函数的单调性与极值
函数的单调性与极值理
1、判别法中的开区间可换成其他各种区间. 2、判别法中如果f(x)严格增大(减小)，只能得出 f (x)≥0 (≤0)
如： 函数f(x)=x3在(, )上严格单调增加 但 f (0) =0
•函数单调性的判别法 设函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导.
(1)如果在(a, b)内f (x)>0, 则f(x)在[a, b]上严格单调增加 (2)如果在(a, b)内f (x)<0, 则f(x)在[a, b]上严格单调减少.
（1）两类点定义的出发点不同。
极值点是指函数在这一点处的函数值大于或小于该点 邻域内任何其它点的函数值；
驻点是指导数为零的点
因此极值点可以是可导点也可以是不可导点，而驻点 一定是可导点。
（2）极值点成为驻点的条件：若函数在区间内可导， 则函数的极值点一定是驻点，反之不成立；
（3）驻点成为极值点的条件：若f (x)在驻点左右邻域 内符号相反，则此驻点一定为极值点
y=2x39x212x3
例 例3 4. . 讨 论 函 数 y = 3 x 2 的 单 调 性 . 解 函数的定义域为(, ). y = 2 ( x 0 ) , 函 数 在 x = 0 处 不 可 导 . 3 3 x 因为x<0时, y<0, 所以函数在(, 0] 上单调减少
因为x>0时, y>0, 所以函数在[0, )上单调增加.
故函数f(x) 在x=0处取 得极小值f(0)=0.
y = 3 x2
•说明
2024高考数学函数的单调性与极值
2024高考数学函数的单调性与极值在2024年高考数学考试中，函数的单调性与极值是一个重要的考点。
掌握了函数的单调性与极值的概念和判断方法，能够帮助考生更好地解答相关题目。
本文将以对函数的单调性和极值的定义、判断依据和解题方法为主线，详细介绍这一考点的相关知识。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。
具体而言，对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果对于任意的x1和x2满足x1 <x2，则有f(x1) < f(x2)，那么称函数f(x)在区间[a, b]上是递增的；如果对于任意的x1和x2满足x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，那么称函数f(x)在区间[a, b]上是递减的。
判断函数的单调性有多种方法，常见的有导数法和图像法。
导数法的核心思想是利用函数的导数来研究函数的单调性。
如果函数在区间[a, b]上的导数大于0，则函数在该区间上递增；如果函数在区间[a, b]上的导数小于0，则函数在该区间上递减。
图像法则是通过绘制函数的图像来观察函数的变化趋势，确定函数的单调性。
二、函数的极值函数的极值是指在定义域内，函数取得的最大值和最小值。
具体而言，对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果在区间内部存在一点c，使得对于任意的x，有f(c)≥f(x)，那么f(c)是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值；如果在区间内部存在一点d，使得对于任意的y，有f(d)≤f(y)，那么f(d)是函数f(x)在区间[a, b]上的最小值。
判断函数的极值需要使用极值的判定条件。
常用的判定条件有：当函数在某一点x处的导数等于0或导数不存在时，这一点可能是函数的极值点。
需要注意的是，判定得到的极值点只是可能是极值点，还需要进一步的讨论确认。
三、解题方法1. 利用导数法判断函数的单调性与极值。
首先求出函数在定义域内的导数，然后通过判断导数的符号来确定函数的单调性。
§2.9 函数的单调性与极值
x (,1) 1 (1,3) 3 (3,)
f ( x)
0
0
极
极
f (x) ↑
大
↓
小
值
值
极大值 f (1) 10, 极小值 f (3) 22.
例2 求函数y x 1 3 x2的极值.
解
y
3
x2
(x
1) 2
1
x 3,
3
x
5x 2 33 x
由y 0得驻点
x1
2; 5
得奇点x2=0.
x (-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞)
f′(x)
+
0
+ 不存在 -
f(x)
↑
无极值 ↑
极大
↓
故函数 f(x)在 x=1取得极大值 f(1)=3.
定理3第二充分条件 设 f x 在x0处具有二阶导数，
且 f x0 0，f x0 0，那末 1 当 f x0 0时，函数 f x 在x0处取得极大值; 2 当 f x0 0时，函数 f x 在x0处取得极小值;
如果存在着点 x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点 x,除了点 x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数 f ( x)的一个极小值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得
极值的点称为极值点.
二、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x) 在点x0 处具有导数, 且在x0 处取得极值,那末必定 f (x0) 0 .
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
函数的单调性与极值点
函数的单调性与极值点在数学的广袤世界里，函数就像是一个个独特的“角色”，拥有着自己的性格特点，而单调性和极值点就是它们性格中非常关键的部分。
首先，咱们来聊聊函数的单调性。
简单来说，单调性就是函数在某个区间内的变化趋势。
如果函数在某个区间内，随着自变量的增大，函数值也一直增大，那这个函数在这个区间就是单调递增的；反过来，如果随着自变量的增大，函数值反而减小，那就是单调递减的。
想象一下，你正在爬山。
如果一直往上走，高度越来越高，这就像是函数单调递增；要是一直往下走，高度越来越低，那就是单调递减。
比如说，一次函数 y ＝ 2x ＋ 1，它的斜率是 2，大于 0，所以在整个实数范围内，它都是单调递增的。
那怎么判断一个函数的单调性呢？这就得提到导数这个强大的工具啦。
对于一个可导函数，如果它的导数大于 0，那么函数在这个区间就是单调递增的；导数小于 0，就是单调递减的。
举个例子，函数 y ＝ x²，它的导数是 y' ＝ 2x。
当 x ＞ 0 时，导数2x ＞ 0，所以函数在区间（0, ＋∞）上单调递增；当 x ＜ 0 时，导数2x ＜ 0，函数在区间（∞， 0) 上单调递减。
说完单调性，咱们再来说说极值点。
极值点就像是函数变化过程中的“转折点”，在这个点上，函数的值比它周围的点都大或者都小。
比如说，函数 y ＝ x³ 3x²＋ 2，对它求导得到 y' ＝ 3x² 6x。
令导数等于 0，解得 x ＝ 0 或 x ＝ 2。
当 x ＜ 0 时，导数大于 0，函数单调递增；当 0 ＜ x ＜ 2 时，导数小于 0，函数单调递减；当 x ＞ 2 时，导数大于 0，函数又单调递增。
所以 x ＝ 0 是一个极大值点，x ＝ 2 是一个极小值点。
极值点可不是随便一个点就能当的，得满足一定的条件。
首先，这个点的导数得是 0 或者不存在；其次，在这个点的两侧，函数的单调性得发生变化。
函数的单调性与极值点
函数的单调性与极值点函数的单调性和极值点是数学中重要的概念，它们用于描述函数在定义域内的增减关系和取得最大值或最小值的点。
本文将详细介绍函数的单调性和极值点的概念，并探讨它们的性质及应用。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减关系。
具体来说，如果对于定义域内的任意两个不同的自变量值x1和x2，当x1<x2时，函数值f(x1)<f(x2)，则称函数为递增函数；当x1<x2时，函数值f(x1)>f(x2)，则称函数为递减函数。
为了判断函数的单调性，我们可以计算函数的导数。
对于定义在区间(a, b)上的可导函数，如果在该区间内导函数始终大于零，则函数为递增函数；如果在该区间内导函数始终小于零，则函数为递减函数。
当导函数在某一点处等于零时，该点可能是函数的极值点。
二、函数的极值点函数的极值点是函数取得最大值或最小值的点。
极值点可以分为极大值点和极小值点。
如果在某一点的邻域内，函数在该点处的值大于（或小于）邻域内其他点的函数值，则该点为极大值点（或极小值点）。
为了确定函数的极值点，我们需要计算函数的导数。
首先求得函数的导函数，然后找到导函数为零的解，即导函数的根。
根据极值点的性质，导函数在极大值点或极小值点处的值为零。
因此，将导函数等于零的解代入原函数中，即可求得极值点的值。
需要注意的是，虽然导函数为零的点可能是函数的极值点，但并不是所有导函数为零的点都是极值点。
还需要进一步分析函数的横截点和导函数的符号变化，以确定这些点是否为极值点。
三、函数的单调性与极值点的应用函数的单调性和极值点在各个科学领域中有广泛的应用。
在经济学中，函数的单调性用于分析供需关系以及市场的变化趋势。
在物理学中，函数的单调性和极值点可以用于描述物体的运动规律和力学问题。
在统计学中，函数的单调性和极值点被用于拟合数据和分析数据的趋势。
此外，在优化问题中，函数的单调性和极值点也扮演着重要的角色。
通过研究函数的单调性和极值点，我们可以找到函数取得最大值或最小值的条件，并在实际问题中应用这些条件进行优化。
函数的单调性与极值点例题和知识点总结
函数的单调性与极值点例题和知识点总结在数学的学习中，函数的单调性与极值点是非常重要的概念，它们不仅在数学理论中有着关键地位，还在实际问题的解决中发挥着巨大作用。
下面，我们将通过一些具体的例题来深入理解函数的单调性与极值点，并对相关知识点进行总结。
一、函数单调性的定义函数的单调性指的是函数在其定义域内的增减性质。
如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值$x_1$、＄x_2$，当$x_1 ＜x_2$时，都有$f(x_1) ＜ f(x_2)＄（或$f(x_1) ＞ f(x_2)＄），那么就称函数在这个区间上是增函数（或减函数）。
例如，函数$f(x) ＝ x^2$在区间$（＼infty, 0)＄上是减函数，在区间$（0, ＋＼infty)＄上是增函数。
二、判断函数单调性的方法1、定义法设$x_1$、＄x_2$是给定区间上的任意两个自变量的值，且$x_1 ＜x_2$，计算$f(x_2) f(x_1)＄，若$f(x_2) f(x_1) ＞ 0$，则函数在该区间上是增函数；若$f(x_2) f(x_1) ＜ 0$，则函数在该区间上是减函数。
例 1：判断函数$f(x) ＝ 2x 1$在区间$（＼infty, ＋＼infty)＄上的单调性。
解：设$x_1$，＄x_2$是区间$（＼infty, ＋＼infty)＄上的任意两个实数，且$x_1 ＜ x_2$。
则$f(x_2) f(x_1) ＝（2x_2 1) （2x_1 1) ＝ 2(x_2 x_1)＄因为$x_1 ＜ x_2$，所以$x_2 x_1 ＞ 0$，＄2(x_2 x_1) ＞ 0$，即$f(x_2) f(x_1) ＞ 0$。
所以函数$f(x) ＝ 2x 1$在区间$（＼infty, ＋＼infty)＄上是增函数。
2、导数法对于可导函数，如果其导数$f'（x) ＞ 0$，则函数在相应区间上是增函数；如果$f'（x) ＜ 0$，则函数在相应区间上是减函数。
函数极值与单调性的关联与差异
函数极值与单调性的关联与差异在严格意义上，函数的极值并不直接影响其单调性。
相反，是函数的单调性变化揭示了极值的存在。
然而，为了更全面地解释这个问题，我们可以从以下几个方面来理解它们之间的关系：1. 极值点与单调性变化的关系极值点是函数在其局部范围内的最大或最小值点。
在极值点附近，函数的单调性会发生改变。
具体来说，如果一个函数在某点取得局部最大值，那么在该点的左侧（如果存在的话），函数是递增的；而在该点的右侧（如果存在的话），函数是递减的。
类似地，对于局部最小值点，函数在其左侧递减，在其右侧递增。
这种单调性的变化是极值点存在的“标志”，但并不意味着极值点“导致”了单调性的变化。
相反，是单调性的变化“揭示”了极值点的存在。
2. 导数在极值点与单调性变化中的作用为了找到极值点并确定其类型（最大值或最小值），我们通常会求函数的导数，并找到导数等于零的点（驻点）。
然而，并不是所有驻点都是极值点；我们还需要检查导数在该点附近的符号变化来确定是否存在极值点以及极值点的类型。
在这个过程中，导数的符号变化反映了函数的单调性变化，而极值点则是这种单调性变化的“转折点”。
3. 逻辑顺序的澄清●首先，函数的单调性是其本质属性之一，它描述了函数在定义域内某区间上的增减性。
●然后，我们通过求导和分析导数的符号变化来找到可能的极值点。
最后，我们确认这些点是否真的是极值点，并确定它们的类型（最大值或最小值）。
这个过程清楚地表明，是单调性的变化（通过导数的符号变化来反映）帮助我们找到了极值点，而不是极值点影响了单调性。
4. 结论因此，我们可以说函数的极值点并不直接影响其单调性；相反，是单调性的变化（特别是通过导数来分析的）揭示了极值点的存在。
极值点是函数单调性变化的“转折点”，它们标志着函数从一种单调状态转变为另一种单调状态。
3.2 函数的单调性及其极值
函数值比较而言，并不意味着它在函数的整个定义区间内最大或最小，所以，
极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值，上图中,极大值可能比极小
值还要小；
(2)由极值的定义知，函数的极值只能在区间内部取得，不能在区
间的端点处取得。
极值存在的必要条件与充分条件：
问题:哪些点处有可能取得极值呢？ 由图可见：在极值点处如果有切线的话，切线是
y y = f (x)
a x1 O x2
x3 x4
x5 b x
定理 (极值存在的第一充分条件)
设函数 y = f (x) 在 x0 的某个邻域内可导(在 x0 处可以不可导，但必须连续)，则有
(1) 当 x x0 时 ， f ( x) 0 ， 当 x x0 时 ， f ( x) 0 ，
(, 1), 1, 7 , 7 , 2, (2, ). 5 5
(3)列单调极值表如下：
x (-, 1) 1
f (x) +
0
极大
f (x)
值点
1, 7 5
7 5
7 , 2 5
2
-0
+0
极小 值点
非极 值点
(2, + ) +
例 5 求函数 f (x) = (x - 1)2 (x - 2)3 的极值. 解 (1) 定义域为 (- ,+ )
(2) f (x) = (x - 1) (x - 2)2 (5x - 7) 令f (x) = 0 得 f (x) 的驻点：x 1, x 7 , x 2,
5
该函数在定义区间内无不可导的点， 上述驻点将定义区间分为四个子区间
例 1 试求函数 f (x) = 3x4 -16x3 + 30x2 – 24x + 4 在区间[0,3]上的最大值和最小值.
函数的单调性与极值
函数的单调性与极值在数学的广袤天地中，函数是一座璀璨的灯塔，而函数的单调性与极值则是其重要的特征和性质。
它们就像函数世界的指南针，帮助我们理解函数的行为和变化规律。
首先，咱们来聊聊函数的单调性。
简单说，单调性就是函数值随着自变量增大或减小的变化趋势。
如果函数值随着自变量的增大而增大，那这个函数在相应的区间上就是单调递增的；反之，如果函数值随着自变量的增大而减小，那它就是单调递减的。
想象一下，我们有一个函数 f(x) ＝ x²。
当 x ＜ 0 时，随着 x 的值越来越小，函数值却越来越大，所以在区间（∞， 0) 上，函数是单调递增的；而当 x ＞ 0 时，随着 x 的值越来越大，函数值也越来越大，所以在区间（0, ＋∞）上，函数同样是单调递增的。
那怎么判断一个函数的单调性呢？这就需要用到一些数学工具啦，比如导数。
导数就像是函数的“速度表”，它能告诉我们函数变化的快慢。
如果导数大于零，那么函数在这个区间就是单调递增的；如果导数小于零，那就是单调递减的。
举个例子，对于函数 f(x) ＝ 2x ＋ 3 ，它的导数 f'（x) ＝ 2 ，因为 2 大于零，所以这个函数在整个实数范围内都是单调递增的。
再来说说函数的极值。
极值可不得了，它是函数在某个局部范围内的最大值或最小值。
比如说，一座山峰在周围的区域中是最高的，那这个山峰的高度就是一个极大值；而一个山谷在周围的区域中是最低的，那这个山谷的深度就是一个极小值。
要找到函数的极值，我们通常需要先找到导数为零的点，这些点被称为驻点。
但驻点可不一定都是极值点哦，还需要进一步判断。
假设我们有一个函数 f(x) ＝ x³ 3x²＋ 2 ，对它求导得到 f'（x) ＝3x² 6x 。
令导数等于零，即 3x² 6x ＝ 0 ，解得 x ＝ 0 或 x ＝ 2 。
接下来，我们要通过二阶导数或者两侧的导数符号来判断这些点是不是极值点。
初中数学知识归纳函数的单调性与函数的极值
初中数学知识归纳函数的单调性与函数的极值初中数学知识归纳——函数的单调性与函数的极值函数是数学中的重要概念，它描述了一种元素之间的依赖关系。
而函数的单调性与函数的极值则是函数的两个重要性质。
本文将从数学角度详细解释函数的单调性与函数的极值的概念、性质以及它们在数学问题中的应用。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的取值的增减性质。
具体说，对于一个定义在区间上的函数，如果其在区间内任意两个不同的点，函数值总是满足增加或减少的关系，则称该函数在该区间上是单调的。
函数的单调性分为单调递增和单调递减两种情况。
1. 单调递增函数的单调递增指的是在函数的定义域内，随着自变量的增加，函数值也逐渐增大。
例如，对于函数$f(x)$而言，如果对于区间$[a, b]$内的任意两个不同的实数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) < f(x_2)$，则称函数$f(x)$在区间$[a, b]$上为单调递增。
2. 单调递减函数的单调递减指的是在函数的定义域内，随着自变量的增加，函数值逐渐减小。
例如，对于函数$f(x)$而言，如果对于区间$[a, b]$内的任意两个不同的实数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) > f(x_2)$，则称函数$f(x)$在区间$[a, b]$上为单调递减。
函数的单调性在解决实际问题中具有重要作用，它可以帮助我们分析函数的性质和得出一些结论。
二、函数的极值函数的极值是指在函数的定义域内，函数取得的最大值或最小值。
极值点对应函数曲线上的极值。
1. 极大值函数的极大值是指函数在某个点上取得的最大值。
例如，对于函数$f(x)$而言，如果存在一个点$c$，使得在以$c$为中心的某个区间内，对于任意的$x$，都有$f(x) \leq f(c)$，则称函数$f(x)$在点$c$处有极大值。
2. 极小值函数的极小值是指函数在某个点上取得的最小值。
函数的单调性与极值
函数的单调性与极值在数学中，函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
它描述了函数图像是上升、下降还是具有其他类似的性质。
而函数的极值则表示函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。
函数的单调性与极值是函数分析中常用的重要概念，可用于求解最优化问题、验证数学定理等。
一、函数的单调性函数的单调性分为递增和递减。
当函数随着自变量的增大而增大，或者随着自变量的减小而减小时，称为递增函数。
相反，当函数随着自变量的增大而减小，或者随着自变量的减小而增大时，称为递减函数。
我们以一些常见的函数类型为例，来说明函数的单调性：1. 线性函数：线性函数是指函数的表达式是一次方程的函数，即$f(x)=ax+b$，其中$a$和$b$是常数。
线性函数的单调性取决于斜率$a$的正负性。
当$a>0$时，函数递增；当$a<0$时，函数递减。
2. 幂函数：幂函数是指函数的表达式是$x$的幂次方，即$f(x)= x^n$，其中$n$是常数。
当$n>0$且$n$是奇数时，函数是递增的；当$n>0$且$n$是偶数时，函数是递减的。
3. 指数函数：指数函数是指函数的表达式是以常数为底数的指数函数，即$f(x)=a^x$，其中$a$是常数且$a>0$且$a\neq1$。
当$a>1$时，函数递增；当$0<a<1$时，函数递减。
4. 对数函数：对数函数是指函数的表达式是对数函数，即$f(x)=\log_a x$，其中$a$是常数且$a>0$且$a\neq1$。
当$a>1$时，函数递增；当$0<a<1$时，函数递减。
二、函数的极值函数的极值包括最大值和最小值。
当函数在某个点上取得最大值时，称为函数的最大值；当函数在某个点上取得最小值时，称为函数的最小值。
极值点也被称为驻点。
函数的极值可以通过求导数的方法来获得。
首先，求函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点的横坐标。
进一步，通过二阶导数的正负性来判断极值点的类型。
函数的单调性与极值求解
函数的单调性与极值求解是微积分中的重要概念，对于理解函数的性质、预测函数的变化趋势以及解决实际问题都具有重要意义。
本文将从单调性的定义、判断方法、应用，极值的定义、求解方法、应用等方面进行详细探讨。
一、单调性1. 单调性的定义单调性描述了函数值随自变量变化的规律。
若在一个区间内，函数值随自变量的增大而增大（减小而减小），则称函数在该区间内单调递增（递减）。
根据定义，我们可以知道单调性是一个局部性质，即一个函数在不同的区间内可以有不同的单调性。
2. 判断单调性的方法（1）导数法：通过求函数的导数，判断导数的符号来确定函数的单调性。
若导数在某区间内大于0，则函数在该区间内单调递增；若导数在某区间内小于0，则函数在该区间内单调递减。
（2）定义法：根据单调性的定义，对于任意的两个点x1和x2（x1<x2），如果函数在x1处的函数值小于在x2处的函数值，则函数在[x1, x2]区间内单调递增；反之，如果函数在x1处的函数值大于在x2处的函数值，则函数在[x1, x2]区间内单调递减。
3. 单调性的应用单调性在实际应用中具有广泛的用途。
例如，在经济学中，很多经济指标（如需求、供应等）都可以表示为自变量（如价格、收入等）的函数，通过分析这些函数的单调性，可以预测经济指标的变化趋势。
此外，在优化问题、工程问题等领域，单调性也发挥着重要作用。
二、极值1. 极值的定义极值描述的是函数在某一点处的局部性质，即函数值在该点及其附近达到最大或最小。
如果一个函数在某一点处的函数值大于（或小于）其附近所有点的函数值，则称函数在该点处取得极大值（或极小值）。
2. 求解极值的方法（1）一阶导数法：首先求出函数的导数，然后解导数等于0的方程，得到可能的极值点。
接着分析导数在这些点附近的符号变化，如果导数由正变负，则函数在此点处取得极大值；如果导数由负变正，则函数在此点处取得极小值。
（2）二阶导数法：在求得一阶导数等于0的点后，进一步求出函数的二阶导数。
函数的单调性与极值
x
，3 5
3 5
f (x)
+
0
f (x)
3 5
，1
1 不存在
1，
+
由上表可知，函数
f
(x)
的单调增加区间为
，53
和
[1，
)
，单调减少区间为
3 5
，1
。
二、函数的极值及其求法 1．函数极值的定义
由图3-2可以看出，y f (x) 在点 x2及 x5的函数值 f (x2 ) 和 f (x5 ) 比 它邻近各点的函数值都大，而在 x1，x4，x6 的函数值 f (x1)，f (x4 )，f (x6 ) 比它们邻近各点的函数值都小，对于这种性质和对应点的函数值，我 们给出如下定义：
图3-1
我们将导数为零的点，称为函数的驻点。将连续不可导点 称为函数的尖点。
现将求函数 f (x)的单调区间的一般步骤归纳如下：
（1）确定函数 f (x) 的定义域； （2）求函数 f (x) 的导数，确定驻点和尖点； （3）以驻点和尖点为分界点，按照从小到大的顺序将定义域 划分为若干个子区间，列表讨论 f (x) 在各个子区间内 f (x) 的 符号，根据判定法确定函数 f (x) 的单调区间。
例4 求函数 f (x) (2x 5) 3 x2 的极值。
解 （1）函数的定义域为 ( ， )
（2）求导
f
(x)
5
(2x3
2
—5x 3
)
10
x—1
，得驻点
x 1，尖点
x 0。
界点将 ( ， ) 分为三个子区间， 列表讨论：
x
( ，0)
0
(0 ，1)
函数的单调性与极值点
函数的单调性与极值点函数的单调性是指函数在定义域内的某个区间上的取值是递增或递减的性质。
而极值点则是函数在定义域内取得最大值或最小值的点。
本文将深入探讨函数的单调性与极值点。
一、函数的单调性函数的单调性分为递增和递减两种情况。
1. 递增函数当函数在定义域内的任意两个数x1、x2满足x1 < x2时，若对应的函数值f(x1) < f(x2)，则称该函数在该区间内是递增的。
简言之，函数的值随着自变量的增大而增大。
举例来说，对于函数f(x) = x2，当x1 = 2，x2 = 3时，f(x1) = 4，f(x2) = 9，由于4 < 9，所以该函数在区间[2, 3]上是递增的。
2. 递减函数当函数在定义域内的任意两个数x1、x2满足x1 < x2时，若对应的函数值f(x1) > f(x2)，则称该函数在该区间内是递减的。
简言之，函数的值随着自变量的增大而减小。
举例来说，对于函数f(x) = -x，当x1 = 2，x2 = 3时，f(x1) = -2，f(x2) = -3，由于-2 > -3，所以该函数在区间[2, 3]上是递减的。
二、极值点极值点是函数在定义域内取得最大值或最小值的点。
1. 极大值点当函数在某点x0的邻近区间内，对于任意的x，有f(x) ≤ f(x0)时，则称该点为函数的极大值点。
例如，对于函数f(x) = x3 - 3x2 + 4，当x0 = 1时，f(x0) = 2。
在x0附近的区间内，对于任意的x，都有f(x) ≤ 2，因此该函数在点x0 = 1处取得极大值。
2. 极小值点当函数在某点x0的邻近区间内，对于任意的x，有f(x) ≥ f(x0)时，则称该点为函数的极小值点。
例如，对于函数f(x) = -x3 + 2x2 - 3，当x0 = 0时，f(x0) = 0。
在x0附近的区间内，对于任意的x，都有f(x) ≥ 0，因此该函数在点x0 = 0处取得极小值。
函数的单调性与极值点
函数的单调性与极值点在数学的广袤天地中，函数是一个极其重要的概念。
而函数的单调性和极值点，更是理解函数行为和性质的关键所在。
首先，让我们来聊聊函数的单调性。
简单地说，单调性就是函数值随着自变量增大或减小的变化趋势。
想象一下，你沿着一条道路行走，如果一路上风景越来越好，那就是单调递增；要是越来越差，就是单调递减。
对于函数而言，如果对于定义域内的某个区间，当自变量增大时，函数值也随之增大，我们就说这个函数在这个区间上是单调递增的；反之，如果自变量增大时，函数值减小，那就是单调递减。
比如说，一次函数 y ＝ 2x ＋ 1，它的斜率是 2，大于 0，所以在整个实数范围内，它都是单调递增的。
你可以想象，当 x 不断增大时，y 的值也会越来越大。
再看反比例函数 y ＝ 1/x，在 x ＞ 0 这个区间上，x 越大，y 越小，所以它在这个区间上是单调递减的。
但要注意，它在整个定义域内并不是单调的，因为在 x ＜ 0 的区间上，情况正好相反。
那么，如何判断一个函数的单调性呢？最常用的方法就是求导。
导数就像是函数的“速度表”，它能告诉我们函数值变化的快慢。
如果导数大于 0，函数就是单调递增的；导数小于 0，函数就是单调递减的。
接下来，我们说一说极值点。
极值点可不是随便一个点，它是函数图像上的“特殊角色”。
极值点分为极大值点和极小值点。
极大值点就是在它附近的区域内，函数值都比它小；极小值点则是在它附近的区域内，函数值都比它大。
比如函数 y ＝ x^2，当 x ＝ 0 时，函数取得极小值 0。
因为在 x ＝ 0 的左侧，函数单调递减；在 x ＝ 0 的右侧，函数单调递增。
要找到极值点，还是得依靠导数。
导数为 0 的点可能是极值点，但不是一定的哦。
还需要进一步判断在这个点两侧导数的符号。
如果导数从正变负，那就是极大值点；如果从负变正，就是极小值点。
函数的单调性和极值点有着密切的关系。
单调递增区间和单调递减区间的交界处往往就是极值点。
函数的单调性与极值点的求解
函数的单调性与极值点的求解函数的单调性是指在定义域内，函数值的变化趋势是否具有一致性。
而极值点则是指函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。
确定函数的单调性和找出极值点对于理解函数的性质和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍如何判断函数的单调性以及如何求解函数的极值点。
一、函数的单调性判断函数的单调性的方法有两种：用导数和用函数的图像。
1. 用导数判断函数的单调性对于函数y=f(x)，在区间(a,b)上可导，如果在(a,b)上f'(x)>0，则函数在该区间内单调递增；如果f'(x)<0，则函数在该区间内单调递减。
举例：考虑函数y=x^2，在整个实数集上可导。
计算导数f'(x)=2x，可以发现当x>0时，f'(x)>0，函数递增；当x<0时，f'(x)<0，函数递减。
2. 用函数的图像判断函数的单调性根据函数的图像，如果图像从左往右逐渐上升，则函数在该区间内单调递增；如果图像从左往右逐渐下降，则函数在该区间内单调递减。
举例：观察函数y=x^2的图像，可以看到当x>0时，函数的图像从左往右逐渐上升；当x<0时，函数的图像从左往右逐渐下降。
函数的单调性判断对于求解函数的极值点也是有帮助的。
二、极值点的求解函数的极值点包括极大值点和极小值点，可以通过以下步骤求解：1. 求函数的导数对于函数y=f(x)，求它的一阶导数f'(x)。
如果函数存在极值点，那么在该点处导数等于零或者不存在。
2. 求解导数为零的方程根据求导得到的方程f'(x)=0，解方程得到使得导数为零的点，即可能的极值点。
3. 求解导数不存在的点导数不存在的点也可能是极值点，需要检查这些点是否满足极值点的条件。
4. 比较函数值在求解得到的可能的极值点中，比较这些点处的函数值，找出函数在该点处的最大值或最小值，即确定极值点。
举例：考虑函数y=x^3-3x^2+2x，在整个实数集上可导。
高数4.3函数的单调性与极值
f ( x) 在[a, b]上单调增加(单调减少).
定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a b]上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上单调减少
1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存 在的点. 2 3 y x 例如,
说明:
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
y
y x3
o x
•讨论
1 设函数yf(x)在[a b]上连续 在(a b)内可导 x1 x2是 f (x)的两个相邻的零点 问f(x)在[x1 x2]上是否 单调？ 2 如何把区间[a b]划分成一些小区间 使函数 f(x)在每个小区间上都是单调的？
•确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数的定义域 (2)求出导数f (x) (3)求出f (x)全部零点和不可导点 (4)判断或列表判断 (5)综合结论
例4 确定函数f(x)2x39x212x3的单调区间 解 这个函数的定义域为( ) f (x)6x218x126(x1)(x2) 导数为零的点为x11、x22 列表 ( 1) (1 2) (2 ) x ＋ － ＋ f (x) f (x) ↗ ↘ ↗
因此当x1时 f(x)f(1)0 即
二、函数极值的定义
y
y f ( x)
ax
y
1
o
x2
x3
x4
x5
x6
b
函数的单调性与极值问题
函数的单调性与极值问题在数学中，研究函数的单调性与极值问题是非常重要的。
函数的单调性描述了函数在定义域内的递增或递减趋势，而极值则表示函数在某些点上取得最大或最小值。
本文将讨论函数的单调性和极值问题，并提供相关的数学概念和方法。
一、函数的单调性函数的单调性指的是函数在其定义域内的变化趋势。
具体而言，如果对于函数中的任意两个实数x1和x2，当x1 < x2时，函数值f(x1)小于等于f(x2)，则函数被称为在该定义域内是递增的。
同样地，如果当x1 < x2时，f(x1)大于等于f(x2)，则函数被称为在该定义域内是递减的。
判断函数的单调性的方法通常有以下几种：1. 利用导数：对于可导的函数，可以通过求导来判断函数的单调性。
如果导函数大于零，则函数递增；如果导函数小于零，则函数递减。
2. 比较法：可以直接比较函数在不同点上的函数值来判断单调性。
如果函数值随着自变量的增大而增大，那么函数是递增的；反之则递减。
3. 二阶导数法：在某些情况下，可以通过求二阶导数来确定函数的单调性。
如果二阶导数大于零，则函数是凸函数，即递增的；如果二阶导数小于零，则函数是凹函数，即递减的。
二、极值问题极值是函数在其定义域内取得的最大或最小值。
极大值是函数在局部范围内取得最大值，而极小值则是函数在局部范围内取得的最小值。
在数学中，极值点也被称为驻点。
判断函数的极值通常有以下几种方法：1. 利用导数：对于可导的函数，可以通过求导数来找到驻点。
驻点为导数为零或不存在的点。
然后通过二阶导数的符号来判断驻点是极大值还是极小值。
若二阶导数大于零，则是极小值；若二阶导数小于零，则是极大值。
2. 区间法：对于定义域是闭区间的函数，可以通过计算区间端点和驻点的函数值来找到极值。
比较这些函数值可以确定最大值和最小值。
3. 二次判别法：对于二次函数，可以利用二次函数的二次判别式来判断其极值。
若二次判别式大于零，则函数有极值。
总结：函数的单调性与极值问题是数学中非常重要的概念和技巧。
函数的单调性与极值的判断方法
函数的单调性与极值的判断方法函数是数学中的重要概念，它描述了变量之间的关系。
在数学分析中，研究函数的单调性和极值有着重要的意义。
在本文中，我们将讨论函数的单调性和极值的判断方法。
一、函数的单调性函数的单调性描述了函数在定义域内的增减关系。
具体而言，如果对于定义域内的任意两个数a和b，若a<b，则相应的函数值f(a)和f(b)的大小关系有：1. 增函数：当a<b时，有f(a)<f(b)成立。
2. 减函数：当a<b时，有f(a)>f(b)成立。
3. 常函数：对于任意的a和b，都有f(a)=f(b)成立。
4. 严格增函数：当a<b时，有f(a)<f(b)恒成立。
5. 严格减函数：当a<b时，有f(a)>f(b)恒成立。
判断函数的单调性的方法可以通过函数的导数来实现。
一般而言，对于可导的函数f(x)，具有以下性质：1. 当f'(x)>0时，函数在该点附近是增函数。
2. 当f'(x)<0时，函数在该点附近是减函数。
3. 当f'(x)=0时，函数达到局部极值，需要进一步判断。
二、函数的极值函数的极值即函数在定义域内取得的最大值和最小值。
通过分析函数的极值可以获得函数的局部特征。
1. 局部最大值：设函数f(x)在x=a处连续，且在a的某个邻域内，对于任意的x都有f(x)≤f(a)成立，则称f(a)为函数的局部最大值。
2. 局部最小值：设函数f(x)在x=a处连续，且在a的某个邻域内，对于任意的x都有f(x)≥f(a)成立，则称f(a)为函数的局部最小值。
3. 极值点：函数的局部最大值和局部最小值统称为极值点。
判断函数存在极值的方法可以通过分析函数的一阶和二阶导数来实现。
1. 一阶导数法：求出函数的导数f'(x)，当f'(x)=0时，即为可能的极值点。
进一步，通过判断f'(x)的正负性可以确定极值点的类型。
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y 3 x2
使函数 f(x)连续，
但导数 f＇ x
不存在的点称为函数f(x)的奇点.
函数的驻点与奇点统称为函数的临界点。
如果存在着点 x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点 x,除了点 x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数 f ( x)的一个极小值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得
极值的点称为极值点.
二、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x) 在点x0 处具有导数, 且在x0 处取得极值,那末必定 f (x0) 0 .
即 x ln(1 x) 0, x ln(1 x).
例3 证明 当x 0时, x arctan x x x3 . 3
证 左端 x arctan x 令f x x arctan x
当x
0时，f
x
1
1
1 x
2
0
x 0时, f x f 0 0 f x 0,
即 x arctan x 0 x arctan x
1用方程 f ( x) 0 的根及f ( x)不存在的点
来划分函数f ( x)的定义区间 ;
2 判断区间内导数的符号,从而决定 f x在该区间的单调性.
例1 确定函数 f ( x) 2x3 9x2 12x 3 的单调区间. 解 D (,). f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)(x 2) 解方程f ( x) 0 得， x1 1, x2 2.
例5 证明方程x3 3x 1 0在0,1内有惟一的根. 证明 令 f x x3 3x 1.
1 存在性: 因为f x x3 3x 1在0,1上连续，
f 0 1 0, f 1 1 0,
由闭区间上连续函数零点存在定理知：
0,1使f 0. 2 惟一性：
x 0,1, f x 3x2 3 3 x2 1 0,
x (-∞,1) 1
(1,2)
2
(2,+∞)
f′(x) +
0
-
0
+
f(x) ↑
↓
↑
在(,1]上单调增加； 在[1,2]上单调减少； 在[2,)上单调增加；
三、利用单调性证明不等式
推论：设 f x在以x、x0为端点的闭区间上连续，
开区间内可导.
1当x x0时，若 f x 0，则 f x f x0 ； 若 f x 0，则 f x f x0 .
也能断定 f(x)的单调性。
例如: y = x3在 x=0点处 f 0 0 而当 x 0时,有
f x 0 .所以y =f(x)=x3在区间 , 单调增加.
若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 则该区间称为函数的单调区间.
(2)一阶导数为零的点和一阶导数不存在的点 是函数单调区间可能的分界点.
右端
arctan
x
x
x3
令g x
arctan x
(x
x3 ),
3
3
g x
1 1 x2
1
x2
x4 1 x2
0
x 0
当x 0时, gx g0 0 gx 0,
即 arctan x x x3 0 arctan x x x3
3
3
综上所述: x arctan x x x3 . 3
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
注: （1）定理的条件是一个充分条件.有时函数f(x)
可以在个别孤立点x0处 f x0 0 , 只要孤立点 不形成区间而在其他点 f x 0(或 f x 0 )
在 [a,b] 上单调减少.
证 x1, x2 [a,b], 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )
x2 x1 0,
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调增加.
例如 f x 3 x2 , f x 2 1 ,当x 0时, f 0不存在
3 3x
x>0时，f x 0; x<0时, f x 0. 所以 f(x)分别在
（-∞，0]及（0，+∞）单调减少和单调增加.
y 3 x2
（3）该定理对（ ），[ ），（ ]，（-∞，+∞） 均成立.
二、单调区间求法
f x在0,1内单调减少.
故在0,1内方程有惟一的根.
函数极值的判定法
一、函数极值的定义
x
a x1 x2 x3 x4 x5 x6
x7
by
定义 设函数 f ( x)在区间(a,b)内有定义, x0是 (a , b)内 的 一个 点,
如果存在着点 x0的一个邻域, 对于这邻域内的 任何点 x,除了点 x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数 f ( x)的一个极大值;
§2.9 函数的单调性与极值
一、单调性的判别法
定理 设函数 y f (x)在 [a,b] 上连续，在 (a,b)内可 导 . （1）如果在(a,b)内f ( x) 0，那末函数 y f ( x)
在 [a,b] 上单调增加； (2) 如果在(a,b)内f ( x) 0,那末函数y f ( x)
定义: 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点.
注意: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻点, 但函数的驻点却不一定是极值点.
例如: y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
注：导数不存在的点也可能是函数的极值点 。
例如函数 f ( x) 3 x2 在x 0点处f 0不存在.
2当x x0时，若 f x 0，则 f x f x0 ； 若 f x 0，则 f x f x0 .
例2 当x 0时,试证x ln(1 x)成立. 证 设 f ( x) x ln(1 x),
则 f ( x) x . 1 x
f ( x)在[0,)上连续, 在(0,)内可导.
且 f (0) 0, f x 0 当x 0时，f x f 0