第四讲二次函数

三个一元二次函数问题
一、知识方法
1、二次函数的三种表示方法： （1）一般式c bx ax y ++=2 （2）顶点式n m x a y ++=2)(
（3）两根式))((21x x x x a y --=
2、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)有如下性质
3、一元二次方程与二次函数的关系
4、二次函数在区间上的最值问题。

设()()02>++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：
a
b n m 2-<< n a b m <-<2即[]n m a
b ,2∈- n m a
b
<<-
2
图象
最大、最小值
()()
()()n f x f m f x f ==min max
()()(){}
()⎪
⎭
⎫
⎝⎛-==a b f x f m f n f x f 2,max min max
()()
()()
m f x f n f x f ==min max
另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小．
5、二次函数的图象与二次方程根的分布 一、简单的三种类型
利用Δ与韦达定理研究)0(02
≠=++a c bx ax 的根的分布
（1）方程有两个正根⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪
⎪⎨⎧
>=>-=+≥-=∆⇔000421212a c x x a b x x ac b
（2）方程有两个负根⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
>=<-=+≥-=∆⇔000421212a c x x a b x x ac b
（3）方程有一正一负根0<⇔
a
c
例1.若一元二次方程0)1(2)1(2
=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。

例2.k 在何范围内取值，一元二次方程0332
=-++k kx kx 有一个正根和一个负
根？
二、其它几种类型
借助函数图像研究)0(02
≠=++a c bx ax 的根的分布
设一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的两实根为1x ，2x ，且12x x ≤。

k 为常数。

则一元
二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干类型：
（1）⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
>->≥-=∆⇔≤<k a b k af ac b x x k 20)(0
4221【图例】
解析：发现无论开口向上或向下，)(k f 与a 的值都是同号的.
例3.若方程42x +(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则求m 的取值范围.
（2）⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
<->≥-=∆⇔<≤k a
b k af a
c b k x x 20)(04221【图例】
解析：发现无论开口向上或向下，)(k f 与a 的值都是同号的.
（3）21x k x <<⇔0)(<k af 【图例】
解析：要保证两根分布于k 的两边，观察发现两种情况都是)(k f 与a 异号.
例4.方程x 2+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p 的取值范围.
(4) 11x k <2k <⇔0)()(21<k f k f 【图例】
(5) 112
122,k x k p x p <<<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0
)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧<>><
<0
)(0
)(0)(0
)(021
2
1p f p f k f k f a
若关于x 的方程x 2+(k-2)x+2k-1=0的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围.
(6)2211k x x k <≤<，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪⎪⎨⎧
<-<<<<≥-=∆212
1220
)(0)(004k a b k k f k f a ac b
已知关于x 的方程223230x x m -+-=的两根都在［－1，1］上.求实数m 的取值范围.
二、例题演练
题型一、二次函数的最值问题
1、求12)(2--=ax x x f 在区间]2,0[上的最大值和最小值。

2、已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2
3
[-上的最大值为1，求实数a 的值。

题型二、一元二次方程的实根分布问题
（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围；
（2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围；
⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围
（4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围.
题型三、二次函数的综合问题
（1）已知函数2)(2-+=a ax x f ，若0)(<x f 有解，求实数a 的取值范围； （2）已知x x x f 4)(2+-=，当]1,1[-∈x 时，若a x f >)(恒成立，求实数a 的取值范围。

（1）若函数x x m y 934•++=在区间]2,(-∞上有意义，求实数m 的取值范围；
（2）若函数x x m y 934•++=的定义域为]2,(-∞，求实数m 的取值范围。

【练习】
1．设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象为下列之一：
则a 的值为（ ） A ．1
B ．1-
C ．
2
5
1-- D ．
2
5
1+- 2．方程05)2(2=-+-+m x m x 的两根都大于2，则m 的取值范围是（ ）
A ．]4,5(--
B ．)4,(--∞
C ．)2,(--∞
D ．]4,5()5,(----∞
4、若关于x 的方程0122=--x ax 在（0，1）内恰有一解，求实数a 的取值范围。

5、已知关于x 的方程22(1)-10ax a x a -++=，探究a 为何值时
（1）方程有一根（2）方程有一正一负两根（3）两根都大于1（4）一根大于1一根小于1
6、已知二次函数)(x f y =的两个零点,1,021==x x 且其图象的顶点恰好在
x y 2log =的图象上。

（1）求)(x f 的解析式。

（2）设)(x f 在]1,[+t t 的最小值为)(t g ，求)(t g 的表达式
8．已知,R ∈a 二次函数.22)(2a x ax x f --=设不等式0)(>x f 的解集为A ，又知集合}.31|{<<=x x B 若A B ⋂≠∅，求a 的取值范围。

10、已知函数21
sin sin 42
a y x a x =-+-
+的最大值为2，求a 的值。