8.1线性系统的状态方程
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4 F (s )
& x3
s
−1
−8
x3 x2 & x2 s x1 &
−1
输出 u (t ) = uC (t ) − RC iL (t ) + RC iS (t ) 方程 iC (t ) = − iL (t ) + iS (t )
duC (t ) dt 0 = diL (t ) 1 dt L 1 − C R + RC − L L
(2) 间接编写法（由系统函数导出状态方程） 8.2.2 间接编写法（由系统函数导出状态方程） 微分（差分） 信号流图（ 微分（差分）方程 系统函数 信号流图（或 模拟框图） 状态方程和输出方程。 模拟框图） 状态方程和输出方程。 若给出微分（差分）方程或系统函数， 若给出微分（差分）方程或系统函数，则经系统 函数画出信号流图， 函数画出信号流图，再列出状态方程和输出方程 最简便。 最简便。 连续系统： 连续系统：积分器的输出变量为状态变量 离散系统： 离散系统：延时器的输出变量为状态变量
第八章 系统的状态空间分析
本章重点 • 连续系统状态方程的建立 • 离散系统状态方程的建立
描述系统的方法： 描述系统的方法： (1) 输入 输出法：用系统的输入、输出变量 输入—输出法 用系统的输入、 输出法： 间的关系来描述系统的特性， 间的关系来描述系统的特性，而不直接涉及系 统的内部情况。适用于线性时不变， 统的内部情况。适用于线性时不变，单输入单 输出系统。 输出系统。 (2) 状态变量法： 状态变量法： • 便于研究系统内部变量； 便于研究系统内部变量； • 数学模型简单； 数学模型简单； • 便于系统最佳设计； 便于系统最佳设计； • 适用性广； 适用性广； • 便于计算机处理。 便于计算机处理。
x2 (t )
几个概念： 几个概念： • 状态 ：指系统的储能状态，对不具有储能的系统 指系统的储能状态， 也就无状态可言。 也就无状态可言。 • 状态变量：描述系统状态随时间变化的一组变量。 状态变量：描述系统状态随时间变化的一组变量。 • 状态方程：用状态变量和激励表示的一组独立的 状态方程： 一阶微分方程； 一阶微分方程； • 输出方程：用状态变量和激励表示的代数方程； 输出方程：用状态变量和激励表示的代数方程； • 动态方程：状态方程和输出方程的总称。 动态方程：状态方程和输出方程的总称。 注意：状态变量的选取不是唯一的； 注意：状态变量的选取不是唯一的；不是每一个 电路都可以建立状态方程。 电路都可以建立状态方程。
状 态 方 程
1 1 duC (t ) − iL (t ) + is (t ) dt = C C diL (t ) = 1 u (t ) − RL + RC i (t ) + RC i (t ) C L s dt L L L
i 为输出。 为输入， 选取 is (t ) 为输入，u (t ) 、C (t )为输出。
x1 (t )
& x1 (t )
& x2 (t ) y1 (t ) y2 (t )
uc (t ) 1 + C i (t ) RC s iL (t ) L
x1 (t )
x2 (t )
u (t ) 1 − Rc uC (t ) RC i (t ) = 0 − 1 i (t ) + 1 is (t ) C L
简写成
& x(t ) = Ax(t) + Bf(t)
输出方程： 输出方程：
y1 (t ) c11 c12 y (t ) c 2 = 21 c22 ... .... .... yq (t ) cq1 cq 2 .... c1n x1 (t ) d11 .... c2 n x2 (t ) d 21 + .... .... .... .... .... cqn xn (t ) d q1 d12 d 22 .... dq 2 .... d1m f1 (t ) .... d 2 m f 2 (t ) .... .... .... .... d qp f p (t )
M
yq (t )
dx1 (t ) = a11 x1 (t ) + .... + a1n xn (t ) + b11 f1 (t ) + .... + b1 p f1 (t ) dt dx2 (t ) = a21 x1 (t ) + .... + a2 n xn (t ) + b21 f1 (t ) + .... + b2 p f 2 (t ) dt ........ dxn (t ) = an1 x1 (t ) + .... + ann xn (t ) + bn1 f1 (t ) + .... + bnp f p (t ) dt
duc (t ) 电容C: is (t ) = iL (t ) + iC (t ) = iL (t ) + C 电容 dt diL (t ) L + RL iL (t ) = uC (t ) + RC iC (t ) 电感L: 电感 dt (3) 消去中间变量，写出状态变量、输入变量和 消去中间变量，写出状态变量、 输出变量表示的状态方程和输出方程。 输出变量表示的状态方程和输出方程。
简写成
y (n) = Cx(n) + Df(n)
3. 动态方程的建立 (1) 直接编写法（略，见1. 中例子）。 8.2.1 直接编写法（ 中例子）。
状态方程列写步骤： 状态方程列写步骤： • 确定状态变量，选取所有独立的电容电压和电感 确定状态变量， 电流作为状态变量； 电流作为状态变量； • 对每一个独立的电容列写节点电流方程；对每一 对每一个独立的电容列写节点电流方程； 个独立的电感写回路电压方程； 个独立的电感写回路电压方程； • 消去中间变量，写出状态变量、输入变量、输出 消去中间变量，写出状态变量、输入变量、 变量表示的状态方程和输出方程。 变量表示的状态方程和输出方程。 输出方程列写步骤： 输出方程列写步骤： • 确定输出变量； 确定输出变量； • 由KCL、KVL及元件的约束特性找出状态变量、 及元件的约束特性找出状态变量、 、 及元件的约束特性找出状态变量 输入变量、输出变量表示的输出方程， 输入变量、输出变量表示的输出方程，消去中 间变量。 间变量。
8.1 状态方程描述与状态方程的建立
1. 状态变量与状态方程（以连续系统为例） 8.2.1 状态变量与状态方程（以连续系统为例） 对于图示的二阶网络， 例. 对于图示的二阶网络，求 其状态方程和输出方程。 其状态方程和输出方程。 (1) 确定状态变量，选择独 确定状态变量， 立的电容上电压和电感中电 流为状态变量。 流为状态变量。 状态变量： uc (t )、i L (t ) (直接法 直接法) 直接法 (2) 对每一个独立的电容列写 节点电流方程， 节点电流方程，对每一个独立的电感列写回路电 电压方程。 电压方程。
例. 已知系统的微分方程 y ''' (t ) + 8 y '' (t ) + 19 y ' (t ) + 12 y (t ) = 4 f ' (t ) + 10 f (t ) 列出系统的状态方程和输出方程。 列出系统的状态方程和输出方程。 解： 系统函数为
4s + 10 4 s −2 + 10 s −3 H (s) = 3 = 2 s + 8s + 19s + 12 1 + 8s −1 + 19 s −2 + 12 s −3
简写成
y (t ) = Cx(t) + Df(t)
• 离散时间系统 设线性离散系统如图 所示。 所示。 状态方程： 状态方程：
f1 (n) f 2 (n)
M
f p ( n)
x1(n+1) x (n+1) x(n+1) = 2 M xm(n+1)
y1 ( n) y2 ( n )
写成矩阵形式
x1 (n + 1) a11 x (n + 1) a 2 = 21 ... .... xm (n + 1) am1 a12 a22 .... am 2 .... a1n x1 (n) b11 b12 .... a2 n x2 (n) b21 b22 + .... .... .... .... .... .... amn xm (n) bm1 bm 2 .... b1 p f1 (n) .... b2 p f 2 (n) .... .... .... .... bmp f p (n)
写成矩阵形式
& x1 (t ) a11 x (t ) a & 2 = 21 ... .... & xn (t ) an1 a12 a22 .... an 2 .... a1n x1 (t ) b11 b12 .... a2 n x2 (t ) b21 b22 + .... .... .... .... .... .... ann xn (t ) bn1 bn 2 .... b1 p f1 (t ) .... b2 p f 2 (t ) .... .... .... .... bnp f p (t )
2. 动态方程的一般形式 • 连续时间系统 状态方程： 状态方程：
8.1.2
f1 (t )
f 2 (t )
设线性连续系统如图所示。 设线性连续系统如图所示。
M
f p (t )
x1 (t ) x (t ) x= 2 M xn (t )
y1 (t ) y2 (t )
M
yq ( n )
x1 (n + 1) = a11 x1 (n) + .... + a1m xm (n) + b11 f1 (n) + .... + b1 p f1 (n) x2 (n + 1) = a21 x1 (n) + .... + a2 m xm (n) + b21 f1 (n) + .... + b2 p f 2 ( n) ........ xm (n + 1) = am1 x1 (n) + .... + amm xm ( n) + bm1 f1 (n) + .... + bmp f p (n)
简写成ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x(n + 1) = Ax(n) + Bf(n)
输出方程： 输出方程：
y1 (n) c11 c12 y ( n) c 2 = 21 c22 ... .... .... yq (n) cq1 cq 2 .... c1m x1 (n) d11 .... c2 m x2 (n) d 21 + .... .... .... .... .... cqm xm (n) d q1 d12 d 22 .... dq2 .... d1 p f1 (n) .... d 2 p f 2 ( n) .... .... .... .... d qp f p (n)
& x3
s
−1
−8
x3 x2 & x2 s x1 &
−1
输出 u (t ) = uC (t ) − RC iL (t ) + RC iS (t ) 方程 iC (t ) = − iL (t ) + iS (t )
duC (t ) dt 0 = diL (t ) 1 dt L 1 − C R + RC − L L
(2) 间接编写法（由系统函数导出状态方程） 8.2.2 间接编写法（由系统函数导出状态方程） 微分（差分） 信号流图（ 微分（差分）方程 系统函数 信号流图（或 模拟框图） 状态方程和输出方程。 模拟框图） 状态方程和输出方程。 若给出微分（差分）方程或系统函数， 若给出微分（差分）方程或系统函数，则经系统 函数画出信号流图， 函数画出信号流图，再列出状态方程和输出方程 最简便。 最简便。 连续系统： 连续系统：积分器的输出变量为状态变量 离散系统： 离散系统：延时器的输出变量为状态变量
第八章 系统的状态空间分析
本章重点 • 连续系统状态方程的建立 • 离散系统状态方程的建立
描述系统的方法： 描述系统的方法： (1) 输入 输出法：用系统的输入、输出变量 输入—输出法 用系统的输入、 输出法： 间的关系来描述系统的特性， 间的关系来描述系统的特性，而不直接涉及系 统的内部情况。适用于线性时不变， 统的内部情况。适用于线性时不变，单输入单 输出系统。 输出系统。 (2) 状态变量法： 状态变量法： • 便于研究系统内部变量； 便于研究系统内部变量； • 数学模型简单； 数学模型简单； • 便于系统最佳设计； 便于系统最佳设计； • 适用性广； 适用性广； • 便于计算机处理。 便于计算机处理。
x2 (t )
几个概念： 几个概念： • 状态 ：指系统的储能状态，对不具有储能的系统 指系统的储能状态， 也就无状态可言。 也就无状态可言。 • 状态变量：描述系统状态随时间变化的一组变量。 状态变量：描述系统状态随时间变化的一组变量。 • 状态方程：用状态变量和激励表示的一组独立的 状态方程： 一阶微分方程； 一阶微分方程； • 输出方程：用状态变量和激励表示的代数方程； 输出方程：用状态变量和激励表示的代数方程； • 动态方程：状态方程和输出方程的总称。 动态方程：状态方程和输出方程的总称。 注意：状态变量的选取不是唯一的； 注意：状态变量的选取不是唯一的；不是每一个 电路都可以建立状态方程。 电路都可以建立状态方程。
状 态 方 程
1 1 duC (t ) − iL (t ) + is (t ) dt = C C diL (t ) = 1 u (t ) − RL + RC i (t ) + RC i (t ) C L s dt L L L
i 为输出。 为输入， 选取 is (t ) 为输入，u (t ) 、C (t )为输出。
x1 (t )
& x1 (t )
& x2 (t ) y1 (t ) y2 (t )
uc (t ) 1 + C i (t ) RC s iL (t ) L
x1 (t )
x2 (t )
u (t ) 1 − Rc uC (t ) RC i (t ) = 0 − 1 i (t ) + 1 is (t ) C L
简写成
& x(t ) = Ax(t) + Bf(t)
输出方程： 输出方程：
y1 (t ) c11 c12 y (t ) c 2 = 21 c22 ... .... .... yq (t ) cq1 cq 2 .... c1n x1 (t ) d11 .... c2 n x2 (t ) d 21 + .... .... .... .... .... cqn xn (t ) d q1 d12 d 22 .... dq 2 .... d1m f1 (t ) .... d 2 m f 2 (t ) .... .... .... .... d qp f p (t )
M
yq (t )
dx1 (t ) = a11 x1 (t ) + .... + a1n xn (t ) + b11 f1 (t ) + .... + b1 p f1 (t ) dt dx2 (t ) = a21 x1 (t ) + .... + a2 n xn (t ) + b21 f1 (t ) + .... + b2 p f 2 (t ) dt ........ dxn (t ) = an1 x1 (t ) + .... + ann xn (t ) + bn1 f1 (t ) + .... + bnp f p (t ) dt
duc (t ) 电容C: is (t ) = iL (t ) + iC (t ) = iL (t ) + C 电容 dt diL (t ) L + RL iL (t ) = uC (t ) + RC iC (t ) 电感L: 电感 dt (3) 消去中间变量，写出状态变量、输入变量和 消去中间变量，写出状态变量、 输出变量表示的状态方程和输出方程。 输出变量表示的状态方程和输出方程。
简写成
y (n) = Cx(n) + Df(n)
3. 动态方程的建立 (1) 直接编写法（略，见1. 中例子）。 8.2.1 直接编写法（ 中例子）。
状态方程列写步骤： 状态方程列写步骤： • 确定状态变量，选取所有独立的电容电压和电感 确定状态变量， 电流作为状态变量； 电流作为状态变量； • 对每一个独立的电容列写节点电流方程；对每一 对每一个独立的电容列写节点电流方程； 个独立的电感写回路电压方程； 个独立的电感写回路电压方程； • 消去中间变量，写出状态变量、输入变量、输出 消去中间变量，写出状态变量、输入变量、 变量表示的状态方程和输出方程。 变量表示的状态方程和输出方程。 输出方程列写步骤： 输出方程列写步骤： • 确定输出变量； 确定输出变量； • 由KCL、KVL及元件的约束特性找出状态变量、 及元件的约束特性找出状态变量、 、 及元件的约束特性找出状态变量 输入变量、输出变量表示的输出方程， 输入变量、输出变量表示的输出方程，消去中 间变量。 间变量。
8.1 状态方程描述与状态方程的建立
1. 状态变量与状态方程（以连续系统为例） 8.2.1 状态变量与状态方程（以连续系统为例） 对于图示的二阶网络， 例. 对于图示的二阶网络，求 其状态方程和输出方程。 其状态方程和输出方程。 (1) 确定状态变量，选择独 确定状态变量， 立的电容上电压和电感中电 流为状态变量。 流为状态变量。 状态变量： uc (t )、i L (t ) (直接法 直接法) 直接法 (2) 对每一个独立的电容列写 节点电流方程， 节点电流方程，对每一个独立的电感列写回路电 电压方程。 电压方程。
例. 已知系统的微分方程 y ''' (t ) + 8 y '' (t ) + 19 y ' (t ) + 12 y (t ) = 4 f ' (t ) + 10 f (t ) 列出系统的状态方程和输出方程。 列出系统的状态方程和输出方程。 解： 系统函数为
4s + 10 4 s −2 + 10 s −3 H (s) = 3 = 2 s + 8s + 19s + 12 1 + 8s −1 + 19 s −2 + 12 s −3
简写成
y (t ) = Cx(t) + Df(t)
• 离散时间系统 设线性离散系统如图 所示。 所示。 状态方程： 状态方程：
f1 (n) f 2 (n)
M
f p ( n)
x1(n+1) x (n+1) x(n+1) = 2 M xm(n+1)
y1 ( n) y2 ( n )
写成矩阵形式
x1 (n + 1) a11 x (n + 1) a 2 = 21 ... .... xm (n + 1) am1 a12 a22 .... am 2 .... a1n x1 (n) b11 b12 .... a2 n x2 (n) b21 b22 + .... .... .... .... .... .... amn xm (n) bm1 bm 2 .... b1 p f1 (n) .... b2 p f 2 (n) .... .... .... .... bmp f p (n)
写成矩阵形式
& x1 (t ) a11 x (t ) a & 2 = 21 ... .... & xn (t ) an1 a12 a22 .... an 2 .... a1n x1 (t ) b11 b12 .... a2 n x2 (t ) b21 b22 + .... .... .... .... .... .... ann xn (t ) bn1 bn 2 .... b1 p f1 (t ) .... b2 p f 2 (t ) .... .... .... .... bnp f p (t )
2. 动态方程的一般形式 • 连续时间系统 状态方程： 状态方程：
8.1.2
f1 (t )
f 2 (t )
设线性连续系统如图所示。 设线性连续系统如图所示。
M
f p (t )
x1 (t ) x (t ) x= 2 M xn (t )
y1 (t ) y2 (t )
M
yq ( n )
x1 (n + 1) = a11 x1 (n) + .... + a1m xm (n) + b11 f1 (n) + .... + b1 p f1 (n) x2 (n + 1) = a21 x1 (n) + .... + a2 m xm (n) + b21 f1 (n) + .... + b2 p f 2 ( n) ........ xm (n + 1) = am1 x1 (n) + .... + amm xm ( n) + bm1 f1 (n) + .... + bmp f p (n)
简写成ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x(n + 1) = Ax(n) + Bf(n)
输出方程： 输出方程：
y1 (n) c11 c12 y ( n) c 2 = 21 c22 ... .... .... yq (n) cq1 cq 2 .... c1m x1 (n) d11 .... c2 m x2 (n) d 21 + .... .... .... .... .... cqm xm (n) d q1 d12 d 22 .... dq2 .... d1 p f1 (n) .... d 2 p f 2 ( n) .... .... .... .... d qp f p (n)