2_小角X射线散射(专题课2)

R′2 / M
=
1 3
RG2
因此得到 Guinier公式：
I
=
Mn2[1 −
1 3
q 2 RG2
+ "]
=
Mn2
exp(−
1 3
q2
RG2
)
=
Mn2
exp(−
4π 3λ
2 2
ε
2 RG2
)
2009-5-4
小角X射线散射
Gunier公式近似，它适用于极小角度和各种形状的 颗粒。其中RG 为相对于颗粒电荷重心的回转半径。 可以作为一 种表示颗粒大小的尺度。它的物理意义
如果颗粒有各种不同的取向，并且不规则地排 列,设它们之间相距足够远，总强度是单个颗粒散射 的和。如果有M个颗粒,则
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M
∑ q2 R′2
I = Mn2[1 − 1 + "] M
小角X射线散射
M
∑ R′2
1
M
代表当相等的颗粒对于入射光束有任
意取向时平方的平均值。计算表明：
∑ R′2
=
M 1
1 4!
(qdij
)4
+"
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小角X射线散射
∑∑ 所以： I =
n j
n i=1
fi
f
j [1
−
1 2
q
d2 2 ij
+
"]
∑∑ ∑∑ 式中：
fi
f
d2
j ij
=
fi
f j (di2
−
2did
j
+
d
2 j
)
ij
ij
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ =
fj
fidi2 − 2
fidi
f jd j +
¾采用的措施：
利用狭缝； 单色器：高质量的单晶硅、锗等，双晶单色
器； 应用同步辐射光源。
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小角X射线散射
X射线单色器
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小角X射线散射
¾散射X射线：
狭缝 晶体分析器
¾使用长波长X射线：
增加分辨率； 但必须解决吸收问题。
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小角X射线散射
¾X射线探测器：
2. 小角X射线散射
Small Angle X-ray Scattering (SAXS)
2.1. 简介
• X射线散射的波矢（大小）
小于0.1Å-1 。
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小角X射线散射
• 实空间中的长度：
Cu Kα: 100 Å 1000Å
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0.45º 0.045 º
小角X射线散射
• 我们可以考虑使用长波长X射线，但长波
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小角X射线散射
例1:圆球 体分布颗粒
其中方括号中的函数定义为形散函数:
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Φ(qR)
=
3
sin(qR)
− qR ⋅ (qR)3
cos(qR)
小角X射线散射
散射强度为: I = I0 N (ρ − ρ0 )2 vS2phereΦ2 (qR)
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小角X射线散射
j i=1
nn
∑ ∑ ≅
fi f j cos[2πε (di − d j ) / λ]
j i=1
设: q = 2πε / λ;(di − d j ) = dij
nn
∑∑ I =
fi f j cos(qdij )
j i=1
利用cos(qdij)的展开式
cos(qdij )
=1−
1 2!
(qdij
)2
+
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小角X射线散射
体积相同的颗 粒分布比较
容易看出分布形状很不相同的颗粒的散射强度的强 度分布变化不大！
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Baidu Nhomakorabea
小角X射线散射
B. 运动颗粒：角度平均
运动颗粒的随机取向
角度平均
根据Debye公式：
exp(−iq ⋅ r) = sin(qr) qr
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小角X射线散射
长X射线的吸收很强。
– 我们必须解决长波长X射线的吸收问题，使得 实验装置更加复杂；
– 长波长X射线工作时X射线探测器的效率会降 低。
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小角X射线散射
• 当研究的晶格面很长，如相当于上百个原
子距离时，散射的角度就会很小。
• 小角X射线散射还可应用于：
胶体、陶瓷、高分子聚合物等颗粒的尺寸、形 状和分布：
荧光探测器； 气体正比室； X射线CCD；
成像板等。
¾小角散射示意图
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小角X射线散射
1.3. X射线小角散射理论简介 （低浓度、等同粒子情况）
A. 单粒子产生的散射：大量等同粒子随机分
布，不考虑颗粒间的相互作用。
如悬浮在均匀介质中的胶体颗粒，其散射强度为：
ρ0 为介质的密度， ρ 为胶体颗粒的密度
历史上的作用，迄今仍为人们广泛应用。
n
∑ A =
f e−i2πδi / λ i
i=1
式中δi是Ai’与A0之间的光
程差。
δi = 2di sin(ε / 2) 2di (ε / 2) = diε
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小角X射线散射
散射强度因此是：
nn
∑ ∑ I = A ⋅ A* =
fi f j cos[2π (δi − δ j ) / λ]
例2:密度分布呈长度为l 短棒（无限薄）颗粒
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小角X射线散射
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小角X射线散射
对立体角平均：
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小角X射线散射
所以长度为 l 薄短棒散射强度：
同理可得到半径为R, 体积为V圆盘的颗粒的小 角散射强度：
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小角X射线散射
1级Bessel函数
相同回转半径颗粒的小角散射强度的实验曲线：
=
Mn2
exp(−
1 3
q2RG2 )
R 1 2
3G
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小角X射线散射
高分子：结晶、相分离、共聚物； 生物体系； 胶体； 陶瓷； 薄膜
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小角X射线散射
• 散射与原子的 近程有序无 关；
• 仅与颗粒尺度 有关
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小角X射线散射
1.2. 实验装置
• 光源的准直性很重要
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小角X射线散射
¾对如设X射线的要求：
需要有较小的光斑尺寸及发散度； 减小寄生散射； 入射X射线的单色性要好；
与X射线衍射类似，我们也可以将散射强度表示成 密度的函数：
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小角X射线散射
指数部分对角度的平均 及应用Debye公式：
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小角X射线散射
Guinier 导出了一个适用于极小散射角的强 度公式，由于这 个公式采用的粒度参数(回转半 径)适用于任意形状的颗粒。更由于它的简明性和
fi
f
j
d
2 j
j
i
i
j
i
j
∑ ∑ = 2
fi
f
j
d
2 j
i
j
其中：
∑ fi = n i
n --是颗粒中的总电荷数;
∑ R’ 使满足
f
jd
2 j
=
nR′2
j
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小角X射线散射
当散射角限于极小角度范围时:
I = n2 (1 − q2R′2 + ") ≅ n2 exp(−q2R′2 )
相等多粒系的情况
如下：如果在颗粒中的每 个原子中心上附一个等于
它们的原子序数 Zi 的系数，以这些点集 的重心 A0 为参考点取每个原子距这个重心距离的平方, 乘以 该原子的原子序数而求得的均方根长度即为回转半 径。用式子表示：
∑ Zi ( Ai A0 )2
∑ RG2 = i
Zi
i
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小角X射线散射
I