2013真题数一答案

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、已知极限0arctan limk x x xc x→-=，其中,k c 为常数，且0c ≠，则（ ） （A ）12,2k c ==- （B ）12,2k c ==（C ）13,3k c ==- （D ）13,3k c ==【答案】（D ）【考点】泰勒公式；洛必达法则 【难易度】★★【详解】方法1：333300011(())()arctan 33lim lim lim k k k x x x x x x o x x o x x x c x x x→→→--++-=== 13,3k c ⇒==.因此，选（D ）.方法2：用洛必达法则.2221121000011arctan 11limlim lim lim (1)kk k k x x x x x xx x x c x kx kx x k x---→→→→--+====+因此，123k k -=⇒=，13c =. 2、曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-的切平面方程为（ ） （A ）2x y z -+=- （B ）0x y z ++= （C ）23x y z -+=- （D ）0x y z --= 【答案】（A ） 【考点】平面方程 【难易度】★★【详解】设2(,,)cos()F x y z x xy yz x =+++，则(,,)2sin()1(0,1,1)1x x F x y z x y xy F ''=-+⇒-=(,,)sin()(0,1,1)1y y F x y z x xy z F ''=-+⇒-=-(,,)(0,1,1)1z z F x y z y F ''=⇒-=所以该曲面在点(0,1,1)-处的切平面方程为(1)(1)0x y z --++=即2x y z -+=-，故选（A ）.3、设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==⎰L ，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则9()4S -=（ ） （A ）34 （B ）14 （C ）14- （D ）34- 【答案】（C ）【考点】函数在[-l,l]上的傅里叶级数 【难易度】★★★【详解】11,[0,]122()112,[,1]22x x f x x x x ⎧-∈⎪⎪=-=⎨⎪-∈⎪⎩将()f x 作奇延拓，得周期函数()F x ，周期2T = 则()F x 在94x =-处连续，从而99111()()()()44444S F F f -=-=-=-=-.故选（C ）. 4、设221:1L x y +=，222:2L x y +=，223:22L x y +=，224:22L x y +=为四条逆时针方向的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63ii L y x I y dx x dy i =++-=⎰，则{}1234max ,,,I I I I =（ ）（A ）1I （B ）2I （C ）3I （D ）4I 【答案】（B ）【考点】格林公式 【难易度】★★★【详解】记36y P y =+，323x Q x =-，则2222211()22Q P y y x x x y ∂∂-=---=-+∂∂ 3322()(2)()[1()]632ii ii L D D y x Q P y I y dx x dy dxdy x dxdy x y ∂∂=++-=-=-+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰用i D 表示i L 所围区域的面积，则有1D π=，22D π=，34D D ==，1342D D D D <=<.又因为被积函数221()02y x -+≥，所以1342I I I I <=<.故选（B ）. 5、设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（ ） （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 【答案】（B ）【考点】等价向量组 【难易度】★★【详解】将矩阵A 、C 按列分块，1(,,)n A αα=L ，1(,,)n C γγ=L由于AB C =，故111111(,,)(,,)n n n n nn b b b b ααγγ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭L L M M L L 即1111111,,n n n n nn n b b b b γααγαα=++=++L L L 即C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示.由于B 可逆，故1A CB -=，A 的列向量组可由C 的列向量组线性表示，故选（B ）.6、矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件是（ ）（A ）0,2a b == （B ）0,a b =为任意常数 （C ）2,0a b == （D ）2,a b = 为任意常数【答案】（B ）【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件 【难易度】★★【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.由20000000b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭的特征值为2，b ，0可知，矩阵1111a A a b a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值也是2，b ，0.因此，22111122022401120a a E A ab a b a a a aa-----=---=---=-=---0a ⇒= 将0a =代入可知，矩阵10100101A b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值为2，b ，0.此时，两矩阵相似，与b 的取值无关，故选（B ）.7、设123,,x x x 是随机变量，且1x ~(0,1)N ，2x ~2(0,2)N ，3x ~2(5,3)N ，{}22(1,2,3)j j P P x j =-≤≤=，则（ ）（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >> 【答案】（A ）【考点】正态分布 【难易度】★★【详解】{}1122(2)(2)2(2)1P P X =-≤≤=Φ-Φ-=Φ-，{}2220202022(1)(1)2(1)1222X P P X P ----⎧⎫=-≤≤=≤≤=Φ-Φ-=Φ-⎨⎬⎩⎭，12P P ∴>{}3335777221(1)()()(1)3333X P P X P --⎧⎫=-≤≤=≤≤-=Φ--Φ-=Φ-Φ⎨⎬⎩⎭，23P P ∴>123P P P ∴>>.故选（A ）.8、设随机变量()X t n ~，(1,)Y F n ~，给定(00.5)αα<<，常数c 满足{}2P X c >=，则{}2P Y c >=（ ）（A ）α （B ）1α- （C ）2α （D ）12α- 【答案】（C ）【考点】t 分布；F 分布 【难易度】★★★【详解】()X t n ~，则2(1,)X F n ~{}{}{}{}{}22222P Y c P X c P X c P X c P X c α>=>=>+<-=>=二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答．题纸．．指定位置上. 9、设函数()y f x =由方程(1)x y y x e--=确定，则1lim (()1)n n f n→∞-= .【答案】1【考点】导数的概念；隐函数的导数 【难易度】★★ 【详解】由(1)x y y x e--=，当0x =时，1y =.方程两边求导得 (1)1(1)x y y e y xy -''-=⋅--将0x =，1y =代入计算得(0)1y '=01()11()(0)lim (()1)lim lim (0)11n n x f f x f n n f f n xn→∞→∞→--'-=== 10、已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23xy xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y = . 【答案】3212()xx x x y C ee C e xe =-+-，12,C C 为任意常数.【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★【详解】312x xy y e e -=-，23x y y e -=是对应齐次微分方程的解.由分析知，*2xy xe =-是非齐次微分方程的特解. 故原方程的通解为3212()xx x x y C ee C e xe =-+-，12,C C 为任意常数.11、设sin ,sin cos x t y t t t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），则224t d y dx π== .【考点】由参数方程所确定的函数的导数【难易度】★★ 【详解】11cos cos dy dy dt dy t t t dx dx dt dx dt tdt=⋅=⋅=⋅= 2211cos dy d d y dt dx dx dx dt dx tdt=⋅==2241cos 4t d y dx ππ=⇒==12、21ln (1)xdx x +∞=+⎰. 【答案】ln 2【考点】无穷限的反常积分 【难易度】★★ 【详解】21111ln ln 110ln 0ln ln 2(1)1(1)12x x x dx dx x x x x x +∞+∞+∞+∞=-+=+=-=++++⎰⎰ 13、设()ij A a =是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若0(,1,2,3)ij ij a A i j +==，则A = .【答案】-1【考点】伴随矩阵 【难易度】★★★【详解】**0T Tij ij ij ij a A A a A A AA AA A E +=⇒=-⇒=-⇒=-= 等式两边取行列式得230A A A -=⇒=或1A =- 当0A =时，00TAA A -=⇒=（与已知矛盾） 所以1A =-.14、设随机变量Y 服从参数为1的指数分布，a 为常数且大于零，则{}1P Y a Y a ≤+>= .【答案】11e-【考点】指数分布；条件概率的计算 【难易度】★★【详解】由题意可知，,0,()0,y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩{}{}{}1(1)(),1111()a a a a aaf y dyP Y a Y a e e P Y a Y a P Y a e e f y dy+--++∞->≤+-≤+>====->⎰⎰三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）计算1⎰，其中1ln(1)()x t f x dt t +=⎰.【考点】积分上限的函数及其导数；定积分的分部积分法；定积分的换元法【难易度】★★★ 【详解】1ln(1)ln(1)()(1)0,()xt x f x dt f f x t x++'=⇒==⎰110002()2(2()f x f x x dx '==-⎰⎰⎰1102(1)224ln(1)f x =-=-=-+⎰⎰⎰004[ln(]4ln 24x =-+-=-+⎰⎰ 其中21111222000001222(1)2(arctan )2(1)1114t t tdt dt dt t t t t t π⋅==-=-=-+++⎰⎰⎰ 所以，原式=4ln 28(1)824ln 24ππ-+-=--16、（本题满分10分）设数列{}n a 满足条件03a =，11a =，2(1)0(2)n n a n n a n ---=≥，()S x 是幂级数nn n a x∞=∑的和函数.（Ⅰ）证明：()()0S x S x ''-=；（Ⅱ）求()S x 的表达式. 【考点】二阶常系数齐次线性微分方程 【难易度】★★★【详解】（Ⅰ）证明：0()nn n S x a x∞==∑，11()n nn S x na x∞-='=∑，222()(1)(2)(1)n n n n n n S x n n a xn n a x ∞∞-+==''=-=++∑∑20()()[(2)(1)]n n n n S x S x n n a a x ∞+=''-=++-∑因为2(1)0n n n n a a ---=，0n ≥，所以2(2)(1)0n n n n a a +++-= 所以()()0S x S x ''-=（Ⅱ）()()0S x S x ''-=为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为210λ-=，从而1λ=± 于是微分方程的通解为12()xx S x C eC e -=+由0(0)3S a ==，1(0)1S a '==，得1212123,1,21C C C C C C +=⎧⇒==⎨-+=⎩所以()2xx S x ee -=+17、（本题满分10分）求函数3(,)()3x yx f x y y e +=+的极值.【考点】多元函数的极值 【难易度】★★★ 【详解】先求驻点，令323()0132(1)033x y x y f x x y e x x f x y y e y ++⎧∂=++==-⎧⎪∂⎪⎪⇒⎨⎨∂=-⎪⎪=++=⎩⎪∂⎩或143x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩再求驻点处的二阶偏导数22321(22)3x y f x x y x e x +∂=+++∂， 2231(1)3x y f x y x e x y +∂=+++∂∂， 2321(2)3x yf y x e y +∂=++∂， 由于在点2(1,)3--处，52322(1,)3f A e x---∂==-∂，5232(1,)3f B e x y ---∂==∂∂，52322(1,)3f C e y---∂==∂20AC B ⇒-<，0A <，所以点2(1,)3--不是极值点.同样在点4(1,)3-处，12324(1,)33f A e x--∂==∂，1234(1,)3f B e x y --∂==∂∂，12324(1,)3f C e y--∂==∂20AC B ⇒->，0A >，所以点4(1,)3-是极小值点，极小值为134(1,)3f e --=-.18、（本题满分10分）设奇函数()f x 在[1,1]-上具有二阶导数，且(1)1f =，证明： （Ⅰ）存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξ'=； （Ⅱ）存在(1,1)η∈-，使得()()1f f ηη'''+=. 【考点】罗尔定理 【难易度】★★★【详解】（Ⅰ）由于()f x 在[1,1]-上为奇函数，故(0)0f =令()()F x f x x =-，则()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且(1)(1)10F f =-=，(0)(0)00F f =-=.由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈，使得()0F ξ'=，即()1f ξ'=.（Ⅱ）考虑()()1(()())(())xxxxf x f x e f x f x e e f x e ''''''''+=⇔+=⇔=[()]0x x e f x e ''⇔-=令()()xxg x e f x e '=-，由于()f x 是奇函数，所以()f x '是偶函数，由（Ⅰ）的结论可知，()()1f f ξξ''=-=，()()0g g ξξ⇒=-=.由罗尔定理可知，存在(1,1)η∈-，使得()0g η'=，即()()1f f ηη'''+=. 19、（本题满分10分）设直线L 过(1,0,0)A ，(0,1,1)B 两点，将L 绕z 轴旋转一周得到曲面∑，∑与平面0z =，2z =所围成的立体为Ω. （Ⅰ）求曲面∑的方程；（Ⅱ）求Ω的形心坐标. 【考点】旋转曲面；空间直线的对称式方程；形心 【难易度】★★★★【详解】（Ⅰ）直线L 过A 、B 两点，(1,1,1)AB =-u u u r ，所以直线L 的方程为1111x y z-==-1x zy z=-⎧⇒⎨=⎩ 所以其绕z 轴旋转一周的曲面方程为 2222222(1)222x y z z x y z z +=-+⇒+=-+22112()22x y z ⇒+--=（Ⅱ）设形心坐标为(,,)x y z ，Ω关于xoz ，yoz 对称，0x y ==.222222223222202220022214(22)73105(221)3x y z z x y z z zdzdxdyzdv z z z dz z dv zdz dxdy z z dz ππ+≤-+ΩΩ+≤-+-+=====-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以，Ω的形心坐标为7(0,0,)5. 20、（本题满分11分） 设110a A ⎛⎫=⎪⎝⎭，011B b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B -=，并求所有矩阵C.【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件 【难易度】★★★【详解】由题意可知矩阵C 为2阶矩阵，故可设1234x x C x x ⎛⎫=⎪⎝⎭.由AC CA B -=可得 12123434101011011x x x x a x x x x b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 整理后可得方程组2312413423011x ax ax a ax x x x x ax b-+=⎧⎪-++=⎪⎨--=⎪⎪-=⎩ ① 由于矩阵C 存在，故方程组①有解.对①的增广矩阵进行初等行变换：01001011110111101010001001011101010000101000a a a a aa a a ab b b -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪---++⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组有解，故10a +=，0b =，即1a =-，0b =.当1a =-，0b =时，增广矩阵变为10111011000000000000--⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭34,x x 为自由变量，令341,0x x ==，代入相应齐次方程组，得211,1x x =-=令340,1x x ==，代入相应齐次方程组，得210,1x x ==故1(1,1,1,0)T ξ=-，2(1,0,0,1)T ξ=，令340,0x x ==，得特解(1,0,0,0)Tη= 方程组的通解为112212112(1,,,)Tx k k k k k k k ξξη=++=++-（12,k k 为任意常数）所以121121k k k C k k ++-⎛⎫= ⎪⎝⎭.21、（本题满分11分）设二次型2123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记123a a a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123b b b β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅰ）证明二次型f 对应的矩阵为2T Tααββ+；（Ⅱ）若,αβ正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22122y y +【考点】二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩 【难易度】★★★ 【详解】（Ⅰ）证明：2123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++1111123212321232123233332(,,)(,,)(,,)(,,)a x b x x x x a a a a x x x x b b b b x a x b x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭112323(,,)(2)T T T x x x x x x Ax x ααββ⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭，其中2T T A ααββ=+所以二次型f 对应的矩阵为2TTααββ+. （Ⅱ）由于,αβ正交，故0TT αβαβ== 因,αβ均为单位向量，故1α==，即1T αα=.同理1T ββ=2(2)22T T T T T T A A ααββαααββααααββαα=+⇒=+=+=由于0α≠，故A 有特征值12λ=.(2)T T A βααββββ=+=，由于0β≠，故A 有特征值21λ=又因为()(2)(2)()()()1123T T T T T Tr A r r r r r ααββααββααββ=+≤+=+=+=<， 所以0A =，故30λ=.三阶矩阵A 的特征值为2，1，0.因此，f 在正交变换下的标准形为22122y y +.22、（本题满分11分）设随机变量X 的概率密度为21,03,()0,x x f x a ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，令随机变量2,1,,12,1,2x Y x x x ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩（Ⅰ）求Y 的分布函数；（Ⅱ）求概率{}P X Y ≤.【考点】连续型随机变量的概率密度的性质；连续型随机变量分布函数的计算；条件概率的计算【难易度】★★★★ 【详解】（Ⅰ）依题意有()1f x dx +∞-∞=⎰，即122300119193x dx x a a a a===⇒=⎰Y 的分布函数 {}()Y F y P Y y =≤由Y 的概率分布知，当1y <时，()0Y F y =； 当2y >时，()1Y F y =；当12y ≤≤时，{}{}{}{}{}()1111Y F y P Y y P Y P Y y P Y P X y =≤==+<≤==+<≤{}{}32232111121(18)9927y P X P X y x dx x dx y =≥+<≤=+=+⎰⎰所以Y 的分布函数为30,1,1()(18),12,271,2Y y F y y y y <⎧⎪⎪=+≤≤⎨⎪>⎪⎩（Ⅱ）{}{}32211912927P Y P X x dx ==≥==⎰，{}{}1201121927P Y P X x dx ==≤==⎰，{}71227P Y <<=. {}{}{}{}{}1122P X Y P X Y Y P Y P X Y Y P Y ≤=≤==+≤== {}{}1212P X Y Y P Y +≤<<<<{}{}{}191712272727P X P X P X X =≤+≤+≤ 2201911171911878272727927272727272727x dx =⨯++=⨯+⨯+=⎰23、（本题满分11分）设总体X 的概率密度为23,0,(;)0,x e x f x x θθθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他，其中θ为未知参数且大于零，12,,,n X X X L 为来自总体X 的简单随机样本.（Ⅰ）求θ的矩估计量；（Ⅱ）求θ的最大似然估计量.【考点】矩估计法；最大似然估计法 【难易度】★★★ 【详解】（Ⅰ）223200(;)()x x x EX xf x dx x e dx e dx e d x x xθθθθθθθθθ---+∞+∞+∞+∞-∞==⋅==-=⎰⎰⎰⎰ 令EX X =，则X θ=，即X θ=，其中11ni i X X n ==∑.（Ⅱ）对于总体X 的样本值12,,,n x x x L ，似然函数为2311()(;)in nx i i iL f x exθθθθ-====∏∏（0i x >），31ln ()(2ln ln )ni i iL x x θθθ==--∑，令11ln ()2121()0n n i i i i d L n d x x θθθθ===-=-=∑∑，得121n i inx θ==∑θ的最大似然估计量12ˆ1ni inX θ==∑.。