎫⎪⎝⎭， 令0y =，解得09x x =，即090,E x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 联立方程00132194x yx x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得()()000000363234323y x x y x y x y ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，即()()()00000000036343363,,,0232323y x y H H x y x y x y ⎛⎫⎛⎫---⎪⎪---⎝⎝'⎭⎭， 可得()()0000000012333323423x y x HH x y MO x y y -'--==-， 且()()0000000000043431121121123332232223DHB BEH BEDx x S S S y y x x y x x x y ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅--⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由3DHB HH S MO '=可得()()0000000004333112322323x y x y x x y x y ⎛⎫--⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，整理得20000344120y x y x -+-=，则()()20003441y x y -=+，又因为220194x y +=，即()()222020414161y y y -+=+， 整理得()()()2202204441y y y -=-+， 且002y <<，则()2200441y y -=-，整理得200580y y -=，解得085y =或00y =（舍去）， 代入2200194x y +=，解得095x =-或095x =（舍去）， 所以直线l 的方程为2155x y -+=，即250x y -+=. 【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解； （2）面积问题常采用12S =⨯ 底⨯高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．19. 已知数列{}n a 是等差数列，2516a a +=，534a a -=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22=-n n S b ，（1）求数列{}n a 和{}n b 通项公式；（2）若集合1|nn i i *M n b a λ=⎧⎫=∈<⎨⎬⎩⎭∑N 中恰有四个元素，求实数λ的取值范围；（3）设数列{}n c 满足1,,n n n b n b b n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数，{}n c 的前n 项和为n T ，证明：12111118846nn k k T =-⨯<<∑． 【答案】（1）21n a n =+；2nn b =的（2）353,322⎡⎫⎪⎢⎣⎭（3）证明见详解 【解析】【分析】（1）根据题意列式求得132a d =⎧⎨=⎩，即可得数列{}n a 的通项公式；根据n S 与nb 之间的关系分析可知{}n b 为等比数列，即可得数列{}n b 的通项公式；（2）由（1）可知：212ni i a n n ==+∑，设222n nn nc +=，原题意等价于关于n 的不等式n c λ<恰有4个不同的解，结合数列{}n c 的单调性分析求解； （3）根据等比数列求和可得()28413kk T =-，分析可知23118424k k kT <≤⨯⨯，结合等比数列求和公式分析证明. 【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得：53251242516a a d a a a d -==⎧⎨+=+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，所以()32121n a n n =+-=+； 又因为22=-n n S b ，若1n =，可得1122b b =-，解得12b =； 若2n ≥，可得1122--=-n n S b ，两式相减得122n n n b b b -=-，即12n n b b -=；可知数列{}n b 是以首项12b =，公比2q =的等比数列，所以1222n nn b -=⨯=.【小问2详解】 由（1）可知：()2132122ni i n n a n n =++==+∑，若1nn i i b a λ=<∑，即222nn n λ<+，可得222nn nλ+<， 设222n nn nc +=，原题意等价于关于n 的不等式n c λ<恰有4个不同的解， 令()()()()2211112131120222n nn n n n n n n n n c c ++++++-++-=-=≤， 当且仅当1n =时，等号成立， 可得1234c c c c =>>>⋅⋅⋅，且45335,232c c ==，则353322λ≤<， 所以实数λ的取值范围为353,322⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【小问3详解】由题意可知：12,2,n n n n b n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数，则2221212222k k k k k c c +-+=+=，则()()3521212212814822241143k k kkk k Tc c c c +--=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+==--，因为*k ∈N ，则0248k≤⨯-，即()064841kk<⨯≤-，可得()213124841k k k T =≤⨯-，则1121111111184112464614n nnknk k k T ==⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭≤==-<⎪⨯⎝⎭-∑∑； 又因*k ∈N ，则0414kk<-<，可得()213384841k k k T =>⨯-，则1123111311132418488414n nnknk k k T ==⎛⎫- ⎪⎝⎭>==-⨯⨯-∑∑；综上所述：12111118846nn k kT =-⨯<<∑. 20. 已知0m >，函数()1emx f x x -=-，()()ln 1x g x f x x m+=-+． 为（1）若函数()f x 的最小值是0，求实数m 的值；（2）已知曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的纵截距为正数． （ⅰ）证明：函数()g x 恰有两个零点； （ⅱ）证明：()11mmg x m m ->-．【答案】（1）1m =（2）（ⅰ）证明见详解；（ⅱ）证明见详解 【解析】【分析】（1）求得，利用导数分析可知()f x 的最小值为1ln m f m -⎛⎫⎪⎝⎭，结合题意列式求解； （2）根据（1）结合导数的几何意义可得01m <<.（ⅰ）求得，结合导数判断原函数单调性结合零点存在性定理分析证明；（ⅱ）由（i ）可得要证()11mmg x m m->-，即证()111mmg xmm->-，先证明()12ln m g x m>，再构造函数()()12ln 0H x x x x x =-+>，利用导数判断出函数的单调性，从而可得出结论.【小问1详解】因为()1emx f x x -=-，则()1e 1mx f x m -'=-，且0m >， 令()0f x ¢>，解得1ln m x m ->；令()0f x '<，解得1ln mx m-<； 可知()f x 在1ln ,m m -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内单调递减，在1ln ,m m -⎛⎫+∞⎪⎝⎭内单调递增， 则()f x 的最小值为1ln ln 0m mf m m -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得1m =. 【小问2详解】由（1）可知：()1emx f x x -=-，()1e 1mx f x m -'=-， 可得()11e1m f -=-，()11e 1m f m -'=-，即切点坐标为()11,e1m --，斜率1e 1m k m -=-，则切线方程为()()()11e1e 11m m y m x ----=--，令0x =，可得()11e m y m -=-，由题意可得：()110em m ->-，且0m >，解得01m <<；（i ）因为()()()1ln 1ln 1e 01mx x x g xf x x m m m-++=-+=-<<， 可知()g x 的定义域为()0,∞+，()2111e 1e mx mx m x g x m mx mx---=-='， 设()()21e10mx h x m x x -=->，则()()211e 0mx h x m mx -=+>'在()0,∞+内恒成立，可知函数()h x 在()0,∞+上递增， 由（1）可知：当1m =时，()1e0x f x x -=-≥，即1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，则3211333322222211e 1111m m h m m m m m m m -⎛⎫ ⎪+----- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-≥+⋅+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可得3332222110h m m m m m ---⎛⎫+>⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，又因()01h =-，由零点的存在性定理可得，存在3210,1x m -⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，使得()10h x =，即1111e mx mx m -=，（*）当()10,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 为减函数，当()1,x x ∈+∞时，()0h x '>，即()0g x '>，()g x 为增函数， 又因为01m <<，()111e m g m-=-， 设()()11e01x G x x x -=-<<，则()()121e 001x G x x x-'=+><<， 所以函数()G x 在()0,1上递增， 所以()()10G x G <=，即()111e 0m g m-=-<，因为()1e0x x x -≥>，所以1ln x x -≥1-≥2ln x ≥，则()g x mx mx ≥>-所以44440g m m m ⎛⎫>⋅= ⎪⎝⎭，且241m>，当01m <<时，1111e1mx mx m-=>， 所以由()x ϕ的单调性可知11mx >，且111x m>>， 所以当()11,x x ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数，当()1,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数， 所以由零点的存在性定理可知，()g x 在区间441,m ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点， 11ee1ln 11e e e 0e m mg m--+⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，且11e <， 所以由零点的存在性定理可知，()g x 在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点， 所以函数()g x 恰有两个零点， （ii ）因为1111emx mx m-=，即112ln ln 10m x mx ++-=， 则11ln 12ln 2x m mx +=--+，所以()1111121ln 112ln 2emx x m g x x m m x m m-+=-=++-， 有基本不等式可得()112112ln 22ln 22ln m m mg x x m x m m m m m=++-≥-=， 当且仅当1211x m x =，即11x m=时，取等号，由1111emx mx m-=，由11x m =可得1m =，这与01m <<矛盾，所以11x m ≠，所以()()12ln mg x g x m≥>， 要证()11mmg x m m ->-，即证()111mmg xmm->-，设()()12ln 0H x x x x x=-+>，则()22211110H x x x x ⎛⎫=--=--≤ ⎪⎝⎭'所以函数()H x 在()0,∞+上递减， 所以当01x <<时，()()10H x H >=， 因为01m <<，所以101m m <<，所以1112ln 2ln m m mm m m m m-=>-，又()()12ln m g x g x m≥>，所以()11m m g x m m ->-.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数()h x ；（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。
2019届宁夏银川一中高三第五次月考数学(理科)试卷答案
z yxFEDCBA P银川一中2018届高三第五次月考数学(理科)参考答案一、选择题：(每小题5分，共60分) 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DACBCDCBABAD二、填空题：(每小题5分，共20分) 13. 33y x =±14. 10 15. 4- 16. 3π 三、解答题：17. 解：（1）由题意知⎩⎨⎧++=+=+).6)(()2(,106411211d a d a d a d a ………………3分 解得⎩⎨⎧=-=321d a 所以a n =3n －5.…………………6分（Ⅱ）∵15384122--⋅===n n a n nb ∴数列{b n }是首项为41，公比为8的等比数列，---------9分所以;281881)81(41-=--=n n n S ………………………12分18. 解：（Ⅰ） )3sin()3sin()sin )(sin sin (sin B B B A B A -⋅+=-+ππ，∴)sin 21cos 23()sin 21cos 23(sin sin 22B B B B B A -⋅+=-， 即B B B A 2222sin 41cos 43sin sin -=-，∴43sin 2=A . 又ABC ∆是锐角三角形，∴23sin =A ，从而3π=A . …5分 （Ⅱ）由4,3a A π==及余弦定理知，22162cos3b c bc π=+-，即222162cos ()33b c bc b c bc π=+-=+-，22()3163()162b c b c bc ++=+≤+…10分2()64,8b c b c ∴+≤+≤.又,b c a +>8,a b c ∴<+≤28,a a b c a ∴<++≤+∴三角形ABC 周长的取值范围是812.a b c ∴<++≤……..12分.19. 解：（Ⅰ）方法一： 建立如图所示空间直角坐标系．设,,AP AB b BE a ===，则，(0,0,0),(0,,0),(,,0),(0,0,),A B b E a b P b 于是，(,,),(0,,).22b bPE a b b AF -=，则0=⋅AF PE ，所以AF PE ⊥．……6分方法二：,,BC AB BC PA ⊥⊥BC ∴⊥面PAB ,面PBA ⊥面PBC , 又,PA AB AF PB =⊥AF ∴⊥面PBC ,PE ⊂面PBC AF PE ∴⊥（Ⅱ）设2AB =则4,BC =,(4,0,0),(0,2,0),(,2,0),(0,0,2),D B E a P (0,2,0),(,2,2),AB PE a ==-若，则由21717ABPE AB PE=得3,(3,2,0)a E =， 设平面PDE 的法向量为),,(z y x n =， (4,0,2),(3,2,0),PD ED =-=-由 ⎝⎛=⋅=⋅00PE n PD n ，得：420,2022x xx z x y x y z x=⎧⎪-=⎧⎪=⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩，于是(2,1,4),21.n n ==，而,(0,1,1), 2.AF PBC AF AF ⊥==设二面角D-PE-B 为θ，则为钝角所以，542cos .42212nAF n AFθ=-=-=-20.解：（1）由题意，212||22,(,0),F F c A a ==∴ 212AF AF = 2F ∴为1AF 的中点2,322==∴b a 即：椭圆方程为.12322=+y x …………………(５分)（2）方法一：当直线DE 与x 轴垂直时，342||2==a b DE ，此时322||==a MN ，四边形DMEN的面积||||42DE MN S ⋅==．同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积||||42DE MN S ⋅==． 当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设DE :)1(+=x k y ，代入消去y 得：.0)63(6)32(2222=-+++k x k x k 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+,3263,326),,(),,(222122212211k k x x k k x x y x E y x D 则所以，231344)(||222122121++⋅=-+=-k k x x x x x x ， 所以，2221232)1(34||1||k k x x k DE ++=-+=，同理222211)1]3(1)||.1323()2k k MN k k -++==+-+所以四边形的面积222232)11(3432)1(34212||||k k k k MN DE S ++⋅++⋅=⋅=13)1(6)21(242222++++=k k k k令u u u S k k u 61344613)2(24,122+-=++=+=得因为,2122≥+=k k u 当2596,2,1==±=S u k 时，且S 是以u 为自变量的增函数，所以42596<≤S ．综上可知，96425S ≤≤．故四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为2596．…（12分）21．解：x>0时，ln()1ln ()()ex x f x f x xx+=--==………3分（1）当x>0时，有221(1ln )1ln ()x x x x f x xx⋅-+⋅'==-，()0ln 001f x x x '>⇔<⇔<<；()0ln 01f x x x '<⇔>⇔>所以()f x 在（0，1）上单调递增，在(1,)∞上单调递减，函数()f x 在1x=处取得唯一的极值．由题意0a >，且113a a <<+，解得所求实数a 的取值范围为213a << …6分（2）当1x ≥时，1ln (1)(1ln )()11k x k x x f x k x x x x+++≥⇔≥⇔≤++令(1)(1ln )()(1)x x g x x x++=≥，由题意，()k g x ≤在[)1,+∞上恒成立 ……8分 []22(1)(1ln )(1)(1ln )ln ()x x x x x x x x g x x x ''++⋅-++⋅-'==令()ln (1)h x x x x =-≥，则1()10h x x'=-≥，当且仅当1x =时取等号．所以()ln h x x x =-在[)1,+∞上单调递增，()(1)10h x h ≥=>因此，2()()0h x g x x '=> ()g x 在[)1,+∞上单调递增，min ()(1)2g x g ==．……10分所以2k ≤．所求实数k 的取值范围为(],2-∞ ………12分 22. 解.（I ） 的普通方程为1),1(3C x y -=的普通方程为.122=+y x联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,1),1(322y x x y 解得 与1C 的交点为)0,1(A ,)23,21(-B , 则1||=AB .（II ）2C 的参数方程为θθθ(.sin 23,cos 21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 为参数).故点P 的坐标是)sin 23,cos 21(θθ,从而点P 到直线 的距离是 ]2)4sin(2[432|3sin 23cos 23|+-=--=πθθθd ,由此当1)4sin(-=-πθ时,d 取得最小值,且最小值为)12(46-.23．解：由|21|11211,0 1.x x x -<-<-<<<得解得所以{|01}.M x x =<<（I ） 由M b a ∈,，得10,10<<<<b a ，所以(1)()(1)(1)0.ab a b a b +-+=--> 故1.ab a b +>+（II ）由}2,,2max 22⎩⎨⎧+=b ab b a ah ，得,2a h ≥ab b a h 22+≥，b h 2≥，所以8)(42222223≥+=⋅+⋅≥ab b a bab b a ah ，故2 h .。
湖南省10-11长沙市第一中学高三数学第五次月考 理【会员独享】
炎德·英才大联考某某市一中2011届高三月考试卷(五)数 学(理科)命题人：蒋楚辉审题人：胡雪文时量：120分钟满分：150分(考试X 围：集合、逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量与复数、数列、推理与应用、不等式、不等式证明、计数原理、二项式定理、概率)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{－2,0,1}，集合B ＝{x ||x |<a 且x ∈Z }，则满足A B 的实数a 可以取的一个值是()A.3B.2C.1D.02.若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|的值为() A.1B.16C.81D.413.如图，设D 是图中边长分别为2和4的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝x 2图象下方的区域(阴影部分)，向D 内随机抛掷30个点，则落在E 内的点的个数约为()A.15B.20C.5D.104.已知命题p ：“a ＝1是x >0，x ＋ax ≥2的充分必要条件”，命题q ：“x 0∈R ，x 20＋x 0－2>0”，则下列命题正确的是()A.命题“p ∧q ”是真命题B.命题“p ∧(┐q )”是真命题C.命题“(┐p )∧q ”是真命题D.命题“(┐p )∧(┐q )”是真命题5.已知cos(π6－α)＝33，则sin(5π6－2α)的值为()A.13B.－13C.23D.－236.已知函数f (x )＝2a (x ≥2) 则f (log 45)等于(B)f(x+2)(x<2)， A.25B.45C.35D. 5x-y+2≥07.已知实数x ，y 满足线性约束条件 x+y-4≥0 ，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )，若z 取最大2x-y-5≤0值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值X 围是()A.(0,1)B.(－1,0)C.(1，＋∞)D.(－∞，－1)8.形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为()A.16B.320C.11120D.215二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.幂函数f(x)＝x α(α为常数)的图象经过(3，3)，则f(x)的解析式是. 10.函数f(x)＝e x ln x －1的零点个数是个.11.按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值X 围是.12.数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ＝2,3,4，…)，则a 12＝.13.已知函数f (x )＝|x －2|，若a ≠0，且a ，b ∈R ，都有不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )成立，则实数x 的取值X 围是.14.在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA ＋MB ＋MC ＝0”，设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心.如果a MA ＋b MB ＋33c MC ＝0，则内角A 的大小为；若a ＝3，则△ABC 的面积为. 15.给定集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ∈N ，n ≥3)，定义a i ＋a j (1≤i <j ≤n ，i ，j ∈N )中所有不同值的个数为集合A 两元素和的容量，用L (A )表示，若A ＝{2,4,6,8}，则L (A )＝；若数列{a n }是等差数列，设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a m }(其中m ∈N *，m 为常数)，则L (A )关于m 的表达式为.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.(1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；(2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X 的分布列和数学期望.17.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin ωx·cos (ωx ＋π6)＋12(ω>0)的最小正周期为4π.(1)求正实数ω的值；(2)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足2b cos A ＝a cos C ＋c cos A ，求f(A)的值.18.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相等，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n 对任意的n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *，使得b k －a k ∈(0,1)？请说明理由.19.(本小题满分13分)某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a(1≤a≤3).(1)求该企业正常生产一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式；(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.20.(本小题满分13分)设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x，y∈(0，＋∞)都有：f(xy)＝f(x)＋f(y)成立，数列{a n}满足：a1＝f(1)＋1，f(12a n＋1－12a n)＋f(12a n＋1＋12a n)＝0.设S n＝a21a22＋a22a23＋a23a24＋…＋a2n－1a2n＋a2n a2n＋1.(1)求数列{a n}的通项公式，并求S n关于n的表达式；(2)设函数g(x)对任意x、y都有：g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，若g(1)＝1，正项数列{b n}满足：b2n＝g(12n)，T n为数列{b n}的前n项和，试比较4S n与T n的大小.21.(本小题满分13分)定义F(x，y)＝(1＋x)y，其中x，y∈(0，＋∞).(1)令函数f(x)＝F(1，log2(x3＋ax2＋bx＋1))，其图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C 在x0(－4<x0<－1)处有斜率为－8的切线，某某数a的取值X围；(2)令函数g(x)＝F(1，log2[(ln x－1)e x＋x])，是否存在实数x0∈[1，e]，使曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.(3)当x，y∈N，且x<y时，求证：F(x，y)>F(y，x).数学(理科)教师用卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{－2,0,1}，集合B ＝{x ||x |<a 且x ∈Z }，则满足A B 的实数a 可以取的一个值是(A)A.3B.2C.1D.02.若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|的值为(C) A.1B.16C.81D.413.如图，设D 是图中边长分别为2和4的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝x 2图象下方的区域(阴影部分)，向D 内随机抛掷30个点，则落在E 内的点的个数约为(D)A.15B.20C.5D.104.已知命题p ：“a ＝1是x >0，x ＋ax ≥2的充分必要条件”，命题q ：“x 0∈R ，x 20＋x 0－2>0”，则下列命题正确的是(C)A.命题“p ∧q ”是真命题B.命题“p ∧(┐q )”是真命题C.命题“(┐p )∧q ”是真命题D.命题“(┐p )∧(┐q )”是真命题5.已知cos(π6－α)＝33，则sin(5π6－2α)的值为(B)A.13B.－13C.23D.－236.已知函数f (x )＝2a (x ≥2) 则f (log 45)等于(B)f(x+2)(x<2)， A.25B.45C.35D. 5解：∵1<log 45<2，∴f (log 45)＝f (log 45＋2)＝f (log 480)＝2log 480＝4 5.x-y+2≥07.已知实数x ，y 满足线性约束条件 x+y-4≥0 ，目标函数z ＝y －ax (a ∈R )，若z 取最大2x-y-5≤0值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值X 围是(C) A.(0,1)B.(－1,0)C.(1，＋∞)D.(－∞，－1)解：约束条件对应的平面区域如下图，而直线x ＋y －4＝0与x －y ＋2＝0交于点A (1,3)，此时取最大值，故a >1.8.形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为(D)A.16B.320C.11120D.215解：当十位与千位是4或5时，共有波浪数为A 22A 33＝12个.当千位是5，十位是3时，万位只能是4，此时共有2个波浪数.当千位是3，十位是5时，末位只能是4.此时共有2个波浪数.故所求概率P ＝12＋2＋2A 55＝215.选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACDCBBCD二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.幂函数f(x)＝x α(α为常数)的图象经过(3，3)，则f(x)的解析式是f(x)＝x 12.10.函数f(x)＝e x ln x －1的零点个数是1个.11.按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值X 围是(28,57] .解：当输出k ＝2时，应满足 2x+1≤115，解得28<x ≤57. 2(2x+1)+1>11512.数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ＝2,3,4，…)，则a 12＝－1.解：由已知a 1＝2，a 2＝1－1a 1＝12，a 3＝1－1a 2＝－1，a 4＝1－1a 3＝2，可知{a n }是周期为3的周期数列，则a 12＝a 3×4＝a 3＝－1. 13.已知函数f (x )＝|x －2|，若a ≠0，且a ，b ∈R ，都有不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )成立，则实数x 的取值X 围是 [0,4] .解：|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )及a ≠0得f (x )≤|a ＋b |＋|a －b ||a |恒成立，而|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则f (x )≤2，从而|x －2|≤2，解得0≤x ≤4.14.在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA ＋MB ＋MC ＝0”，设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心.如果a MA ＋b MB ＋33c MC ＝0，则内角A 的大小为π6；若a ＝3，则△ABC 的面积为934. 解：由a MA ＋b MB ＋33c MC ＝a MA ＋b MB ＋33c (－MA －MB )＝(a －33c )MA ＋(b －33c )MB ＝0. 又MA 与MB 不共线，则a ＝33c ＝b ，由余弦定理可求得cos A ＝32，故A ＝π6. 又S △＝12bc sin A ＝12×3×33×12＝934.15.给定集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(n ∈N ，n ≥3)，定义a i ＋a j (1≤i <j ≤n ，i ，j ∈N )中所有不同值的个数为集合A 两元素和的容量，用L (A )表示，若A ＝{2,4,6,8}，则L (A )＝5；若数列{a n }是等差数列，设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a m }(其中m ∈N *，m 为常数)，则L (A )关于m 的表达式为2m －3.解：①∵2＋4＝6,2＋6＝8,2＋8＝10,4＋6＝10,4＋8＝12,6＋8＝14，∴L (A )＝5.②不妨设数列{a n }是递增等差数列可知a 1<a 2<a 3<…<a m ，则a 1＋a 2<a 1＋a 3<…<a 1＋a m <a 2＋a m <…<a m －1＋a m ，故a i ＋a j (1≤i <j ≤m )中至少有2m －3个不同的数.又据等差数列的性质：当i ＋j ≤m 时，a i ＋a j ＝a 1＋a i ＋j －1； 当i ＋j >m 时，a i ＋a j ＝a i ＋j －m ＋a m ，因此每个和a i ＋a j (1≤i <j ≤m )等于a 1＋a k (2≤k ≤m )中一个， 或者等于a l ＋a m (2≤l ≤m －1)中的一个.故L (A )＝2m －3.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.(1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；(2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X 的分布列和数学期望.解：(1)每次取到一只次品的概率P 1＝C 13C 112＝14，则有放回连续取3次，其中2次取得次品的概率P ＝C 23(14)2·(1－14)＝964.(5分) (2)依题知X 的可能取值为0、1、2、3.(6分) 且P(X ＝0)＝912＝34，P(X ＝1)＝312×911＝944，P(X ＝2)＝312×211×910＝9220，P(X ＝3)＝312×211×110×99＝1220.(8分)则X 的分布列如下表：(10分)EX ＝0×34＋1×944＋2×9220＋3×1220＝310.(12分)17.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin ωx·cos (ωx ＋π6)＋12(ω>0)的最小正周期为4π.(1)求正实数ω的值；(2)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足2b cos A ＝a cos C ＋c cos A ，求f(A)的值.解：(1)∵f(x)＝2sin ωx(cos ωx·cos π6－sin ωx·sin π6)＋12(2分)＝3sin ωx cos ωx －sin 2ωx ＋12＝32sin 2ωx －12(1－cos 2ωx)＋12＝sin (2ωx ＋π6).(5分) 又f(x)的最小正周期T ＝2π2ω＝4π，则ω＝14.(6分)(2)由2b cos A ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理可得2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin (A ＋C).又A ＋B ＋C ＝π，则2sin B cos A ＝sin B.(8分)而sin B≠0，则cos A ＝12.又A ∈(0，π)，故A ＝π3.(10分)由(1)f(x)＝sin (x 2＋π6)，从而f(A)＝sin (π3×12＋π6)＝sin π3＝32.(12分)18.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相等，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n 对任意的n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *，使得b k －a k ∈(0,1)？请说明理由.解：(1)已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n (n ∈N *).① n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8(n －1)(n ∈N *).②①－②得2n －1a n ＝8，解得a n ＝24－n ，在①中令n ＝1，可得a 1＝8＝24－1， 所以a n ＝24－n (n ∈N *).(4分)由题意b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2，所以b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2， ∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2， ∴b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6， b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝n 2－7n ＋14(n ∈N *).(8分)(2)b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ，当k ≥4时，f (k )＝(k －72)2＋74－24－k 单调递增，且f (4)＝1，所以k ≥4时，f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k ≥1.又f (1)＝f (2)＝f (3)＝0，所以，不存在k ∈N *，使得b k －a k ∈(0,1).(12分) 19.(本小题满分13分)某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x 元(7≤x ≤10)时，一年的产量为(11－x )2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a (1≤a ≤3).(1)求该企业正常生产一年的利润L (x )与出厂价x 的函数关系式；(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.解：(1)依题意，L (x )＝(x －3)(11－x )2－a (11－x )2＝(x －3－a )(11－x )2，x ∈[7,10].(4分)(2)因为L ′(x )＝(11－x )2－2(x －3－a )(11－x )＝(11－x )(11－x －2x ＋6＋2a )＝(11－x )(17＋2a －3x ).由L ′(x )＝0，得x ＝11[7,10]或x ＝17＋2a 3.(6分) 因为1≤a ≤3，所以193≤17＋2a 3≤233. ①当193≤17＋2a 3≤7，即1≤a ≤2时，L ′(x )在[7,10]上恒为负，则L (x )在[7,10]上为减函数，所以[L (x )]max ＝L (7)＝16(4－a ).(9分)②当7<17＋2a 3≤233，即2<a ≤3时，[L (x )]max ＝L (17＋2a 3)＝427(8－a )3.(12分) 即当1≤a ≤2时，则每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4－a )万元.当2<a ≤3时，则每件产品出厂价为17＋2a 3元时，年利润最大，为427(8－a )3万元.(13分) 20.(本小题满分13分)设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x ，y ∈(0，＋∞)都有：f (xy )＝f (x )＋f (y )成立，数列{a n }满足：a 1＝f (1)＋1，f (12a n ＋1－12a n )＋f (12a n ＋1＋12a n)＝0.设S n ＝a 21a 22＋a 22a 23＋a 23a 24＋…＋a 2n －1a 2n ＋a 2n a 2n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式，并求S n 关于n 的表达式；(2)设函数g (x )对任意x 、y 都有：g (x ＋y )＝g (x )＋g (y )＋2xy ，若g (1)＝1，正项数列{b n }满足：b 2n ＝g (12n )，T n 为数列{b n }的前n 项和，试比较4S n 与T n 的大小. 解：(1)当x ，y ∈(0，＋∞)时，有f (xy )＝f (x )＋f (y )，令x ＝y ＝1得f (1)＝2f (1)，得f (1)＝0，所以a 1＝f (1)＋1＝1.(1分)因为f (12a n ＋1－12a n )＋f (12a n ＋1＋12a n )＝0，所以f (14a 2n ＋1－14a 2n)＝0＝f (1). 又因为y ＝f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，所以14a 2n ＋1－14a 2n ＝1，即1a 2n ＋1－1a 2n＝4，(3分) 所以数列{1a 2n }是以1为首项，4为公差的等差数列，所以1a 2n＝4n －3，所以a n ＝14n －3. ∵a 2n a 2n ＋1＝1(4n －3)(4n ＋1)＝14[14n －3－14n ＋1]，∴S n ＝14[11－15＋15－19＋…＋14n －3－14n ＋1]＝14[1－14n ＋1].(5分) (2)由于任意x ，y ∈R 都有g (x ＋y )＝g (x )＋g (y )＋2xy ，则g (2x )＝2g (x )＋2x 2，∴g (1)＝2g (12)＋2·(12)2＝2[2g (14)＋2·(14)2]＋12＝22g (14)＋122＋12＝22[2g (123)＋2·(123)2]＋122＋12＝23g (123)＋123＋122＋12＝…＝2n g (12n )＋12n ＋12n －1＋12n －2＋…＋122＋12＝1， ∴g (12n )＝122n ，即b 2n ＝122n . 又b n >0，∴b n ＝12n ，(9分) ∴T n ＝12＋122＋…＋12n ＝1－12n ，又4S n ＝1－14n ＋1. 当n ＝1,2,3,4时，4n ＋1>2n ，∴4S n >T n ；(10分)当n ≥5时，2n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n >1＋2n ＋2n (n －1)2＝1＋n 2＋n . 而n 2＋n ＋1－(4n ＋1)＝n 2－3n ＝n (n －3)>0，故4S n <T n .(13分)(用数学归纳法证明参照计分)21.(本小题满分13分)定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，其中x ，y ∈(0，＋∞).(1)令函数f (x )＝F (1，log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1))，其图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在x 0(－4<x 0<－1)处有斜率为－8的切线，某某数a 的取值X 围；(2)令函数g (x )＝F (1，log 2[(ln x －1)e x ＋x ])，是否存在实数x 0∈[1，e]，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由.(3)当x ，y ∈N ，且x <y 时，求证：F (x ，y )>F (y ，x ).解：(1)f (x )＝F (1，log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1))＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，设曲线C 在x 0(－4<x 0<－1)处有斜率为－8的切线，又由题设知log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1)>0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，3x 20+2ax 0+b=-8 ①∴存在实数b 使得 -4<x 0<-1 ②有解，(3分)x 30+ax 20+bx 0>0 ③由①得b ＝－8－3x 20－2ax 0，代入③得－2x 20－ax 0－8<0，∴由 2x 20+ax 0+8>0 有解，-4<x 0<-1得2×(－4)2＋a ×(－4)＋8>0或2×(－1)2＋a ×(－1)＋8>0， ∴a <10或a <10，∴a <10.(5分)(2)∵g (x )＝(ln x －1)e x ＋x ，∴g ′(x )＝(ln x －1)′e x ＋(ln x －1)(e x)′＋1＝e x x ＋(ln x －1)e x ＋1＝(1x ＋ln x －1)e x ＋1.(6分) 设h (x )＝1x ＋ln x －1.则h ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2， 当x ∈[1，e]时，h ′(x )≥0.h (x )为增函数，因此h (x )在区间[1，e]上的最小值为ln1＝0，即1x＋ln x －1≥0. 当x 0∈[1，e]时，e x 0>0，1x 0＋ln x 0－1≥0， ∴g ′(x 0)＝(1x 0＋ln x 0－1)e x 0＋1≥1>0.(8分) 曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直等价于方程g ′(x 0)＝0有实数解. 而g ′(x 0)>0，即方程g ′(x 0)＝0无实数解.故不存在实数x 0∈[1，e]，使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直.(9分)(3)证明：令h (x )＝ln(1＋x )x ，x ≥1，由h ′(x )＝x 1＋x －ln(1＋x )x 2， 又令p (x )＝x 1＋x－ln(1＋x )，x ≥0， ∴p ′(x )＝1(1＋x )2－11＋x ＝－x (1＋x )2≤0， ∴p (x )在[0，＋∞)上单调递减，∴当x >0时，有p (x )<p (0)＝0，∴当x ≥1时，有h ′(x )<0，∴h (x )在[1，＋∞)上单调递减，(11分)∴当1≤x <y 时，有ln(1＋x )x >ln(1＋y )y， ∴y ln(1＋x )>x ln(1＋y )，∴(1＋x )y >(1＋y )x ，∴当x ，y ∈N ，且x <y 时，F (x ，y )>F (y ，x ).(13分)。
2024-2025学年湖北省武汉外国语学校高三上学期10月月考数学试题及答案
武汉外国语学校2024—2025学年度上学期10月月考高三数学试卷考试时间：2024年10月9日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2|230A x x x =+-≥，{}|22B x x =-≤<，则A B = （ ）A. []2,1--B. [)1,2- C. []1,1- D. [)1,22. 复数2i12i-+的共轭复数是（ ）A. 3i 5- B. 3i 5 C. i- D. i3. 若2b a = ，=- c a b ，且c a ⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A.π6B.π3C.2π3D.5π64. 已知π(0,)2αβ∈∈，则下列不等关系中不恒成立的是（ ）A. ()sin sin sin αβαβ+<+ B. ()sin cos cos αβαβ+<+C ()cos sin sin αβαβ+<+ D. ()cos cos cos αβαβ+<+5. 将体积为1的正四面体放置于一个正方体中，则此正方体棱长的最小值为（ ）A. 3B.C.D.6. 武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（ ）种A. 114B. 120C. 126D. 1327. 已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩…若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为A. []0,1 B. []0,2 C. []0,e D. []1,e 8. 已知函数()(),R f x f x x =-∈，()5.51f =，函数()()()1g x x f x =-⋅，若()1g x +为偶函数，则()0.5g -的值为（ ）.A. 3B. 2.5C. 2D. 1.5二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ）A. 数据1-，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1B. 已知随机变量(),X B n p ，若()40E X =，()30D X =，则160n =C. 若一组样本数据(),i i x y （1i =，2，…，n ）的对应样本点都在直线132y x =-+上，则这组样本数据的相关系数为12-D. 若事件M ，N 的概率满足()()0,1P M ∈，()()0,1P N ∈且()()1P N M P N +=，则M 与N 相互独立10. 连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（ ）A. 平行四边形B. 梯形C. 有三条边相等的四边形D. 有一组对角相等的四边形11. 设函数32()231f x x ax =-+，则（ ）A. 当0a =时，直线1y =是曲线()y f x =的切线B. 若()f x 有三个不同的零点123,,x x x ，则12312x x x ⋅=-⋅C. 存在,a b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D. 当02ax ≠时，()f x 在0x x =处的切线与函数()y f x =的图象有且仅有两个交点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若320S =，990S =，则6S =____________．13. 已知函数()()sin ,0,2π2cos xf x x x=∈+，写出函数()f x 的单调递减区间____________．14. 掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3得2分，向上的点数小于3得1分，反复掷这个骰子，（1）恰好得3分的概率为____________；（2）恰好得n 分的概率为____________．（用与n 有关的式子作答）四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知ABC ∆的面积为3，且满足0AB AC ≤⋅≤ 设AB 和AC的夹角为θ，（1）求θ的取值范围；（2）求函数()2πcos sin 3fθθθθ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭值域．16. 如图，已知四棱锥P ABCD -，PB AD ⊥，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 是边长为4菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120︒．（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）求二面角A PB C --的正弦值．17. 已知函数f(x)=a e x−2+ln ax (a >0)（1）当e a =时，求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处切线方程；（2）若不等式()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围．18. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为23，且经过点52,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）求椭圆E 的方程；（2）求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；（3）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．19. 设()f x 使定义在区间(1,)+∞上的函数，其导函数为()f x '.如果存在实数a 和函数()h x ，其中()h x 对任意的(1,)x ∈+∞都有()h x >0，使得()()()21f x h x x ax '=-+，则称函数()f x 具有性质()P a ．（1）设函数()f x 2ln (1)1b x x x +=+>+，其中b 为实数① 求证：函数()f x 具有性质()P b ；② 讨论函数()f x 单调性；（2）已知函数()g x 具有性质(2)P ，给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞<设m 为正实数，12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，且1,1αβ>>，若12()()()()g g g x g x αβ-<-，求m 的取值范围．的的的的武汉外国语学校2024—2025学年度上学期10月月考高三数学试卷考试时间：2024年10月9日 考试时长：120分钟 试卷满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2|230A x x x =+-≥，{}|22B x x =-≤<，则A B = （ ）A. []2,1--B. [)1,2- C. []1,1- D. [)1,2【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式求集合A ，即可得交集.【详解】由题意可得：{}(][)2|230,31,A x x x =+-≥=-∞-+∞U ，且{}|22B x x =-≤<，所以A B = [)1,2.故选：D.2. 复数2i12i-+的共轭复数是（ ）A. 3i 5- B. 3i5C. i -D. i【答案】D 【解析】【分析】先根据复数的除法求解，再根据共轭复数的概念求解.【详解】因为()()()()2i 12i 2i5i i 12i 12i 12i 5----===-++-，所以其共轭复数是i .故选：D.3. 若2b a = ，=- c a b ，且c a ⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】【分析】根据向量垂直列方程，结合向量数量积的运算以及向量夹角的知识求得正确答案.【详解】因为c a ⊥，所以()22cos ,0a c a a b a a b a a b a b ⋅=⋅-=-⋅=-⋅⋅= ，由于2b a = ，所以212cos ,0,cos ,2a a a a b a b -⋅⋅== ，由于0,πa b ≤≤ ，所以π,3a b = .故选：B4. 已知ππ(0,),(0,)22αβ∈∈，则下列不等关系中不恒成立的是（ ）A. ()sin sin sin αβαβ+<+ B. ()sin cos cos αβαβ+<+C. ()cos sin sin αβαβ+<+ D. ()cos cos cos αβαβ+<+【答案】C 【解析】【分析】由两角和的正弦、余弦公式展开后结合不等式的性质可判断ABD ，举反例判断C ．【详解】,αβ都是锐角，则sin (0,1),cos (0,1),sin (0,1),cos (0,1)ααββ∈∈∈∈，sin()sin cos cos sin sin sin αβαβαβαβ+=+<+，A 正确；sin()sin cos cos sin cos cos αβαβαβαβ+=+<+，B 正确；15αβ==︒时，cos()cos30αβ+=︒=，sin15︒====，sin sin sin15sin15αβ+=︒+︒=>C 错误；()cos cos cos sin sin cos cos cos cos cos αβαβαβαβααβ+=-<<<+，D 正确．故选：C ．5. 将体积为1的正四面体放置于一个正方体中，则此正方体棱长的最小值为（ ）A. 3B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】反向思考，求出边长为a 的正方体的最大内接正四面体的体积，结合条件，即可求解.【详解】反向思考，边长为a 的正方体，其最大内接正四面体的体积为33311141323a a a -⨯⨯⨯==，得到33a =，解得a =故选：C.6. 武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（ ）种A. 114 B. 120 C. 126 D. 132【答案】A 【解析】【分析】依据值班3天的为分类标准，逐类解决即可.【详解】因为有三位老师值班7天，且每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，所以必有一人值班3天，另两人各值班2天.第一类：值班3天在(1,3,5)、(1,3,6)、(1,4,6)、(2,4,7)、(2,5,7)、(3,5,7)时，共有1113226C C C 72⨯=种不同的值班方法；第二类：值班3天在(1,3,7)、(1,5,7)时，共有11322C C 12⨯=种不同的值班方法；第三类：值班3天在(1,4,7)时，共有111322C C C 12=种不同的值班方法；第四类：值班3天在(2,4,6)时，共有1234C C 18=种不同的值班方法；综上可知三位老师在国庆节7天假期共有72121218114+++=种不同的值班方法.故选：A7. 已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩…若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为A. []0,1 B. []0,2 C. []0,e D. []1,e 【答案】C 【解析】【分析】先判断0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，转化为ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立．【详解】∵(0)0f ≥，即0a ≥，（1）当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->，当1a >时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立，令()ln xg x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减，故()()min g x g e e ==，所以a e ≤．当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；综上可知，a 的取值范围是[0,]e ，故选C ．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．8. 已知函数()(),R f x f x x =-∈，()5.51f =，函数()()()1g x x f x =-⋅，若()1g x +为偶函数，则()0.5g -的值为（ ）A. 3B. 2.5C. 2D. 1.5【答案】D 【解析】【分析】由()1g x +为偶函数，推得()()2g x g x =-，再由()()()1g x x f x =-⋅，求得()f x 关于(1,0)对称，结合()()f x f x =-，推得(4)()f x f x -=，得到()f x 是周期为4的周期函数，根据(5.5)1f =，得到(2.5)1f =，进而求得(0.5)g -的值，得到答案.【详解】因为函数()1g x +为偶函数，可()g x 的图象关于1x =对称，所以()()2g x g x =-，由()()()1g x x f x =-⋅，可得()()()()112x f x x f x -⋅=-⋅-，即()()20f x f x +-=，所以函数()f x 关于(1,0)对称，又因为()()f x f x =-，所以()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()2(2)f x f x f x =--=--，所以()4[(2)2](2)[()]()f x f x f x f x f x -=--=--=-=，即(4)()f x f x -=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数，所以(5.5)(1.54)(1.5)( 2.5)(2.5)1f f f f f =+==-==，则(0.5)(2.5)(2.51)(2.5) 1.5g g f -==-=.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列关于概率统计知识，其中说法正确的是（ ）A. 数据1-，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1B. 已知随机变量(),X B n p ，若()40E X =，()30D X =，则160n =C. 若一组样本数据(),i i x y （1i =，2，…，n ）的对应样本点都在直线132y x =-+上，则这组样本数据的相关系数为12-D. 若事件M ，N 的概率满足()()0,1P M ∈，()()0,1P N ∈且()()1P N M P N +=，则M 与N 相互独立【答案】ABD 【解析】【分析】根据百分位数的定义计算判断A ，由二项分布的数学期望与方差公式计算可判断B ，根据相关系数的定义可判断C, 根据相互独立事件及条件概率的概率公式计算可判断D.【详解】对于选项A ，8个数据从小到大排列，由于825%2⨯=，所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数0+2=12，故A 正确；对于选项B ，因为(),X B n p ，()40E X =，()30D X =，所以40(1)30np np p =⎧⎨-=⎩，解得1,1604p n ==，故B 正确；对于选项C ，因为样本点都在直线132y x =-+上，说明是负相关且线性相关性很强，所以相关系数为1-，故C 错误.的对于选项D ，由()()1P N M P N +=，可得()()1P N M P N =-，即()()()N P NM P P M =，即()()()N P NM P P M =，所以M 与N 相互独立，故D 正确；故选：ABD.10. 连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（ ）A. 平行四边形B. 梯形C. 有三条边相等的四边形D. 有一组对角相等的四边形【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意作出相应的图形，结合抛物线的性质逐项分析判断.【详解】对于选项A ：作两条平行线与抛物线均相交，根据抛物线的性质可知：截得的弦长一定不相等，所以所得的四边形不可能为平行四边形，故A 错误；对于选项C ：任作一条直线垂直与抛物线的对称轴，交抛物线与,A B 两点，则OA OB =，再以A 圆心，OA 为半径作圆，该圆以抛物线必有一个异于坐标原点的交点C ，此时可得OA OB OC ==，符合题意，故C 正确；对于选项B ：任作两条直线垂直与抛物线的对称轴，分别与交抛物线交于,A B 和,C D ，此时AB CD ≠，即ABCD 为梯形，故C 正确；对于选项D ：如图，以AC 为直径作圆，与抛物线交于,,,A B C D ，此时90ABC ADC ∠=∠=︒，符合题意，故D 正确；故选：BCD.11 设函数32()231f x x ax =-+，则（ ）A. 当0a =时，直线1y =是曲线()y f x =的切线B. 若()f x 有三个不同的零点123,,x x x ，则12312x x x ⋅=-⋅C. 存在,a b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D. 当02ax ≠时，()f x 在0x x =处的切线与函数()y f x =的图象有且仅有两个交点【答案】ABD 【解析】【分析】根据曲线的切线、函数的零点、曲线的对称轴，直线和曲线的交点个数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，当0a =时，()321f x x =+，令()260f x x ='=解得0x =，且()01f =，此时()f x 在0x =处的切线方程为10y -=，即1y =，正确.B 选项，()()322()231,666f x x ax f x x ax x x a '=-+=-=-，.要使()f x 有三个零点，则0a ≠，若32()231f x x ax =-+有三个不同的零点123,,x x x ，则()()()()1232f x x x x x x x =---()()32123122313123222x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，通过对比系数可得1231231212x x x x x x -=⇒=-，正确.C 选项，若存在,a b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴，则()()2f x f b x =-，即()()323223122321x ax b x a b x -+=---+，即3232232223162412212123x ax b b x bx x ab ab ax -=-+--+-，即()3222364330x bx b x b ab a b -+--+=，此方程不恒为零，所以不存在符合题意的,a b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴，错误.D 选项，当02a x ≠时，()322()231,66f x x ax f x x ax =-+=-'，则()322000000()231,66f x x ax f x x ax =-+=-'，所以()f x 在0x x =处的切线方程为()()()3220000023166y x ax x ax x x --+=--，()()()2320000066231y x ax x x x ax =--+-+，由()()()232000003266231231y x ax x x x ax y x ax ⎧=--+-+⎪⎨=-+⎪⎩，消去y 得()()323220000023123166x ax x ax x ax x x -+=-++--①，由于()()()333322000002222x x x x x x x xx x -=-=-++，()()()222200003333ax ax a x x a x x x x -+=--=--+，所以①可化为()()()()()()2220000000023660x x x xx x a x x x x x ax x x -++--+---=，提公因式0x x -得()()()()22200000023660x x x xx x a x x x ax ⎡⎤-++-+--=⎣⎦，化简得()()()220000223430x x x x a x x ax ⎡⎤-+---=⎣⎦，进一步因式分解得()()2002430x x x x a -+-=，解得010234,2a x x x x -==，由于02a x ≠，所以020x a -¹，所以()0001203234630222x a a x x a x x x ----=-==≠，所以12x x ≠，所以当02a x ≠时，()f x 在0x x =处的切线与函数y =f (x )的图象有且仅有两个交点，正确.故选：ABD 【点睛】关键点点睛：D 选项的解答涉及到切线与曲线交点的个数，利用联立方程组和因式分解的方法，最终得出交点个数的结论，过程完整而严谨．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若320S =，990S =，则6S =____________．【答案】50【解析】【分析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ，后由等差数列求和公式可得答案.【详解】设{}n a 首项为1a ，公差为d ，由题，则111503320993690109a a d a d d ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩.则6161550S a d =+=.故答案为：5013. 已知函数()()sin ,0,2π2cos x f x x x =∈+，写出函数()f x 的单调递减区间____________．【答案】2π4π33⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性即可.【详解】()()()()222cos 2cos sin 2cos 12cos 2cos x x xx f x x x +++'==++，()0,2πx ∈，令()()22cos 102cos x f x x +'==+，即2cos 10x +=，解得2π3x =或4π3x =.当2π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x 在2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当2π4π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 在2π4π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当4π,2π3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，则()f x 在4π,2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.综上可知，函数()f x 的单调递减区间为2π4π,33⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：2π4π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭.14. 掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3得2分，向上的点数小于3得1分，反复掷这个骰子，（1）恰好得3分的概率为____________；（2）恰好得n 分的概率为____________．（用与n 有关的式子作答）【答案】 ①. 1327 ②. 13425153n -⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭【解析】【分析】因为一次得2分，另一次得1分或三次的1分时恰好得3分，进而利用独立重复试验的概率可求（1）；令n P 表示“恰好得n 分”的概率，不出现n 分的唯一情况是得到1n -分以后再掷出一次不小于3的情况，则有1213n n P P --=，进而利用构造等比数列可求（2）.【详解】（1）掷一个质地均匀的骰子，向上的点数不小于3的概率4263=,掷一个质地均匀的骰子，向上的点数小于3的概率2163=.因为一次得2分，另一次得1分或三次得1分时恰好得3分，所以恰好得3分的概率等于21023********C +C ==3332727+⎛⎫⋅⨯⋅ ⎪⎝⎭.（2）令n P 表示“恰好得n 分”的概率，不出现n 分的唯一情况是得到1n -分以后再掷出一次不小于3的情况，因为“不出现n 分”的概率是1n P -，所以“恰好得到1n -分”的概率是1n P -.因为“掷一次得2分”的概率是23，所以有1213n n P P --=，即1213n n P P -=-+，则构造等比数列{}n P λ+，设()123n n P P λλ-=-++，即13532n n P P λ--=-，则513λ-=，35λ=-，所以1323535n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又113P =，1313453515P -=-=-，所以35n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为415-，公比为23-的等比数列，即13425153n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，13425153n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭.故恰好得n 分的概率为13425153n -⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭.故答案为：（1）1327；（2）13425153n -⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知ABC ∆的面积为3，且满足0AB AC ≤⋅≤ 设AB 和AC 的夹角为θ，（1）求θ的取值范围；（2）求函数()2πcos sin 3f θθθθ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭的值域．【答案】（1）ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （2）10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据题意由三角形面积公式可得6cos 0sin θθ≤≤，继而可得tan θ≥或π2θ=，结合θ的范围即可求解；（2）利用和差公式、降幂公式、倍角公式及辅助角公式化简可得1π()sin 223f θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由（1）所求的θ的范围可得π23θ-的范围，继而即可求得值域.小问1详解】由题1sin 32ABC S bc θ∆==，【可得6sin bc θ=，又0cos AB AC bc θ≤⋅=≤ ，所以6cos 0sin θθ≤≤得到tan θ≥或π2θ=，因为()0,πθ∈，所以ππ,62θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】()2πcos sin 3f θθθθ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭21cos (sin cos 2θθθθ=⋅+21sin 24θθ=+11cos 2sin 242θθ+=-1πsin 223θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为ππ,62θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故π2π20,33θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故可得()10,2f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.16. 如图，已知四棱锥P ABCD -，PB AD ⊥，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 是边长为4的菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120︒．（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）求二面角A PB C --的正弦值．【答案】（1）（2【解析】【分析】（1）作出四棱锥P ABCD -的高，并计算出高的长度，进而计算出四棱锥P ABCD -的体积.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角A PB C --的余弦值，进而计算出正弦值.【小问1详解】过点P 作PO 垂直于平面ABCD ，垂足O ，连接BO 交AD 于E ，连接PE ，因为AD ⊂平面ABCD ，PO AD ⊥，又PB AD ⊥，又,,PO PB P PO PB =⊂ 平面POB ，所以AD ⊥平面POB ，因为,PE BE ⊂平面POB ，所以AD PE ⊥，AD BE ⊥，又PA PD =，所以E 为AD 得中点，所以4BD BA ==，因为侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120︒，即有120PEB ∠=︒，所以60PEO ∠=︒，因为侧面PAD 为正三角形，所以4sin 60PE =⋅︒=sin 603PO PE =⋅︒==，所以1144333P ABCD ABCD V S PO -=⋅⋅=⋅⋅=.【小问2详解】在平面ABCD 内过点O 作OB 的垂线Ox ，依题可得,,OP OB Ox两两垂直，为以,,OP OB Ox 为z 轴，y 轴，x 轴建立空间直角坐标系，可得()A ，()0,0,3P，()B，()C -，取PB 得中点为N，则32N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为AP AB =，所以AN PB ⊥，由（1）AD ⊥平面POB ，//BC AD ，知⊥BC 平面POB ，PB ⊂平面POB ，所以BC PB ⊥，可得,BC NA 所成角即为二面角A PB C --的平面角，记为θ，求得32,2NA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()4,0,0BC =-，则cos ,NA BC NA BC NA BC ⋅===⋅则sin θ==17. 已知函数()()2e ln 0x a f x a a x-=+>（1）当e a =时，求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程；（2）若不等式()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）2y =（2）ea ≥【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，根据导数求切线的斜率，再代入点斜式方程，即可求解；（2）首先根据指对公式，变形不等式为e ln a +x−2+ln a +x−2≥ln x +e ln x ，x >0，再构造函数()e x g x x =+，结合函数的单调性，转化为不等式ln 2ln a x x +-≥恒成立，再利用参变分离，转化为函数最值问题，即可求解.【小问1详解】当e a =时，()1e e ln x f x x -=+，()01e ln e 2f =+=，()()11e ,10x f x f x-=-'='，所求切线方程为：20(1)y x -=-，即2y =；【小问2详解】()2f x ≥转化为ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥，可得e ln a +x−2+ln a +x−2≥ln x +e ln x ，x >0，构造函数()e x g x x =+，易得()g x 在R 单调递增，所以有()(ln 2)ln g a x g x +-≥，由()g x 在R 单调递增，故可得ln 2ln a x x +-≥，即有ln ln 2a x x ≥-+在()0,∞+恒成立，令()ln 2h x x x =-+，()110h x x-'==，得到1x =，可得()0,1x ∈时，ℎ′(x )>0；()1,x ∞∈+时，()0h x '<，所以ℎ(x )在1x =时取最大值，所以()ln 11a h ≥=，得到e a ≥.18. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为23，且经过点52,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）求椭圆E 的方程；（2）求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；（3）在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．【答案】（1）22195x y += （2）9680x y --=（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆经过的点的坐标以及离心率解方程组可求得椭圆E 的方程；（2）思路一：利用角平分线上的点的性质，由点到直线距离公式整理可得结论；思路二：求得椭圆在点A 处的切线方程，再由椭圆的光学性质可得平分线所在直线方程；（3）思路一：假设存在关于直线l 对称的相异的两点，联立直线与椭圆方程可得线段BC 中点52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点A 重合，假设不成立；思路二：利用点差法求出65OM k =，联立直线方程可得点52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点A 重合，不合题意，可得结论.【小问1详解】椭圆E 经过点52,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，23e =可得222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此可得椭圆E 的方程为22195x y +=；【小问2详解】由（1）可知，1(2,0)F -，2(2,0)F 思路一：由题意可知1:512100AF l x y -+=，2:2AF l x =，如下图所示：设角平分线上任意一点为P (x,y )，则51210213x y x -+=-得9680x y --=或2390x y +-=又易知其斜率为正，∴12F AF ∠的角平分线所在直线为9680x y --=思路二：椭圆在点52,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为2319x y +=，23k =-切根据椭圆的光学性质，12F AF ∠的角平分线所在直线l 的斜率为32l k =，所以12F AF ∠的角平分线所在直线34:23l y x =-，即9680x y --=【小问3详解】思路一：假设存在关于直线l 对称的相异两点B (x 1,y 1),C (x 2,y 2)，设2:3BC l y x m =-+，联立2219523x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩可得229129450x mx m -+-=，∴线段BC 中点为25,39m m M ⎛⎫⎪⎝⎭在12F AF ∠的角平分线上，即106803m m --=，解得3m =；因此52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线l 对称的相异两点B (x 1,y 1),C (x 2,y 2)，线段BC 中点()00,M x y ，由点差法可得22112222195195x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即22221212095x x y y --+=；∴0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+，因此0065OM y k x ==，联立:96806:5AM OM l x y l y x --=⎧⎪⎨=⎪⎩可得52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件相异的两点．19. 设()f x 使定义在区间(1,)+∞上的函数，其导函数为()f x '.如果存在实数a 和函数()h x ，其中()h x 对任意的(1,)x ∈+∞都有()h x >0，使得()()()21f x h x x ax '=-+，则称函数()f x 具有性质()P a ．的（1）设函数()f x 2ln (1)1b x x x +=+>+，其中b 为实数① 求证：函数()f x 具有性质()P b ；② 讨论函数()f x 的单调性；（2）已知函数()g x 具有性质(2)P ，给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞<设m 为正实数，12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，且1,1αβ>>，若12()()()()g g g x g x αβ-<-，求m 的取值范围．【答案】（1）①证明见解析；②答案见解析（2）01m <<【解析】【分析】(1)①对()f x 求导，可得ℎ(x)=1x (x +1)2>0恒成立，即可函数()f x 具有性质()P b ；②设u (x )=x 2−bx +1(x >1)，f ′(x )与()u x 符号相等，对b 讨论，可知f ′(x )符号，即可得出函数()f x 的单调区间；(2)对()g x 求导，()()()()()22211g x h x x x h x x ='=-+-，分析可知()g x '其在(1,)+∞恒成立，对m 讨论，再根据αβ，与12,x x 大关系进行讨论，验证是否满足条件，可求解m 的取值范围.【小问1详解】① ()()()()222121111b f x x bx x x x x +=-=-+'++，所以1x >，ℎ(x )=1x (x +1)2>0恒成立，则函数()f x 具有性质()P b ；② 设u (x )=x 2−bx +1(x >1)，(i) 当0b -≥即0b ≤时，()0u x >，()'0f x >，故此时()f x 在区间(1,)+∞上递增；(ii) 当0b >时当240b ∆=-≤即02b <≤时，()0u x >，()'0f x >，故此时()f x 在区间(1,)+∞上递增；当240b ∆=->即2b >时，1211x x ==<=>，，所以x ⎛∈ ⎝时，()0u x <，()0f x '<，此时()f x 在⎛ ⎝上递减；x ∞⎫∈+⎪⎪⎭时，()0u x >，()0f x '<，此时()f x 在∞⎫+⎪⎪⎭上递增.综上所述，当2b ≤时，()f x 在(1,)+∞上递增；当2b >时，()f x 在⎛ ⎝上递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上递增.【小问2详解】由题意，()()()()()22211g x h x x x h x x ='=-+-，又()h x 对任意的,(1)x ∈+∞都有()0h x >，所以对任意的,(1)x ∈+∞都有()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上递增. 所以12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，因为()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--先考虑12x x αβ-<-的情况即()()121221m x x x x --<-，得01m <<，此时1122(1)x mx m x x α<=+-<，1122(1)x m x mx x β<=-+<所以1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<所以12()()()()g g g x g x αβ-<-满足题意当1m ≥时，11112(1)(1)mx m x mx m x x α--≤==++，12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+，所以12x x αβ≤<≤所以12()()()()g g x g x g αβ≤<≤，则12()()()()g g g x g x αβ-≥-，不满足题意，舍去综上所述，01m <<。
2024年湘教版高三数学上册月考试卷含答案
2024年湘教版高三数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、已知e是自然对数的底数，则（e2）′=（）A. 2eB. e2C. 0D. 12、已知奇函数则a+b+c的值是（）A. -5B. 5C. 1D. -13、在等差数列{a n}中，若a1004+a1005+a1006=3；则该数列的前2009项的和为（）A. 3000B. 2009C. 2008D. 20074、设数集且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”；那么集合M∩N的“长度”的最小值为（）A.B.C.D.5、【题文】多项式分解因式的结果是（）A.B.C.D.6、【题文】如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（）A. 棱柱B. 棱台C. 棱柱与棱锥的组合体D. 不能确定评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)7、某人在山外一点测得山顶的仰角为42°，沿水平面退后30米，又测得山顶的仰角为39°，则山高为____（sin42°≈0.6691，sin39°≈0.6293，sin3°≈0.0523）8、等腰直角三角形ACB中∠C=90°，CA=CB=a，点P在AB上，且（0≤λ≤1），则的最大值为____．9、2012年1月20日上午，财政部公布2011年全国公共财政收入为103740亿元，将103740亿元用科学记数法表示为____元．（保留3个有效数字）10、已知正项等比数列{a n}满足：a6=a5+2a4，若存在两项a m，a n使得=2a1，则+的最小值为____．11、过点P（1，-1），且与直线l：x-y+1=0垂直的直线方程是____．12、设a1=2， b n= n∈N+，则数列{b n}的通项公式b n=____．13、【题文】复数=______评卷人得分三、判断题(共5题，共10分)14、已知函数f（x）=4+a x-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（ 1，5 ）____．（判断对错）15、任一集合必有两个或两个以上子集．____．16、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、计算题(共1题，共4分)17、已知平面内点，点B（1，1），（1）求f（x）的最小正周期；（2）若x∈[-π，π]，求f（x）的最大和最小值，并求当f（x）取最值时x的值．评卷人得分五、综合题(共4题，共32分)18、如图；四棱锥S-ABCD底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2，点E是SD的中点，F是BC线段上的点，O是AC与BD的交点．（Ⅰ）求证：OE∥平面SBC；（Ⅱ）若F为BC的中点，求二面角C-OE-F的大小．19、已知二次函数f（x）在y轴上的截距为3；且满足f（x+1）-f（x）=4x+2．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在区间[-2，2]上，y=f（x）图象恒在直线y=-3x+m上方，试确定实数m的取值范围．20、已知不等式x2-x-2m+1＞0（1）若m=；求出不等式的解集；（2）若对任意实数x，已知不等式恒成立，求m的取值范围．21、在平面直角坐标系中，已知向量=（c，0）（c为常数，且c＞0），=（x；x）（x∈R）；|（a为常数，且a＞c，t∈R）．动点P同时满足下列三个条件：（1）||；（2）=λ（λ∈R；且λ≠0）；（3）动点P的轨迹C经过点B（0，-1）．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在方向向量为=（1，k）（k≠0）的直线l，l与曲线C相交于M、N两点，使|的夹角为60°？若存在，求出k值，并写出直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、C【分析】【分析】直接利用常数的导数公式得答案．【解析】【解答】解：因为e2为常数，所以（e2）′=0．故选C．2、A【分析】因为函数f（x）是奇函数；所以设x＜0；则-x＞0；所以f（-x）=ax2-bx+c=-（x2-2x+2）=-x2+2x-2；所以a=-1，-b=2，c=-2，即a=-1，b=-2；c=-2．所以a+b+c=-5．故选A．【解析】【答案】利用函数的奇偶性确定a，b，c的取值范围．然后求a+b+c．3、B【分析】∵a1004+a1005+a1006=3得。
山东省菏泽市曹县三桐中学2015届高三第五次(1月)月考数学(理)试题word版含答案
2015高三第五次月考数学理试题1.已知{}134,0,,2x M x x N x x Z M N x -⎧⎫=-<=<∈⋂=⎨⎬+⎩⎭A. ∅B .{}0C. {}2D. {}27x x ≤≤2.下列说法正确的是A.命题“若211x x ==，则”的否命题为“若21,1x x =≠则” B.命题“200010x R x x ∃∈+-<，”的否定是“2,10x R x x ∀∈+->”C.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆命题为假命题 D .若“p 或q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题 3.若34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则()tan θπ-的值为 A.34B.43C . 34-D. 43-4.圆()2211x y -+=被直线0x y -=分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为A.1：2 B .1：3 C.1：4 D.1：55.复数212m iz i-=+（,m R i ∈是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于 A .第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知函数)(x f y =的图象在点（1，(1)f ）处的切线方程是)1(2)1(,012f f y x '+=+-则的值是A ．21B ．1C ．23D ．27.各项都是正数的等比数列{}n a 中，且2311,2a a a ，成等差数列，则3445a a a a ++的值为A. B.C.D.8.若函数()()1xxf x k a a -=--（01a a >≠，且）在R 上既是奇函数，又是减函数，则()()log a g x x k =+的图象是A9.设偶函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，∆KLM 为等腰直角三角形，90KML ∠=,113KL f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则的值为A. 4-B. 14-C .14D.410.已知函数()()()()21,021,0x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，把函数()()12g x f x x =-的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n 项的和10=n S S ，则 A.45B.55C.90D.110第II 卷（共100分）注意事项：1.第II 卷包括5道填空题，6道解答题.2.第II 卷所有题目的答案，考生需用0.5毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内，在试卷上答题不得分.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.答案须填在答题纸相应的横线上. 11.将函数()2sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标保持不变得到新函数()g x ，则()g x 的最小正周期是__________.12.已知直线:360l x y +-=和圆心为C 的圆22240x y y +--=相交于A ，B 两点，则线段AB 的长度等于__________.13.若3nx ⎫⎪⎭的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x 项的系数为_________. 14.由曲线y =，直线2y x y =-及轴所围成的图形的面积为__________.15.对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式： 222213,3135,41357,=+=++=+++⋅⋅⋅； 233235,37911,413151719,.=+=++=+++⋅⋅⋅根据上述分解规律，若2313511,m p =+++⋅⋅⋅+的分解中最小的正整数是21，则m p +=___________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本题满分12分） 已知向量sin,cos ,cos ,3cos 3333x x x x a b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x a b =⋅. （I ）求函数()f x 的单调递增区间；（II ）如果ABC ∆的三边a b c 、、满足2b ac =，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及函数()f x 的值域.17. （本题满分12分）如图所示，四边形OABP 是平行四边形，过点P 的直线与射线OA 、OB 分别相交于点M 、N ，若,OM xOA ON yOB ==.（I ）建立适当基底，利用//NM MP ，把y x 用表示出（即求()y f x =的解析式）； （II ）设数列{}n a 的首项11a =，前n 项和n S 满足：()()12n n S f S n -=≥，求数列{}n a 通项公式.18．（本小题满分12分） 已知函数()32f x x ax bx c=-+++图像上的点))1(,1(f P 处的切线方程为31y x =-+，函数3)()(2+-=ax x f x g 是奇函数． （I ）求函数)(x f 的表达式； （II ）求函数)(x f 的极值.19.（本题满分12分）已知双曲线2211n n x y a a --=的一个焦点为)，一条渐近线方程为y x =，其中{}n a 是以4为首项的正数数列. （I ）求数列{}n c 的通项公式； （II ）若不等式()12122log 1323a n n n n L x a c c c ++++<+>⋅对一切正常整数n 恒成立，求实数x 的取值范围.20.（本题满分13分）在直角坐标系xOy ，椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、.其中2F 也是抛物线224C y x =：的焦点，点M 为12C C 与在第一象限的交点，且253MF =.（I ）求椭圆1C 的方程；（II ）若过点D （4，0）的直线1l C 与交于不同的两点A 、B ，且A 在DB 之间，试求AOD ∆∆与BOD 面积之比的取值范围.21.（本题满分14分）已知函数()()()21ln ,02f x xg x ax bx a ==+≠. （I ）若2a =-时，函数()()()h x f x g x =-在其定义域上是增函数，求b 的取值范围； （II ）在（I ）的结论下，设函数()[]2,0,ln 2xx x ebe x ϕ=+∈，求函数()x ϕ的最小值；（III ）设函数()f x 的图象1C 与函数()g x 的图象2C 交于P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交12C C 、于点M 、N ，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.2015届高三数学理参考答案1-5 BDCBA 6-10 DBACC18．解:(1)()'232f x x ax b=-++，…………………1分函数()f x在1x=处的切线斜率为-3，∴()'1323f a b=-++=-，即20a b+=，又()112f a b c=-+++=-得1a b c++=-,………………………………3分又函数3)(3+++-=c bx x x g 是奇函数，0)0(=g .3-=∴c ∴2,4,3a b c =-==-， ………………………………6分∴()32243f x x x x =--+-． ………………………………7分（2）)2)(23(443)(2'+--=+--=x x x x x f,0)(=x f 32=x 2-=x ，∴，极小11)2()(-=-=f x f .2741)32()(-==f x f 极大.…………………… 12分19．（ 满分12分）解：（Ⅰ）∵双曲线方程为2211n n x y a a --=的一个焦点为,0)，∴1n n n c a a -=+．…1分又∵一条渐近线方程为y x =，∴21=-n n a a ，即1-n n a a =2， …………………3分20．（ 满分13分）解：（Ⅰ）依题意知2(1,0)F ，设11(,)M x y .由抛物线定义得2||MF = 1513x +=，即123x =. ………………1分将321=x代人抛物线方程得1y =， ………………2分进而由222()31a =及221a b -=，解得224,3a b ==. 故椭圆1C 的方程为22143x y +=． ………………5分 （Ⅱ）依题意知直线l 的斜率存在且不为0，设l 的方程为4x my =+代人22143x y +=， 整理得22(34)24360m y my +++=………………6分由0∆>，解得24m >. ………………7分设1122(,),(,)A x y B x y ,则12212224343634my y m y y m -+=+⋅=+⎧⎪⎨⎪⎩①②………………8分令AODBODS S λ∆∆=，则11221212OD y y y OD y λ⋅==⋅且01λ<<. ………………9分 将12y y λ=代人①②得2222224(1)343634m y m y m λλ-⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去2y 得222(1)1634m m λλ+=+， 即2224(1)1033m λλλ+=--． ………………10分 由24m >得22(1)11033λλλ+>--，所以1λ≠且231030λλ-+<, 解得113λ<<或13λ<<. ………………12分又01λ<<，∴113λ<<故ODA ∆与ODB ∆面积之比的取值范围为1(1)3，． ………………13分21．（ 满分14分）解：（Ⅰ）依题意：.ln )(2bx x x x h -+=∵),0()(+∞在x h 上是增函数，∴1()20h x x b x '=+-≥对(0,)x ∈+∞恒成立，∴min 1(2)b x x ≤+………………2分 ∵.2221,0≥+>x xx 则当且仅当x =时取等号． ∴b 的取值范围为].22,(-∞ ………………4分（Ⅱ）设]2,1[,,2∈+==t bt t y e t x则函数化为，即22()24b b y t =+-,[1,2]t ∈．…5分∴当]2,1[,222,12在函数时即y b b≤≤-≤-上为增函数，当t=1时，.1min +=b y 当,2,24,221时当时即bt b b -=-<<-<-<;42min b y -=当2,4,[1,2]2bb y -≥≤-即时函数在上为减函数，当t=2时，min 42.y b =+……8分综上所述，2min 42(4)()(42)41(2bb bx b b b ϕ+≤-⎧⎪⎪=--<<-⎨⎪⎪+-≤≤⎩ ………………9分 （Ⅲ）设点P 、Q 的坐标是.0),,(),,(212211x x y x y x <<且则点M 、N 的横坐标为.221x x x +=C 1在M 处的切线斜率为.2211x x k +=。
海南省海南中学2021届高三第五次月考数学试题(解析版)
【点睛】本题考查同一函数的判断、幂函数的解析式、复合函数的单调性等知识点，解答时注意以下几点：
（1）判断两个函数是否为同一函数时，只需判断两个函数的定义域是否相同，解析式是否相同或可化为相同；
（2）判断复合函数 的单调性时，注意“同增异减”；
（3）判断函数 的零点问题时，一定要注意讨论二次项系数是否为零.
【答案】D
【解析】
【分析】将四棱锥 外接球半径的计算转化为长方体外接球半径的计算，即长方体的体对角线长度的一半即为半径；内切球的半径可采用等体积法转化，运用公式 求解.
【详解】因为棱锥 的侧棱 底面 ，且底面为正方形，所以该几何体的外接球半径等于长、宽、高分别为 ， ， 的长方体的外接球半径，
因为 ， ，所以外接球半径： ，
A.充分必要B.充分不必要
C.必要不充分D.既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简 ，再利用充分必要条件的定义分析判断得解.
【详解】 中， ，
，
即 ，
，因为 ，
，所以Байду номын сангаас为锐角.
当 为锐角时， 不一定为锐角三角形；当 为锐角三角形时， 一定为锐角.
所以“ ”是“ 为锐角三角形”的必要非充分条件.
在 上是增函数，
令 ，
则 ，
偶函数，
在 上是减函数，
且 ，
，
当 时， ，
即 ，解得： ，
当 时， ，
即 ，解得： ，
综上所述： 的解集为： .
故选：A.
【点睛】方法点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
高三第五次月考数学(理科)
高三第五次月考数学（理科）一、选择题1．设U={实数}，集合2{|0},{|230}2xM x N y y y x =<=+-=-，那么集合()U M N ⋂ð等于（ ） A ．{1}B ．{-3}C ．{|021}x x x <<≠且D ．{|023}x x x <<≠-且2．一元二次方程022=++a x x 有一个正根和一个负根的必要非充分条件是（ ） A. 1>a B. 1<a C. 0>a D. 0<a3、设函数f （x ）=2(1)2x ⎧+⎪⎨-⎪⎩ 11x x <≥，(10),a f =则f （a ）＝（ ）A 、9B 、12C 、14D 、164、设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a = （ ） A 、 2B 、 4C 、152D 、1725．设函数)0(1)6sin()(>-+=ωπωx x f 的导函数)(x f '的最大值为3，则)(x f 的图象的一条对称轴的方程是（ ）A ．9π=xB ．6π=xC ．3π=xD ．2π=x6．设()f x 为可导函数，且满足0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则过曲线()f x 上一点（1，(1)f ）处的切线斜率为（ ）A ．2B ．-1C ．1D ．-2 7、若n 展开式的二项式系数和为122，则展开式中所有理项共有（ ）项A ．2B ．3C ．4D ．68、若cos 2sin tan ααα+=则=（ ） A ．12B ．2C ．-12D ．-29、从8名志愿者中选6名分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的种数为（ ）A ．15120B ．7560C ．5040D ．252010、若关于x 的方程21(1)10(01)xxa a a a m +++=>≠且有解，则m 的取值范围是（ ） A ．1(,]3-∞-B ．[13-，0）∪（0，1]C ．[13-，0) D ．[1，+∞）11、从编号分别为1，2，…，9的9张卡片中任意抽取3张，将它们的编号从小到大依次记为x, y, z ，则22y x -≥≥且z-y 的概率是（ ） A ．13B ．14C ．528D ．51212．在ABC ∆中，A (1,4)，B (4,1),C (0,4)-,P 为ABC ∆所在平面上一动点，则PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅的最小值是 （ ）A ．623-B ．743-C ． 863-D ．503-二、填空题13．曲线34x x y -=在点()3,1--处的切线方程是 .14. 设有两个命题：:p 不等式224)31(x x m x ->>+对一切实数x 恒成立；:q x m x f )27()(--=是R 上的减函数，如果p 且q 为真命题，则实数m 的取值范围是15、数列{}n a 为1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，则此数列的第2005项2005a = 。
2017-2018年北京十五中高三数学理科5月月考试卷及答案
北京十五中高三年级数学理科月考试卷2018.5考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
请将第Ⅰ卷的答案填涂在机读卡上，第Ⅱ卷的答案作答在答题纸上。
第Ⅰ卷 （选择题，共40分）一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；把答案填涂在机读卡上．．．．．．．．．．） 1．已知集合{}101，，A =-，{}|11B x x =-≤<，则A B = （ ）(A){}0 (B){}1,0- (C){}0,1 (D){}1,0,1- 2．设,,a b c R ∈,且a b >,则( )（A ）ac bc >（B ）11a b< （C ）22a b > （D ）33a b >3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是 ( )（A ）1y x= (B) x y e -= （C ）21y x =-+ (D) lg ||y x =4．在复平面内，复数(2)i i -对应的点位于 ( )（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限5．在△ABC 中，3,5a b ==,1sin 3A =,则sin B = ( )（A ）15 （B ）59 （C （D ）16．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ( )（A ）1 （B ）23（C ）1321（D ）610987北京市第十五中学2018年高三月考试题 班级___________ 姓名____________ 学号___________----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------7．双曲线221y x m-=的充分必要条件是 ( )A ．12m >B ．1m ≥C ．1m >D ．2m > 8．在平面上，，,.若，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷 （非选择题，共30分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案作答在答题纸上．．．．．．．．．．） 9．若抛物线22y px =的焦点坐标为（1,0）则p =____；准线方程为_____. 10．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________.11．若等比数列{}n a 满足243520,40a a a a +=+=，则公比q =__________；前n 项n S =_____.12．设D 为不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，表示的平面区域，区域D 上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为___________.13．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝_________.14．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形； ④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线. 其中正确的命题是____________.（写出所有正确命题的序号）12AB AB ⊥121OB OB ==12AP AB AB =+12OP <OA 0,2⎛ ⎝⎦,22⎛ ⎝⎦2⎛ ⎝2⎛ ⎝三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分） 已知函数2(=sin cos sin f x x x x -），R x ∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若函数()f x 在区间[,]16a π上递增，求实数a 的取值范围.16．（本小题满分13分）经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm ．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼．．．．．．．．中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计．．．这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望E ξ．17．（本小题满分14分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ，DC // AB ，BC CD ⊥，EA ED ⊥，且4AB =，2BC CD EA ED ====. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE 上是否存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE ，请说明理由.1235567889 135567罗非鱼的汞含量（ppm ）18．（本小题满分13分）设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)2y e x =-+.（Ⅰ）求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.19．（本小题满分14分）抛物线2:4C y x =，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点. （Ⅰ）设l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程； （Ⅱ）设||2||FA BF =，求直线l 的方程.20．（本小题满分13分）在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意*n ∈N ，都有*n a ∈N ，1n n a a +<. 设*m ∈N ， 记使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b . （Ⅰ）设数列{}n a 为1，3，5，7，，写出1b ，2b ，3b 的值；（Ⅱ）若{}n b 为等差数列，求出所有可能的数列{}n a ； （Ⅲ）设p a q =，12p a a a A +++=，求12q b b b +++的值.（用,,p q A 表示）北京十五中高三数学理科月考答案2018.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.注：若有两空，则第一个空第二个空三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（I ）21cos 21(=sin cos sin sin 222x f x x x x x --=+），…………………………2分 1)42x π=+-，…………………………4分 ()f x 的最小正周期为π，…………………6分（II ）当16x π=时，则322416482x πππππ+=⨯+=<，…………………8分又函数()f x 在[,]16a π上递增，则242a ππ+≥-，即38a π≥-，…………………10分则实数a 的取值范围为3[,)816a ππ∈-. ………………13分 (16)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A ，则1251031545()91C C P A C ==，∴15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标的概率为4591. ……………4分 （Ⅱ）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率51()153P B ==， ………5分 ξ可能取0，1，2，3. ……………6分则3318(0)1327P C ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ，213114(1)1339P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，223112(2)1339P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，33311(3)327P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．…………10分 其分布列如下：……………12分所以842101231279927Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………13分 (17)（本小题满分14分）解：（I）由BC CD⊥，2BC CD==.,可得BD=2分由EA ED⊥，且2EA ED==，可得AD=又4AB=．所以BD AD⊥．…………………4分又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD=，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面ADE．…………………6分（II）如图建立空间直角坐标系D xyz-，则(0,0,0)D，B，(C ，E，(2,BE=-，(2,0,DE=，(DC=．设(,,)x y z=n是平面CDE的一个法向量，则0DE⋅=n，0DC⋅=n，…………………8分即0,0.x zx y+=⎧⎨-+=⎩令1x=，则(1,1,1)=-n．…………………9分设直线BE与平面CDE所成的角为α，则||sin|cos,|||||BEBEBE⋅=<>===⋅αnnn．所以BE和平面CDE所成的角的正弦值3．…………………10分（III）设CF CE=λ，[0,1]λ∈．(DC=，CE=，DB=.x则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ． 设(,,)x'y'z'=m 是平面BEF 一个法向量， 则0EB ⋅=n ，0EF ⋅=n ，…………………12分 即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ令1x'=，则21(1,0,)λλ-=-m ．若平面BEF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈.……13分所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BEF ⊥平面CDE .……………14分(18)（本小题满分13分）解：(Ⅰ)函数f (x )的定义域为(0,+∞), f '(x)=ae x ln x+e x -e x-1+e x-1. ……………2分 由题意可得f(1)=2,f '(1)=e. 故a =1,b =2. ……………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f(x)=e x ln x+e x-1,从而f(x)>1等价于xln x>xe -x -. ……………5分设函数g(x)=xln x,则g'(x)=1+ln x. ……………6分 所以当x ∈时,g'(x)<0;当x ∈∞ 时,g'(x)>0.故g(x)在上单调递减,在∞ 上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g=-. ……………8分设函数h(x)=xe -x -,则h'(x)=e -x (1-x). ……………10分 所以当x ∈(0,1)时,h'(x)>0;当x ∈(1,+∞)时,h'(x)<0.故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=-. ……………12分综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1. ……………13分 (19)（本小题满分14分）方法一：（Ⅰ）解：由题意，得(1,0)F ，直线l 的方程为1y x =-.由214y x y xì=-ïïíï=ïî, 得2610x x -+=, 设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , AB 中点M 的坐标为00(,)M x y ,则121122331212x x y x y x =+=-=-=+=-=-,故点(3(3A B ++-- --------------------------3分 所以120003,122x x x y x +===-=, 故圆心为(3,2)M ,直径||8AB =,所以以AB 为直径的圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=；----------------------6分 （Ⅱ）解：因为||2||FA BF =, 三点A , F , B 共线且点A , B 在点F 两侧, 所以2FA BF =,设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , 则1122(1,),(1,)FA x y BF x y =-=--,所以121212(1),2.x x y y ì-=-ïïíï=-ïî ○1 因为点A , B 在抛物线C 上,所以2211224,4y x y x ==, ○2 -------------------------10分 由○1○2，解得111122222,2,11,,22x x y y x x y y 祆==镲镲镲镲==-镲镲镲眄镲==镲镲镲镲镲=-=镲铑或所以11(2,(,(2,(22A B A B --或, ------------------------13分故直线l的方程为0,y --或0y +-.-------------------------14分 方法二：（Ⅰ）解：由题意，得(1,0)F ，直线l 的方程为1y x =-.由214y x y xì=-ïïíï=ïî, 得2610x x -+=, 设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , AB 中点M 的坐标为00(,)M x y , 因为264320,D =-=>所以12126,1x x x x +==,所以120003,122x x x y x +===-=, 故圆心为(3,2)M , ------------------------3分 由抛物线定义，得1212||||||()()822p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++=, 所以12||8AB x x p =++=(其中p =2).所以以AB 为直径的圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=； -------------------6分 （Ⅱ）解：因为||2||FA BF =, 三点A , F , B 共线且点A , B 在点F 两侧, 所以2FA BF =,设A , B 两点坐标为1122(,),(,)A x y B x y , 则1122(1,),(1,)FA x y BF x y =-=--,所以121212(1),2.x x y y ì-=-ïïíï=-ïî ○1 -----------------------9分 设直线AB 的方程为(1)y k x =-或1x =(不符合题意，舍去). 由2(1)4y k x y xì=-ïïíï=ïî，消去x 得 2440ky y k --=， 因为直线l 与C 相交于A , B 两点，所以0k ¹,则216160k D =+>, 12124,4y y y y k+==-, ○2 由○1○2，得方程组121212442y y k y y y y ìïï+=ïïïï=-íïï?-ïïïïî，解得12k y y ìï=-ïïï=-íïïï=ïïî或12k y y ìï=ïïï=íïïï=-ïïî-----------13分 故直线l的方程为0,y --或0y +-.---------------14分 (20)（本小题满分13分）（Ⅰ）解：11b =，21b =，32b =. ……………… 3分 （Ⅱ）解：由题意，得1231n a a a a =<<<<<，结合条件*n a ∈N ，得n n a ≥. ……………… 4分 又因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，使得1n a m +≤成立的n 的最大值为1m b +，所以11b =，*1()m m b b m +∈N ≤. ……………… 5分 设2 a k =，则 2k ≥.假设2k >，即2 >2a k =，则当2n ≥时，2n a >；当3n ≥时，1n k a +≥. 所以21b =，2k b =. 因为{}n b 为等差数列， 所以公差210d b b =-=， 所以1n b =，其中*n ∈N . 这与2(2)k b k =>矛盾，所以22a =. ……………… 6分 又因为123n a a a a <<<<<，所以22b =，由{}n b 为等差数列，得n b n =，其中*n ∈N . ……………… 7分 因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ， 所以n n a ≤，由n n a ≥，得n n a =. ……………… 8分 （Ⅲ）解：设2 (1)a k k =>，因为123n a a a a <<<<<，所以1211k b b b -====，且2k b =，所以数列{}n b 中等于1的项有1k -个，即21a a -个； ……………… 9分 设3 ()a l l k =>， 则112l k k b b b -+====， 且3l b =，所以数列{}n b 中等于2的项有l k -个，即32a a -个； ……………… 10分 ……以此类推，数列{}n b 中等于1p -的项有1p p a a --个. ……………… 11分第 11 页（共11页）所以1221321(1())))2((p q p b b b a a a a a p a p -++=-+--+-+++ 121(1)p p a a p a a p -=-----++ 121()p p p pa p a a a a -=+-++++ (1)p q A =+-.即12(1)q q A b b b p ++++=-. ……………… 13分。
数学丨炎德英才大联考江西省萍乡市萍乡中学2025届高三12月月考卷(五)数学试卷及答案
大联考萍乡实验学校2025届高三月考试卷（五）数学命题人：晏海林柳佳杜振兴审题人：顾友付胡家琪注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数10.2i z ，8w z ．那么下列说法错误的是A ． 1.16w B ．w 在第二象限C ．若 254f x x ，那么 2i f z D ．1Qw w w2．已知12,F F 是椭圆 2222:10x y C a b a b的两个焦点，点M 在C 上，且 129,16MF MF ，则椭圆C 的离心率是A ．14B ．34C．4D ．343．如右图所示，边长为a 的正方体成周期性排列，在正方体的各个角以及每个面的中心有原子分布的晶体结构，我们称之为面心立方结构.若要将这一个立方体上的14个点染上红黄蓝三种颜色，使得被一条线段连接的两个点不能染上同一种色，那么不同染色方案的种数是（旋转和镜像对称后重合的视为同一种）A ．3B ．6C ．9D ．124．函数232()log 2x f x x x的大致图象是A ．B．C．D．5．我们称两个正整数a 和b 互素，当且仅当a 和b 的最大公因数是1，我们定义 +n n Z 是小于n 的正整数中和n 互素的数的个数，例如 62 ．是因为小于6的数中只有1与5和6互素．那么下列说法错误的是A ．有无限多个正整数n 使 2n nB ．有无限多个正整数n 使 2n nC ． 1n 的解只有1和2D ．对于任意正整数n ，都有m 使得 m n6．已知2k 个两两互不相等的复数1212,,,,,k z z z w w ，满足12124w w w w，且 1,3j a w z ，其中1,2j ；1,2,,a k ，则k 的最大值为A ．3B ．4C ．5D ．67．若存在实数,a b ，对任意实数[0,1]x ，使得不等式33x m ax b x m ≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是A． B． C． D． 8．已知关于x 的不等式1ln e 1x m m x xx 在 31,e 上恒成立，则正数m 的最大值为A ．1e B ．0C ．e D ．1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
数学(理) 卷·2014届宁夏省银川九中高三第五次月考试题 (2013.12)
n=k+1 时等式左边与 n=k 时的等式左边的差等于
.
15.已知 f (x) = m(x − 2m)(x + m + 3), g(x) = 2x − 2, 若 ∀x ∈ R, f (x) < 0 或 g(x) < 0, 则 m
的取值范围围
.
16.下列几个命题：
①方程 x2 + (a − 3)x + a = 0 有一个正实根，一个负实根，则 a < 0 ；
银川九中 2014 届高三第五次月考 数学试卷（理）
（本试卷满分 150 分，时间 120 分钟）命题：宋云 审题人：高国君
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、
座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息
4
D.
3
5. 已 知 {an} 为 等 差 数 列 ， {bn } 为 等 比 数 列 ， 其 公 比 q ≠ 1 且 bi > 0(i = 1,2,L, n) , 若
a1 = b1, a11 = b11 ，则
A. a6 > b6
B. a6 = b6
C. a6 < b6
D. a6 < b6 或 a6 > b6
26 10 元
20.解：（1）因为 f '(x) = 3x2 ，所以切线的斜率为 k = 3 ，切点（1，2），
切线方程为 y − 2 = 3(x −1) ⇒ 3x − y −1 = 0
又因为过点（ an+1, an ），所以 3an+1 − an −1 = 0 ， 即 ① 3an+1 = an +1
2020年5月天津市第一中学2020届高三年级下学期第五次月考检测数学试题(解析版)
绝密★启用前天津市第一中学2020届高三年级下学期第五次月考质量检测数学试题(解析版)2020年5月一、单选题1.已知集合{}1A x x =<，{}1x B x e =<，则（ ） A. {}1A B x x ⋂=<B. (){} 01R A B x x ⋂=<<C. {}A B x x e ⋃=<D. () R A B R =【答案】D【解析】【分析】 求出指数不等式1x e <,进而可得{}0B x x =<,分别判断四个选项即可选出正确答案.【详解】解：01x e e <=,所以0x <,即{}0B x x =<,所以{}0A B x x ⋂=<,A 错误； () R A B ⋂=∅,B 错误；{}1A B x x ⋃=<,C 错误；() R A B R =,D 正确. 故选:D.【点睛】本题考查了指数不等式的求解,考查了集合的交并补运算.本题的关键是求出指数不等式的解.2.设命题甲为：15x -<<,命题乙为：|2|4x -<,那么甲是乙的A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据包含关系,直接利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】由24x -<可得424x -<-<,解得26x -<<,所以由15x -<<能推出26x -<<；由26x -<<不能推出15x -<<,所以甲是乙的充分不必要条件,故选C.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么,然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想化抽象为直观外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3.已知一个圆锥的底面半径是3,母线长是5,则该圆锥的体积是（ ）A. 8πB. 12πC. 15πD. 36π【答案】B【解析】【分析】根据底面半径和母线,可以求得圆锥的高.由圆锥的体积公式即可求解.【详解】圆锥的底面半径是3,母线长是5则圆锥的高为4h == 由圆锥的体积公式可得211341233V sh ππ==⨯⨯⨯= 故选:B【点睛】本题考查了圆锥的结构特征,圆锥体积的求法,属于基础题.4.已知{}n a 是各项均为正的等比数列,n S 是它的前n 项和,若234a a a ⋅=,且1a 与5a 的等差中项为1732,则5S =（ ） A. 3116 B. 3132 C. 1716 D. 1732【答案】A。
宁夏育才中学2015届高三上学期第五次月考数学理试题 Word版含答案
俯视图侧视图正视图3244宁夏育才中学2015届高三年级第五次月考数 学 试 卷（理）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}3|>=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>--=041|x x x B ，则A B = A . ∅B . ()3,4C .()2,1-D . ()4.+∞2．已知z 是纯虚数,21iz +-是实数,那么z 等于 A ．2i B .i C .-i D .-2i3．已知二次函数,)(2bx ax x f +=则“0)2(≥f ”是“函数)(x f 在），（∞+1单调递增”的A . 充分条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D .既不充分也不必要条件4．某三棱锥的三视图如图所示， 该三梭锥的表面积是A . 28+65B . 30+65 C . 56+ 125 D . 60+1255．已知实数4，m ，9构成一个等比数列，则圆锥曲线122=+y mx 的离心率为 630.A 7.B7630.或C 765.或D6．函数xxy sin =，),0()0,(ππ⋃-∈x 的图象可能是下列图象中的7．设,1>m 在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1y x m x y x y 下，目标函数my x z +=的最大值小于2，则m 的取值范围为A .()21,1+B . ()+∞+,21 C . ()3,1 D . ()+∞,3 8．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为a ,b ,c ,已知22,32==c a ，BA tan tan 1+b c2=.则=∠C ( )A . 30B . 135C . 45或 135D . 459．若正四面体ABCD 的顶点C B A ,,分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误．．的为 A ．OC OB OA ==； B ．直线OB ∥平面ACD ；C ．直线AD 与OB 所成的角是 45； D ．二面角A OB D --为 4510．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量OA 与OB 关于y 轴对称，向量)0,1(=a ，点),(y x A 满足不等式02≤⋅+AB a OA ，则y x -的取值范围A .[221,221+-] B .[21,21+-] C .[2222，-] D .[22，-]11．设抛物线x y 22=的焦点为F ，过点M （3，0）的直线与抛物线相交于B A ,两点，与抛物线的准线相交于点C ，25=BF ，则F BC ∆与F AC ∆的面积之比=∆∆ACFBCF S S A .21 B .32 C .43 D .5412．已知两条直线1l :m y =和2l :)0128>+=m m y （，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点B A ,，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于D C , .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为b a ,,当m 变化时，b a的最小值为A ．22B .24C .26D .28第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知直线l 过原点，且点)1,3(A 到直线l 的距离为1，则直线l 的斜率k = ．14．设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)62(cos πα-的值为 ．15．以抛物线x y 202=的焦点为圆心，且与双曲线191622=-y x 的两条渐近线都相切的圆的方程为 .16．对于实数a 和b ，定义运算“*”：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=*ba ab b ba ab a b a ,,22，设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程为)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是_________________.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分12分)设函数22()cos(2)sin 24f x x x π=++. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π+=，且当[0,]2x π∈时，1()()2g x f x =-，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式. 18. (本小题满分12分) 已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，}{n b 是等比数列，且27,24411=+==b a b a ，1044=-b S .（Ⅰ）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n n n b a b a b a T 1211+++=- ，*N n ∈，证明:n n n b a T 10212+-=+（*N n ∈）. 19．（本小题满分12分）如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，CD AD ⊥，AB ∥CD ,221===CD AD AB ,点M 在线段EC 上. （I ）当点M 为EC 中点时，求证：BM ∥平面ADEF ； （II ）当平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的余弦值为66时，求三棱锥BDE M -的体积. 20.（本小题满分12分）椭圆)0(14222>=+b b y x 的焦点在x 轴上，其右顶点（a,0）关于直线04=+-y x 的对称点在直线ca x 2-= (c 点位半焦距长) 上.（I ）求椭圆的方程；（II ）过椭圆左焦点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交直线ca x 2-=于点C. 设O 为坐标原点，且,2OB OC OA =+求△OAB 的面积. 21.（本小题满分12分）A CBO ．E D已知函数⎩⎨⎧≥<++-=)1(,ln )1(,)(23x x c x bx ax x x f 的图像在点))2(,2(--f 处的切线方程为02016=++y x .（I ）求实数b a ,的值及函数)(x f 在区间]2,1[-上的最大值；（II ）曲线)(x f y =上存在两点M 、N ，使得MON ∆是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边MN 的中点在y 轴上，求实数c 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，O ⊙是△ABC 的外接圆，D 是AC ⌒ 的中点，BD 交AC 于E ． （Ⅰ）求证：DB DE DC ⋅=2；（Ⅱ）若32=CD ，O 到AC 的距离为1，求⊙O 的半径r ． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==t y tx 3（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为-+θρθρ2222sin cos 03sin 2=-θρ．（Ⅰ）求直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求||AB ． 24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲已知函数|1||2|)(+--=x x x f ． （Ⅰ）求证：3)(3≤≤-x f ； （Ⅱ）解不等式x x x f 2)(2-≥.2015届高三年级第五次月考数学试卷（理）答案一、 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BDCBCCADBBAD二、填空题：13.0或3； 14.2524； 15.9)5(22=+-y x ；16.)0,1631(-. 三、解答题：17.(本小题满分12分) 【解】（I ）22111()cos(2)sin cos 2sin 2(1cos 2)24222f x x x x x x π=++=-+- 11sin 222x =-， ∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==（2）当[0,]2x π∈时，11()()sin 222g x f x x =-= 当[,0]2x π∈-时，()[0,]22x ππ+∈11()()sin 2()sin 22222g x g x x x ππ=+=+=-当[,)2x ππ∈--时，()[0,)2x ππ+∈11()()sin 2()sin 222g x g x x xππ=+=+=∴()g x 在[,0]π-上的解析式为1sin 2(0)22()1sin 2()22x x g x x x πππ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩。
重庆市西南大学附属中学2021届高三数学下学期第五次月考试题
某某市西南大学附属中学2021届高三数学下学期第五次月考试题〔总分为：150分；考试时间：120分钟〕须知事项：1．答题前，考生先将自己的某某、班级、考场/座位号、某某号填写在答题卡上． ；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3．考试完毕后，将答题卡交回〔试题卷学生留存，以备评讲〕．一、 单项选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共40分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1． 集合2{|log 0}{|220}x A x x B x =≥=->，，如此R A C B =〔 〕A ．∅B ．AC ．{1}D ．R2． 命题0sin 0P x x ∀≤>∶，，如此其否认为〔 〕 A ．0sin 0x x ∀≤≤，B ．0sin 0x x ∀>≤，C ．0sin 0x x ∃>≤，D ．0sin 0x x ∃≤≤， 3． 曲线214C y x =∶的焦点与曲线2221(0)x y C mn m n+=<∶的某一焦点关于直线：y = x 对称，如此m n -=〔 〕A ．1B ．– 1C ．116D ．12564． 097x y x y xy >++=，，，如此3xy 的最大值为〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．45． 某社区为了迎接某重大纪念活动，进展了相关的知识比赛．社区工作人员将100名社区群众的比赛分数〔总分为100分且每人的分值为整数〕分成6组：[7075)，，[7580)，，[8085)，，[8590)，，[9095)，，[95100]，，得到如下列图的频率分布直方图，如此如下关于这100名社区群众的分数说法错误的答案是〔 〕A ．分数的中位数一定落在区间[8590)，B ．分数的众数可能为96C ．分数落在区间[8085)，内的人数为25D ．分数的平均数约为856． 点A (1，0)，B (1，6)，圆2210120C x y x y m +--+=∶，假如在圆C 上存在唯一的点P使90APB ∠=︒，如此m =〔 〕 A ．–3或3B ．57C ．–3或57D ．3或577． 定义在R 上奇函数()f x 的图象是连续不断的，满足(1)(1)f x f x -=+，且()f x 在[01]，上单调递增，假如2(log 3)a f =，(10)b f =，(2021)c f =，如此〔 〕 A. b a c << B. a c b << C. c b a << D. b c a << 8． 在ABC △中，BC CA CA AB ⋅=⋅，|2BA BC +=｜，且32B ππ≤≤，如此BA BC ⋅的取值X 围是〔 〕A. (1]-∞，B. [01]，C.203⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D. 223⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 二、多项选择题：此题共4小题，每一小题5分，共20分．在每一小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，局部选对的得2分，有选错的得0分. 9． 假设两所学校的数学联考成绩〔分别记为X ，Y 〕均服从正态分布，即211()X N μσ～，，222()Y N μσ～，，X ，Y 的正态分布密度曲线如下列图，如此如下说法正确的有〔 〕参考数据：2()N ξμσ若～，，如此()0.6827P μσξμσ-≤≤+≈，(22)0.9545P μσξμσ-≤≤+≈A ．1111(2X )0.8186P μσμσ-≤≤+≈B ．12()()P X P Y μμ≤<≤C ．2212()()P X P X σσ≤<≤D ．12()()P Y P Y μμ≤<≤10． 函数()f x 存在极值点，且()f x 在(2+)∞，递增，如此()f x 的解析式可以为〔 〕A ．1()x f x e-= B. ()2x f x e x =-C. 2()44f x x x =-+D. 22()|log 1|log f x x x =- 11． 函数2sin 2()cos xf x x=，如此关于函数()f x 说法正确的有〔 〕 A ．最小正周期T π=B ．图象的对称轴方程为：()Z x k k π=∈C ．在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有最大值为2 D ．方程()0f x x -=在[],ππ-上有且只有3个根12． 点A 为圆台12O O 下底面圆2O 上的一点，S 为上底面圆1O 上一点，且11SO =，123O O =，22O A =，如此如下说法正确的有〔 〕A ．直线SA 与直线12O O 所成角最小值为6πB ．直线SA 与直线12O O 所成角最大值为3π C. 圆台存在内切球，且半径为32D. 直线1AO 与平面12SO O 所成角正切值的最大值为32三、填空题：本大题共4小题，每一小题5分，共20分．13． 复数z 满足1z i zi +=-，其中i 为虚数单位，如此z =___________． 14． 设665412367(21)x a x a x a x a x a x -=+++++∈R （），如此1357++a a a a +=___________． 15． 在平面直角坐标系xOy 中，设M 为抛物线22C x y =∶的弦ON 的中点，在抛物线C 上点N 处的切线交x 轴于点P ，且||4PM =，如此||OP 的值为___________． 16． 数列{}n a 中，n a 表示与n 最接近的整数，如此满足123111120na a a a +++⋅⋅⋅+>的正整数n 的最小取值为___________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． (10分) 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2132a a a +=，11a =．(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 假如数列{}n a 为递增数列，求数列{}的前n 项和．18． (12分) 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①2sin ()2sin ()cos()sin ()A C B C A B A B ++++=+ ②tan tan tan 3tan 0A B C B C ++=3cos (cos cos )sin 0A b A a B c A +-=ABC △中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，．(1) 求A ；(2) 假如23a b +=且2a bc ≤，求ABC △的面积．19． (12分) 在五面体ABCDEF 中，四边形ABEF 为正方形，平面ABEF ⊥平面CDFE ，CD //EF ，DF ⊥EF ，EF = 2CD = 2．(1) 假如平面ACF ⊥平面BCE ，求DF 的长；(2)在第〔1〕问的情况下，过D 点做平行于平面BCE 的平面α交EF于点G ，交AB 于点H ，求三棱柱DGH —BCE 的体积．20． (12分) 甲、乙二人争夺一场乒乓球比赛的冠军，假如比赛为“五局三胜〞制〔即率先累计获得三局比赛者获胜，且每局比赛都必须分出胜负，没有平局〕，假如甲在连胜两局后下一局获胜的概率为12，其余情况下，甲在每局比赛中获胜的概率均为23．(1) 求甲通过四场比赛获得冠军的概率； (2)设这场乒乓球比赛总共进展了X 局，求X 的分布列和数学期望．21． (12分) 函数2()ln (1)f x ax x x =-++．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)假如对任意的[0)x ∈+∞，，都有()0f x ≥恒成立，某某数a 的最小值．22． (12分) 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面〔椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面〕的一局部．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一局部，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于该椭圆的另一个焦点2F 上．椭圆具有以下光学性质：由椭圆的一个焦点1F 出发的光线，经过椭圆面反射后集中到另一个点2F ．也即：焦点为1F ，2F 的椭圆上任意一点P 处的切线与直线1PF 和直线2PF 所成的角相等．12BC F F ⊥，1||3F B cm =，124F F cm =．以12F F 所在直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立如如下图的平面直角坐标系． (1) 求截口BAC 所在椭圆C 的方程； (2)点P 为椭圆C 上除长轴端点和短轴端点外的任意一点，假如12F PF ∠的角平分线PQ 交y 轴于点Q ，设直线PQ 的斜率为k ，直线1PF ，2PF 的斜率分别为1k ，2k ． 请问12k kk k +是否为定值，假如是，求出这个定值，假如不是，请说明理由．高2021级第五次月考数学试题参考答案1—8 CDBC BCAC 9．AD 10．BCD 11．AC 12．AB 13．i - 14．365 15．2 16．1114．由题，79296xy x y x y xy -=+≥⋅即670xy xy +≤，如此(7)(1)0xy xy ≤，所以71xy -，又,y 0x >，所以01xy <≤，所以3xy 最大为3.5．由频率分布直方图，分数在区间[8590)，共计35人，如此在区间[8590)，上的整数分数至少有一个分数的人数不小于7人，而分数在区间[95100]，共计5人，如此在区间[95100]，内的每一个整数分数最多5人，所以众数不可能在区间[95100]，。
广东广雅中学2024-2025学年高三10月月考数学试题(含答案)
广东广雅中学2025届高三10月月考数学（时间：120分钟，满分：150分）第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。
1．有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，则这组数据的第30百分位数是（ ） A ．11B ．15C ．13D ．342．设常数a R ∈，集合}(1)|()0{A x x x a =−−≥，}1{|B x x a =≥−，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ） A ．(,2)−∞B ．(,2]−∞C ．(2+∞，）D ．[2+∞，）3．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则12z z ⋅对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．sin 3α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π4β=，则()tan αβ−=（ ） A ．1 B ．3− C ．3D ．3−5．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m n ，n ⊂α，则//m α B ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若m α⊥，n α⊥，m β⊂，n γ⊂，则//βγD ．若//m α，//n α，则m ，n 平行、相交、异面均有可能6．已知O 为坐标原点，()11,P x y 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上一点()10x >，F 为右焦点.延长PO ，PF 交椭圆E 于D ，G 两点，0DF FG ⋅=，4DF FG =，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．3B ．5C ．6D ．57．已知函数()()f x g x ，的定义域是R ，()g x 的导函数为()g x '，且()()5f x g x '+=，()()155f x g x −'−−=，若()g x 为偶函数，则下列说法中错误的是（ ） A ．()05f =B ．()()()()123202410120f f f f ++++=C ．若存在0x 使()f x 在[]00,x 上严格增，在[]0,2x 上严格减，则2024是()g x 的极小值点D ．若()f x 为偶函数，则满足题意的()f x 唯一，()g x 不唯一8．小丽同学有一枚不对称的硬币，每次掷出后正面向上的概率为(01)p p <<，她掷了N 次硬币后有10次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量X 表示每掷N 次硬币中正面向上的次数，现以使(10)P X =最大的N 值估计N 的取值并计算()E X .(若有多个N 使(10)P X =最大，则取其中的最小N 值).下列说法正确的是（ ） A ．()10E X > B ．()10E X <C ．()10E X =D ．()E X 与10的大小无法确定二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
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衡阳市八中高三第五次月考试题数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知全集{}{}{}()0,1,2,3,4,0,1,2,2,3U U M N C M N ====,则A. {}2B. {}3C. {}2,3,4D.{}0,1,2,3,42.公差不为零的等差数列第2、3、6项构成等比数列，则公比为A ．1B ．2C ．3D ．4 3.在以下关于向量的命题中，不正确的是 A ．若向量(,)a x y ，向量(,)(,0)b y x x y ，则a bB ．在ABC 中，AB 和CA 的夹角等于角AC ．四边形ABCD 是菱形的充要条件是AB DC ，且||||AB ADD ．点G 是ABC 的重心，则0GA GBGC4.在极坐标系中，已知圆2cos 与直线4cos3sin0a相切，则a =A ．2B ．-9C ．2或-8D ．1或-95.函数)3sin(sin x x y -+=π具有性质A ．图象关于点（3π-，0）对称，最大值为1 B ．图象关于点（6π-，0）对称，最大值为2C ．图象关于点（3π-，0）对称，最大值为2D ．图象关于直线x =3π-对称，最大值为16.已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<-≤-0220102y x y x 表示的平面区域内运动，则11++=x y z 的取值范围是A．]2,31[ B ．),2[]31,(+∞-∞C ．),2()31,(+∞-∞D ．)2,31[7.函数xe y x=的图象大致是A ．B ．C ．D ．8．将面积为2的长方形ABCD 沿对角线AC 折起，使二面角D-AC-B 的大小为α)1800(00<<α，则三棱锥D -ABC 的外接球的体积的最小值是A ．328πB ．332πC ．34π D ．与α的值有关的数二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．9.求和：1111447(32)(31)n n +++=⨯⨯-⨯+ .10.如右图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交 AB 延长线于点C ，若DA=DC ，则DAC =____________.11.参数方程12xtyt（t 为参数）与2cos sinx y（为参数）所表示的曲线的公共点个数是__________.12.如右图，∠BAD ＝90°的等腰直角三角形ABD 与正三角形CBD 所在平面互相 垂直，E 是BC 的中点，则AE 与平面BCD 所成角的大小为_____.13.曲线x y ln =的过原点的切线方程是_____________.14.已知点F 1、F 2分别是双曲线22a x －22by =1的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是___________.BOCAD15.设定义域为R 的函数32)(2--=x x x f ，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有且只有5个不同的实数根54321,,,,x x x x x ，54321x x x x x ++++则=_____________.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知3=a 且2sin bB=. （1）求A 的大小；（2）求B abc b a cos 2222+-+的取值范围.17.（本小题满分12分）已知点M 是抛物线上2yx 上的一个动点，弦,MA MB分别交x 轴于、C D 两点，若MC MD 且090AMB ，求AMB 的重心G 的轨迹方程.18.（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是矩形，ABCD C D 平面⊥1，1=AB ，21==C D BC ，E 为C A 1的中点.（1）求证：直线C C 1∥平面BDE ； （2）求二面角C BD E --的正切值.D 11B 1A 1E19．（本小题满分13分）某企业投资1000万元于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金100万元进行科研投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金（在扣除100万元的科研投入后）可以达到或超过翻两番（4倍）的目标？(参考数据：789101.25 4.77,1.25 5.96,1.257.45,1.259.31)20.（本小题满分13分）已知21,F F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，已知点2(,0)a N c -，满足 且121122||2F F NF F F ，设A 、B 是上半椭圆上满足NB NA λ=的两点，其中]31,51[∈λ.（1）求此椭圆的方程；（2）求直线AB 的斜率的取值范围.21.（本小题满分13分） 已知函数tx ex f x2)(2-=，2122)(22+-+-=t te x x g x . （1）求)(x f 在区间),0[+∞的最小值； （2）求证：若1=t ，则不等式)(x g ≥21对于任意的),0[+∞∈x 恒成立；（3）求证：若R t ∈，则不等式)(x f ≥)(x g 对于任意的R x ∈恒成立.衡阳市八中高三第五次月考 数学（理科）参考答案一、选择题：1.B2.C3.B4.D5.A6.D7.D8.C.二、填空题： 9．31nn + 10．300 11．2 12．450 13.x e y 1= 14.（1，21+） 15.5.三、解答题： 16.解:(1)由正弦定理知2sin sin a bA B==,又3=a ,∴23sin =A ,又ABC ∆为锐角三角形,故3π=A …………………………………………4分(2)B B BC B ab c b a cos 2)3cos(2cos 2cos 2cos 2222+--=+=+-+ππ B B B B B cos 2sin 3cos cos 2)32cos(2++-=+-=π)6sin(2sin 3cos B B B +=+=π……………………………..8分由于ABC ∆为锐角三角形,故有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--<<<23020ππππB B ,∴26ππ<<B ,∴3263πππ<+<B ,∴1)6sin(23≤+<B π,∴2)6sin(23≤+<B π, ∴B abc b a cos 2222+-+的取值范围是]2,3(………………………………………12分17．解：设M （y 20,y 0），90,45,1,AMB MCDk20().MA yy k xy 直线的方程为2002002,((1),1).y y xy y y yx由得A同理可得200((1),(1)).B y y设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M A B MA Bx x x y y y y x y y y y y y y y).32(2729120>-=x x y y 得消去参数19.(1)证法一: 连结AC ,与BD 交于点F ,连结EF ,在矩形ABCD 中,F 为AC 的中点,又E 为C A 1的中点,∴A A 1∥EF ,又在平行六面体1111ABCD A B C D -中,C C 1∥A A 1,∴C C 1∥EF ,又BDE EF 平面⊂,BDE C C 平面⊄1,∴直线C C 1∥平面BDE . ………………………………………………………………4分证法二: 连结1BD ,∵在平行六面体1111ABCD A B C D -中,11D A 与BC 平行且相等,∴四边形11BCD A 是平行四边形,则C A 1与1BD 互相平分, ∴1BD 经过C A 1的中点E ,∴平面BDE 即平面1BDD ,又在平行六面体1111ABCD A B C D -中,D D 1∥C C 1,且11BDD D D 平面⊂,11BDD C C 平面⊄,∴直线C C 1∥平面1BDD ,即直线C C 1∥平面BDE . ………………………………...4分BCDAD 1C 1B 1A 1EF(2)解法一: 连结B A 1,1BD ,∵在平行六面体1111ABCD A B C D -中,11D A 与BC 平行且相等,∴四边形11BCD A 是平行四边形,则C A 1与1BD 互相平分,∴C A 1的中点E 也是1BD 的中点.取BC 的中点F ,连结EF ,则EF ∥C D 1,且1211==C D EF ,又ABCD C D 平面⊥1， ∴ABCD EF 平面⊥，过点F 作FG 垂直BD 于点G ,连结EG .根据三垂线定理有BD EG ⊥，故EGF ∠是二面角C BD E --的平面角………8分 在BCD Rt ∆中,51211sin 22=+==∠BC CD DBC ，∴在FGB Rt ∆中，51sin =∠⋅=DBC FB FG ，∴在EFGRt ∆中，5511tan ===∠FGEF EGF . ……………..12分解法二: ∵平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是矩形，且ABCD C D 平面⊥1，∴1,,CD CD CB 两两垂直.建立如图所示的直角坐标系. ∵1=AB ，21==C D BC ， ∴)2,0,0(),0,1,0(),0,0,2(1D D B -,又由已知可得)2,0,2(1A , ∵E 为C A 1的中点，∴)1,0,1(E ,∴)1,0,1(-=EB ，)0,1,2(--=BD ，……………………………………………………………………8分 令平面BDE 的法向量),,(z y x m =，则有yzxBC DAD 1C 1B 1A 1E⎩⎨⎧=+--=-+002010z y x z y x ， ∴可取)1,2,1(=，又由ABCD C D 平面⊥1知平面BCD 的法向量可取)1,0,0(=， 令n m 与的夹角为θ，则661121110201cos 222=⋅++⋅+⋅+⋅==θ， ∴二面角C BD E --12分19．解：由题，a n =a n-1（1+25%）-100（n ≥2），即a n =45a n-1-100，设a n +λ=45（a n-1+λ），展开得a n =45a n-1+41λ，41λ=-100，λ=-400，∴a n -400=45（a n-1-400），即{a n -400}成一个等比数列，a 1=1000, ∴a n -400=600（45）n-1，a n =600（45）n-1+400，令a n≥4000，得（45）n-1≥6，解得n ≥10. 答：至少要过9年后才能达到目标。