8.1线性系统的状态方程
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《信号与系统》第8章
) RC
(is
(t
)
iL
(t
))
经整理：
x1
(t
)
x2
(t
)
0
1 L
x1 (t )
1 C
RC L
x2 (t) RL x2 (t)
1 C
RC L
f1 (t )
f1(t)
1 L
f2 (t)
（3）建立输出方程
iuC((tt))uC
(t) iS
(t
RCiL (t) ) iL (t)
RC
iS
RC
iS
(t)
RC
iL (t)......... ...(3)
状态变量与系统输入变量的关系（状态方程）：
duC (t
dt diL (t)
)
1
dt L
uC
(t)
1 L
1 C (RL
RCiL (t) )iL 源自t)1C RC L
iS (t)(4) iS (t).........(5)
1H
x1
1F
+ -
x2
1F
i2
+
+-x3
2
u(t)
-
把该式代入上式，得：
x2
f
x1 x2 x3 (t) x2 x2
x3
x1
x3
x1
1 2
x3
x2
x3
x1 0 x2 x3 0
x2
1 3
x1
2 3
x2
1 6
x3
2 3
f (t)
x3
1 3
x1
1 3
x2
1 3
《状态方程方程》课件
复杂系统中的状态方程
复杂系统中的状态方程概述
复杂系统通常由大量相互作用的元素组成，其行为难以通过单个元素的行为来预测。复杂系统中的状态方程是描述系 统整体行为的重要工具。
复杂系统中的状态方程的数学形式
复杂系统中的状态方程通常由一组相互耦合的非线性微分方程或差分方程表示，描述了系统中各个元素的状态变化以 及它们之间的相互作用。
先确定有限元的划分，然后构 造每个有限元的近似函数，通 过变分原理得到有限元方程。
适用于具有复杂边界条件的偏 微分方程。
03
状态方程的实际应用
在流体力学中的应用
01
流体力学中的状态方程主要用 来描述流体的状态性质，如压 力、温度、密度等之间的关系 。
02
在流体力学中，状态方程是建 立流体动力学模型的基础，对 于流体流动的模拟、分析和优 化具有重要意义。
复杂系统中的状态方程的求解方法
求解复杂系统中的状态方程的方法有多种，如数值模拟、近似解析法、自适应算法等，具体方法的选择 取决于系统的具体形式和求解要求。
05
习题与思考题
基础习题
总结词
巩固知识点
详细描述
基础习题主要针对状态方程的基本概念、公式和计算方法进行练习，旨在帮助学生巩固所学知识点，提高解题能 力和计算准确性。
详细描述
将原方程中的偏微分项用离 散的差分近似，从而将偏微 分方程转化为离散的差分方 程进行求解。
步骤
先确定离散点，然后将原方 程中的偏微分项用离散的差 分近似，得到离散的差分方 程。
应用范围
适用于具有规则网格的偏微 分方程。
有限元法
总结词
详细描述
步骤
应用范围
一种基于变分原理的数值求解 方法
状态变量与状态方程-信号与系统课件
▲ ■ 第 10 页
Байду номын сангаас
▲ ■ 第 9页
矩阵形式
状态方程
输出方程
(t ) Ax (t ) Bf (t ) x y (t ) Cx (t ) Df (t )
其中A为n×n方阵，称为系统矩阵， B为n×p矩阵，称为控制矩阵， C为q×n矩阵，称为输出矩阵，D为q×p矩阵
注：1、A、B、C、D均为时间t的函数，对于LTI系统，则为 常数，不随时间t改变。 2、状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程 的建立。通常，选动态元件的输出为状态变量
状态与状态变量的定义 系统在某一时刻t0的状态是指表示该系统所必需最 少的一组数值，已知这组数值和t≥t0时系统的激励， 就能完全确定t≥t0时系统的全部工作情况。 状态变量是描述状态随时间t 变化的一组变量， 它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态。
▲ ■ 第 5页
在初始时刻的值称为初始状态。 对n阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用 x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表示。 说明： （1）系统中任何响应均可表示成状态变量及输入 的线性组合； （2）状态变量应线性独立； （3）状态变量的选择并不是唯一的 。
▲
■
第 6页
状态空间的提出与卡尔曼
• 状态方程的系数为n×n阶矩阵，且其行列 式不为0，即R(A)为满秩。 • 状态空间 • 系统状态可用状态空间中的点来表示 • 卡尔曼与卡尔曼过滤器 • 状态空间可用于线性时变系统
▲
■
第 7页
二、状态方程和输出方程
在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时， 一般分两步进行： （1）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量； （2）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的 系统输出。 状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。 状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。 而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。 通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。
Байду номын сангаас
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矩阵形式
状态方程
输出方程
(t ) Ax (t ) Bf (t ) x y (t ) Cx (t ) Df (t )
其中A为n×n方阵，称为系统矩阵， B为n×p矩阵，称为控制矩阵， C为q×n矩阵，称为输出矩阵，D为q×p矩阵
注：1、A、B、C、D均为时间t的函数，对于LTI系统，则为 常数，不随时间t改变。 2、状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程 的建立。通常，选动态元件的输出为状态变量
状态与状态变量的定义 系统在某一时刻t0的状态是指表示该系统所必需最 少的一组数值，已知这组数值和t≥t0时系统的激励， 就能完全确定t≥t0时系统的全部工作情况。 状态变量是描述状态随时间t 变化的一组变量， 它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态。
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在初始时刻的值称为初始状态。 对n阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用 x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表示。 说明： （1）系统中任何响应均可表示成状态变量及输入 的线性组合； （2）状态变量应线性独立； （3）状态变量的选择并不是唯一的 。
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状态空间的提出与卡尔曼
• 状态方程的系数为n×n阶矩阵，且其行列 式不为0，即R(A)为满秩。 • 状态空间 • 系统状态可用状态空间中的点来表示 • 卡尔曼与卡尔曼过滤器 • 状态空间可用于线性时变系统
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二、状态方程和输出方程
在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时， 一般分两步进行： （1）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量； （2）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的 系统输出。 状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。 状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。 而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。 通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。
8.系统分析的状态变量法_信号与系统
8 系统分析的状态变量法
8.2.1 连续时间系统状态方程的建立
一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号 的各阶导数来描述。 的各阶导数来描述 。 作为连续系统的状态方程表现 为状态变量的联立一阶微分方程组. 为状态变量的联立一阶微分方程组 标准形式的状态方程为
或记为
8 系统分析的状态变量法 表示状态变量， 式中 表示状态变量， 为常数矩阵。 和 为常数矩阵。 是与外加信号有关的项， 是与外加信号有关的项，
8 系统分析的状态变量法 6．状态轨迹 在描述一个动态系统的状态空间中， 在描述一个动态系统的状态空间中，状态向 量的端点随时间变化所经历的路径称为系统的状 态轨迹。一个动态系统的状态轨迹不仅取决于系 态轨迹。 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此， 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此，系 统的状态轨迹可以形象地描绘出在确定的输入作 用下系统内部的动态过程。 用下系统内部的动态过程。
8 系统分析的状态变量法 【例】 试写出下图所示电路的状态方程。 试写出下图所示电路的状态方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根据电路结构可知，电容电压、 根据电路结构可知，电容电压、电感电流 可作为为状态变量即 . 建立状态变量 之间的方程为 和激励
8 系统分析的状态变量法 状态变量分析法优点: 状态变量分析法优点: (1)便于研究系统内部物理量的变化 (1)便于研究系统内部物理量的变化 (2)适合于多输入多输出系统 (2)适合于多输入多输出系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (4)便于分析系统的稳定性 (4)便于分析系统的稳定性 (5)便于采用数字解法 便于采用数字解法， (5)便于采用数字解法，为计算机分析系统提供了 有效途径 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念 引出了可观测性和可控制性两个重要概念。 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
现代控制理论 工程硕士 第三章 线性系统的能控性与能观性
如果存在着无约束的阶梯输入序列
ui ( k ), ui ( k + 1),, ui ( k + m 1) ( i = 1,2,, p )
在有限的m个采样周期之内, 在有限的m个采样周期之内,能使系统的状态向 量从任意给定的初态x(k) x(k), 量从任意给定的初态x(k),转移到任意期望的终 (k+m), 态xf(k+m),则称该离散系统是状态完全能控的 简称系统能控. ,简称系统能控.
定理
n阶线性定常离散系统 x ( k + 1) = Ax ( k ) + Bu( k )
状态完全能控的充要条件为, 状态完全能控的充要条件为,系统的能控性矩阵
Qk = [ B
的秩为n 的秩为n
AB
A 2 B A n 1 B ]
例:设单变量线性定常离散系统的状态方程为 1 2 1 0 x( k + 1) = 0 1 0 x( k ) + 0 u( k ) 1 4 3 1 试判断系统的能控性. 试判断系统的能控性. 解
输出y只能反映状态变量 x2 ,所以
x1不能观测.
例2:取 iL 和uc 作为状态变量,u—输入, y= uc --输出. L (1)当 R1 R4 ≠ R2 R3 + u -
iL
R1
R2
R3
uc
R4
状态能控,能观测 (2)当 R1 R4 = R2 R3 uc ≡ 0 u只能控制 iL , 不能控,不能观测.
λ3 λ3 λ3
0 1 0 B = 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
能控
4. 线性变换后系统的能控性不变 设
x = Ax + Bu
ui ( k ), ui ( k + 1),, ui ( k + m 1) ( i = 1,2,, p )
在有限的m个采样周期之内, 在有限的m个采样周期之内,能使系统的状态向 量从任意给定的初态x(k) x(k), 量从任意给定的初态x(k),转移到任意期望的终 (k+m), 态xf(k+m),则称该离散系统是状态完全能控的 简称系统能控. ,简称系统能控.
定理
n阶线性定常离散系统 x ( k + 1) = Ax ( k ) + Bu( k )
状态完全能控的充要条件为, 状态完全能控的充要条件为,系统的能控性矩阵
Qk = [ B
的秩为n 的秩为n
AB
A 2 B A n 1 B ]
例:设单变量线性定常离散系统的状态方程为 1 2 1 0 x( k + 1) = 0 1 0 x( k ) + 0 u( k ) 1 4 3 1 试判断系统的能控性. 试判断系统的能控性. 解
输出y只能反映状态变量 x2 ,所以
x1不能观测.
例2:取 iL 和uc 作为状态变量,u—输入, y= uc --输出. L (1)当 R1 R4 ≠ R2 R3 + u -
iL
R1
R2
R3
uc
R4
状态能控,能观测 (2)当 R1 R4 = R2 R3 uc ≡ 0 u只能控制 iL , 不能控,不能观测.
λ3 λ3 λ3
0 1 0 B = 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
能控
4. 线性变换后系统的能控性不变 设
x = Ax + Bu
第八系统的状态变量分析
对于离散系统也可以用状态变量分析。设有阶多输入多输出 离散系统如图：
... f1 k
f2 k fn k
{xi k0 }
...
y1 k
... y2 k yn k
其状态方程和输出方程为
第9页/共47页
§8.2 状态方程的建立
一.电路状态方程的列写 （1）选所有的独立电容电压和电感电流作为状态变量；
t
f
t
uC
t
1 C
t -
iL
t
dt
d dt
uC
t
1 C
iL
t
d
dt d
dt
iL
t
-
R L
iL
t
uC
t
1 C
iL
t
-
1 L
uC
t
1 L
e t
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写为矩阵形式：
d dt
iL
t
R L
d dt
vC
t
1 C
-
1 L
0
iL t
vC
t
1
L
0
f
t
iL t、uc t
一．状态方程的时域解
求解矢量差分方程的方法之一是迭代法或递推法。但用 递推法一般难以得到闭合形式的解，所以，一般而言可 用迭代法解状态方程式。
例题 某离散系统的状态方程为
1
x1 x2
k k
1 1
2 1
4
0
1
x1 k
x2
k
1 0
c1n c2n
c nn
x1 x2 x3
k k k
d11 d21 dn1
第八章 状态方程
dt
化简，得
d eAtλ t eAt Bet
dt
两边取积分，并考虑起始条件，有
eAtλ tλ 0
t eA Be( ) d
0
对上式两边左乘 e A，t 并考虑到 eAteAt I ，可得
λ为t方 程eA的tλ 一0般解0t eAt Be d eAtλ 0 eAt B et
求输出方程r(t)
et b1
dk 1 dt k1
et
bk1
d dt
et bket
此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为
k 次系统函数为
H
s
b0sk b1sk1 bk1s bk sk a1sk1 ak1s ak
为便于选择状态变量，系统函数表示成
H
s
b0
b1s1
bk
s1k
1
bk sk
d λ t， 输出为 λ t。
dt
若 A,B,C矩, D阵是 的函t数，表明系统是线性时变
的，对于线性时不变系统，A,B,C的, D各元素都为常
数，不随 t改变。
状态变量的特性
每一状态变量的导数是所有状态变量和输 入激励信号的函数；
每一微分方程中只包含有一个状态变量对 时间的导数；
输出信号是状态变量和输入信号的函数；
1 a1s1
ak
s1k
1
ak sk
当用积分器来实现该系统时，其流图如下
et 1
b0
1 s k a1
b1 b2
1 sk1
a2
bk 2
bk 1
3 1 s 2 1 s 1 bk
r t
ak2 ak1
ak
取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的
化简，得
d eAtλ t eAt Bet
dt
两边取积分，并考虑起始条件，有
eAtλ tλ 0
t eA Be( ) d
0
对上式两边左乘 e A，t 并考虑到 eAteAt I ，可得
λ为t方 程eA的tλ 一0般解0t eAt Be d eAtλ 0 eAt B et
求输出方程r(t)
et b1
dk 1 dt k1
et
bk1
d dt
et bket
此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为
k 次系统函数为
H
s
b0sk b1sk1 bk1s bk sk a1sk1 ak1s ak
为便于选择状态变量，系统函数表示成
H
s
b0
b1s1
bk
s1k
1
bk sk
d λ t， 输出为 λ t。
dt
若 A,B,C矩, D阵是 的函t数，表明系统是线性时变
的，对于线性时不变系统，A,B,C的, D各元素都为常
数，不随 t改变。
状态变量的特性
每一状态变量的导数是所有状态变量和输 入激励信号的函数；
每一微分方程中只包含有一个状态变量对 时间的导数；
输出信号是状态变量和输入信号的函数；
1 a1s1
ak
s1k
1
ak sk
当用积分器来实现该系统时，其流图如下
et 1
b0
1 s k a1
b1 b2
1 sk1
a2
bk 2
bk 1
3 1 s 2 1 s 1 bk
r t
ak2 ak1
ak
取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的
系统的状态空间分析
系统有p个输入：f1, f2 , f p.
则状态方程为：
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11 f1 b12 f2 b1p f p x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b21 f1 b22 f2 b2 p f p xn an1x1 an2 x2 ann xn bn1 f1 bn2 f2 bnp f p
二、状态空间分析法的应用及优点：
1、可以提供系统的内部信息，使人们能够比较容易地解 决那些与系统内部情况有关的分析设计问题。
2、不仅适用于线性、时不变、单输入单输出系统分析， 也适用于非线性、时变、多输入多输出系统分析。
3、描述方法规律性强，便于用计算机解决复杂系统的分 析设计问题。
第第88--33页页
信号与系统 电电子子教教案案
8.1 系统的状态空间描述
输出方程： 描述系统输出、输入、状态之间关系的代数方程组。
输出方程一般形式：
设n阶系统有n个状态、p个输入、q个输出，则输出方程为：
y1 c11x1 c12x2 c1n xn d11 f1 d12 f2 d1p f p
设t0时刻的初始状态为：x1(t0 ), x2 (t0 )......, xn (t0 ). 则系统的状态变量— — 任一时刻t的状态为：
x1(t), x2 (t)......, xn (t)
第第88--66页页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电电子子教教案案
8.1 系统的状态空间描述
xn (k 1) an1
an2
ann
xn
( k )
bn1
bn 2
bnp
f p
则状态方程为：
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11 f1 b12 f2 b1p f p x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b21 f1 b22 f2 b2 p f p xn an1x1 an2 x2 ann xn bn1 f1 bn2 f2 bnp f p
二、状态空间分析法的应用及优点：
1、可以提供系统的内部信息，使人们能够比较容易地解 决那些与系统内部情况有关的分析设计问题。
2、不仅适用于线性、时不变、单输入单输出系统分析， 也适用于非线性、时变、多输入多输出系统分析。
3、描述方法规律性强，便于用计算机解决复杂系统的分 析设计问题。
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8.1 系统的状态空间描述
输出方程： 描述系统输出、输入、状态之间关系的代数方程组。
输出方程一般形式：
设n阶系统有n个状态、p个输入、q个输出，则输出方程为：
y1 c11x1 c12x2 c1n xn d11 f1 d12 f2 d1p f p
设t0时刻的初始状态为：x1(t0 ), x2 (t0 )......, xn (t0 ). 则系统的状态变量— — 任一时刻t的状态为：
x1(t), x2 (t)......, xn (t)
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8.1 系统的状态空间描述
xn (k 1) an1
an2
ann
xn
( k )
bn1
bn 2
bnp
f p
第三章线性系统状态方程解
第三章线性系统的运动分析§ 3-1线性连续定常齐次方程求解一、齐次方程和状态转移矩阵的定义1、齐次方程状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况(即没有输入作用的状况)，设系统的状态方程的齐次部分为：x(r) = Ax(t)线性泄常连续系统：X = A.V2、状态转移矩阵的定义齐次状态方程i = Ax有两种常见解法：(1)幕级数法；(2)拉氏变换法。
其解为巩7)=/'」(0)。
其中e川称为状态转移矩阵(或矩阵指数函数、矩阵指数)，记为：0(j) = e Al。
若初始条件为x(G，则状态转移矩阵记为：①(―7。
)=严如对于线性时变系统，状态转移矩阵写为0(/,山)，它是时刻t，t。
的函数。
但它一般不能写成指数形式。
(1)幕级数法设x = A.X-的解是t的向量幕级数x(f ) = /?<)+ + b-)t ~ + ........ + bj，+ .......式中仇，b\, b”…,仪,…都是n维向量,则x(t) = I人+2b2t + 3b y t2 + ........ + kb k t k~l + ...........=A(仇+Z?/ + />,r + ........... + bf + ........... )故而有：则 x(t) = e Al ・ x(0) o(2)拉氏变换解法将x = Ax 两端取拉氏变换，有5A (5)一 x(0) = Ax(s) (si 一 A )A (5)= x(0) x(s) = (si — A)"1 • x(0)拉氏反变换，有x(r) = L-,[(^-A)-,]x(0)则如)=e A, [(si-AV 1]0 1【例3.1.1］已知系统的状态方程为i= Q ° x,初始条件为双0),试求状态转移矩阵 和状态方程的解。
解:(1)求状态转移矩阵b=A %S = — Ab. = —A 2b a ・ 2 i 2 0b. =-Ab, =-A i b.3^3!且有 x(0) = b {) ax(t) = h () +b i t + b 2t 2 +............. + bf +=Z?o + A b^t + — A - b°t ~ + …—A k b^t & + …k! 1" "2!={I + At + — A 2t 2+・- + — A k t k + -)x(0)2! k\定义:宀M+討尸+…+討x1+…=字刘K ・ok'・如）f +亦¥八…+#八… 此题中：0 10 0 A => — A — .......... — A —0 00 0所以0(/) = e A!= I + At =1 00 1+0 t 0 0=1 t 0 1（2 ）状态方程的解「1X (/)=^.A (0) =t•40)0 1解。
第8章 系统的状态变量分析
+ annλn (t) + bn1x1(t) + bn2 x2 (t) +
+ b1m xm (t) + b2m xm (t)
+ bnm xm (t)
（8-4）
和
⎧ y1(t) = c11λ1(t) + c12λ2 (t) +
⎪⎪ ⎨
y2
(t
)
=
c21λ1
(t
)
+
c22λ2
(t
)
+
⎪
⎪⎩ yr (t) = cr1λ1(t) + cr2λ2 (t) +
的一阶导数与状态变量和激励的关系。式(8-3)形式的代数方程称为输出方程(output equation)，
它描述了系统输出与状态变量和激励之间的关系。
状态变量分析法对于离散时间系统也是同样适用的，即上面给出的概念对离散时间系统同
样有效。只不过对于离散时间系统，其状态方程是一阶联立差分方程组，状态变量λ[n]是离散
输出方程可写为
λ(t)n×1 = An×n λ(t)n×1 + Bn×m x(t)m×1
（8-6）
y(t)r×1 = Cr×n λ(t)n×1 + Dr×m x(t)m×1
（8-7）
其中
λ(t) = ⎡⎣λ1(t), λ2 (t), , λn (t)⎤⎦T ， λ (t ) = [λ1(t)，λ 2 (t)，… , λ n ( t )]T,
(constant matrix)；如果系数矩阵中有的是时间 t 的函数，则此系统是线性时变系统。
2. 离散时间系统状态方程和输出方程的一般形式
对于一个动态的离散时间系统，它的时域数学模型是一个高阶差分方程。作为其状态方程
+ b1m xm (t) + b2m xm (t)
+ bnm xm (t)
（8-4）
和
⎧ y1(t) = c11λ1(t) + c12λ2 (t) +
⎪⎪ ⎨
y2
(t
)
=
c21λ1
(t
)
+
c22λ2
(t
)
+
⎪
⎪⎩ yr (t) = cr1λ1(t) + cr2λ2 (t) +
的一阶导数与状态变量和激励的关系。式(8-3)形式的代数方程称为输出方程(output equation)，
它描述了系统输出与状态变量和激励之间的关系。
状态变量分析法对于离散时间系统也是同样适用的，即上面给出的概念对离散时间系统同
样有效。只不过对于离散时间系统，其状态方程是一阶联立差分方程组，状态变量λ[n]是离散
输出方程可写为
λ(t)n×1 = An×n λ(t)n×1 + Bn×m x(t)m×1
（8-6）
y(t)r×1 = Cr×n λ(t)n×1 + Dr×m x(t)m×1
（8-7）
其中
λ(t) = ⎡⎣λ1(t), λ2 (t), , λn (t)⎤⎦T ， λ (t ) = [λ1(t)，λ 2 (t)，… , λ n ( t )]T,
(constant matrix)；如果系数矩阵中有的是时间 t 的函数，则此系统是线性时变系统。
2. 离散时间系统状态方程和输出方程的一般形式
对于一个动态的离散时间系统，它的时域数学模型是一个高阶差分方程。作为其状态方程
自动控制原理 杨平 ac8x
8.1 线性系统的状态空间描述
一、问题的提出
1．控制系统的两种基本描述方法： 输入—输出描述法——经典控制理论 状态空间描述法——现代控制理论
2．经典控制理论的特点： (1) 优点：对单入—单出系统的分析和综合特别有效。 (2) 缺点：内部的信息无法描述，仅适于单入—单出系统。 3. 现代控制理论 (1) 适应控制工程的高性能发展需要，于60年代提出。 (2) 可处理时变、非线性、多输入—多输出问题。 (3) 应用方面的理论分支：最优控制、系统辩识、自适应控
yt
a0 x1
b0
t
x1 t
a1x2
t
b1x2 t b2 x2 x2 t ut
t
x2 t a0x1t a1x2 t ut
yt b0x1t b1x2 t b2x2 t b0 b2a0 x1t b1 b2a1 x2 t b2ut
标准形：符合标准化规定的状态空间描述形式，标准 形便于分析和处理，便于转换成方框图和传递函数， 因为标准形的ABC中元素与系统特征参数直接相关。
四种标准形：
– 能控标准形 – 能观标准形
由传递函数直接确定； 与能控标准形对偶；
– 对角标准形 是完全解耦的系统；
– 约当标准形 有重极点的系数。
则yt b0 x1 b1x2 bn xn a0 x1 a1x2 an1xn xn ut
后式解出xn代入前式
yt b0 bna0 x1 b1 bna1 x2 bn1 bnan1 xn bnu
x1 (t )
uc
(t)；dx2 (t) dt
x2 (t)
第六章线性系统的状态方程
状态变量分析法的优点：1. 便于观察系统内部某些物理量的变化过程；2. 与系统的复杂程度无关，复杂系统和简单系统的数学模型相似，适于多输入多输出系统;3. 适于研究非线性或时变系统。
因为一阶微分方程或差分方程是研究非线性和时变系统的有效方法。
4. 便于研究系统的稳定性、可控性、可观测性及系统内部参数变化对系统特性的影响；5. 状态方程都是一阶微分方程或差分方程，便于采用数值解法在计算机上实现系统分析。
系数矩阵由系统的参数决定，非时变系统为常数，时变系统为时间的函数。
,A B 四、输出方程(output equation))(,),(),(21t y t y t y r Λ输出方程是由状态变量和激励信号的线性方程，因此对线性系统而言，输出方程是一组线性方程。
例如，假设系统有个输出，r mrm r r n rn r r r mm n n mm n n e d e d e d x c x c x c t y e d e d e d x c x c x c t y e d e d e d x c x c x c t y +++++++=+++++++=+++++++=ΛΛMΛΛΛΛ22112211222212122221212121211112121111)()()(则,A B矩阵形式为：)(10081910120010321'3'2'1t e x x x x x x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡01000112198⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦A 依此方法选择的状态变量常称为相变量状态变量，状态方程叫相变量状态方程。
状态方程和输出方程中的系数矩阵与输入输出方程有关。
[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3210410)(x x x t y 001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B []1040=C 0=D矩阵形式为：1211012110''13'22'1)()(+--+++=+----====m m n n n nn x b x b x b t y t e x a x a x a x x xx x x x ΛΛM )(1000100010211210''2'1t e x x x a a a a x x x n n n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-M M ΛM ΛΛM[]001111n n n n n nb b a b b a b b a b --∴=---=C D L 当时，矩阵不再为0。
自动控制理论动态方程的响应
动态方程的非唯一性,传递函数（阵）的不变 性。
建模
3
第8章 线性系统的状态空间分析与设计
8.1线性系统的状态空间描述 （建模）
8.2 动态方程的响应 （求解）
当系统的状态空间模型建立后，在一定的初始 条件和输入信号作用下，就可以求解它的状态 响应和输出响应。
x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)
t0
+ Du(t)
∫ = CΦ(t − t0 )x(t0 ) + C
t Φ(t −τ )Bu(τ )dτ
t0
+ Du(t)
13
8.2 动态方程的响应
8.2.3线性定常系统非齐次状态方程的解
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
拉氏变换法 方法二
y(t) = Cx(t) + Du(t)
sX (s) − x(0) = AX (s) + BU (s) sX (s) − AX (s) = x(0) + BU (s)
(eAt )′ t=0 = AeAt t=0 = A
9
eAt = Φ(t) = L
−1[(sI
−
A)−1]
=
⎡ 2e−t ⎢⎣−2e−t
− e−2t + 2e−2t
8.2 动态方程的响应
e−t − e−2t ⎤
−e−t
+
2e−2t
⎥ ⎦
8.2.1 线性定常系统齐次状态方程的解
矩阵指数的计算（求法）
线性定常系统非齐次状态方程的解
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
建模
3
第8章 线性系统的状态空间分析与设计
8.1线性系统的状态空间描述 （建模）
8.2 动态方程的响应 （求解）
当系统的状态空间模型建立后，在一定的初始 条件和输入信号作用下，就可以求解它的状态 响应和输出响应。
x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)
t0
+ Du(t)
∫ = CΦ(t − t0 )x(t0 ) + C
t Φ(t −τ )Bu(τ )dτ
t0
+ Du(t)
13
8.2 动态方程的响应
8.2.3线性定常系统非齐次状态方程的解
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
拉氏变换法 方法二
y(t) = Cx(t) + Du(t)
sX (s) − x(0) = AX (s) + BU (s) sX (s) − AX (s) = x(0) + BU (s)
(eAt )′ t=0 = AeAt t=0 = A
9
eAt = Φ(t) = L
−1[(sI
−
A)−1]
=
⎡ 2e−t ⎢⎣−2e−t
− e−2t + 2e−2t
8.2 动态方程的响应
e−t − e−2t ⎤
−e−t
+
2e−2t
⎥ ⎦
8.2.1 线性定常系统齐次状态方程的解
矩阵指数的计算（求法）
线性定常系统非齐次状态方程的解
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
线性控制系统状态方程求解
0 1
0 0
et
1
2
1
1 t2et 2
(1 t t 2 )et
t
1 2
t
2
et
t
1 2
t
2
et
3t t 2 et
(1
2t
1 2
t
2
)et
4、凯莱－哈密顿（以下简称C-H）定理法：将 e At 化为A的有限项多
项式来求解：
（1）：设n×n维矩阵A的特征方程为：
f ( ) | I A | n a1n1 an1 an 0
2!
k!
P
1 P
P
1
ΛtP
P
1
1 2!
Λ2t
2
P
P 1
1 k!
Λkt k
P
P 1
I
Λt
1 2
Λ2t 2
1 Λkt k k!
P
P 1eΛt P
例2-5 已知
A
0 2
13， 求状态转移 矩阵1Φ(t)
解：系统特征方程式为
I A
2 3
2
3
2
0
可解出系统特征值为 1 1, 2 2
，
1 3 3
可解出系统特征值为 1,2,3 1
变换矩阵为
1 0 01 1 0 01 1 0 0
P
1
1
0 1 1 0 1 1 0
12 21 1 1 2 1 1 2 1
1 0 0 P 1 1 1 0
1 2 1
e1t
eJt
0
te1t e1t
1 t e2 1t 2 te1t
et 0
为约当形矩阵
1 1
线性系统的状态空间描述
输出量可以选作状态变量。 输入量不允许选作状态变量。
状态向量：是由状态变量所构成的向量，即向量 称为n维状态向量。 状态空间：以n个线性无关的状态变量作为基底所组成的 n 维空间称为状态空间Rn。 状态轨线：随着时间推移，系统状态x(t)在状态空间所留下的轨迹称为状态轨线或状态轨迹。
状态方程（※）：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组(连续时间系统)或一阶差分方程组(离散时间系统)称为系统的状态方程。 状态方程表征了系统由输入所引起的内部状态变化，其一般形式为： 或 线性系统的状态空间描述
对角型实现和约当标准型实现，需要计算系统的极点(特征值)和特征向量，很不方便。
总结：
由系统微分方程建立状态空间表达式（自学P405-409）
01
由系统微分方程建立状态空间表达式的整个思路与由系统传递函数建立状态空间表达式的思路是类似的，所以这里不再详细介绍，请参看教材P405-407。 另外，当给定系统微分方程时，可先求出其传递函数，然后按照前面推导的公式直接写出其可控标准型和可观测标准型实现，例如我们在例1-2种所做的那样。
状态变量组选取上的不唯一性： 由于系统中变量的个数必大于n，而其中仅有n个是线性无关的，因此决定了状态变量组在选取上的不唯一性。
系统的状态空间描述
系统的任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇异变换的关系。
状态变量是时间域的。
状态变量有时是不可测量的。
状态变量不是所有变量的总和。
1.5 组合系统的状态空间描述
1.4 线性系统等价的状态空间描述
1.1 线性系统状态空间描述
2021
2023
1.1 线性系统状态空间描述
一．系统数学描述的基本类型
1．几个基本定义
状态向量：是由状态变量所构成的向量，即向量 称为n维状态向量。 状态空间：以n个线性无关的状态变量作为基底所组成的 n 维空间称为状态空间Rn。 状态轨线：随着时间推移，系统状态x(t)在状态空间所留下的轨迹称为状态轨线或状态轨迹。
状态方程（※）：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组(连续时间系统)或一阶差分方程组(离散时间系统)称为系统的状态方程。 状态方程表征了系统由输入所引起的内部状态变化，其一般形式为： 或 线性系统的状态空间描述
对角型实现和约当标准型实现，需要计算系统的极点(特征值)和特征向量，很不方便。
总结：
由系统微分方程建立状态空间表达式（自学P405-409）
01
由系统微分方程建立状态空间表达式的整个思路与由系统传递函数建立状态空间表达式的思路是类似的，所以这里不再详细介绍，请参看教材P405-407。 另外，当给定系统微分方程时，可先求出其传递函数，然后按照前面推导的公式直接写出其可控标准型和可观测标准型实现，例如我们在例1-2种所做的那样。
状态变量组选取上的不唯一性： 由于系统中变量的个数必大于n，而其中仅有n个是线性无关的，因此决定了状态变量组在选取上的不唯一性。
系统的状态空间描述
系统的任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇异变换的关系。
状态变量是时间域的。
状态变量有时是不可测量的。
状态变量不是所有变量的总和。
1.5 组合系统的状态空间描述
1.4 线性系统等价的状态空间描述
1.1 线性系统状态空间描述
2021
2023
1.1 线性系统状态空间描述
一．系统数学描述的基本类型
1．几个基本定义
第1章 线性系统的状态空间描述(2)
⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
0 0 0 0 ⋮ b = ⋮ 0 1 β 0 −an−1
C = [1 0 ⋯ 0]
状态变量结构图
例1 设
y
(3)
+ 5 ɺɺ+ 8 y+ 6 y = 3u y ɺ
求（A 求（A，B，C，D）
( n −1)
z
(n)
+ an−1 z
ɺ + ⋯ + a1 z + a0 z = u
y(s) z(s)
= β n −1 s
n −1
+ ⋯ + β 1s + β 0
y = β n −1 z
选取状态变量
( n −1 )
ɺ + ⋯ + β1z + β 0 z
ɺ x1 = z , x 2 = z , x3 = ɺɺ, ⋯ , x n = z z
其中h0 , h1 ,⋯ , hn −1是n个待定系数
ɺ y ɺ 求 出 y , ɺɺ , ⋯ , y ( n − 1 ) ⇐ 由 x i 及 u , u , ⋯ 表 示
即：
x1 = y − h0u ⇒ y = x1 + h0u
ɺ ɺ ɺ ɺ x2 = y − h0u − h1u ⇒ y = x2 + h0u + h1u
+⋯+ hn−1u
xn = y
( n−1)
− h0u
( n−1)
( n−1)
− h1u
( n−2)
−⋯− hn−1u
( n−2)
⇒ y
= xn + h0u
( n−1)
第8章-系统的状态空间分析-信号与系统——基于MATLAB的方法-谭鸽伟-清华大学出版社
选取适当的状态变量来描述系统运动状态的过程，称为 状态空间分析法。状态空间分析法的实质是将系统的运动方 程写成一阶微分方程组，分析系统的过程即为分析微分方程 系数矩阵的过程。
2021/3/25
信号与系统
第8章 系统的状态空间分析
对于图8-1所示二阶电路，选择电容电压 和电感电流 作为状
态变量，根据KCL和KVL定理，由回路 I 及节点 a 及可得：
us
t
R1i
t
x1
t
x1
t
L
dx2 t
dt
R3 x2
t
R1
+
uS _
i2 (t)
I R2
C
+
+
_x1(t) II R3
所谓状态空间，是以状态变量 x1(t), x2 (t), , xn (t) 为轴 所构成的n维向量空间，该空间中的变量是表示系统内部状态 的变量。这样，系统的任意状态都可以由状态空间中的一个 点来表示。因此，状态变量是能完全描述系统运动的一组变 量，以状态变量作为分量组成的 n 维列矢量，称为系统的状 态矢量。
R1
i2 (t)
+
+
+
uS _
I R2
C
_x1(t) II R3
u(t)
_
解：选取电容电压x1(t)和电感电流 x2 (t)为状态变量。对节点 a
列写KCL方程有：
it
x1 t
R2
C
dx1 t
dt
x2
t
2021/3/25
信号与系统Leabharlann 第8章 系统的状态空间分析
i(t) a
x2 (t) L
2021/3/25
信号与系统
第8章 系统的状态空间分析
对于图8-1所示二阶电路，选择电容电压 和电感电流 作为状
态变量，根据KCL和KVL定理，由回路 I 及节点 a 及可得：
us
t
R1i
t
x1
t
x1
t
L
dx2 t
dt
R3 x2
t
R1
+
uS _
i2 (t)
I R2
C
+
+
_x1(t) II R3
所谓状态空间，是以状态变量 x1(t), x2 (t), , xn (t) 为轴 所构成的n维向量空间，该空间中的变量是表示系统内部状态 的变量。这样，系统的任意状态都可以由状态空间中的一个 点来表示。因此，状态变量是能完全描述系统运动的一组变 量，以状态变量作为分量组成的 n 维列矢量，称为系统的状 态矢量。
R1
i2 (t)
+
+
+
uS _
I R2
C
_x1(t) II R3
u(t)
_
解：选取电容电压x1(t)和电感电流 x2 (t)为状态变量。对节点 a
列写KCL方程有：
it
x1 t
R2
C
dx1 t
dt
x2
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信号与系统Leabharlann 第8章 系统的状态空间分析
i(t) a
x2 (t) L
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状 态 方 程
1 1 duC (t ) − iL (t ) + is (t ) dt = C C diL (t ) = 1 u (t ) − RL + RC i (t ) + RC i (t ) C L s dt L L L
i 为输出。 为输入， 选取 is (t ) 为输入，u (t ) 、C (t )为输出。
x2 (t )
几个概念： 几个概念： • 状态 ：指系统的储能状态，对不具有储能的系统 指系统的储能状态， 也就无状态可言。 也就无状态可言。 • 状态变量：描述系统状态随时间变化的一组变量。 状态变量：描述系统状态随时间变化的一组变量。 • 状态方程：用状态变量和激励表示的一组独立的 状态方程： 一阶微分方程； 一阶微分方程； • 输出方程：用状态变量和激励表示的代数方程； 输出方程：用状态变量和激励表示的代数方程； • 动态方程：状态方程和输出方程的总称。 动态方程：状态方程和输出方程的总称。 注意：状态变量的选取不是唯一的； 注意：状态变量的选取不是唯一的；不是每一个 电路都可以建立状态方程。 电路都可以建立状态方程。
简写成
y (n) = Cx(n) + Df(n)
3. 动态方程的建立 (1) 直接编写法（略，见1. 中例子）。 8.2.1 直接编写法（ 中例子）。
状态方程列写步骤： 状态方程列写步骤： • 确定状态变量，选取所有独立的电容电压和电感 确定状态变量， 电流作为状态变量； 电流作为状态变量； • 对每一个独立的电容列写节点电流方程；对每一 对每一个独立的电容列写节点电流方程； 个独立的电感写回路电压方程； 个独立的电感写回路电压方程； • 消去中间变量，写出状态变量、输入变量、输出 消去中间变量，写出状态变量、输入变量、 变量表示的状态方程和输出方程。 变量表示的状态方程和输出方程。 输出方程列写步骤： 输出方程列写步骤： • 确定输出变量； 确定输出变量； • 由KCL、KVL及元件的约束特性找出状态变量、 及元件的约束特性找出状态变量、 、 及元件的约束特性找出状态变量 输入变量、输出变量表示的输出方程， 输入变量、输出变量表示的输出方程，消去中 间变量。 间变量。
简写成
y (t ) = Cx(t) + Df(t)
• 离散时间系统 设线性离散系统如图 所示。 所示。 状态方程： 状态方程：
f1 (n) f 2 (n)
M
f p ( n)
x1(n+1) x (n+1) x(n+1) = 2 M xm(n+1)
y1 ( n) y2 ( n )
(2) 间接编写法（由系统函数导出状态方程） 8.2.2 间接编写法（由系统函数导出状态方程） 微分（差分） 信号流图（ 微分（差分）方程 系统函数 信号流图（或 模拟框图） 状态方程和输出方程。 模拟框图） 状态方程和输出方程。 若给出微分（差分）方程或系统函数， 若给出微分（差分）方程或系统函数，则经系统 函数画出信号流图， 函数画出信号流图，再列出状态方程和输出方程 最简便。 最简便。 连续系统： 连续系统：积分器的输出变量为状态变量 离散系统： 离散系统：延时器的输出变量为状态变量
M
yq ( n )
x1 (n + 1) = a11 x1 (n) + .... + a1m xm (n) + b11 f1 (n) + .... + b1 p f1 (n) x2 (n + 1) = a21 x1 (n) + .... + a2 m xm (n) + b21 f1 (n) + .... + b2 p f 2 ( n) ........ xm (n + 1) = am1 x1 (n) + .... + amm xm ( n) + bm1 f1 (n) + .... + bmp f p (n)
例. 已知系统的微分方程 y ''' (t ) + 8 y '' (t ) + 19 y ' (t ) + 12 y (t ) = 4 f ' (t ) + 10 f (t ) 列出系统的状态方程和输出方程。 列出系统的状态方程和输出方程。 解： 系统函数为
4s + 10 4 s −2 + 10 s −3 H (s) = 3 = 2 s + 8s + 19s + 12 1 + 8s −1 + 19 s −2 + 12 s −3
2. 动态方程的一般形式 • 连续时间系统 状态方程： 状态方程：
8.1.2
f1 (t )
f 2 (t )
设线性连续系统如图所示。 设线性连续系统如图所示。
M
f p (t )
x1 (t ) x (t ) x= 2 M xn (t )
y1 (t ) y2 (t )
4 F (s )
& x3
s
−1
−8
x3 x2 & x2 s x1 &
−1
x1 (t )
& x1 (t )
& x2 (t ) y1 (t ) y2 (t )
uc (t ) 1 + C i (t ) RC s iL (t ) L
x1 (t )
x2 (t )
u (t ) 1 − Rc uC (t ) RC i (t ) = 0 − 1 i (t ) + 1 is (t ) C L
输出 u (t ) = uC (t ) − RC iL (t ) + RC iS (t ) 方程 iC (t ) = − iL (t ) + iS (t )
duC (t ) dt 0 = diL (t ) 1 dt L 1 − C R + RC − L L
duc (t ) 电容C: is (t ) = iL (t ) + iC (t ) = iL (t ) + C 电容 dt diL (t ) L + RL iL (t ) = uC (t ) + RC iC (t ) 电感L: 电感 dt (3) 消去中间变量，写出状态变量、输入变量和 消去中间变量，写出状态变量、 输出变量表示的状态方程和输出方程。 输出变量表示的状态方程和输出方程。
M
yq (t )
dx1 (t ) = a11 x1 (t ) + .... + a1n xn (t ) + b11 f1 (t ) + .... + b1 p f1 (t ) dt dx2 (t ) = a21 x1 (t ) + .... + a2 n xn (t ) + b21 f1 (t ) + .... + b2 p f 2 (t ) dt ........ dxn (t ) = an1 x1 (t ) + .... + ann xn (t ) + bn1 f1 (t ) + .... + bnp f p (t ) dt
写成矩阵形式
& x1 (t ) a11 x (t ) a & 2 = 21 ... .... & xn (t ) an1 a12 a22 .... an 2 .... a1n x1 (t ) b11 b12 .... a2 n x2 (t ) b21 b22 + .... .... .... .... .... .... ann xn (t ) bn1 bn 2 .... b1 p f1 (t ) .... b2 p f 2 (t ) .... .... .... .... bnp f p (t )
8.1 状态方程描述与状态方程的建立
1. 状态变量与状态方程（以连续系统为例） 8.2.1 状态变量与状态方程（以连续系统为例） 对于图示的二阶网络， 例. 对于图示的二阶网络，求 其状态方程和输出方程。 其状态方程和输出方程。 (1) 确定状态变量，选择独 确定状态变量， 立的电容上电压和电感中电 流为状态变量。 流为状态变量。 状态变量： uc (t )、i L (t ) (直接法 直接法) 直接法 (2) 对每一个独立的电容列写 节点电流方程， 节点电流方程，对每一个独立的电感列写回路电 电压方程。 电压方程。
第八章 系统的状态空间分析
本章重点 • 连续系统状态方程的建立 • 离散系统状态方程的建立
描述系统的方法： 描述系统的方法： (1) 输入 输出法：用系统的输入、输出变量 输入—输出法 用系统的输入、 输出法： 间的关系来描述系统的特性， 间的关系来描述系统的特性，而不直接涉及系 统的内部情况。适用于线性时不变， 统的内部情况。适用于线性时不变，单输入单 输出系统。 输出系统。 (2) 状态变量法： 状态变量法： • 便于研究系统内部变量； 便于研究系统内部变量； • 数学模型简单； 数学模型简单； • 便于系统最佳设计； 便于系统最佳设计； • 适用性广； 适用性广； • 便于计算机处理。 便于计算机处理。
简写成
x(n + 1) = Ax(n) + Bf(n)
输出方程： 输出方程：
y1 (n) c11 c12 y ( n) c 2 = 21 c22 ... .... .... yq (n) cq1 cq 2 .... c1m x1 (n) d11 .... c2 m x2 (n) d 21 + .... .... .... .... .... cqm xm (n) d q1 d12 d 22 .... dq2 .... d1 p f1 (n) .... d 2 p f 2 ( n) .... .... .... .... d qp f p (n)
1 1 duC (t ) − iL (t ) + is (t ) dt = C C diL (t ) = 1 u (t ) − RL + RC i (t ) + RC i (t ) C L s dt L L L
i 为输出。 为输入， 选取 is (t ) 为输入，u (t ) 、C (t )为输出。
x2 (t )
几个概念： 几个概念： • 状态 ：指系统的储能状态，对不具有储能的系统 指系统的储能状态， 也就无状态可言。 也就无状态可言。 • 状态变量：描述系统状态随时间变化的一组变量。 状态变量：描述系统状态随时间变化的一组变量。 • 状态方程：用状态变量和激励表示的一组独立的 状态方程： 一阶微分方程； 一阶微分方程； • 输出方程：用状态变量和激励表示的代数方程； 输出方程：用状态变量和激励表示的代数方程； • 动态方程：状态方程和输出方程的总称。 动态方程：状态方程和输出方程的总称。 注意：状态变量的选取不是唯一的； 注意：状态变量的选取不是唯一的；不是每一个 电路都可以建立状态方程。 电路都可以建立状态方程。
简写成
y (n) = Cx(n) + Df(n)
3. 动态方程的建立 (1) 直接编写法（略，见1. 中例子）。 8.2.1 直接编写法（ 中例子）。
状态方程列写步骤： 状态方程列写步骤： • 确定状态变量，选取所有独立的电容电压和电感 确定状态变量， 电流作为状态变量； 电流作为状态变量； • 对每一个独立的电容列写节点电流方程；对每一 对每一个独立的电容列写节点电流方程； 个独立的电感写回路电压方程； 个独立的电感写回路电压方程； • 消去中间变量，写出状态变量、输入变量、输出 消去中间变量，写出状态变量、输入变量、 变量表示的状态方程和输出方程。 变量表示的状态方程和输出方程。 输出方程列写步骤： 输出方程列写步骤： • 确定输出变量； 确定输出变量； • 由KCL、KVL及元件的约束特性找出状态变量、 及元件的约束特性找出状态变量、 、 及元件的约束特性找出状态变量 输入变量、输出变量表示的输出方程， 输入变量、输出变量表示的输出方程，消去中 间变量。 间变量。
简写成
y (t ) = Cx(t) + Df(t)
• 离散时间系统 设线性离散系统如图 所示。 所示。 状态方程： 状态方程：
f1 (n) f 2 (n)
M
f p ( n)
x1(n+1) x (n+1) x(n+1) = 2 M xm(n+1)
y1 ( n) y2 ( n )
(2) 间接编写法（由系统函数导出状态方程） 8.2.2 间接编写法（由系统函数导出状态方程） 微分（差分） 信号流图（ 微分（差分）方程 系统函数 信号流图（或 模拟框图） 状态方程和输出方程。 模拟框图） 状态方程和输出方程。 若给出微分（差分）方程或系统函数， 若给出微分（差分）方程或系统函数，则经系统 函数画出信号流图， 函数画出信号流图，再列出状态方程和输出方程 最简便。 最简便。 连续系统： 连续系统：积分器的输出变量为状态变量 离散系统： 离散系统：延时器的输出变量为状态变量
M
yq ( n )
x1 (n + 1) = a11 x1 (n) + .... + a1m xm (n) + b11 f1 (n) + .... + b1 p f1 (n) x2 (n + 1) = a21 x1 (n) + .... + a2 m xm (n) + b21 f1 (n) + .... + b2 p f 2 ( n) ........ xm (n + 1) = am1 x1 (n) + .... + amm xm ( n) + bm1 f1 (n) + .... + bmp f p (n)
例. 已知系统的微分方程 y ''' (t ) + 8 y '' (t ) + 19 y ' (t ) + 12 y (t ) = 4 f ' (t ) + 10 f (t ) 列出系统的状态方程和输出方程。 列出系统的状态方程和输出方程。 解： 系统函数为
4s + 10 4 s −2 + 10 s −3 H (s) = 3 = 2 s + 8s + 19s + 12 1 + 8s −1 + 19 s −2 + 12 s −3
2. 动态方程的一般形式 • 连续时间系统 状态方程： 状态方程：
8.1.2
f1 (t )
f 2 (t )
设线性连续系统如图所示。 设线性连续系统如图所示。
M
f p (t )
x1 (t ) x (t ) x= 2 M xn (t )
y1 (t ) y2 (t )
4 F (s )
& x3
s
−1
−8
x3 x2 & x2 s x1 &
−1
x1 (t )
& x1 (t )
& x2 (t ) y1 (t ) y2 (t )
uc (t ) 1 + C i (t ) RC s iL (t ) L
x1 (t )
x2 (t )
u (t ) 1 − Rc uC (t ) RC i (t ) = 0 − 1 i (t ) + 1 is (t ) C L
输出 u (t ) = uC (t ) − RC iL (t ) + RC iS (t ) 方程 iC (t ) = − iL (t ) + iS (t )
duC (t ) dt 0 = diL (t ) 1 dt L 1 − C R + RC − L L
duc (t ) 电容C: is (t ) = iL (t ) + iC (t ) = iL (t ) + C 电容 dt diL (t ) L + RL iL (t ) = uC (t ) + RC iC (t ) 电感L: 电感 dt (3) 消去中间变量，写出状态变量、输入变量和 消去中间变量，写出状态变量、 输出变量表示的状态方程和输出方程。 输出变量表示的状态方程和输出方程。
M
yq (t )
dx1 (t ) = a11 x1 (t ) + .... + a1n xn (t ) + b11 f1 (t ) + .... + b1 p f1 (t ) dt dx2 (t ) = a21 x1 (t ) + .... + a2 n xn (t ) + b21 f1 (t ) + .... + b2 p f 2 (t ) dt ........ dxn (t ) = an1 x1 (t ) + .... + ann xn (t ) + bn1 f1 (t ) + .... + bnp f p (t ) dt
写成矩阵形式
& x1 (t ) a11 x (t ) a & 2 = 21 ... .... & xn (t ) an1 a12 a22 .... an 2 .... a1n x1 (t ) b11 b12 .... a2 n x2 (t ) b21 b22 + .... .... .... .... .... .... ann xn (t ) bn1 bn 2 .... b1 p f1 (t ) .... b2 p f 2 (t ) .... .... .... .... bnp f p (t )
8.1 状态方程描述与状态方程的建立
1. 状态变量与状态方程（以连续系统为例） 8.2.1 状态变量与状态方程（以连续系统为例） 对于图示的二阶网络， 例. 对于图示的二阶网络，求 其状态方程和输出方程。 其状态方程和输出方程。 (1) 确定状态变量，选择独 确定状态变量， 立的电容上电压和电感中电 流为状态变量。 流为状态变量。 状态变量： uc (t )、i L (t ) (直接法 直接法) 直接法 (2) 对每一个独立的电容列写 节点电流方程， 节点电流方程，对每一个独立的电感列写回路电 电压方程。 电压方程。
第八章 系统的状态空间分析
本章重点 • 连续系统状态方程的建立 • 离散系统状态方程的建立
描述系统的方法： 描述系统的方法： (1) 输入 输出法：用系统的输入、输出变量 输入—输出法 用系统的输入、 输出法： 间的关系来描述系统的特性， 间的关系来描述系统的特性，而不直接涉及系 统的内部情况。适用于线性时不变， 统的内部情况。适用于线性时不变，单输入单 输出系统。 输出系统。 (2) 状态变量法： 状态变量法： • 便于研究系统内部变量； 便于研究系统内部变量； • 数学模型简单； 数学模型简单； • 便于系统最佳设计； 便于系统最佳设计； • 适用性广； 适用性广； • 便于计算机处理。 便于计算机处理。
简写成
x(n + 1) = Ax(n) + Bf(n)
输出方程： 输出方程：
y1 (n) c11 c12 y ( n) c 2 = 21 c22 ... .... .... yq (n) cq1 cq 2 .... c1m x1 (n) d11 .... c2 m x2 (n) d 21 + .... .... .... .... .... cqm xm (n) d q1 d12 d 22 .... dq2 .... d1 p f1 (n) .... d 2 p f 2 ( n) .... .... .... .... d qp f p (n)