两辆铁路平板车的装货问题

两辆铁路平板车的装货问题2014

摘要：将七种规格的包装箱装到两辆铁路平板车上并要求浪费空间最小的问题，实质上就是整数线性规划问题。建立整数线性规划模型，并用lingo软件求得目标函数最小值得给出一组最优解。然而由于LINGO软件的缺陷性，我们发现仍然存在其他多组最优解。通过对原始数据的分析论证，我们得到一个结论：对任意一组最优解，两辆车的总包装箱种类和数量是确定的（即浪费空间最小的情况下，装载包装箱的厚度和重量一定）。在此结论的基础上，通过穷举法，并利用Java高级计算机语言进行编程，大大减少了计算量，加快了运算速度，最终求解出24组等价最优解。

关键词：装货问题整数线性规划穷举法LINGO Java语言

1、问题重述

有七种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以cm计）及重量（w，以kg计）是不同的。表一给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。每辆平板车有10.2米长的地方可用来装包装箱（像面包片那样），载重为40吨。由于当地货运的限制，对C5，C6，C7类的包装箱的总数有一个特别的限制：这类箱子所占的空间（厚度）不能超过302.7cm。试把包装箱装到平板车上去使得浪费的空间最小。

表一

2、问题分析

优化问题，一般是指用“最好”的方式，使用或分配有限的资源，即劳动力、原材料、机器、资金等，使得费用最小或者利润最低[]

1。在此问题中，要求浪费的空间最小，且存在车长10.2m 、载重40t 、货运限制C5，C6，C7类的包装箱的总数≤302.7cm 三个约束条件，并且自变量（包装箱的数量）取整数值才有意义，所以此问题可以通过建立整数线性规划来求解。 其一般形式为：

∑==n

j j

j x c z 1

min

⎪⎩⎪⎨⎧

⋯=⋯==∑=),,2,1(),,2,1(..1n j x m i b x a t s j i n

j j

ij 为非负整数。

3、模型假设

（1）假设包装箱在平板车上只能排列一层，不能重叠摆放]

2[。

（2）不考虑两辆平板车先后运载问题，也就是说，假设两辆平板车完全相同，不存在车次不同的问题。

（3）为提高对此问题研究的针对性，在此问题中，假设装货时货物与货物之间没有空隙，从而排除其他非主要矛盾的干扰。

（4）假设包装箱在运载过程中不会因相互挤压而产生形变，从而使厚度减小。

4、问题分析

)(i TI — 第i C 类包装箱的厚度； )(i WE — 第i C 类包装箱的重量；

)(i FI — 第i C 类包装箱能装上第一辆车的数量； )(i SE — 第i C 类包装箱能装上第二辆车的数量； )(i NU — 第i C 类包装箱的总数量；

5、模型建立与求解

5.1整数线性规划模型

5.1.1模型建立及求解

根据空间浪费最小目标以及约束条件建立模型一如下：

∑=+-=7

1)]}

()([*)({2040min i i SE i FI i TI z

⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨⎧

≤≤=≤+≤+≤≤∑∑∑∑∑=====40000)](*)([40000)](*)([)7,...,2,1)(()()(7.302)]}()([*)({1020)](*)([1020)](*)([..7171

7

5

717

1

i i i i i i SE i WE i FI i WE i i NU i SE i FI i SE i FI i TI i TI i SE i TI i FI t s

这是一个纯整数规划问题，针对此模型，我们利用LINGO 软件编写程序（见附录1）解得一组最优解如表二所示：

表二

最小浪费空间为0.6cm 。 5.1.2定理及证明

证明：

通过计算得出，C1~C4包装箱厚度总长为1737.3cm ，占用总空间最大为2040cm ，C5~C7三种包装箱总厚度不能超过2040-1737.3=302.7cm ，这也正好符合题目要求。所

以最优解必须使前四种包装箱全部用上（即厚度达到最大），后三种包装箱的厚度在满足约束条件下达到最大，对于后三种包装箱占用空间达到最大，我们建立模型二：

∑=+=7

5)]}()([*)({max i I SE i FI i TI z

s.t.⎪⎩⎪⎨⎧=≤+≤≤+∑=)

7,6,5)(()()(07.302)]}()([*)({7

5

i i NU i SE i FI i SE i FI i TI i 利用LINGO 软件编写程序（见附录2）得到最优解：Z=302.1cm ，此时FI(5)+SE(5)=3，FI(6)+SE(6)=3，FI(7)+SE(7) =0。

再用反证法，假设C1~C4包装箱没有全用上，则前四种包装箱的总厚度至多为1737.3-48.7=1688.6cm ，而1688.6+302.7=1991.3cm ，所以达不到最优解2039.4cm ，所以C1~C4包装箱必须全用上。

证毕。

所以最优解为0.6时，各规格包装箱所装数量的总和如表三：

表三

5.2 穷举法

由表三可知，各规格包装箱装载总数分配到两辆车上有9*8*10*7*4*4*1=80640种情况，在已知最小空间为0.6cm 的情况下，仍满足车长10.2m 、载重40t 两个约束条件且自变量为整数。利用Java 语言编写程序（见附录3）对上述情况进行筛选，得出24组解（在实际运算中，由于考虑车次问题，所以解的数量会翻倍为48组），如表四所示：

表四