已知三角函数图象求解析式方法例析

合集下载

由三角函数图像求解析式(适合讲课使用)

图像的变换与对称性
01
平移变换
三角函数图像可以在x轴或y轴方向上平移，而不改变其形状和性质。
例如，正弦函数向右平移a个单位后变为$y=sin(x-a)$。
02
伸缩变换
三角函数图像可以在x轴或y轴方向上伸缩，从而改变其周期和振幅。
例如，正弦函数在x轴方向上伸缩a倍后变为$y=sin(frac{1}{a}x)$。
余弦函数
定义域
全体实数，即$R$。
值域
$[-1,1]$。
周期性
余弦函数具有周期性，最小正周期为$2pi$。
单调性
在每个周期内，余弦函数在$[0, pi]$上单调递减，在$[pi, 2pi]$
上单调递增。
正切函数
定义域
01
不连续，无周期性。
值域
02
全体实数，即$R$。
单调性
03
正切函数在每一个开区间$(kpi-frac{pi}{2}, kpi+frac{pi}{2})$内
01
1. 绘制直角坐标系
根据解析式的定义域，绘制直角坐标系。
02
03
2. 确定关键点
3. 绘制图像
根据解析式的值，确定直角坐标系中的关键点。
根据关键点，绘制三角函数的图像。
例题三：综合应用题
1. 分析题目
仔细阅读题目，理解题目的要求和条件。
2. 确定解题步骤
根据题目要求，确定解题步骤，包括已知条件的分析、未知条件的推导等。
由三角函数图像求解析式
contents
目录
• 引言 • 三角函数的基本性质 • 三角函数图像的绘制 • 由三角函数图像求解析式的方法 • 实例分析 • 总结与思考

求三角函数解析式方法总结超全面

求三角函数解析式)sin(ϕω+=x A y 常用的方法全面总结三角函数的解析式是研究三角函数图像与性质的重要依据，也是高中数学教学的重点，也是历年来高考考查的热点，学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。

A （振幅）：A=2-最小值最大值φ+wx ：相位，其中Tw π2=(T 为最小正周期） ϕ：初相，求φ常有代入法、五点法、特殊值法等一、利用五点法，逆求函数解析式三角函数五点法是三角函数图像绘制的方法，分别找三角函数一个周期内端点与终点两个点，另加周期内一个零点，两个极值点和一共零点，总共五个点第一点，即图像上升时与x 轴的交点，为φ+wx =0 第二点，即图像曲线的最高点，为φ+wx =2π 第三点，即图像下降时与x 轴的交点，为φ+wx =π第四点，即图像曲线的最低点，为φ+wx =23π 第五点，即图像最后一个端点，为φ+wx =π2例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式．例2.是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上的一段，则（）Ａ．10π116ωϕ==，Ｂ．10π116ωϕ==-，Ｃ．π26ωϕ==，Ｄ．π26ωϕ==-，例3.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==例4、函数()ϕω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图，求y 的解析式。

（其中 πϕπω<<->>,0,0A ）变式练习1、已知函数)sin(ϕω+=x A y (A >0，ω>0，|ϕ|<π)2、已知函数)sin(ϕω+=x Ay (A >0，ω>0，|ϕ|<π)的图象如图，求函数的解析式。

高考数学《图像变换在三角函数中的应用》基础知识与典型例题分析

高考数学《图像变换在三角函数中的应用》基础知识与典型例题分析在高考中涉及到的三角函数图像变换主要指的是形如()sin y A x ωϕ=+的函数，通过横纵坐标的平移与放缩，得到另一个三角函数解析式的过程。

要求学生熟练掌握函数图像变换，尤其是多次变换时，图像变化与解析式变化之间的对应联系。

一、基础知识：（一）图像变换规律：设函数为()y f x =（所涉及参数均为正数） 1、函数图像的平移变换：（1）()f x a +：()f x 的图像向左平移a 个单位（2）()f x a −：()f x 的图像向右平移a 个单位（3）()f x b +：()f x 的图像向上平移b 个单位（4）()f x b −：()f x 的图像向下平移b 个单位 2、函数图像的放缩变换：（1）()f kx ：()f x 的图像横坐标变为原来的1k（图像表现为横向的伸缩）（2）()kf x ：()f x 的图像纵坐标变为原来的k 倍（图像表现为纵向的伸缩） 3、函数图象的翻折变换：（1）()fx ：()f x 在x 轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于y 轴对称的图像（2）()f x ：()f x 在x 轴上方的图像不变，x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折即可（与原x 轴下方图像关于x 轴对称）（二）图像变换中要注意的几点：1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 ② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换例如：()31y f x =+：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤()2y f x =−+：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现：（1）加“常数”⇔ 平移变换（2）添“系数”⇔放缩变换（3）加“绝对值”⇔翻折变换3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 ② 横坐标的多次变换中，每次变换只有x 发生相应变化例如：()()21y f x y f x =→=+可有两种方案方案一：先平移（向左平移1个单位），此时()()1f x f x →+。

根据图像求三角函数解析

2 的图像如上图所示 ,求该函数的解析式。
或y3cos(2x－5)
6
练习 3 .函数 yA sin ( x ),(A 0 , 0 ,|| )
的部分图像如图所示 ,求该函数的解析式。
y2sin(2x) 3
y 2
o 3
5 6
x
-2
例3：求f(x)=Asin(ωx+φ)+B型的解析式
-2
ππ 42
3π 2
5π 2
7π 2
x
4
例2：如图为y=Asin（ωx+φ）的图象的一段，求其解析式.
练习 1.函数 yA sin(x),(A0,0,||)
2 的图像如图所示 ,求该函数的解析式。y
3
y3sin(2x) 3
2
3
o
6
x
-3
变式 .函数 yA cos(x),(A0,0,||)
巧记·主干知识
突破·重点要点
题型二由图象求函数y＝ Asin(ωx＋φ)的解析式
例 2 (1)已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋
φ)(其中 ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是
π，且 f(0)＝ 3，则( )
A.ω＝12，φ＝π6 C.ω＝2，φ＝π6
B.ω＝12，φ＝π3 D.ω＝2，φ＝π3
1.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(ω>0,
|φ|< )的图象的一部分如图所示：（1）求2f(x)的表达式；
（2）试写出f（x）的对称轴方程.
解（1）由图象可知，函数的最大值M=3，

正弦曲线求解析式

(3)设这个简谐振动的函数表达式为
y A sin( x ), x [0, )
2 5 那么,A=2;由于 0.8得； 2 由图象知初相为0,于是所求函数表达式是
5 y 2 si n x , x [0, ). 2
方法：
（1）求A 最大值f1、最小值f2，A=(f1-f2)/2; （2）求ω先周期T 相邻两个最高点与最低点的横坐标间的距离即为T/2，由周期公式求出ω （3）求φ 代值，代特殊点的坐标
（２）从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3)写出这个简谐运动的函数表达式.
y/cm
2 A 0.4 0.8 B D E 1.2 F
o
x/s
C
解:(1)从图像上可知,这个简谐振动的振幅为2cm;周期
为8s;频率为1.25 (2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完成了一次往复运动;如果从A点算起,则到曲线上的E点,表示完成了一次往复运动
y
3
O
3
5 6
x
3
例弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离s（cm）随时间t（s）的变化曲线是一个三角函数的图象，如图. s/cm （1）求这条曲线对 4 应的函数解析式； 7p （2）小球在开始振 12 动时，离开平衡位 O p t/s 置的位移是多少？ 12
-4
如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数: y A sin( x ) b
A. 向左平移π/4个单位
C. 向左平移π/ 8个单位
B. 向右平移π / 4 个单位
D. 向右平移π/ 8个单位
把一张纸卷到圆柱形的纸筒面上，卷上几圈，用刀斜着将纸筒削断，再把卷着的纸展开，你就会看到：纸的边缘线是一条波浪形的曲线。

由图像或性质求三角函数解析式的方法

求三角函数解析式常用的方法三角函数是高中数学的一个重点,而三角函数图象与性质又是其中的难点,学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。

现就几道例题谈谈常用的求解方法。

1 利用五点法，逆求函数解析式例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式．解:由22y -≤≤，得A=2已知第二个点(,2)12π和第五个点5(,0)6π 35346124T πππ=-= T π∴= 2ω=把(,2)12π代入，2122ππφ⨯+=得3πϕ=所以y=)32sin(2π+x点评：由图像确定解析式，观察图像的特征，形助数寻找“五点法”中的整体点，从而确定初相ϕ。

2 利用图像平移，选准变换过程切入求解例2下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（）A ．sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭解：从图象看出，41T =1264πππ+=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin 2x 向左平移了6π个单位，即sin 2()6y x π=+=sin(2)cos(2)cos(2)3236x x x ππππ+=-++=-，故选择答案D 。

点评：数形结合，由图像确定周期和初相位后，选准图像平移变换过程切入，如本题y=sin 2x 向左平移了6π个单位进行验证化简是求解的关键。

对于利用图象的变换来求解函数的解析式，一定要清楚每一种变换对,,A ωϕ的影响，注重整体变量观念的应用。

3 特殊化赋值法求解例3设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x 。

求()y f x =的解析式。

解：对称性特殊赋值切入，8x π=是函数()y f x =的图像的对称轴，()()88f x f x ππ∴+=-令8x π=，则()(0)4f f π=，即sin() =sin cos 2πϕϕϕ+=，tan 1ϕ∴=。

专题4-4 三角函数与解三角形大题综合归类-(原卷版)

专题4-4 三角函数与解三角形大题综合归类目录一、热点题型归纳【题型一】三角函数求解析式：“识图”................................................................................................. 1 【题型二】图像与性质1：单调性与值域................................................................................................ 3 【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型 ................................................................................ 4 【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数 ................................................................................ 5 【题型五】图像与性质4：零点与对称轴................................................................................................ 6 【题型六】解三角形1：面积与周长常规................................................................................................ 8 【题型七】解三角形2：计算角度与函数值 ............................................................................................ 9 【题型八】解三角形3：求面积范围（最值） ...................................................................................... 10 【题型九】解三角形4：周长最值 ......................................................................................................... 11 【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型 ...................................................................... 11 【题型十一】解三角形6：最值范围综合.............................................................................................. 12 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 12 三、模拟测试 .. (14)【题型一】三角函数求解析式：“识图”【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）函数()sin(π),R f x A x x ϕ=+∈（其中π0,02A ϕ>≤≤）部分图象如图所示，1(,)3P A 是该图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点．(1)求()f x 的最小正周期及ϕ的值；(2)若π4PMN PNM ∠+∠=，求A 的值．1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()g x ≥.2.（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示：(1)求()f x ；(2)若2f α⎛⎫= ⎪⎝⎭()0,πα∈，求cos2α的值．3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()sin ,0,0,2f x A x x R A ωϕωϕπ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示.(1)求()f x 的最小正周期及解析式； (2)将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位长度得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【题型二】图像与性质1：单调性与值域【典例分析】（2022·浙江·高三开学考试）已知函数()21cos cos 2f x x x x =⋅-. (1)求函数()f x 的单调递增区间； (2)求()f x 在区间［0，2π］上的最值.【变式演练】1.（2022·湖北·高三开学考试）已知函数2()sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期;(2)若[0,]x π∈，求出()f x 的单调递减区间.2.（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）已知函数()sin 2cos 22sin cos .36f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；(2)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在[0，2π]上的单调递减区间.3.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()2sin cos cos 04f x x x x ππωωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．(1)求()f x 图象的对称轴方程；(2)将()f x 的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【题型三】图像与性质2：恒等变形：结构不良型【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）在①sin α=①2tan 40αα-=这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.已知角a 是第一象限角，且___________. (1)求tan α的值；(2)3)cos()cos(3)2πααπαπ+++-的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【变式演练】1.（2022·北京·二模）已知函数2()cos cos (0,)ωωωω=++>∈R f x x x x m m ．再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择能确定函数()f x 的解析式的两个作为已知． (1)求()f x 的解析式及最小值；(2)若函数()f x 在区间[]0,(0)t t >上有且仅有1个零点，求t 的取值范围．条件①：函数()f x 的最小正周期为π；条件①：函数()f x 的图象经过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭；条件①：函数()f x 的最大值为32．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin cos 0,0f x a x x a ωωω=＞＞．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定．条件①：π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件①：()f x 为偶函数；条件①：()f x 的最大值为1；条件①：()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2．注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求()f x 的解析式；(2)设()()22cos 1g x f x x ω=-+，求函数()g x 在()0,π上的单调递增区间．3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()2sin cos f x a x x x x =∈R ，若__________．条件①：0a >，且()f x 在x ∈R 时的最大值为1条件①：6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭请写出你选择的条件，并求函数()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．注：如果选择条件①和条件①分别解答，按第一个解答计分．【题型四】图像与性质3：恒成立（有解）求参数【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()π2sin()3f x x =+．(1)若不等式()3f x m -≤对任意ππ[,]63x ∈-恒成立，求整数m 的最大值；(2)若函数()π()2g x f x =-，将函数()g x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移12π个单位，得到函数()y h x =的图象，若关于x 的方程()102h x k -=在π5π[,]1212x ∈-上有2个不同实数解，求实数k 的取值范围．【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量2sin 2,26m x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,sin n x =，()f x m n =⋅，其中0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． (1)求函数()f x 的单调增区间； (2)将函数()f x 的图象所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向下平移1个单位得到()g x 的图象，若()g x m =在5,824x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恰有2个解，求m 的取值范围．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)先将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()g x 的图象.（i ）若0m >，当[0,]x m ∈时，()g x 的值域为[2]，求实数m 的取值范围；（ii ）若不等式2()(21)()10g x t g x t -+--≤对任意的,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围.3.（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()2sin cos f x x x x =． (1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 的单调递减区间；(3)若函数()()g x f x k =-在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，写出实数k 的取值范围．（只写结论）【题型五】图像与性质4：零点与对称轴【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()4cos cos 1(0)3f x x x πωωω⎛⎫=⋅-- ⎪>⎝⎭的部分图像如图所示，若288AB BC π⋅=-，B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()y f x m =-在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，（123x x x <<），求实数m 的取值范围，并求出123 cos (2)x x x ++的值．【变式演练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．当130,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0g x a -=恰有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求实数a 的取值范围和1232x x x ++的值．2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，若方程()0g x m -=在70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求m 的取值范围及()123tan 2x x x ++的值．3.（2023·全国·高三专题练习）已知数2()2sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的相邻两对称轴间的距离为2π. (1)求()f x 的解析式；(2)将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域；(3)对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为12,,n x x x ，若m =1231222n n x x x x x -+++++，试求n 与m 的值.【题型六】解三角形1：面积与周长常规【典例分析】（2022·安徽·高三开学考试）在ABC 中，点,M N 分别在线段,BC BA 上，且,BM CM ACN BCN =∠=∠，3,22AB AM AC ===．(1)求BM 的长;(2)求BCN △的面积．【变式演练】1.（2022·北京·高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,sin2sin =a b c C C ． (1)求C ∠；(2)若1b =，且ABCABC 的周长．2.（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，)tan tan tan tan 1+=B C B C . (1)求角A 的大小；(2)若1a =，21)0c b -=，求ABC 的面积.3.（2022·云南昆明·高三开学考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos 0B b A -=. (1)求A ；(2)若c =a =ABC 的面积.【题型七】解三角形2：计算角度与函数值【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ==-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.【变式演练】1.（2021·天津静海·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C -+-=. (1)求角C 的大小；(2)若c =4a b +=，求ABC 的面积.(3)若cos =A ，求()sin 2A C -的值.2.（2022·北京市第二十二中学高三开学考试）已知ABC 的内角,,A B C 所对的对边分别为,,a b c ，周长为1，且sin sin A B C +． (1)求c 的值；(2)若ABC 的面积为1sin 6C ，求角C 的大小．3.（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积)222S a c b =+-． (1)求角B 的大小；(2)若2a c =，求sin C ．【题型八】解三角形3：求面积范围（最值）【典例分析】（2022·云南·昆明一中高三开学考试）已知ABC 的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且222sin sin sin sin A B C B C -=. (1)求A ；(2)若a =ABC 面积的最大值.【变式演练】1.（2022·河南·高三开学考试（文））已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，且()()sin sin sin sin a c b A C B c B +--+=(1)求角A 的大小；(2)若a =ABC 面积的最大值.2.（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知ABC 的外接圆半径R =tan tan B C +=．(1)求B 和b 的值；(2)求ABC 面积的最大值．3.（2021·江苏·矿大附中高三阶段练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，设sin cos sin (2cos )A B B A =-．(1)若b c +，求A ；(2)若2a =，求ABC 的面积的最大值．【题型九】解三角形4：周长最值【典例分析】（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A B C A B +-=. (1)求角C 的大小；(2)若ABCABC 周长的取值范围.【变式演练】1.（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知ABC 中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若()2cos cos 0a c B b C --=.(1)求角B 的大小；(2)若2b =，求a c +的最大值.2.（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）在锐角ABC 中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，从条件①：3sin cos tan 4A A A =，条件①12=，条件①：2cos cos cos a A b C c B -=这三个条件中选择一个作为已知条件． (1)求角A 的大小；(2)若2a =，求ABC 周长的取值范围．3.（2022·广东·高三开学考试）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，= (1)求角A ；(2)若4a =，求b c +的取值范围．【题型十】解三角形5：巧用正弦定理求“非对称”型【典例分析】（2022·四川成都·模拟预测（理））①ABC 中，角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，tan tan 2tan tan A AB C bc，cos cos 1b C c B +=．(1)求角A 及边a ； (2)求2b c +的最大值．【变式演练】1.（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且5sin sin 35cos cos cos2B C B C A -=+． (1)求角A 的大小；(2)若a =2b c +的最大值．2..（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）在①()()222sin 2sin B c a C b c a b -=+-，①23cos cos cos 24A C A C --=，tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =_______． (1)求角B ﹔(2)求2a c -的范围．【题型十一】解三角形6：最值范围综合【典例分析】（2022·浙江·高三开学考试）记ABC 内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知tan tan 2tan tan tan B CB A A=-.(1)求证：2222b c a +=；(2)求2abc 的取值范围.【变式演练】1.（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已cos sin B b C =+． (1)求C 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形且c =22a b +的取值范围．2.（2022·湖南湘潭·高三开学考试）设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为钝角，且tan bB a =．(1)探究A 与B 的关系并证明你的结论； (2)求cos cos cos A B C ++的取值范围．1．（2022·天津·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值. 2．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin A C =，求b ． 3．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+4．（·浙江·高考真题（理））已知ABC 的内角,,A B C 所对的对边分别为,,a b c 1，且sin sin A B C +． (1)求c 的值；(2)若ABC 的面积为1sin 6C ，求角C 的大小．5．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．6．（2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2y A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在根据表中数据，求：（1）实数A ，ω，ϕ的值；（2）该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.7．（山东·高考真题）已知函数()2sin 2y x ϕ=+，x ∈R ，π02ϕ<<，函数的部分图象如下图，求（1）函数的最小正周期T 及ϕ的值：（2）函数的单调递增区间．8．（2021·天津·高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b =（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．9．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．10．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ；（2）再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件①：ABC 的周长为4+条件①：ABC11．（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中．3sin cos 64A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求角A ；(2)若8AC =，点D 是线段BC 的中点，DE AC ⊥于点E ，且DE =CE 的长．1.（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数()()sin y f x A x B ωϕ==++（其中A ，ω，ϕ，B 均为常数，且0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图像如图所示．(1)求()f x 的解析式；(2)若5()126g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()g x 的值域．2.（2022·全国·高三专题练习）已知向量(sin a x =，(1,cos )b x =．(1)若a b ⊥，求sin 2x 的值；(2)令()f x a b =⋅，把函数()f x 的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），再把所得的图像沿x 轴向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定. (1)求()f x 的解析式；(2)设函数()()6g x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值.条件①：()f x 的最小正周期为π；条件①：()00f =；条件①：()f x 图象的一条对称轴为4x π=. 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()()3,sin 26f x x x a a a g x x π⎛⎫=--+∈=+ ⎪⎝⎭R ．(1)若()f x 为奇函数，求实数a 的值；(2)若对任意[]10,1x ∈，总存在20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围．5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)若()()()12f x f x f x ≤≤，12min 2x x π-=，求()f x 的对称中心；(2)已知05ω<<，函数()f x 图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，3x π=是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[],m n （m ，n R ∈且m n <）上恰好有10个零点，求n m -的最小值； 6、（2022·安徽·高三开学考试）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且23,2b c B C ==.(1)求cos C ;(2)若5a =，求c .7.（2022·广西·模拟预测（文））设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2sin c b A b A -=． (1)证明：()sin 2sin sin A B B A -=； (2)若3A B =，求B 的值．8.（2022·全国·高三专题练习）在①2cos cos c b B a A -=；①sin cos 2AA =；()sin a C C =，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若__________．（填条件序号） (1)求角A 的大小；(2)若3a =，求ABC 面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．9.（2021·福建省华安县第一中学高三期中）在①π1cos cos 32B B ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，①sin (sin sin )sin a A c C A b B +-=，tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中.问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =______________. (1)求角B ；(2)求a c +的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 10.（2022·山东烟台·三模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos cos 2cos b a A C c A =+. (1)求角A ；(2)若4a =，求2c b -的取值范围.11.（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，点D 在边BC 上，3AB =，2AC =． (1)若AD 是BAC ∠的角平分线，求:BD DC ；(2)若AD 是边BC 上的中线，且AD =，求BC ．12.（2022·全国·模拟预测（文））在①3cos210cos 10A A +-=，①sin cos A A -=①tan 2A =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．如果多选，则按第一个解答给分．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______ (1)求cos A ；(2)sin sin B C 的最大值．。

高考数学三角形中的三角函数式解析

高考数学三角形中的三角函数式解析三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧.●难点磁场(★★★★★)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A +C =2B .BC A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos2CA -的值. ●案例探究［例1］在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为60°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为30°的C 处。

(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？命题意图：本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力.知识依托：主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系. 错解分析：考生对方位角识别不准，计算易出错.技巧与方法：主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题.解：(1)在Rt △P AB 中，∠APB =60° P A =1，∴AB =3 (千米) 在Rt △P AC 中，∠APC =30°，∴AC =33(千米) 在△ACB 中，∠CAB =30°+60°=90°)/(30261330330)3()33(2222时千米=÷=+=+=∴AB AC BC(2)∠DAC =90°－60°=30° sin DCA =sin(180°－∠ACB )=sin ACB =101033303==BCABsin CDA =sin(∠ACB －30°)=sin ACB ·cos30°－cos ACB ·sin30°10103=. 2010)133()10103(121232-=-⋅- 在△ACD 中，据正弦定理得CDAACDCA AD sin sin =，∴13392010)133(1010333sin sin +=-⋅=⋅=CDA DCA AC AD 答：此时船距岛A 为1339+千米. ［例2］已知△ABC 的三内角A 、B 、C 满足A +C =2B ，设x =cos 2CA -，f (x )=cosB (CA cos 1cos 1+). (1)试求函数f (x )的解析式及其定义域； (2)判断其单调性，并加以证明； (3)求这个函数的值域. 命题意图：本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力，并且考查考生对基础知识的灵活运用的程度和考生的运算能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质去解决问题. 错解分析：考生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点，并且不易想到运用函数的单调性去求函数的值域问题.技巧与方法：本题的关键是运用三角函数的有关公式求出f (x )的解析式，公式主要是和差化积和积化和差公式.在求定义域时要注意|2CA -|的范围.解：(1)∵A +C =2B ，∴B =60°，A +C =120°,3421221)cos()cos(2cos2cos2cos cos cos cos 21)(22-=-+-=-++-+=⋅+⋅=x xx x C A C A CA C A C A C A x f∵0°≤|2C A -|＜60°，∴x =cos 2C A -∈(21，1]又4x 2－3≠0，∴x ≠23，∴定义域为(21，23)∪(23，1］. (2)设x 1＜x 2，∴f (x 2)－f (x 1)=342342211222---x x x x=)34)(34()34)((222212121--+-x x x x x x ，若x 1，x 2∈(23,21)，则4x 12－3＜0，4x 22－3＜0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0即f (x 2)＜f (x 1)，若x 1，x 2∈(23，1］，则4x 12－3＞0. 4x 22－3＞0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0.即f (x 2)＜f (x 1)，∴f (x )在(21,23)和(23，1]上都是减函数.(3)由(2)知，f (x )＜f (21)=－21或f (x )≥f (1)=2. 故f (x )的值域为(－∞，－21)∪［2，+∞).●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有： (1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形； (2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；(3)能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)给出四个命题：(1)若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；(2)若sin A =cos B ，则△ABC 为直角三角形；(3)若sin 2A +sin 2B +sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；(4)若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 为正三角形.以上正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4 二、填空题2.(★★★★)在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2tan2tan 32tan 2tan CA C A ++的值为__________.3.(★★★★)在△ABC 中，A 为最小角，C 为最大角，已知cos(2A +C )=－34，sin B =54，则cos2(B +C )=__________.三、解答题4.(★★★★)已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB =2，BC =6，CD =DA =4，求四边形ABCD 的面积.5.(★★★★★)如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即I =k ·2sin rθ，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？6.(★★★★)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，27cos 22sin 42=-+A C B .(1)求角A 的度数；(2)若a =3，b +c =3，求b 和c 的值.7.(★★★★)在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a 、b 、3c 成等比数列，又∠A －∠C =2π，试求∠A 、∠B 、∠C 的值. 8.(★★★★★)在正三角形ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A 正好落在边BC 上，在这种情况下，若要使AD 最小，求AD ∶AB 的值.参考答案难点磁场解法一：由题设条件知B =60°，A +C =120°. 设α=2CA -，则A －C =2α，可得A =60°+α，C =60°－α， ,43cos cos sin 43cos 41cos sin 23cos 211sin 23cos 211)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1222-αα=α-αα=α+α+α-α=α-︒+α+︒=+C A 所以依题设条件有,cos 243cos cos 2B-=-αα .2243cos cos ,21cos 2-=-αα∴=B整理得42cos 2α+2cos α－32=0(M )(2cos α－2)(22cos α+3)=0，∵22cos α+3≠0，∴2cos α－2=0.从而得cos222=-C A . 解法二：由题设条件知B =60°，A +C =120°22cos 1cos 1,2260cos 2-=+∴-=︒-CA①，把①式化为cos A +cos C =－22cos A cos C②，利用和差化积及积化和差公式，②式可化为)]cos()[cos(22cos 2cos 2C A C A CA C A -++-=-+③，将cos 2CA +=cos60°=21，cos(A +C )=－21代入③式得：)cos(2222cosC A C A --=-④ 将cos(A －C )=2cos 2(2C A -)－1代入 ④：42cos 2(2C A -)+2cos 2CA -－32=0，(*)，.222cos :,022cos 2,032cos 22,0)32cos 22)(222cos 2(=-=--∴=+-=+---C A C A C A C A C A 从而得歼灭难点训练一、1.解析：其中(3）(4）正确. 答案： B二、2.解析：∵A+B+C =π，A+C=2B ，.32tan 2tan 32tan 2tan )2tan 2tan 1(32tan 2tan ,3)2tan(,32=++-=+=+=+∴CA C A C A C A C A C A 故π答案：33.解析：∵A 为最小角∴2A +C =A +A +C ＜A+B+C =180°. ∵cos(2A +C )=－54，∴sin(2A+C )=53. ∵C 为最大角，∴B 为锐角，又sin B =54.故cos B =53. 即sin(A+C )=54，cos(A +C )=－53. ∵cos(B+C )=－cos A =－cos ［(2A+C )－(A+C )］=－2524， ∴cos2(B+C )=2cos 2(B+C )－1=625527. 答案：625527三、4.解：如图：连结BD ，则有四边形ABCD 的面积：S =S △ABD +S △CDB =21·AB ·AD sin A +21·BC ·CD ·sin C ∵A+C =180°，∴sin A =sin C故S =21(AB ·AD +BC ·CD )sin A =21(2×4+6×4)sin A =16sin A由余弦定理，在△ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2－2AB ·AD ·cos A =20－16cos A 在△CDB 中，BD 2=CB 2+CD 2－2CB ·CD ·cos C =52－48cos C ∴20－16cos A =52－48cos C ，∵cos C =－cos A ，∴64cos A =－32，cos A =－21，又0°＜A ＜180°，∴A =120°故S =16sin120°=83.5.解：R =r cos θ，由此得：20,cos 1π<θ<θ=R r ，RR h Rk I Rk R k I R k R k r k I 22tan ,33sin ,392)32()()sin 1)(sin 1(sin 2)(2)cos (sin cos sin sin 232222222222222=θ==θ⋅≤⋅≤θ-θ-⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅θ⋅=θ⋅=此时时成立等号在由此得 .1221:23 2:3,3.3)(21221cos 2cos :)2(60,1800,21cos ,01cos 4cos 45cos 4)cos 1(4,271cos 2)]cos(1[2:,180272cos 2sin 4)1(:.6222222222222⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+==+==-+∴=-+∴=-+=︒=∴︒<<︒=∴=+-=-+=+-+-︒=++=-+c b c b bc c b bc c b a bc a c b bc a c b A bca cb A A A A A A A A A C B C B A A C B 或得由代入上式得将由余弦定理得即得及由解 7.解：由a 、b 、3c 成等比数列，得：b 2=3ac∴sin 2B =3sin C ·sin A =3(－21)［cos(A +C )－cos(A －C )］ ∵B =π－(A+C ).∴sin 2(A+C )=－23［cos(A+C )－cos 2π］即1－cos 2(A+C )=－23cos(A+C )，解得cos(A+C )=－21.∵0＜A+C ＜π，∴A+C =32π.又A －C =2π∴A =127π，B =3π，C =12π.8.解：按题意，设折叠后A 点落在边BC 上改称P 点，显然A 、P 两点关于折线DE 对称，又设∠BAP =θ，∴∠DP A =θ，∠BDP =2θ，再设AB =a ，AD =x ，∴DP =x .在△ABC 中， ∠APB =180°－∠ABP －∠BAP =120°－θ，由正弦定理知：APBABBAP BP sin sin =.∴BP =)120sin(sin θθ-︒a 在△PBD 中，︒=-︒︒⋅==60sin 2sin )120sin(sin ,60sin sin ,sin sin θθθθx a x BP BDP BP DBP DP 从而所以,.3)260sin(23)120sin(2sin 60sin sin ++︒=-︒⋅︒⋅=∴θθθθaa x∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，∴当60°+2θ=90°，即θ=15°时， sin(60°+2θ)=1，此时x 取得最小值)332(323-=+a a ，即AD 最小，∴AD ∶DB =23－3.。

专题01 三角函数的图象与性质(解析版)

专题01 三角函数的图象与性质【要点提炼】1.常用的三种函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π]⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴 x ＝k π＋π2 x ＝k π 周期性2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得. (2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换 (1)y ＝sin x ――——————————→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――——————————→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).y ＝sin ωx ―————————————―→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φω|个单位 y ＝sin(ωx ＋φ)————————————―→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).考点一三角函数的图像与性质考向一三角函数的定义与同角关系式【典例1】 (1)在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D.GH ︵(2)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( ) A.15B.55C.255D.1解析 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，且tan α＜cos α＜sin α，∴yx ＜x ＜y ，解之得－1＜x ＜0，且0＜y ＜1.故点P (x ，y )所在的圆弧是EF ︵.(2)由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23，所以cos α＝306，sin α＝±66，得|tan α|＝55.由题意知|tan α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 1－2，所以|a －b |＝55. 答案 (1)C (2)B探究提高 1.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关.若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的.2.应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定要注意三角函数值的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.【拓展练习1】 (1)(2020·唐山模拟)若cos θ－2sin θ＝1，则tan θ＝( ) A.43B.34C.0或43D.0或34(2)(2020·济南模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝________.解析 (1)由题意可得⎩⎨⎧cos θ－2sin θ＝1，cos 2θ＋sin 2θ＝1，解得⎩⎨⎧sin θ＝0，cos θ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－45，cos θ＝－35，所以tan θ＝0，或tan θ＝43.故选C.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝32cos α－12sin α－sin α＝32cos α－32sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝435，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝－45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋2π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－45.答案 (1)C (2)－45考向二三角函数的图象及图象变换【典例2】 (1)(多选题)(2020·新高考山东、海南卷)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)＝( )A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3B.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2xC.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x(2)(2019·天津卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x ).若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( )A.－2B.－ 2C. 2D.2解析 (1)由图象知T 2＝2π3－π6＝π2，得T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，由“五点法”，结合图象可得φ＋π3＝π，即φ＝2π3，所以sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，故A 错误；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 知B 正确；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6知C 正确；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x 知D 错误.综上可知，正确的选项为BC. (2)由f (x )是奇函数可得φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π，所以φ＝0. 所以g (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ωx ，且g (x )最小正周期为2π，可得2π12ω＝2π，故ω＝2，所以g (x )＝A sin x ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，所以A ＝2. 所以f (x )＝2sin 2x ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2.答案 (1)BC (2)C探究提高 1.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.2.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个“零点”作为突破口，可以从图象的升降找准第一个“零点”的位置.【拓展练习2】 (1)(多选题)(2020·济南历城区模拟)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象.若g (x 1)g (x 2)＝9，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的可能取值为( ) A.－59π12B.－35π6C.25π6D.49π12(2)(2020·长沙质检)函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜2π)的部分图象如图所示，已知g (0)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝3，函数y ＝f (x )的图象可由y ＝g (x )图象向右平移π3个单位长度而得到，则函数f (x )的解析式为( )A.f (x )＝2sin 2xB.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C.f (x )＝－2sin 2xD.f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 解析 (1)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1的图象.由g (x 1)g (x 2)＝9，知g (x 1)＝3，g (x 2)＝3，所以2x ＋π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π12＋k π，k ∈Z .由x 1，x 2∈[－2π，2π]，得x 1，x 2的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－23π12，－11π12，π12，13π12.当x 1＝－23π12，x 2＝13π12时，2x 1－x 2＝－59π12；当x 1＝13π12，x 2＝－23π12时，2x 1－x 2＝49π12.故选AD.(2)由函数g (x )的图象及g (0)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝3，知直线x ＝5π12为函数g (x )的图象的一条对称轴，所以T 4＝5π12－π6＝π4，则T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，所以g (x )＝A sin(2x ＋φ)，由题图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为“五点法”作图中的第三点，则2×π6＋φ＝π，解得φ＝2π3，由g (0)＝3，得A sin 2π3＝3，又A ＞0，所以A ＝2，则g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，所以g (x )的图象向右平移π3个单位长度后得到的图象对应的解析式为f (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋2π3＝2sin 2x ，故选A. 答案 (1)AD (2)A 考向三三角函数的性质【典例3】 (1)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π(2)(2020·天一大联考)已知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内有最小值，无最大值，则ω＝( ) A.83 B.143 C.8 D.4 (3)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________. 解析 (1)f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π，得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4.所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.(2)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内有最小值，∴f (x )在x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝π4处取得最小值.因此π4ω－π6＝2k π＋π，即ω＝8k ＋143，k ∈Z .①又函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3无最大值，且ω＞0，∴T ＝2πω≥π3－π6＝π6，∴0＜ω≤12.②由①②知ω＝143.(3)f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2. 答案 (1)A (2)B (3)π2探究提高 1.讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间).【拓展练习3】 (1)(多选题)(2020·济南质检)已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0<φ<π)，若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( ) A.φ＝5π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是f (x )的图象的一个对称中心 C.f (φ)＝－2D.x ＝－π6是f (x )图象的一条对称轴(2)(多选题)关于函数f (x )＝|cos x |＋cos|2x |，则下列结论正确的是( ) A.f (x )是偶函数 B.π是f (x )的最小正周期C.f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增D.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34π，54π时，f (x )的最大值为2解析 (1)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3的图象，∵其关于y 轴对称，∴φ－π3＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋5π6，k ∈Z .又0<φ<π，∴当k ＝0时，φ＝5π6，故A 正确；f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是f (x )的图象的一个对称中心，故B 正确；因为f (φ)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝2，故C错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2，则x ＝－π6是f (x )图象的一条对称轴，故D 正确.故选ABD.(2)f (x )＝|cos x |＋cos|2x |＝|cos x |＋cos 2x ＝|cos x |＋2cos 2x －1＝2|cos x |2＋|cos x |－1，由f (－x )＝2|cos(－x )|2＋|cos(－x )|－1＝f (x )，且函数f (x )的定义域为R ，得f (x )为偶函数，故A 正确.由于y ＝|cos x |的最小正周期为π，可得f (x )的最小正周期为π，故B 正确. 令t ＝|cos x |，得函数f (x )可转化为g (t )＝2t 2＋t －1，t ∈[0，1]，易知t ＝|cos x |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，5π4上单调递减，由t ∈[0，1]，g (t )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋142－98，可得g (t )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，5π4上单调递减，故C 错误.根据f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤34π，π上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，54π上递减，∴f (x )在x ＝π时取到最大值f (π)＝2，则D 正确. 答案 (1)ABD (2)ABD考向四三角函数性质与图象的综合应用【典例4】 (2020·临沂一预)在①f (x )的图象关于直线x ＝5π6ω对称，②f (x )＝cos ωx －3sin ωx ，③f (x )≤f (0)恒成立这三个条件中任选一个，补充在下面横线处.若问题中的ω存在，求出ω的值；若ω不存在，请说明理由.设函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0≤φ≤π2，_____________________________.是否存在正整数ω，使得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调的？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解若选①，则存在满足条件的正整数ω.求解过程如下：令ωx ＋φ＝k π，k ∈Z ，代入x ＝5π6ω，解得φ＝k π－5π6，k ∈Z .因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ωx ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，ωπ2＋π6.若函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调，则有ωπ2＋π6≤π，解得0<ω≤53.所以存在正整数ω＝1，使得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调的.若选②，则存在满足条件的正整数ω.求解过程如下： f (x )＝cos ωx －3sin ωx ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＝2cos(ωx ＋φ)，且0≤φ≤π2，所以φ＝π3.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ωx ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，ωπ2＋π3. 若函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调，则有ωπ2＋π3≤π，解得0<ω≤43.所以存在正整数ω＝1，使得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调的.若选③，则存在满足条件的正整数ω.求解过程如下：因为f (x )≤f (0)恒成立，即f (x )max ＝f (0)＝2cos φ＝2，所以cos φ＝1.因为0≤φ≤π2，所以φ＝0，所以f (x )＝2cos ωx .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，ωπ2. 若函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调，则有ωπ2≤π，解得0<ω≤2.所以存在正整数ω＝1或ω＝2，使得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调的.探究提高 1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解. 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|.【拓展练习4】 (2020·威海三校一联)已知函数f (x )＝2cos 2ω1x ＋sin ω2x . (1)求f (0)的值；(2)从①ω1＝1，ω2＝2，②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值，并直接写出函数f (x )的一个周期.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 (1)f (0)＝2cos 20＋sin 0＝2. (2)选择条件①.f (x )的一个周期为π.当ω1＝1，ω2＝2时，f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＝(cos 2x ＋1)＋sin 2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x ＋22cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，7π12.所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1，则1－2≤f (x )≤1＋ 2. 当2x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π8时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上取得最小值1－ 2.选择条件②.f (x )的一个周期为2π.当ω1＝1，ω2＝1时，f (x )＝2cos 2x ＋sin x ＝2(1－sin 2x )＋sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋178.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，所以sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.所以当sin x ＝－1，即x ＝－π2时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上取得最小值－1.【专题拓展练习】一、选择题（1～10题为单项选择题，11～15题为多项选择题） 1．函数2()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为（） A ．4π B ．2πC ．2π D ．π【答案】D 【详解】因为22cos 211213()cos cos 232232x f x x x πππ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以最小正周期为π.2．把函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，再把所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为（） A ．sin y x = B ．cos y x =C ．sin()4y x π=+D ．sin y x =-【答案】B 【详解】把函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得到sin 2sin(2)cos 242y x x x ππ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，再把所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为cos y x =. 3．若16x π=，256x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+()0ω>两个相邻的极值点，则ω=（） A ．3 B ．32C ．34D ．12【答案】B 【详解】解：由题意得，52663πππ-=是函数()f x 周期的一半，则243ππω=，得32ω=．故选：B4．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间是（） A ．(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．()44k ,k k Z ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦D ．()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【答案】D 【详解】将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，所以()2sin 22sin 2663g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可得()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，即函数()g x 的单调递增区间是()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.5．函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像最近两对称轴之间的距离为2π，若该函数图像关于点()0m ,成中心对称，当0,2m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时m 的值为（） A ．6πB ．4π C ．3π D ．512π 【答案】D 【详解】()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期2π2ω2T ππ==⨯=,2ω∴=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2,6x k k Z ππ+=∈,则212k x ππ=-, ∴函数f (x )的对称轴心为,0212k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭,k Z ∈, 所以212k m ππ=-，当0,2122k m πππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦时,解得：17,66k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 又5π,1,12k Z k m ∈∴=∴=, 6．已知函数()22sin 23sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则（）A ．()f x 的最大值为1B ．()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在区间()0,π上只有1个零点【答案】B 【详解】()22sin cos cos f x x x x x =+-2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭故最大值为2，A 错22sin 2sin 23362f ππππ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故关于3x π=对称，B 对最小正周期为22ππ=，C 错 ()26x k k Z ππ-=∈解得()122k x k Z ππ=+∈，12x π=和712x π=都是零点，故D 错. 7．已知函数()()()3cos 0g x x ωϕω=+>在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，且满足04g π⎛⎫=⎪⎝⎭，()3g π=，则ω的取值共有（）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【答案】B 【详解】因为()g x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，04g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3g π=，所以()()7,62,4422121,442T T n n T n N πππωπππωπππω*⎧-≤=⎪⎪⎪-≥=⎨⎪⎪---==∈⎪⎩得263ω≤≤，423n ω-=，n *∈N ，所以242633n -≤≤，解得15n ≤≤.即1,2,3,4,5n =，可得23ω=，102,3，143，6，经检验均符合题意，所以ω的取值共有5个.8．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为2πC ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k k ππ=+∈ZD ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z【答案】D 【详解】由图象可知3A =，33253441234ππππω⎛⎫=⋅=--= ⎪⎝⎭T ， ∴2ω=，则()3sin(2)f x x ϕ=+.将点5,312π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入()3sin(2)f x x ϕ=+中，整理得5sin 2112πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， ∴522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈，即2,Z 3k k πϕπ=-∈；||2ϕπ<， ∴3πϕ=-，∴()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∵将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象， ∴()3sin 23sin 2,333g x x x x R πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ()()3sin 23sin 233g x x x g x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=--≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()g x 既不是奇函数也不是偶函数，故A 错误；∴()g x 的最小正周期22T ππ==，故B 不正确. 令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得,122k x k Z ππ=+∈，则函数()g x 图像的对称轴为直线,122k x k Z ππ=+∈. 故C 错误；由222,232k x k k πππππ-++∈Z ，可得5,1212k x k k ππππ-+∈Z ，∴函数()g x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 故D 正确；9．设函数()sin 2cos 2f x a x b x =+，其中,,0a b R ab ∈≠，若()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则以下结论：①函数()f x 的图象关于11,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；②函数()f x 的单调递增区间是2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；③函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数；④函数()f x 的图象关于()26k x k Z ππ=+∈对称．其中正确的说法是（） A ．①②③ B ．②④C ．③④D ．①③④【答案】D 【详解】解：由辅助角公式得：())f x x ϕ=+，由()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立，得22()62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，所以2()6k k Z πϕπ=+∈，取6π=ϕ，从而()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由11012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得①正确，由222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数的增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，②不正确，根据正弦函数的奇偶性易得③显然正确，由2()62x k k Z πππ+=+∈，得对称轴为()26k x k Z ππ=+∈，④正确， 10．斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD （AB BC =）中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作圆弧BE ；然后在矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作圆弧EG ；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧BE ，EG ，GI 的长度分别为,,l m n ，对于以下四个命题：①l m n =+；②2m l n =⋅；③2m l n =+；④211m l n=+.其中正确的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④【答案】A 【详解】不妨设51AB =，则2BC =，所以()512l BE π==⨯，()25135ED =-=所以(352m EG π==⨯，(5135254CG =-=，所以()()254522n GI ππ==⨯=，所以(())3525451222m n l πππ⨯+⨯=⨯==+，故①正确；(2222735354m π-⨯==，))273551522l n ππ-⨯⨯=⋅=，所以2m l n =⋅，故②正确；))35551522l n ππ-⨯++==，((2235352m ππ=⨯⨯-=-，所以2m l n ≠+，故③不正确；11l nl n l n++===⋅(1132mπ==⨯211m l n≠+，故④不正确；所以①②正确，11．已知函数()3sin sin3f x x x=+，则（）A．()f x是奇函数B．()f x是周期函数且最小正周期为2πC．()f x的值域是[4,4]-D．当(0,)xπ∈时()0f x>【答案】ABD【详解】A.()3sin()sin(3)3sin sin3()f x x x x x f x-=-+-=--=-，故()f x是奇函数，故A正确；B.因为siny x=的最小正周期是2π，sin3y x=的最小正周期为23π，二者的“最小公倍数”是2π，故2π是()f x的最小正周期，故B正确；C.分析()f x的最大值，因为3sin3x≤，sin31x≤，所以()4f x≤，等号成立的条件是sin1x=和sin31x=同时成立，而当sin1x=即2()2x k kππ=+∈Z时，336()2x k kππ=+∈Z，sin31x=-故C错误；D.展开整理可得()2()3sin sin cos2cos sin2sin4cos2f x x x x x x x x=++=+，易知当(0,)xπ∈时，()0f x>，故D正确.12．设函数cos2()2sin cosxf xx x=+，则（）A．()()f x f xπ=+B．()f x的最大值为12C．()f x在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增D．()f x在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减【答案】AD【详解】()f x的定义域为R，且cos2()2sin cosxf xx x=+，()()()()cos 22cos 2()2sin cos 2sin cos x xf x f x x x x xππππ++===++++，故A 正确．又2cos 22cos 2()42sin cos 4sin 2x x f x x x x ==++，令2cos 24sin 2xy x=+，则()42cos 2sin 22y x y x x ϕ=-=+，其中cos ϕϕ==1≤即2415y ≤，故y ≤≤当15y =时，有1cos ,sin 44ϕϕ==，此时()cos 21x ϕ+=即2x k ϕπ=-，故max 15y =，故B 错误． ()()()()()22222sin 24sin 22cos 2414sin 2()4sin 24sin 2x x x x f x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦'==++，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故D 正确．当,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，1sin 20x -<<，故314sin 21x -<+<，因为2t x =为增函数且2,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，而14sin y t =+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，所以()14sin 2h x x =+在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数，故14sin 20x +=在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一解0x ，故当()0,0x x ∈时，()0h x >即()0f x '<，故()f x 在()0,0x 为减函数，故C 不正确． 13．若将函数f (x )=cos(2x +12π)的图象向左平移8π个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法正确的是（） A ．g (x )的最小正周期为πB ．g (x )在区间[0，2π]上单调递减C ．x =12π是函数g (x )的对称轴 D ．g (x )在[﹣6π，6π]上的最小值为﹣12【答案】AD 【详解】函数f (x )=cos(2x +12π)的图象向左平移8π个单位长度后得()cos 2812g x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为π，A 正确；222()3k x k k Z ππππ≤+≤+∈()63k x k k Z ππππ∴-≤≤+∈为g (x )的所有减区间，其中一个减区间为,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故B 错；令23x k ππ+=，得6,2kx k Z ππ=-+∈，故C 错； x ∈[﹣6π，6π]，220,33x ππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，1cos(2),132x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，故 D 对 14．下列说法正确的是（） A ．函数()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是1 B ．函数()cos sin tan 0,tan 2x f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为(C ．函数()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是(],1-∞- D ．函数()222sin 42cos tx x xf x x x π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则1t =【答案】ACD 【详解】 A 选项，()222311cos cos cos 1442f x x x x x x ⎛⎫=--=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，则当cos 2x =时函数()f x 取得最大值1，A 对； B 选项，()2233sin cos sin cos cos sin sin cos x x x xf x x x x x+∴=+=⋅ ()()22sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x++-⋅=⋅()()2sin cos sin cos 3sin cos sin cos x x x x x x x x⎡⎤++-⋅⎣⎦=⋅，设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，则21sin cos 2t x x -⋅=， 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,444x πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥⎪ ⎝⎭⎝⎦，(t ∴∈，令()223221323112t t t t t g t t t ⎛⎫--⨯ ⎪-⎝⎭==--，(t ∈，()()422301t g t t --'=<-， ()g t ∴在区间(上单调递减，()()32min 1g t g===-所以，函数()f x 的值域为)+∞，B 错； C 选项，()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在区间()0,π上是增函数，()cos2sin 0f x x a x ∴=-⋅≥'，即212sin sin 0x a x --⋅≥，令sin t x =，(]0,1t ∈，即2210t at --+≥，12a t t ∴≤-+，令()12g t t t =-+，则()2120g t t'=--<，()g t ∴在(]0,1t ∈递减，()11a g ∴≤=-，C 对；D选项，()2222 22sin cos222costx t x x xf xx x⎛⎫+++⎪⎝⎭=+()()2222cos sin sin2cos2cost x x t x x t x xtx x x x++⋅+⋅+==+++，所以，()()()()22sin sin2cos2cost x x t x xf x t tx xx x--+-=+=-+⋅-+-，()()2f x f x t∴+-=，所以，函数()f x的图象关于点()0,t对称，所以，22a b t+==，可得1t=，D对. 15．如图是函数()sin()(0,0,||)f x A x Aωϕωϕπ=+>><的部分图象，则下列说法正确的是（）A．2ω=B．π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数，()f x的一个对称中心C．2π3ϕ=D．函数()f x在区间4ππ,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数【答案】ACD【详解】由题知，2A=，函数()f x的最小正周期11π5π2π1212T⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，所以2π2Tω==，故A正确；因为11π11π11π2sin22sin212126fϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11ππ2π62kϕ+=+，k Z∈，解得4π2π3kϕ=-，k Z∈，又||ϕπ<，所以2π3ϕ=，故C正确；函数()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为ππ2ππ2sin 22sin 06633f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+==≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π,06⎛⎫-⎪⎝⎭不是函数()f x 的一个对称中心，故B 错误；令π2π3π2π22π232m x m +≤+≤+，m Z ∈，得π5ππ1212m x mx -≤≤+，m Z ∈，当1m =-时，13π7π1212x -≤≤-，因为4π13π7ππ,,51212⎡⎤⎡⎤--⊆--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 在区间4ππ,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，故D 正确．。

三角函数解析式的求法

函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用‖知识梳理‖ 1．y ＝Asin (ωx ＋φ)的有关概念 T ＝2πωωx ＋φ用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3.| 微点提醒 |1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k∈Z 确定其横坐标．‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”)(1)把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .(×)(2)将y ＝sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象．(×) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A .(×)(4)如果y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.(√) (5)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．(×)‖自主测评‖1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π4B ．2，12π，π4C ．2，1π，π8D ．2，12π，－π8解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅为2，频率为1π，初相为π4.2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D ；当x ＝π6时，y ＝0，排除C ，故选A.3．(教材改编题)为了得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π5的图象，只需将y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的图象上的所有点( )A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移2π5个单位长度D ．向右平移2π5个单位长度解析：选D 因为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π5＝3sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π5－2π5，故选D. 4．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.答案：⎝⎛⎭⎫π6，0 ⎝⎛⎭⎫2π3，1 ⎝⎛⎭⎫7π6，0 ⎝⎛⎭⎫5π3，－1 ⎝⎛⎭⎫13π6，0 5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.解析：由题图可知，T 4＝2π3－π3＝π3，即T ＝4π3，所以2πω＝4π3，故ω＝32.答案：32………考点一函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及变换………|重点保分型|…………|研透典例|【典例】某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值； (3)作出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．[解] (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.(3)由数据作出的图象如图所示：『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津| 1.函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法(1)五点法：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换法：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 2．三角函数图象的左右平移时应注意的三点(1)弄清楚平移方向，平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．(2)注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．(3)由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω而不是|φ|. [提醒]y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象横向伸缩规律，可联系周期计算公式T ＝2π|ω|进行记忆；纵向伸缩规律，可联系函数的最值进行记忆．|变式训练|1．(2018届河南豫南九校联考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π24 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π12D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 解析：选B 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4经伸长变换得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，再作平移变换得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －π6－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 2．(2019届南昌模拟)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象可以由函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度得到B ．向右平移π3个单位长度得到C ．向左平移π6个单位长度得到D ．向左平移π3个单位长度得到解析：选A 将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π4个单位长度，可得函数y ＝sin2x 的图象，再将y ＝sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，综上可得，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象可以由函数y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选A. 3．(2019届石家庄质量检测)若ω>0，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为________．解析：将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度，得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3＋π3的图象．因为所得函数图象与y ＝sin ωx 的图象重合，所以－ωπ3＋π3＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝－72－6k (k∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值52.答案：52………考点二由图象确定y ＝Asin (ωx ＋φ)的解析式…………|重点保分型|………|研透典例|【典例】 (1)(2018届兰州诊断考试)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12 B.22C.32D ．1(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，x ∈R ，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为f (x )＝________.[解析] (1)由题图知，T 2＝π2，即T ＝π，则ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，因为点⎝⎛⎭⎫π3，0在函数f (x )的图象上，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0，即2π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，因为x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 22＝π12，所以x 1＋x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32. (2)由题图可知，函数的最大值为A ＋B ＝3，最小值为－A ＋B ＝－1，解得A ＝2，B ＝1. 函数的最小正周期为T ＝2×⎣⎡⎦⎤5π12－(－π12)＝π，由2πω＝π，解得ω＝2. 由f ⎝⎛⎭⎫－π12＝2sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π12＋φ＋1＝－1，得sin ⎝⎛⎭⎫φ－π6＝－1，故φ－π6＝2k π－π2(k ∈Z )，解得φ＝ 2k π－π3(k ∈Z )，又因为|φ|<π，所以φ＝－π3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1. [答案] (1)C (2)2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1 『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津| 确定y ＝Asin (ωx ＋φ)＋b (A>0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2.(2)求ω：确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ：常用的方法有①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z .|变式训练|1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫11π24的值为( )A ．－62B ．－32C ．－22D ．－1解析：选D 由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－2，得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，选项D 正确．2．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( )A ．－23B ．－12C.23D.12解析：选A 由题图知T 2＝11π12－7π12＝π3，所以T ＝2π3，即ω＝3，当x ＝7π12时，y ＝0，即3×7π12＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－9π4，k ∈Z ，即k ＝1时，φ＝－π4，所以f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4. 即A cos ⎝⎛⎭⎫3π2－π4＝－23，得A ＝223，所以f (x )＝223cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，故f ⎝⎛⎭⎫－π6＝223cos ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－23. …………考点三三角函数图象与性质的应用……………|多维探究型|……………|多角探明|角度一三角函数模型的实际应用【例1】某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2，3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃. [解析] 依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＝20.5. [答案] 20.5角度二与三角函数有关的零点(方程根)问题【例2】已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．[解析] 方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0可转化为m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π，所以题目条件可转化为m2＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π有两个不同的实数根．所以y ＝m2和y ＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m2的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12，故m 的取值范围是(－2，－1)．[答案] (－2，－1)角度三三角函数的图象与性质的综合问题【例3】已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3(ω>0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间． [解] (1)函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，得函数f (x )的最小正周期为T ＝2×π2＝2π2ω，得ω＝1，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )＝ 3 s in ⎣⎡⎦⎤2(x ＋m )＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2m ＋π3的图象，根据g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，可得3sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2m －π3＝0，所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，因为m >0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6.此时，g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π12，所以2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤π3，11π6. 当2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，即x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，－π12时，g (x )单调递增，当2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤3π2，11π6，即x ∈⎣⎡⎦⎤5π12，7π12时，g (x )单调递增．综上，g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π6，－π12和⎣⎡⎦⎤5π12， 7π12. 『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题：二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．|变式训练|1．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是________．解析：画出函数的图象．由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cosπ＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎡⎦⎤2π9，5π18. 答案：⎣⎡⎦⎤2π9，5π182．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间．解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·⎝⎛⎭⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a ＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin2ωx ＋cos2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1＋a . 当sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ，又f (x )图象上最高点的纵坐标为2，所以3＋a ＝2，所以a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，所以2ω＝2πT ＝2，所以ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 核心素养系列数学建模——三角函数中的实际问题【典例】已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据：t (小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5数据，(1)求函数f (t )的解析式；(2)求一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间．[解] (1)由表格得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝1.5，－A ＋b ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝12，b ＝1，又因为T ＝12，所以ω＝2π12＝π6，故y ＝f (t )＝12cos π6t ＋1.(2)由题意，令12cos π6t ＋1>1.25，即cos π6t >12，又因为t ∈[0,24]，所以π6t ∈[0,4π]，故0≤π6t <π3或5π3<π6t ≤2π，或2π<π6t <2π＋π3或2π＋5π3<π6t ≤2π＋2π，即0≤t<2或10<t≤12或12<t<14或22<t≤24，所以在一日内该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．[点评]数学建模是通过计算得到结果来解释实际问题，并接受实际的检验，具体来讲，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段．。

三角函数解题技巧求解析式

三角函数解题技巧求解析式三角函数是数学中重要的一部分，解题时经常会遇到需要求解三角函数的值或等式的问题。

在解题过程中，我们可以运用一些技巧来简化计算并得到解析式。

1. 利用特殊角的值：我们可以通过记忆特殊角的正弦、余弦和正切的值，来简化计算。

一些常见的特殊角包括：0度、30度、45度、60度和90度。

比如，sin(30°)=1/2，cos(45°)=√2/2， tan(60°)=√3。

2. 多角和差公式：三角函数的多角和差公式可以帮助我们将一个角的三角函数转化为两个角的三角函数，从而更容易进行计算。

常用的公式包括：- sin(A±B) = sin A cos B ± cos A sin B- cos(A±B) = cos A cos B ∓ sin A sin B- tan(A±B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)3. 三角函数的平方和差公式：三角函数的平方和差公式可以将一个三角函数的平方转化为两个三角函数的和或差。

常用的公式如下：- sin²A = (1 - cos 2A) / 2- cos²A = (1 + cos 2A) / 2- tan²A = (1 - cos 2A) / (1 + cos 2A)4. 倍角公式：倍角公式可以将一个角的三角函数转化为另一个角的三角函数。

常用的公式包括：- sin 2A = 2 sin A cos A- cos 2A = cos²A - sin²A = 2 cos²A - 1 = 1 - 2 sin²A- tan 2A = (2 tan A) / (1 - tan²A)5. 半角公式：半角公式可以将一个角的三角函数转化为另一个角的三角函数。

常用的公式如下：- sin (A/2) = ±√[(1 - cos A) / 2]- cos (A/2) = ±√[(1 + cos A) / 2]- tan (A/2) = ±√[(1 - cos A) / (1 + cos A)]6. 和差化积公式：和差化积公式可以将两个三角函数的和或差转化为一个三角函数的积。

利用图像求解三角函数解析式-解析版

利用图像求解三角函数解析式第I 卷（选择题）一、单选题1．已知函数()sin()f x x ωϕ=+0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的图象如图所示，则（）A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．函数()f x 在区间34,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是1- D ．曲线12y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于直线2x π=-对称【答案】C 【分析】根据函数图象求出函数解析式，再结合选项一一判断即可；【详解】解：由函数图象可知541264T πππ=-=，所以T π=，因为2T ππω==，所以最小正周期为π，所以2ω=，故A 错误；又函数过点5,112π⎛⎫⎪⎝⎭，所以55sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以52,62k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,3k k Z πϕπ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以252,333πππx ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为sin y x =在25,33x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭上不单调，故B 错误；当34,43πx π∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以,267733x πππ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦-，所以sin 23x π⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，故C 正确；s s 2i in 2112n 236y f x x x ππππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+=+=⎪⎛⎫- ⎪ ⎝- ⎪⎢⎭⎝⎭⎝⎣⎦⎭⎥，当2x π=-时，116in2s y π=≠±=，故2x π=-不是函数12y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴，故D 错误故选：C2．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，||)2πϕ<的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，只需将()sin g x A x ω=图象（）A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】C 【分析】根据图象最值可得1A =，求出周期，即可得出ω，将,04π⎛⎫⎪⎝⎭代入可求得ϕ，即可得出结论. 【详解】根据函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，||)2πϕ<的图象，可得1A =，15141246T ππ=-=，即23T =，2323πω∴==．将,04π⎛⎫⎪⎝⎭代入，可得()sin(3)044f ππϕ=⨯+=，则3,4k k Z πϕπ⨯+=∈，3,4k k Z πϕπ∴=-∈，又||2ϕπ<，4πϕ∴=，故()sin(3)4f x x π=+．故把()sin3g x x =图象向左平移12π个单位长度，即可得到()sin(3)4f x x π=+的图象.故选：C ．【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x =+ωϕ部分图象求解析式的方法：（1）根据图象的最值可求出A ；（2）求出函数的周期，利用2T πω=求出ω；（3）取点代入函数可求得ϕ. 3．设函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，在[],ππ-上的图象大致如图，将该图象向右平移()0m m >个单位后所得图象关于直线6x π=对称，则m 的最小值为（）A ．4π B ．29π C ．518π D ．3π 【答案】C 【分析】根据五点作图法可构造方程求得ω，得到()f x ；由三角函数平移变换可求得平移后解析式，利用代入检验的方法，根据图象关于6x π=可构造方程求得m ，由此确定最小值.【详解】根据五点法作图知：4962πππω-+=-，解得：32ω=，()3cos 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；将()f x 向右平移m 个单位得：()33cos 262f x m x m π⎛⎫-=+-⎪⎝⎭，()f x m -图象关于6x π=对称，()332662m k k Z πππ∴⨯+-=∈，解得：()52183m k k Z ππ=-∈，由0m >，可令0k =得m 的最小值518π. 故选：C. 【点睛】方法点睛：根据余弦型函数()cos y A x ωϕ=+的对称轴、对称中心和单调区间求解参数值时，通常采用代入检验的方式，即将x 的取值代入x ωϕ+，整体对应cos y x =的对称轴、对称中心和单调区间，由此求得结果. 4．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(0,0,||)2A πωϕ>><的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝sin 3x 的图象，则只要将f (x )的图象（）A ．向右平移4π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度【答案】B 【分析】根据函数的图象可以得到函数图象所经过的特殊点，进而可以确定函数的解析式，最后利用正弦型函数的图象变换方法进行求解即可. 【详解】由函数的图象可知：函数的图象过5(,0),(,1)412ππ-这两点，设函数()f x 的最小正周期为T ，所以有：15241243T T πππ=-⇒=，而23,0,3T πωωωω=⇒=>∴=，所以()()sin 3f x x ϕ=+，因为函数图象过(,0)4π点，所以32()2()44k k Z k k Z ππϕππϕπ⋅+=+∈⇒=+∈，因为π2ϕ<，所以0k =，即4πϕ=，因此()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，而()sin 3sin 3412f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此为了得到()sin3g x x =的图象，只需将()f x 的图像向右平移π12个单位长度即可；故选：B5．如图，图象对应的函数解析式可能是（）A ．cos sin y x x x =+B ．sin cos y x x x =+C ．sin y x x =D ．cos y x x =【答案】A 【分析】分析各选项中函数的奇偶性、及各函数在2x π=处的函数值，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，设()1cos sin f x x x x =+，该函数的定义域为R ，()()()()()11cos sin cos sin cos sin f x x x x x x x x x x f x -=--+-=--=-+=-，该函数为奇函数，且1cos sin 102222f ππππ⎛⎫=+=> ⎪⎝⎭，满足条件；对于B 选项，设()2sin cos f x x x x =+，该函数的定义域为R ，()()()()22sin cos sin cos f x x x x x x x f x -=--+-=+=，该函数为偶函数，不满足条件；对于C 选项，设()3sin f x x x =，该函数的定义域为R ，()()()33sin sin f x x x x x f x -=--==，该函数为偶函数，不满足条件；对于D 选项，设()4cos f x x x =，该函数的定义域为R ，()()()44cos cos f x x x x x f x -=--=-=-，该函数为奇函数，4cos 0222f πππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，不满足条件.故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象. 6．将函数1()sin(2)123f x x π=++的图象向右平移（）个单位后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象.A ．12πB ．6πC ．3π D ．4π 【答案】B 【分析】设图象对应的函数为()sin y A x B ωϕ=++，根据图象最值可求得,A B ，根据周期可求得ω，将()0,1代入可求得ϕ，进而得出解析式，判断出结论. 【详解】设图象对应的函数为()sin y A x B ωϕ=++，根据函数的图象可得 1.510.5A =-=，240T πω==-，则2πω=，1.50.512B +==，即1sin 122y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，将()0,1代入可得1sin 112ϕ+=，可解得0ϕ=，故所给的图为1sin 122y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故将函数1()sin(2)123f x x π=++的图象向右平移6π个单位后，再进行周期变换可以得到如图所示的图象. 故选：B ．【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x =+ωϕ部分图象求解析式的方法：（1）根据图象的最值可求出A ；（2）求出函数的周期，利用2T πω=求出ω；（3）取点代入函数可求得ϕ.7．已知函数()sin()(0,)2f x A x A πωϕϕ=+><的图像如图所示，且()f x 的图像关于点()0,0x 对称，则0x 的最小值为（）A ．23πB ．6π C ．3π D ．56π 【答案】B 【分析】先由函数图像求出函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据函数关于()0,0x 对称求出06x k ππ=-，从而当0k =时，0x 取得最小值为6π. 【详解】由题可知4112,2363A T πππ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭21Tπω∴== 则()()2sin ,2sin 233f x x f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭232k ππϕπ∴+=+又2πϕ<6πϕ∴=()2sin 6f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭由()f x 的图像关于点()0,0x 对称，可得0066x k x k ππππ+=∴=-，∴当0k =时，0x 取得最小值为6π故选：B 【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.8．已知函数f （x ）=Atan （ωx+φ）（ω＞1，|φ|＜），y=f （x ）的部分图象如图，则f（）=A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】试题分析：根据函数的图象，求出函数的周期，然后求出ω，根据函数过（0.1），过（），确定φ的值，A 的值，求出函数的解析式，然后求出即可．解：由题意可知T=，所以ω=2，函数的解析式为：f （x ）=Atan （2x+φ），因为函数过（0，1），所以，1=Atanφ…①，函数过（），0=Atan （+φ）…①，解得：φ=，A=1．①f （x ）=tan （2x+）．则f （）=tan （）=故选B ．考点：由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．9．如图，函数sin f x A x ωϕ=+（）（）（其中00||2A ωϕπ≤＞，＞，）与坐标轴的三个交点P Q R 、、满足204P PQR M π∠=(，)，，为QR 的中点，PM =A 的值为（）A．BC ．8D ．16【答案】A 【分析】由题意设出(20)0Q a a ,＞，用a 表示出R 点坐标以及M 点坐标，根据PM =，利用距离公式求出Q 坐标，通过五点法求出函数的解析式，即可求出A ．【详解】解：设(2,0),0Q a a >，函数()sin(x+)f x A ϖϕ=（其中0,0,||2A πωφ>>≤）与坐标轴的三个交点P Q R 、、满足4PQR π∠=，∴(0,2a)R -，M 为QR 的中点，∴(,)M a a -，PM =，=解得4a =，80Q ∴（，），又20P （，），18262T ∴=-=， 2T 12πω∴==，解得6π=ω．函数经过(20)(08)P R -，，，，∴sin 206 sin 086A A πϕπϕ⎧⎛⎫⨯+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⨯+=- ⎪⎪⎝⎭⎩，||2πϕ≤，,3πϕ∴=-，解得A =，故选A ．【点睛】本题考查由sin x y A ωϕ=+（）的部分图象确定其解析式，求得Q 点与P 点的坐标是关键，考查识图、运算与求解能力，属于中档题．二、多选题10．函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图，把函数()f x 的图象上所有的点向右平移6π个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，下列结论正确的是（）A ．3πϕ=B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．函数()g x 关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称【答案】BC 【分析】根据图象先分析出ω的取值范围，然后根据()0f =ϕ的可取值，然后分类讨论ϕ的可取值是否成立，由此确定出,ωϕ的取值，则A 可判断；根据图象平移确定出()g x 的解析式，利用最小正周期的计算公式，则B 可判断；先求解出()g x 的单调递增区间，然后根据k 的取值确定出,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是否为单调递增区间，则C 可判断；根据3g π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是否为0判断D 是否正确. 【详解】由图可知：1112113124T T ππ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，所以11211129πππω<<，所以18241111ω<<，又因为()02sin f ϕ==0ϕπ<<，所以3πϕ=或23ϕπ=，又因为11112sin 21212f ππωϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以112,122k k Z ππωϕπ+=+∈，又因为113,2122ππωπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以113,3122ππωϕπ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1k =，当3πϕ=时，1113126πωπ=，解得2611ω=，这与18241111ω<<矛盾，不符合；当23ϕπ=时，1111126πωπ=，解得2ω=，满足条件，所以()22sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()22sin 22sin 2633g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， A ．由上可知A 错误；B ．因为()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()g x 的最小正周期为2=2ππ，故B 正确； C ．令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，所以5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =，此时单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，且5,,3121212ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故C 正确； D．因为2sin 20333g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭不是对称中心，故D 错误；故选：BC. 【点睛】方法点睛：已知函数()()sin g x A x ωϕ=+()0ω>，若求函数()g x 的单调递增区间，则令ππ2π2π22k x k ωϕ-<+<+，Z k ∈；若求函数()g x 的单调递减区间，则令π3π2π2π22k x k ωϕ+<+<+，Z k ∈；若求函数()g x 图象的对称轴，则令ππ2x k ωϕ+=+，Z k ∈；若求函数()g x 图象的对称中心或零点，则令πx k ωϕ+=，Z k ∈． 11．已知函数()()sin f x A x =+ωϕπ0,0,2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期的最大值为2πB ．当ω最小时，()f x 在π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．π3ϕ=-D ．当ω最小时，直线2π3x =是()f x 图像的一条对称轴【答案】BC 【分析】由给出的函数图像，求出函数解析式，结合函数性质一一分析即可. 【详解】由题图得1A =. 因为()30sin 2f ϕ==-，又π2ϕ<，所以π3ϕ=-.由πππsin 0333f ω⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即ππsin 033ω⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，得πππ2π33k ω+=+，Z k ∈，即26k ω=+，Z k ∈，又>0ω，所以min 2ω=，所以()f x 的最小正周期的最大值为π，故A 错误，C 正确；取2ω=，则()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令π23t x =-，则2π7π,36t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为sin y t =在2π7π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故B 正确；2π2ππsin 2sin π0333f ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线2π3x =不是()f x 图像的一条对称轴，故D 错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：整体法求一般三角函数单调区间及对称性等相关问题.12．若函数1()sin()(0,0,0)22f x A x A ωϕωϕπ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（）A ．()2sin 23()3f x x π=+B ．()f x 的图象的一个对称中心为7(,0)2π- C ．()f x 的单调递增区间是5[3,3]44k k πππ-π-，k Z ∈ D ．把π()2sin()3g x x =+的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得()f x 的图象【答案】AB 【分析】根据图像求出()f x 的解析式，借助于正弦函数的性质一一验证：对于A ，根据图像求出()f x 的解析式进行判断；对于B ，利用代入法进行判断；对于C ，求出单增区间进行判断；对于D ，利用图像变换判断. 【详解】由题图可知2A =，函数()f x 的最小正周期4()34T π=⨯π-=π，故24312T ωωππ===π，解得43ω=，所以2()2sin()3f x x ϕ=+，又函数()f x 的图象经过点(,2)4π，所以()2sin(2)2434f ϕππ=⨯+=，即sin()16πϕ+=，因为02πϕ<<，所以2663ϕπππ<+<，所以62ππϕ+=，解得3πϕ=，所以()2sin 23()3f x x π=+，故A 正确；因为2377()2sin[()]2sin(2)0223f πππ-=⨯-+=-π=，所以()f x 的图象的一个对称中心为7(,0)2π-，故B 正确；令2222332πππk πx k π-≤+≤+，k Z ∈，解得5ππ3π3π44k x k -≤≤+，k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间是5[3,3]44k k πππ-π+，k Z ∈，故C 错误；把π()2sin()3g x x =+的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得到32sin()23y x π=+的图象，故D 错误．故选：AB ．【点睛】（1）利用图像求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；①求ω通常用周期；①求φ通常利用函数上的点带入即可求解.（2）三角函数问题通常需要先求出系数A 、ω、φ或把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.13．已知函数1π()sin()(0,0,0)22f x A x A ωϕωϕ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（）A ．该函数图象的一个对称中心为(π,0)B ．π()2sin()323f x x =+C ．该函数的单调递增区间是5ππ[3π,3π],44k k k Z --∈ D ．把函数π()2sin()3g x x =+图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得函数f (x )的图象【答案】AB 【分析】根据图像求出()f x 的解析式，借助于正弦函数的性质一一验证：对于A ，由图象可以直接判断；对于B ，根据图像求出()f x 的解析式进行判断；对于C ，求出单增区间进行判断；对于D ，利用图像变换判断. 【详解】对于A ，由图象可以看出，该函数图象的一个对称中心为(π,0)，故A 正确；对于B ，由题图可知2A =，函数f (x )的最小正周期为π4(π)3π4⨯-=，故2π4π43π,132T ωωω====，即()2sin(23f x x =)ϕ+，代入最高点π(,2)4，即πππ22sin()sin()134632ϕϕϕ,=⨯+⇒+==，故π()2sin()323f x x =+，故B 正确；对于C ，单调递增区间需满足π2ππ2π2π2332k x k -≤+≤+，解得5ππ[3π,3π],44x k k k Z ∈-+∈，故C 错误；对于D ，把函数π()2sin()3g x x =+的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得到函数3π2sin()23y x =+的图象.故D 错误．故选：AB ．【点睛】（1）利用图像求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；①求ω通常用周期；①求φ通常利用函数上的点带入即可求解.（2）三角函数问题通常需要先求出系数A 、ω、φ或把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.14．已知函数()()cos 2f x A x b ϕ=++(0A >，0ϕπ<<)的部分图像如图所示，则（）A ．2A =B ．点7,112π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图像的一个对称中心 C ．6π=ϕ D ．直线3x π=是()f x 图像的一条对称轴【答案】ABD 【分析】由图知函数最大值为3,最小值为1-,且函数图像与y 轴的交点为()0,2,进而待定系数得()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,再整体换元讨论B,D 选项即可. 【详解】因为0A >，所以31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21A b =⎧⎨=⎩，故A 正确；()02cos 12f ϕ=+=，则1cos 2ϕ=.又0ϕπ<<，所以3πϕ=，故C 错误；()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令23x k ππ+=，k ∈Z ，解得62πk πx =-+，k ∈Z ，所以()f x 图像的对称轴方程为62πk πx =-+，令1k =，则3x π=，D 正确；令232x k πππ+=+，k ∈Z ，解得122k x ππ=+，k ∈Z ，令1k =，则712x π=且7112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查三角函数图像求解析式，三角函数的对称轴，对称中心等，考查运算求解能力，是中档题.解题的过程中，需要注意形如()()sin 0y A x B A ωϕ=++>，()()cos 0y A x B A ωϕ=++>，max min ,y A B y A B =+=-+，ϕ的求解通常采用待定系数法求解.第II 卷（非选择题）三、填空题15．已知()()4sin sin 0,22f x x x ππωϕωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+++><⎪⎪⎝⎭⎝⎭，如图是()y f x =的部分图象，则ϕ=___________；()f x 在区间[]0,2020π内有___________条对称轴.【答案】6π8080 【分析】先化简，得到函数解析式，根据图像求得函数中的参数值，由此判断在给定区间内的对称轴. 【详解】()()()4sin sin 2sin 222f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭，由图可知()0f =()sin 22ϕ=，由于(在单调递增的区间内，故223k πϕπ=+，k ∈Z ，解得6k πϕπ=+，k ∈Z ，根据题意知6π=ϕ；由图象过点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，则有5263ππωπ+=；解得2ω=.故()2sin 43πf x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则令432x k πππ+=+，k ∈Z ，解得244k x ππ=+，k ∈Z . 令02020244k πππ≤+≤，即11808066k -≤≤-. ()f x 在[]0,2020π内有8080条对称轴.故答案为：6π；8080. 【点睛】方法点睛：根据函数图像求得参数，从而求得相关性质. 16．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为____________.【答案】()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【分析】由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由图像经过23π⎛⎫⎪⎝⎭，-2及2πϕ<求出ϕ，即可得到()f x 的解析式. 【详解】由最小值为-2知：A=2；由32343124T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭得，T π=,所以222T ππωπ===; 由223f π⎛⎫=-⎪⎝⎭得：232=232k ππϕπ⨯++，又2πϕ<，解得：6π=ϕ. 即()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故答案为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【点睛】求三角函数解析式的方法：(1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；(3)求φ通常利用函数上的点带入即可求解.四、解答题17．已知函数()sin()0,0,22f x M x M ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b ac =，求()f B 的取值范围.【答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）(. 【分析】（1）由图得出最大值和周期，由此求出,M T ，代入最高点坐标求出ϕ，由此求出解析式（2）由基本不等式求出cos B 的取值范围，从而求出B 角取值范围，再结合三角函数性质求解()f B 范围即可. 【详解】（1）由图知2M =，115212122T πππ=-=， ①T π=，22Tπω==.522()122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，又22ππϕ-<<，①3πϕ=-，①()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （2）①22221cos 222a cb ac ac B ac ac +--=≥=，当且仅当a c =取“=”，①(0,)B π∈， ①0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，①2,333B πππ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，①(()2sin 23f B B π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭. 【点睛】求三角函数的解析式时，由2Tπω=即可求出ω；确定ϕ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标0x ，则令00x ωϕ+=或0x ωϕπ+=)，即可求出ϕ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和ϕ，若对,A ω的符号或对ϕ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 18．已知函数()()sin (0,0,02)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()()()0,g x f x t t π=+∈为偶函数，求t 的值. （3）若()(),0,64h x f x f x x ππ⎛⎫⎡⎤=⋅-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，求()h x 的取值范围.【答案】（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）12π或712π；（3）90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由图可先得出A 和T ，即可求出ω，再利用712f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ϕ即可得出解析式；（2）可得()223t x x g π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，令2,32t k k Z πππ+=+∈即可求出；（3）利用三角恒等变换可化简得出()33sin 4264h x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据x 的取值范围即可求出. 【详解】（1）由图可得A =37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，T π∴=， 22πωπ∴==，则()()2f x x ϕ=+，又7721212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭2,3k k Z πϕπ=+∈，02，3πϕ∴=，()23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；（2）()()223x g t x f x t π⎛⎫++== ⎝+⎪⎭为偶函数，2,32t k k Z πππ∴+=+∈，解得,122k t k Z ππ=+∈， ()0,t π∈，t ∴=12π或712π；（3）()()6h x f x f x π⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭22363x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3sin 2sin 23x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3sin 2cos cos 2sin sin 233x x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭23sin 22cos 222x x x =+334cos 4444x x =-+ 33sin 4264x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，54,666x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，则当466x ππ-=-时，()h x 取得最小值为0，当462x ππ-=时，()h x 取得最大值为94， ∴()h x 的取值范围为90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x =+ωϕ部分图象求解析式的方法：（1）根据图象的最值可求出A ；（2）求出函数的周期，利用2T πω=求出ω；（3）取点代入函数可求得ϕ.19．函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若,312ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，()35f α=，求6f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）T π=，()5,1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2 【分析】（1）由给定的函数()f x 的图象，得到周期T π=，求得2ω=，再结合()112f π=，求得6πϕ=-，得到()cos(2)6f x x π=-，结合三角函数的性质，即可求解.（2）由()35f α=，利用三角函数的基本关系式，求得4sin 265πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】（1）根据给定的函数()f x 的图象，可得35346124T πππ=-=，可得最小正周期为T π=由2T πω=，可得2ω=，所以()()cos 2f x x φ=+，又由()cos()1126f ππϕ=+=，可得22,12k k Z πϕπ⨯+=∈，又因为2πϕ<，所以6πϕ=-，所以()cos(2)6f x x π=-，令222,6k x k k Z ππππ-≤-≤∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-<<+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）由()3cos 235f παα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因为,312ππα⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，可得52,663πππα⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，所以4sin 265πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()cos 2sin 2sin 26266f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-==-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3sin 2cos cos 2sin 666610ππππαα-⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】由三角函数的图象确定三角函数的解析式的策略：（1）A 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；（2）w 的值主要由周期T 的值确定，而T 的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）ϕ值的确定主要是由图象的特殊点的坐标确定．。

用“五点法”确定三角函数图象的解析式

ｃ。ｓ（一｛）＝５－．
轴上相邻两个交点之间的距离为号，可知号一Ｔ，即
Ｔ一７【，故 ∞一一２．下面我们用传统法和“五点法 ’’ 骤是：Ｔ一∞一 —Ａ一，（ｏ）．由（，０）ｘＣＦｉＮ，￣，
来求的值．（并把传统方法与“五点法 ”比较）
弦函数图象上的点（，ｏ）同样可得．
Ｒ（其中Ａ＞０，＞０，０＜＜詈）的图象与ｚ轴的
交点中，相邻两个交点之间的距离为要，且图象上一擎，得一一詈．再由＿，‘（号）一一号，得Ａ一．从
个最低点为Ｍ（，一２）．求－厂（ｚ）的解析式．
而得，（ｚ）一ｃ。ｓ３ｘ－手），因此，（０）一
解由最低点是Ｍ（，一２），可得Ａ一２．由ｚ
· ３４ ·
中学数学月刊
２０１０年第１２期
用 “五点法＂确定三角函数图象的解析式
陶冶（江苏省常熟中学２１５５００）陈新（江苏省常熟市中学２１５５００）
在三角函数图象的教学中，有一类由图象确定解析式的问题经常困扰着学生．其实借助三角函数的 “五点法 ”作图中的五个点，可以解决这类问题．１例说 “五点法 ”的妙用
的横￣Ａ－＇／ｒ一，这个最高点应该对应Ｙ— ｓｉｎ３２某周
期上的最高点．
（Ａｃ）－专
由“五点法”可知，一詈对应着号＋２ｋｎ，走∈
一告（Ｄ）专一寺ｒ…一＼
ｚ，故２叫×詈＋号一号＋２ｋ，所以一１＋６尼．由解由图中轴上的

高考数学解答题(新高考)三角函数的图象与性质(零点或根的问题)(典型例题+题型归类练)(解析版)

专题03 三角函数的图象与性质（零点或根的问题）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍()()sin f x A x k ωϕ=+=实根问题，换元法令t x ωϕ=+将函数()f x 化简为sin y A t =，在利用正弦函数sin t 的图象来解决交点（根，零点）的问题.二、典型例题例题1．（2022·河南驻马店·高一期中（文））已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图像如图所示. (1)求函数()f x 的解析式； (2)设02x π<<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.第（2）问思路点拨：本小题要求时，方程有两个根，求的取值范围,可采用换元法解答过程：由（1）知，令，由，则，作出函数的图象，根据图象讨论的的个数.图象可知：与的图象在内有两个不同的交点时，，故实数的取值范围为.【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)()1,2(1)显然2A =，又1121212T ππππω⎛⎫=--== ⎪⎝⎭，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又函数过点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin 06πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以()Z 6k k πϕπ-+=∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ，所以所求的函数的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)02x π<<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，即()y f x =与y m =的图像在02x π<<内有两个不同的交点，令26t x π=+，则7,66t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，作出函数2sin y t =的图像如下：由图像可知：2sin y t =与y m =的图像在7,66t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的交点时，12m <<，故实数m 的取值范围为()1,2.例题2．（2022·山东德州·高一期中）已知()3sin ,sin cos a x x x ωωω=+，()1cos ,cos sin 2b x x x ωωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()01ω<≤，函数()1f x a b =⋅+，直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴．(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[]0,x π∈时，讨论方程()0f x m -=的根的情况．【答案】(1)()sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)答案见解析(1)已知()3sin ,sin cos a x x x ωωω=+，()()1cos ,cos sin 012b x x x ωωωω⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭，第（2）问思路点拨：本小题要求时，讨论方程的根的情况,可采用换元法解答过程：由（1）知，令，由，则，则讨论方程的根的情况，转化为的根的情况.作出的图象.1．当或，即或时，有0个根； 2．当或，即或时，有1个根；3．当或，即或时，有2个根；4．当，即时，有3个根由图象可知则()12cos 21sin 2126f x x x x πωωω⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，由于直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴．所以26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭或0，所以2662k πππωπ⋅⋅+=+，()k ∈Z ，所以31k ω=+．由于01ω<≤，所以，当0k =时，1ω=，所以()sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)由题意得sin 216x m π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为[]0,x π∈，所以132,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令26u x π=+，13,66u ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则sin 1u m =-，如图．1．当11m ->或11m -<-，即0m <或2m >时，()f x 有0个根； 2．当11m -=或11m -=-，即0m =或2m =时，()f x 有1个根； 3．当1112m <-<或1112m -<-<，即322m <<或302m <<时，()f x 有2个根；4．当112m -=，即32m =时，()f x 有3个根综上，当0m <或2m >时，()f x 有0个根；当0m =或2m =时，()f x 有1个根；当322m <<或302m <<时，()f x 有2个根；32m =时，()f x 有3个根．例题3．（2022·山东·日照青山学校高一期中）已知函数()2sin f x x =，将()f x的图象向右平移3π个单位长度，再把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象. (1)求函数()g x 的解析式及单调递增区间； (2)方程()25g x =在17,612ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的根从小到大依次为123,,x x x ，求1232x x x ++的值.第（2）问思路点拨：方程在上的根从小到大依次为，求的值.可采用换元法解答过程：由（1）知，令，由，则其中，；即，，，，.根据图象作答转化为：方程在有个解，作出图象和问题转化作图象，找交点【答案】(1)()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，单调递增区间为()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z (2)123823x x x π++= (1)2sin 33f x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2sin 23g x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭；令()222232k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ，解得：()51212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ， ()f x ∴的单调递增区间为()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z(2)令()22sin 235g x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1sin 235x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；17,612x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，520,32x ππ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦，设23x πθ=-，其中50,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即1sin 5θ=，结合正弦函数5sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭的图象可知：方程1sin 5θ=在50,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有3个解123,,θθθ，其中12θθπ+=，233θθπ+=；即122233x x πππ-+-=，2322333x x πππ-+-=，1256x x π∴+=，23116x x π+=，123823x x x π∴++=. 三、题型归类练1．（2022·河南驻马店·高一期中（理））已知点()()11,A x f x ，()()22,B x f x 是函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭图象上的任意两点，且角ϕ的终边经过点(1,P ，()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π． (1)求函数()f x 的解析式；(2)()y f x m =-在0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；2m <.(1)角ϕ的终边经过点(1,P ，∴tan ϕ=∵02πϕ-<<，∴3πϕ=-，由()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π，得23T π=，即223ππω=，∴3ω=，∴()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)∵()y f x m =-在0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的零点，即()y f x =与y m =的图象在0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的交点，令33t x π=-，由0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2,33t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，即2sin y t =与y m =在2,33t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上有两个交点，2m <.2．（2022·辽宁·大连市第一中学高一期中）已知函数()4cos cos 1(0)3f x x x πωωω⎛⎫=⋅-- ⎪>⎝⎭的部分图像如图所示，若288AB BC π⋅=-，B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()y f x m =-在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，（123x x x <<），求实数m 的取值范围，并求出123 cos (2)x x x ++的值．【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)m ⎡∈⎣，12(1)解：)()2cos cos 1f x xx x ωωω=+-，2cos 2cos 1x x x ωωω=⋅+-，2cos 2x x ωω=+，2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设函数()f x 的周期为T ，则,24T AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，,42T BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则228888T AB BC π⋅=-=-，所以T π=．故22T ππω==，故1ω=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(2)由题意，函数()y f x m =-在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有三个不同的零点，1x ，2x ，3x ，即曲线()y f x =与y m =在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有三个不同的交点．设26t x π=+，当130,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．则2sin y t =，7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则m ⎡∈⎣，12t t π+=，233t t π+=，所以12324t t t π++=，即12322224666x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即123523x x x π++=，所以12351cos(2)cos32π++==x x x ．3．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））已知函数()()2sin cos 23f x x x x π=+． (1)求函数f (x )的最小正周期T 及()1003f π的值；(2)若关于x 的方程()12f x a π+=在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个解，求实数a 的取值范围．【答案】(1)最小正周期π，(2)1142a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，.(1)解：()2sin cos 3f x x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12sin cos 2x x x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭2sin cos x x x x =1sin22x x =1sin22x =T π=，100133sin 233323f f f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)解：sin 22126f x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 23023662x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈⇒+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，设32,[,]662t x t πππ=+∈，所以sin 2t a =有两个解，结合图像可知1212a ≤< 故1142a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，．4．（2022·山东潍坊·高一期中）已知函数()33sin 26sin sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数()y f x k =-在区间130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点12,x x ，求k 的取值范围，并求12x x +的值．【答案】(1)最小正周期π，单调递增区间为(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；(2)k 的范围为()33,0,32⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭，12x x +为53π或23π.(1)因为()33sin 26sin sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()3cos 223sin cos sin cos 2x x x x x x =++-()22cos 223sin c 3s 2o x x x x =+-cos 223cos 223x x x =- 63sin 2x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22T ππ==，令222262k x k πππππ-≤-≤+，k ∈Z ，则()63k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .(2)由题意，()0f x k -=在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个解12,x x ，即()y f x =与y k =在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个交点，由130,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2,266x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，设26t x π=-，则3sin ,,26y t t ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦， 3sin ,,26y t t ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的图象如下，由图知：k 的取值范围为()33,0,32⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭，设3sin y t =与y k =在,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的两个交点的横坐标分别为12,t t ，当33,2k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时12,t t 关于32t π=对称，即12,x x 关于56x π=对称，则1253x x π+=；当()0,3k ∈时12,t t 关于2t π=对称，即12,x x 关于3x π=对称，则1223x x π+=；综上，12x x +的值是53π或23π. 5．（2022·辽宁·鞍山一中高一期中）已知函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，且()g x 为偶函数．(1)求函数()f x 和()g x 的解析式；(2)若对a ∀，[]0,b m ∈．当a b <时，都有()()()()f b f a g a g b ->-成立，求m 的取值范围；(3)若关于x 的方程()()f x g x k +=在130,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，求k 的取值范围和123422x x x x +++的值．【答案】(1)()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，()cos2g x x =(2)012m π<≤.(3)32<k ，132π (1)由题意()sin 263g x f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()g x 为偶函数，所以()()g x g x -=，即sin 2sin 233x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫-++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈，而2πϕ<，故0k =，6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，()sin 2cos 22π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭g x x x ． (2)对a ∀，[]0,b m ∈，a b <，都有()()()()f b f a g a g b ->-，()()()()f b g b f a g a +>+，设()()()h x f x g x =+，则()h x 在[]0,m 单调递增．又()()()3sin 2cos 22cos 22623h x f x g x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令23u x π=+，则,233u m ππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，y u =在,233u m ππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦递增，故232m ππ+≤，012m π<≤．(3)()()()23h x f x g x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令23t x π=+，则14,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则sint =恰有4个不等实根1t ，2t ，3t ，4t ，则32<k ，不妨设1234t t t t <<<，函数()sin t t ϕ=，14,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与函数y =4个交点，如图所示（略），()sin t t ϕ=在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，35,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，79,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，57,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，914,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，1433ππϕϕ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭591222πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，37122ππϕϕ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 12322t t π+=，23522t t π+=，34722t t π+=，12342215t t t t π+++=， ()1234222215x x x x ππ++++=，123413222x x x x π+++=． 6．（2022·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）已知函数()()cos f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，2πϕ≤）的部分图象大致如图．(1)求()f x 的单调递增区间．(2)将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数()g x 的图象．若关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【答案】(1)5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈(2)[)1,2 (1)根据图象，可得1A =，由124312πππω⋅=-，得2ω=．所以()()cos 2f x x φ=+，由2012πϕ⨯+=，得6πϕ=-，所以()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令2226k x k ππππ-≤-≤，Z k ∈，得51212k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈，所以()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈． (2)将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度得到曲线C ：cos 2sin 2466y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．由()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，即2sin 26m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设26t x π=-，则5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则需直线y m =与2sin y t =的图象在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦两个不同的公共点．画出2sin y t =在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的简图如下：1,2．所以实数m的取值范围为[)。

方法10：五点法求三角函数解析式

方法10 五点法求三角函数解析式一、单选题1．函数()()sin 0,0,22f x A x A ωϕωϕππ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =（）A ．sin 6x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭B ．sin 3x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 6x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．sin 3x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，从而得到函数的解析式. 【解析】解：由图象可得1A =，再根据35134362T =-=，可得2T =，所以22πωπ==，再根据五点法作图可得1,6k k Z πϕπ⨯+=∈，求得6πϕ=-，故函数的解析式为()sin 6f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 故选：C.2．若16x π=，256x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+()0ω>两个相邻的极值点，则ω=（） A ．3 B ．32C ．34D ．12【答案】B 【分析】由16x π=，256x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+()0ω>两个相邻的极值点，可得52663πππ-=是函数()f x 周期的一半，从而可求出ω的值【解析】解：由题意得，52663πππ-=是函数()f x 周期的一半，则243ππω=，得32ω=．故选：B3．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12 h ，低潮时水深为9 m ，高潮时水深为15 m ．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y （m ）关于时间t （h ）的函数图象可以近似地看成函数y ＝A sin(ωt ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)的图象，其中0≤t ≤24，且t ＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（）A ．y ＝3sin6πt ＋12 B ．y ＝－3sin6πt ＋12 C ．y ＝3sin12πt ＋12 D ．y ＝3cos6πt ＋12 【答案】A 【分析】由两次高潮的时间间隔12h 知12T =，且212(0)T πωω==>得6π=ω，又由最高水深和最低水深得3A =，12k =，将3t = y ＝15代入解析式解出φ，进而求出该函数的解析式．【解析】由相邻两次高潮的时间间隔为12 h ，知T ＝12，且T ＝12＝2πω(ω＞0)，得ω＝6π，又由高潮时水深15 m 和低潮时水深9 m ，得A ＝3，k ＝12，由题意知当t ＝3时，y ＝15．故将t ＝3，y ＝15代入解析式y ＝3sin 6t πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋12中，得3sin 36πϕ⎛⎫⨯+⎪⎝⎭＋12＝15，得6π×3＋φ＝2π＋2kπ(k ∈Z )，解得φ＝2kπ(k ∈Z )．所以该函数的解析式可以是y ＝3sin 26t k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭＋12＝3sin 6πt ＋12．4．记函数()()sin f x x ωϕ=+(其中0>ω，2πϕ<)的图像为C ，已知C 的部分图像如图所示，为了得到函数()sin g x x ω=，只要把C 上所有的点（）A ．向右平行移动6π个单位长度 B ．向左平行移动6π个单位长度 C ．向右平行移动12π个单位长度 D ．向左平行移动12π个单位长度【答案】A 【分析】根据图象可得周期，求出2ω=，根据图象上最低点求出3πϕ=，再根据平移变换可得结果.【解析】由图象可知周期74()123T πππ=-=，所以222T ππωπ===，又图象上一个最低点为7(,1)12π-，所以7sin 2112πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，所以7322122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，即23k πϕπ=+，k Z ∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭sin 26x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以为了得到函数()sin 2g x x =，只要把C 上所有的点向右平行移动6π个单位长度. 故选：A 【小结】根据图象求出ω和ϕ是解题关键.5．已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，||2ϕπ<）的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（）A ．32,2()88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．3,()88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．52,2()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】D 【分析】先根据图象求出函数()f x 的解析式，再令()22k x k k Z πωϕππ≤+≤+∈，解不等式即可求解. 【解析】由图知：2A =，884Tππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以T π=，又因为2T ππω==，所以2ω=，所以()2cos(2)f x x ϕ=+，由()228k k Z ϕππ⨯+=∈，可得()24k k Z ϕππ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以0k =，4πϕ=-，所以()2cos 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()2224k x k k Z ππππ≤-≤+∈，解得：()588k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以函数的单调递减区间为5,()88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：D 【小结】本题解题的关键是利用五点法作图的原理求出()f x 的解析式，再利用整体代入法求单调区间.6．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，则（）A ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．12f π⎛⎫=⎪⎝⎭C ．()f x 的图象的对称中心为,0()12k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭D ．不等式()1f x ≥的解集为,()3k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦【答案】D 【分析】根据图象求出2,6πωϕ==可得()2sin(2)6f x x π=+，可知A 不正确；计算可知B 不正确；利用正弦函数的对称中心求出()f x 的对称中心可知C 不正确；解不等式()1f x ≥可知D 正确.【解析】由图可知54126T ππ=-，所以T π=，所以222T ππωπ===，由262ππϕ⨯+=，得6π=ϕ，所以()2sin(2)6f x x π=+，故A 不正确；()2sin(2)12126f πππ=⨯+=B 不正确；由26x k ππ+=，k Z ∈，得212k x ππ=-，k Z ∈，所以()f x 的图象的对称中心为,0()212k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，故C 不正确；由不等式()1f x ≥得1sin(2)62x π+≥，得5222666k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，得3k x k πππ≤≤+，k Z ∈，所以不等式()1f x ≥的解集为,()3k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故 D 正确. 故选：D 【小结】根据图象求出函数()f x 的解析式是解题关键.7．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，则(9)f =（）A ．1-B ．1C ．D 【答案】D 【分析】先利用图象分析得到解析式，再计算(9)f 即可.【解析】由图象可知，2A =，1152233T =-=，24,2T T ππω===，53x =时，52,23x k k Z πωϕϕππ+=⨯+=+∈，解得62,x k k Z ππ=+∈，故()2sin 26f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故922sin 2sin 2sin 262)6(39f πππππ⎛⎫⎛⎫+=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 故选：D. 【小结】根据图象求函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>解析式：（1）利用最值确定A 值；（2）利用图象求周期T ，根据2Tπω=求ω；（3）利用特殊点整体代入法确定ϕ值.8．如图是函数()cos(2)f x A x =+ϕ(0,0)A ϕπ>≤≤图象的一部分，对不同的12,[,]x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()12f x x +=，则（）A ．() f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 B ．() f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 C ．() f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数D ．() f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数【答案】B 【分析】（1）根据题意可得2A =，且1222x x a b ++=，从而可得a b ϕ+=-，再由()12f x x +=解得6π=ϕ，即()2cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再利用余弦函数的性质即可求解. 【解析】解析：由函数()cos(2)f x A x =+ϕ()0,0A ϕπ>≤≤图象的一部分，可得2A =，函数的图象关于直线1222x x a b x ++==对称， ∴12a b x x +=+.由五点法作图可得22a πϕ+=-，22b πϕ+=，∴a b ϕ+=-.再根据()12()2cos(2)2cos()f x x f a b ϕϕϕ+=+=-+=-=cos ϕ=， ∴6π=ϕ，()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上，2(0,)6x ππ+∈，故()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数，故选：B .9．已知函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（）A ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【分析】利用图象可得出()max A f x =，求出函数()f x 的最小正周期，可求得ω的值，再将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数()f x 的解析式，结合ϕ的取值范围，求出ϕ的值，进而可得出函数()f x 的解析式.【解析】由图象可得()max 2A f x ==，函数()f x 的最小正周期为2236T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭， 22Tπω∴==，()()2sin 2f x x ϕ∴=+，又2sin 2266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，22ππϕ-<<，5636πππϕ∴-<+<，32ππϕ∴+=，解得6π=ϕ，因此，()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故选：A. 【小结】根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法：（1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=；（3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.10．函数()()cos f x A x ωϕ=+(其中0A >，0>ω，2πϕ<)的图象如图所示.为了得到()cos g x A xω=-的图象，只需把()y f x =的图象上所有的点（）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向右平移512π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度 D ．向左平移512π个单位长度【答案】B 【分析】先根据图象求出,,A ωϕ的值即可得()f x 和()g x 的解析式，再利用函数图象的平移变换即可得正确选项. 【解析】由图知：1A =，74123T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以22T πω==，()()cos 2f x x φ=+，当712x π=时，()()cos 2f x x φ=+有最小值，所以()72212k k Z πϕππ⨯+=+∈，所以()26k k Z πϕπ=-+∈，又因为2πϕ<，所以0,6k πϕ==-，所以()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()cos2cos 2g x x x π=-=-，所以只需要把()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移512π个单位长度得()()5cos 2cos 2cos 2126x x x g x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：B 【小结】本题的关键点是由函数的部分图象求出,,A ωϕ的值，进而求出()f x 和()g x 的解析式，()()cos2cos 2g x x x π=-=-，由平移变换的规律求解，注意左右平移指一个x 变化多少，此点容易出错，属于中档题.11．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度 D ．向左平移π2个单位长度【答案】A 【分析】首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【解析】由题知：541246T πππ=-=，所以223T ππω==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24k ϕπ=+π，k Z ∈. 又因为2πϕ<，所以4πϕ=，()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 因为4436πππ--=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6个单位长度.故选：A12．如图，已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象与坐标轴交于点1,,(,0)2-A B C ，直线BC 交()f x 的图象于另一点D ，O 是ABD △的重心.则ACD △的外接圆的半径为（）A ．2BCD ．8【答案】B 【分析】首先根据三角函数图象的对称性和重心的性质求得点A 的坐标，根据周期确定ω，再根据点C 的坐标确定ϕ，确定解析式后，确定点,B D 的坐标，结合正弦定理求ACD △外接圆的半径.【解析】根据三角函数的对称性可知点C 是BD 的中点，又O 是ABD ∆的重心，1,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴21OA OC ==， ∴点A 的坐标为()1,0，∴函数()f x 的最小正周期为3T 232=⨯=， ∴23πω=，∴()2sin 3f x x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭. 由题意得121sin sin 02323f ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又2πϕ<，∴3πϕ=，∴()2sin 33f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，令0x =得()0sin3f π==， ∴点B的坐标为⎛ ⎝⎭，∴tan BCO ∠=3BCO π∠=，∴23ACD π∠=. 又点1,02C ⎛⎫-⎪⎝⎭是BD 的中点， ∴点D的坐标为1,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴AD ==设ACD ∆的外接圆的半径为R，则222sin sin 3AD R ACD π∠===∴R =. 故选：B. 【小结】已知图象求()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的步骤为： 1.一般根据函数的最大值和最小值求A ； 2.ω由周期确定，根据公式2T πω=，观察给定的图象，分析出确定的T 值；3.一般求ϕ，可以将图象中的一个点代入求解，或是根据“五点法”，利用图象的最高点或最低点，以及函数的零点，再由已知条件中ϕ的具体范围确定相应的ϕ值.13．函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到()5sin 6g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则只将()f x 的图象（）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位【答案】A【分析】根据三角函数的图像求出()sin(2)3f x x π=+，再利用三角函数的平移变换即可求解.【解析】由图像观察可知，741234T πππ=-=，所以T π=，则2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，根据图像过点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，所以732122ππϕ⨯+=，则3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+，函数()5sin(2)6g x x π=+，因此把()sin(2)3f x x π=+图像向左平移4π个单位即得到()g x 的函数图像，故选：A.14．已知函数()()cos f x A x ωϕ=+在[]0,π上的图象如图所示，则函数()f x 的解析式是（）A ．()2cos 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()3)4f x x π=- D ．())4f x x π=-【答案】C 【分析】由函数的图像可求得,A T ，再利用周期公式可求出ω，然后对选项的解析式逐个验证即可【解析】解：由图像可得34884T A πππ==-=，所以T π=，所以22πωπ==，所以A ，B 不符合题意，对于C ，()30)14f π=-=， 333)884f πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭对于D ，33)0884f πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，不符合题意，故选：C15．已知()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图像关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列判断错误的是（）A ．要得到函数()f x 的图像，只需要现将y x =的图像保持纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，再向右平移6π个单位 B ．函数()f x 的图像关于直线23x π=对称 C ．函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为【答案】D 【分析】根据正弦型函数的性质可求得()f x 的解析式；根据三角函数平移变换原则可知A 正确；利用代入检验法可知,B C 正确；利用正弦型函数求值域的方法可确定D 错误. 【解析】()max f x =，0A >，A ∴=()f x 相邻两条对称轴之间距离为2π，()f x ∴最小正周期222T ππω==⨯，2ω∴=，0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()6k k Z πϕπ∴-+=∈，()6k k Z πϕπ∴=+∈，又2πϕ<，6πϕ∴=，()26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.对于A ，y x =横坐标变为原来一半得到2y x =；再向右平移6π个单位得到23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又cos 2sin 2sin 23236x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，可知A 正确；对于B ，当23x π=时，4326362x ππππ+=+=，32x π=是sin y x =的对称轴，23x π∴=是()f x 的对称轴，B 正确；对于C ，当,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,626x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin y x =在5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()f x ∴在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，C 正确；对于D ，当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,662x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()min 62f x π⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭，D 错误. 故选：D. 【小结】根据三角函数性质求解()sin y A ωx φ=+的方法：（1）max min 2y y A -=；（2）2Tπω=；（3）代入图象上的点，利用整体对应法，结合正弦函数图象构造方程求得ϕ.16．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象如图所示，若函数()()1h x f x =+的两个不同零点分别为1x ，2x ，则12x x -的最小值为（）A ．23πB ．2π C ．43π D ．π【答案】A 【分析】首先根据图象求得函数的解析式，再求函数的零点，比较相邻零点中12x x -的最小值. 【解析】由图象可知函数的最大值为2，所以2A =，24362T πππ=-=，所以221ππωω=⇒=，当6x π=时，2,6k k Z πϕπ+=∈， 2πϕ<，6πϕ∴=-()2cos 6f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，即()2cos 16h x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当()0h x =时，1cos 62x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得22,63x k k Z πππ-=+∈或42,63x k k Z πππ-=+∈，解得：52,6ππ=+∈x k k Z ，或32,2x k k Z ππ=+∈，相邻的零点12,x x 中，12x x -的最小值是352263πππ-=. 故选：A 【小结】本题考查根据三角函数的图象求三角函数的解析式，三角函数的零点，属于中档题型.求()sin y A x b ωϕ=++()0,0A ω>>的解析式的求法：在一个周期内，若最大值为M ，最小值为m ，则A b M A b m +=⎧⎨-+=⎩，ω由周期确定，由2T πω=求出，通过观察图象，分析确定T 的值，将图象的一个最高点或最低点，也可以利用零点，再由已知条件中ϕ的具体范围确定相应ϕ值.17．函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．3x π=-是()f x 图像的一条对称轴B ．()f x 图像的对称中心为22,0,3k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ C ．()1f x ≥的解集为44,4,3k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦D ．()f x 的单调递减区间为282,2,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】C 【分析】结合五点作图法和函数图像可求得函数解析式，采用代入检验法可依次判断各个选项得到结果. 【解析】()10sin 2f ϕ==且2πϕ<，6πϕ∴=，又882sin 233f ππωϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由五点作图法可得：83362πππω+=，解得：12ω=， ()12sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.对于A ，当3x π=-时，1026x π+=，,03π⎛⎫∴- ⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，A 错误；对于B ，当223x k ππ=+时，1262x k πππ+=+，223x k ππ∴=+是()f x 的对称轴，B 错误；对于C ，由()1f x ≥得：1in 2612s x π⎛⎫⎪⎭≥+⎝，15226266k x k πππππ∴+≤+≤+，解得：4344k x k πππ≤+≤，C 正确；对于D ，当282,233x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，13,2622x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，当1k =时，135,2622x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，不是()f x 的单调递减区间，D 错误. 故选：C. 【小结】本题考查正弦型函数()sin y A ωx φ=+的性质的判断，解决此类问题常用的方法有：（1）代入检验法：将所给单调区间、对称轴或对称中心代入x ωϕ+，确定x ωϕ+的值或范围，根据x ωϕ+是否为正弦函数对应的单调区间、对称轴或对称中心来确定正误；（2）整体对应法：根据五点作图法基本原理，将x ωϕ+整体对应正弦函数的单调区间、对称轴或对称中心，从而求得()sin y A ωx φ=+的单调区间、对称轴或对称中心.18．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，记关于x 的方程()f x =()21t t -<<-在区间5π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所有解的和为θ，则tan θ=（）A ．BC ．D ．tan 2t【答案】B 【分析】由函数图象得函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据函数的性质得方程()()()2,1f x t t =∈--在区间5π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所有的解共有2个且这2个解的和等于7π7π2126⨯=，进而得答案. 【解析】解：由图可知，2A =，再把点(代入可得2sin ϕ=所以sin ϕ=π2ϕ<，所以π3ϕ=，由五点作图法原理可得πππ33ω⋅+=，所以2=ω，故函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当5π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2,2π33x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令π2π233x +=，得7π12x =，由图像可知方程()()()2,1f x t t =∈--在区间5π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所有的解共有2个，且这2个解的和等于7π7π2126⨯=，即7π6θ=，所以7πtan tan6θ==故选：B ．【小结】本题考查利用三角函数图象求解析式，函数的对称性，考查运算能力，是中档题.19．设函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]0,2π上的图像大致如图，则()f x 的最小正周期为（）A ．5π6B ．6π5C ．5π4D ．3π2【答案】C 【分析】由图象观察可得最小正周期小于43ππ32T <<，排除A ，D ；再由5π132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得ω，即可得到结论.【解析】由图像可得()f x 的最小正周期T 满足：π,3π5π,232T T >⎧⎪⎨<-⎪⎩解得43ππ32T <<，故排除A ，D ；又由5π5ππsin 132324f ω⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()5πππ2π3242k k ω+=+∈Z ，解得()86455k k ω=+∈Z . 因为π2πT <<，即2ππ2πω<<，所以12ω<<.所以当0k =时，85ω=，所以2π5π845T ==. 故选：C.二、多选题20．如图是函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象，下列选项正确的是（）A ．()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()sin 43f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．06f π⎛⎫=⎪⎝⎭D ．213f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】AC 【分析】先由()0f =可求得3πϕ=-，再sin 0333f πππω⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()233k k Z ππωππ--=+∈，解得()46k k Z ω=--∈，再利用23T ππω=>，可得03ω<<，所以2ω=，()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即可知A 正确，B 不正确，计算即可判断C 、D ，进而可得正确答案. 【解析】由图知()0sin 2f ϕ==-，因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为sin 0333f πππω⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()233k k Z ππωππ--=+∈，解得：()46k k Z ω=--∈，因为23T ππω=>，所以03ω<<，所以1k =-时2ω=，可得()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选项A 正确，选项B 不正确，sin 2sin 00663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项C 正确；24sin sin 33332f ππππ⎛⎫⎛⎫-=--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 不正确，故选：AC 【小结】本题的关键点是求ω的值，先利用sin 0333f πππω⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而且3π-是下降零点可得()233k k Z ππωππ--=+∈，解得()46k k Z ω=--∈，再结合图象可知23T ππω=>得03ω<<，求得2ω=，()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭问题即可迎刃而解，属于常考题型. 21．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，()0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为12π和712π，图象在y ，给出下列四个结论，其中正确的结论是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的最大值为2C ．14f π⎛⎫=⎪⎝⎭D ．3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数【答案】ABC 【分析】由周期求出ω，由五点法作图求ϕ，根据特殊点的坐标求出A ，可得函数的解析式()2sin(2)3f x x π=+.通过分析得到ABC 正确，()2sin 23f x x π+=-为奇函数，所以D 错误.【解析】根据函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0>ω，0)ϕπ<<的部分图象，得12721212πππω=-， 2ω∴=．再根据五点法作图可得2122ππϕ⨯+=，3πϕ∴=．根据函数的图象经过，可得sin sin3A A πϕ=2A =，()2sin(2)3f x x π∴=+．故,A ()f x 的最小正周期为π，所以A 正确；,B ()f x 的最大值为2，所以B 正确；,C 由题得()2sin()1423f πππ=+=，所以C 正确；,D ()2sin 23f x x π+=-为奇函数，所以D 错误.故选：ABC 【小结】求三角函数的解析式一般有三种：（1）待定系数法：一般先设出三角函数的解析式sin()yA wx k ，再求待定系数,,,A w k ，最值确定函数的,A k ,周期确定函数的w ,非平衡位置的点确定函数的φ.（2）图像变换法：一般利用函数图像变换的知识，一步一步地变换得到新的函数的解析式.（3）代入法：一般先在所求的函数的图像上任意取一点(,)P x y ，再求出点P 的对称点((,),(,))P f x y g x y ，再把点((,),(,))P f x y g x y 的坐标代入已知的函数的解析式化简即得所求函数的解析式.本题选择的是待定系数法.要根据已知灵活选择.22．若函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像，如图所示，则下列说法正确的是（）A ．6π=ϕ B ．函数()f x 的图像关于6x π=对称C ．函数()f x 的图像关于点5,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 D ．,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，()f x 的值域为[]2,1- 【答案】ABD 【分析】根据三角函数的图像求出函数的解析式，再由三角函数的性质即可得出选项. 【解析】由图像可知2A =，(0)2sin 1f ϕ==，即1sin 2ϕ=，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ， 332sin 446f πππω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()352,463k k Z πππωπ∴+=+∈， ()82,3k k Z ω∴=+∈，周期234T ππω=>，803ω∴<<，即2ω=， ()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，对于A ，6π=ϕ，正确；对于B ，2sin 262f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，故图像关于6x π=对称，正确；对于C ，532sin 262f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，错误；对于D ，,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以()[]2,1f x ∈-，正确；故选：ABD.23．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．最小正周期为2πB ．()f x 在区间5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．()f x 的图象可由π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向在平移π6个单位长度得到【答案】BC 【分析】根据图象确定周期可判断A ，由周期求出ω，利用特殊值求出ϕ得出函数，根据正弦函数的单调性判断B ；根据正弦型函数的对称中心判断C ；由三角函数的图象平移可判断D. 【解析】由图象可知，2A =，ππ2π36T ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()f x 的最小正周期为π，故A错误；所以2π2Tω==，得()()2sin 2f x x ϕ=+.又因为当πππ36212x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭==时，()2f x =，即ππ2sin 221212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭.又因为π2ϕ<，可得ππ62ϕ+=，解得π3ϕ=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.由()πππ2π22π232k x k k -+≤+≤+∈Z ，可得()5ππππ1212k x k k -+≤≤+∈Z ，令0k =，可得()f x 在区间5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 正确；又5π5ππ2sin 0633f ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故C 正确； π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到πππ2sin 22sin 22cos2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 错误.故选：BC 【小结】根据三角函数图象求出函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的解析式，根据正弦型函数的图象与性质即可求出函数的单调区间，对称中心，周期，平移等问题，属于中档题.24．函数()()sin f x A x =+ωϕ，（,,A ωϕ是常数，0A >）的部分图象如图所示，则（）A ．()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()f x 的对称轴为,12x k k Z ππ=+∈D ．()f x 的递减区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】AB 【分析】由最低点确定A =由周期的四分之一71234πππ-=确定ω，把最低点7,12π⎛⎝代入解析式确定ϕ，再根据正弦函数的对称轴、递减区间求该函数的对称轴和递减区间即可. 【解析】解：显然A =T ，则74123T ππ=-，所以T π=，又2,2ππωω==；所以()()()sin 2f x A x x ωϕϕ=+=+过点7,12π⎛⎝，所以7212πϕ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，()23k k Z πϕπ=+∈，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据sin cos 2x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2cos 223236f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故AB 正确；正弦函数的对称轴为()2x k k Z ππ=+∈，令()()2,32212k x k k Z x k Z πππππ+=+∈=+∈，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴为()212k x k Z ππ=+∈，故C 错误；正弦函数的递减区间为()2,222k k k π3π⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ，令()37222,2321212k x k k x k k Z πππππππππ+≤+≤++<<+∈，()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故D 错误. 故选：AB 【小结】已知三角函数的图像确定解析式，一般根据最高点或最低点确定振幅A ，根据周期确定角速度ω，根据函数图像经过的点确定初相ϕ，再根据正弦函数的性质用换元法确定待求函数的性质即可.25．函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =（）A．1cos223xππ⎛⎫+⎪⎝⎭B．1cos226xππ⎛⎫+⎪⎝⎭C．1sin223xππ⎛⎫-+⎪⎝⎭D．1sin223xππ⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】BD 【分析】根据最小值求得A，根据周期求得ω，根据点111,122⎛⎫⎪⎝⎭求得ϕ，由此求得()f x的解析式，结合诱导公式确定正确选项.【解析】由图象可得12A=，3111341264T=-=，解得1T=，所以2ωπ=，所以1()cos(2)2f x xπϕ=+，又()f x的图象过点111,122⎛⎫⎪⎝⎭，则()112212k k Zπϕπ⨯+=∈，解得()1126k k Zπϕπ=-∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ，即11()cos2sin226226 f x x xπππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1sin223xππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭1sin223xππ⎛--=⎫⎪⎝⎭.故选BD【小结】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，考查诱导公式，属于中档题.三、填空题26．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式()f x =______.【答案】π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】由五点法求得周期，由振幅可求A ，再由最低点可求得φ．【解析】由振幅得：A =由图象可得：75488T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭， ∴2Tπω==2，∴y （2x +φ），当78x π=时，y ＝， ∴73282πϕπ⨯+=，π4ϕ∴=-∴解析式为：π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【小结】本题关键点是利用五点法确定周期与φ.27．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =______.【答案】sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭【分析】由图可得A ，利用周期求出ω，又函数过点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，解得3πϕ=，进而得出函数的解析式．【解析】由图可得：1A =，37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得,2T πω==，()()sin 2f x x ϕ=+ 又函数过点7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，则732122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为：sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭四、解答题28．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）写出函数()f x 的最小正周期T 及ω、ϕ的值；（2）求函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间. 【答案】（1）T π=，2ω=，3πϕ=；（2）,412ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 【分析】（1）由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式．（2）由以上可得，()sin(2)3f x x π=+，再利用正弦函数的性质，求出函数在区间上的单调性．【解析】解：（1）根据函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分图象，可得32134123πππω=-，解得2ω=，∴最小正周期22T ππ==．所以()sin(2)f x x ϕ=+因为函数过13,112π⎛⎫⎪⎝⎭，所以13sin 2112πϕ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，所以()13262k k Z ππϕπ+=+∈，解得()523k k Z πϕπ=-+∈ 因为2πϕ<，所以3πϕ=．所以()sin(2)3f x x π=+（2）由以上可得，()sin(2)3f x x π=+，在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，所以2[36x ππ+∈-，5]6π，令2632x πππ-≤+≤，解得412x ππ-≤≤ 即函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为,412ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【小结】求三角函数的解析式时，由2Tπω=即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.29．已知函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像与直线2y =两相邻交点之间的距离为π，且图像关于12x π=对称.（1）求()y f x =的解析式；（2）令函数g()()1x f x =+，且g()y x =在[0,]a 上恰有10个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）1965,412ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）根据题意可得周期T π=，可得2ω=，根据对称轴可得3πϕ=，则可得()y f x =的解析式；（2）依题意由52252636a ππππππ⨯-≤+<⨯++解得结果即可得解.【解析】（1）由已知可得T π=，2ππω=，∴2ω=，又()f x 的图象关于12x x π=对称，所以2122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈∵22ππϕ-<<，∴3πϕ=.所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）令()0g x =，得1sin 232x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，要使()y g x =在[0,]a 上恰有10个零点，只需52252636a ππππππ⨯-≤+<⨯++，解得1965412a ππ≤<. 所以a 的取值范围是1965,412ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【小结】利用周期求出ω，利用对称轴求出ϕ是解题关键.30．已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式（2）设()()216g x f x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭若关于x 的不等式2()(32)()230g x m g x m -+--≤恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）()2cos(2)3f x x π=+；（2）[11]2-，. 【分析】（1）由图求出A 、T 、ω和ϕ的值，即可写出()f x 的解析式；（2）由（1）可得()g x 的解析式，设()t g x =，问题等价于()0h t 在[3-，5]上恒成立，列出不等式组求出m 的取值范围．【解析】解：（1）由图可知2A =，35346124T πππ=-=，解得T π=，所以22Tπω==，所以()2cos(2)f x x ϕ=+；因为()f x 的图象过点5(6π，2)，所以52cos(2)26πϕ⨯+=，解得523k πϕπ=-，k Z ∈；因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以()2cos(2)3f x x π=+；（2）由（1）可得()2cos(2)3cos(2)136g x x x ππ=++-+2cos(2))133x x ππ=++++4sin(2)136x ππ=+++ 4cos21x =+；设()t g x =，因为1cos21x -，所以3()5g x -；又因为不等式2()(32)()230g x m g x m -+--恒成立，即2()(32)230h t t m t m =-+--在[3-，5]上恒成立，则(3)0(5)0h h -⎧⎨⎩，即93(32)230255(32)230m m m m ++--⎧⎨-+--⎩，解得112m -，所以m 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【小结】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式恒成立问题，已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 31．函数[)()()sin()0,0,0,2f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈的图象如图所示：（1）求()f x 的解析式；（2）若[]0,x π∈且()f x ≥x 的取值范围.【答案】（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）{}0,6ππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由图可得：A =，724123T πππω=-=可求ω的值，再令2(21)3k πϕπ⨯+=+()k Z ∈结合[)0,2ϕπ∈可求ϕ的值，进而可求()f x 的解析式；（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，可得sin 232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以结合正弦函数的图象和[]0,x π∈即可求解. 【解析】（1）由题意知：A =，741234T πππ=-=，所以2T ππω==即=2ω，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，02ϕπ≤<，所以=3πϕ，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，令0k =可得22333x πππ≤+≤，解得06x π≤≤，令1k =可得2222333x πππππ+≤+≤+，解得：76x ππ≤≤，因为[]0,x π∈，所以06x π≤≤或x π=，即{}0,6x ππ⎡⎤∈⋃⎢⎥⎣⎦【小结】利用五点法求函数解析式，关键是3x π=是下降零点，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，结合[)0,2ϕπ∈即可求ϕ232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭可得 ()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈对k 取值，再与[]0,x π∈求交集即可. 32．某同学用“五点法”画函数()()sin (00)2f x A x k A πωφωφ=++>><，，在一个周期内的图象，列表并填入数据得到下表：（1）求函数()f x 的解析式；（2）三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()2f B =，4b =，22cos cos 622C Aa c +=，求三角形ABC 的面积.【答案】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）【分析】（1）由三角函数的图象与性质逐步计算出A 、k 、ω、φ，即可得解；（2）先计算出3B π=，利用降幂公式结合余弦定理可转化条件得12a b c ++=，再由余弦定理可得16ac =，结合三角形面积公式即可得解. 【解析】（1）由题意可得31A k A k +=⎧⎨-+=-⎩，解得21A k =⎧⎨=⎩，函数()f x 的最小正周期T 满足22362T πππ=-=，所以22T πω==，又2sin 1363f ππφ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 13πφ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,32k k Z ππφπ+=+∈，即2,6k k Z πφπ=+∈，由2πφ<可得6πφ=，所以()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）由题意，()2sin 2126f B B π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以1sin 262B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由()0,B π∈可得132,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以5266B ππ+=，即3B π=，又221cos 1cos coscos 62222C A C A a c a c +++=⋅+⋅=，所以cos cos 12a c a C c A +++=，即2222221222a b c b c a a c a c ab bc+-+-++⋅+⋅=，化简得12a b c ++=，又4b =，所以8a c +=，由余弦定理得()22222cos 3b a c ac B a c ac =+-=+-，即22483ac =-，所以16ac =，所以11sin 16222ABC S ac B ==⨯⨯=△ 【小结】解决本题的关键是熟练掌握三角函数的图象与性质及三角恒等变换、余弦定理的应用，细心运算即可得解. 33．已知函数π()sin()(0,0,)2f x A x B A ωϕωϕ=++>><的部分图象如图所示：（1）求()f x 的解析式及对称中心坐标；（2）将()f x 的图象向右平移3π个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()y g x =在7π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调区间. 【答案】（1）()2sin 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；对称中心的坐标为(),126k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭--ππZ ；（2）单调增区间为50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间57,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）先根据图象得到函数的最大值和最小值，由此列方程组求得,A B 的值，根据周期求得ω的值，根据图象上()112f π=求得ϕ的值，由此求得()f x 的解析式，进而求得()f x 的对称中心；（2）求得图象变换之后的解析式()2sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再整体替换求出()g x 的单调区间. 【解析】（1）由图象可知：13A B A B +=⎧⎨-+=-⎩，可得：2A =，1B =-.又由于7212122T πππ=-=，。

三角函数(正弦函数与余弦函数)图像的变换及三角函数解析式的求法

1、（安徽卷文8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=2、（广东卷文5）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数 3、（全国Ⅰ卷文6）2(sin cos )1y x x =--是（） A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数4、（湖南卷理6）函数2()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( )A.1C. 325、（天津卷文6）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，6、（全国Ⅰ卷文9）为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像（）A ．向左平移π6个长度单位B ．向右平移π6个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位7、（全国Ⅰ卷理8）为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（）A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位1.（安徽卷文8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=解：sin(2)3y x π=+的对称轴方程为232x k πππ+=+，即212k x ππ=+，0,12k x π==2.（广东卷文5）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数【解析】222211cos 4()(1cos 2)sin 2cos sin sin 224xf x x x x x x -=+===,选D.9.（全国Ⅰ卷文6）2(sin cos )1y x x =--是（） A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数sinx cosx,2sinxcosx 2y=1sin 2x 1=sin 2x T D2ππ±解析:本题主要考查了三角函数的化简，主要应用了与的关系，同时还考查了二倍角公式和函数的奇偶性和利用公式法求周期。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

已知三角函数图象求解析式方法例析
已知函数y ＝Asin(ωx+φ)+k(A ＞0，ω＞0)的部分图
象，求其解析式，与用“五点法”作函数y ＝Asin(ωx+φ)＋ｋ的图象有着密切联系，最主要的是看图象上的“关键点”与“特殊点”．本文就一般情况例析如下．
一、A 值的确定方法：A 等于图象中最高点的纵坐标减
去最低点的纵坐标所得差的一半．
二、 ω值的确定方法：
方法１.在一个周期内的五个“关键点”中，若任知其中
两点的横坐标，则可先求出周期Ｔ，然后据ω＝T
π2求得ω的值．
方法２：“特殊点坐标法”。

特殊点包括曲线与坐标轴的
交点、最高点和最低点等。

在求出了A 与φ的值之后，可由特殊点的坐标来确定ω的值．
三、 φ值的确定方法：
方法１：“关键点对等法”．确定了ω的值之后，把已知
图象上五个关键点之一的横坐标代人ωx+φ，它应与曲线ｙ＝sinx 上对应五点之一的横坐标相等，由此可求得φ的值．此法最主要的是找准“对等的关键点”，我们知道曲线y ＝sinx 在区间[0，2π]上的第一至第五个关键点的横坐标依次为0、2π、π、23π
、2π,若设所给图象与曲线y=sinx 上对应五点的
横坐标为x J (J ＝1,2,3,4,5), 则顺次有ωx 1+φ＝0、 ωx 2+φ＝2π、ωx 3+φ＝π、ωx 4+φ＝2
3π、ωx 5+φ＝2π,由此可求出φ的值。

方法2：“筛选选项法”，对于选择题，可根据图象的平
移方向经过筛选选项来确定φ的值．
方法3：“特殊点坐标法”．（与2中的方法2类同）．
四、 k 值的确定方法： K 等于图象向上或向下平移的
长度，图象上移时k 为正值，下移时k 为负值．
另外A 、ω、φ的值还可以通过“解方程（组）法”来求得．
例1.图1是函数ｙ＝2sin （ωx+φ）(ω＞０，φ≤2
π)的图象，那么正确的是（）
Ａ.ω＝1110, φ＝6π Ｂ．ω＝1110, φ＝－6
π Ｃ．ω＝２，φ＝6π Ｄ．ω＝２，φ＝－6
π , 解：可用“筛选选项法”．
题设图象可看作由y ＝2sin ωx 的图象向左平移而得到，所以φ＞0
排除B 和D ，由A,C 知φ＝6
π； ω值的确定可用“关键点对等法”，图1
因点（12
11π,0）是“五点法”中的第五个点， 1211π1211πx y 0
2 -2
∴ω·1211π+6
π＝2π 解得ω＝２，故选C ．例2.图2是函数y ＝Asin(ωx+φ)图象上的一段,
（A ＞0，ω＞0,φ∈（0，2
π））,求该函数的解析式．解法一：观察图象易得A ＝∴T ＝2×（87π-83π）＝π，
∴ω＝ππ2＝2. ∴y ＝2sin(2x+φ). 下面用“关键点对等法”来求出图2
φ的值,由2×83π+φ＝π（用“第三点”）得φ＝4π
∴所求函数解析式为
y ＝2sin(2x+4π)．说明：若用“第二点”，可由2×8π +φ＝2
π求得φ的值；若用“第五点”，可由2×87π+φ＝2π求得φ的值．
解法二：由解法一得到T= π，ω=2后，可用“解方程组法”
求得φ与A 的值，∵点（0，2）及点（8
3π，0）在图象上， ∴ Asin φ＝2 (1)
Asin(2×8
3π+φ)＝0 (2) 由(2)得 φ＝k π-43π(k ∈Z)，又φ∈（0，2
π)，
0 1 4
2 x y
∴只有K ＝1，得φ＝4π ，代人（1）得
A ＝2.
∴所求函数解析式为 y ＝2sin(2x+4π)．例3.已知函数y ＝Asin(ωx+φ) (A ＞0，ω＞0, φ＜2π)图象
上的一部分如图3所示，则必定有（）
(A) A=-2 （B ）ω＝1 （C ）φ＝3π （D ）K ＝-2 解：观察图象可知 A ＝2,k ＝2. ∴y ＝2sin(ωx+φ)+2
下面用“解方程组法”求φ与ω的值.
∵ 图象过点（0，2+3）、（－6π，2） ∴ 2+3=2sin φ+2 图3 2=2sin(-6
πω+φ)+2 解得ω＝2，φ＝3π 故选C. 例4.如图4给出了函数y ＝Asin(ωx+φ)(A ＞0，ω＞0, φ ＜2π)图象的一段，求这个函数的解析式．解：由图象可知 T=2×(4-1)=6,
∴ω＝62π＝3π，∴y ＝2sin （3πx +φ) 下面用“特殊点坐标法”求φ， ∵ 图象过点（1，2）
∴2＝2sin(3π×1+φ)，又 φ ＜2
π 图４ｘ
２＋3 ｙ
０
４ 6π-２
∴只有φ＝6π
∴所求函数解析式为y ＝2sin(3πx +6π).
说明：本题φ的值也可由“关键点对等法”来求得，如令3π×1+φ＝2
π 或3π×4+φ＝23π 等均可求得φ的值．。