第二章 晶格振动和晶格缺陷

第二章 晶格振动和晶格缺陷上一章里，把组成晶体的原子或离子看成是固定不动的，都处在其平衡位置上。

实际晶体中的原子却是不停地在其平衡位置附近做热振动的，并且随着温度的升高，振动会不断加剧。

这种热振动也称晶格振动，它会破坏晶格的周期性，在晶格中造成缺陷，从而对半导体的性质产生重要影响。

实际三维晶体中原子的振动现象很复杂，我们只分析一维晶体（单原子和双原子链）的振动，然后将所得到的规律和结论推广到三维晶体中。

§2-1 一维均匀线的振动为研究一维原子链的振动，首先复习一下一维均匀线中弹性波（纵波）的传播现象。

设均匀线的质量密度为ρ，弹性模量为K ，又设线上每一点只能沿线本身的方向运动，如图2-1所示。

若在线段x ∆上施加一作用力，它将引起x 点的纵向位移u （x ）。

此时在x 处的相对伸长，即形变为x u x e ∂∂=)(，在x x ∆+处的形变则为x xu x e x x e ∆∂∂+=∆+22)()(。

因此在线元x ∆上的作用力[]x xuK x e x x e K F x ∆∂∂=-∆+=∆22)()( （2-1）此作用力还可表示为线元质量x ∆ρ乘上加速度22tu∂∂，即22tux F x ∂∂∆=∆ρ （2-2）从而有 22t u ∂∂=22222xu x u K ∂∂=∂∂υρ （2-3） 式中，ρυK=是弹性波的传播速度（声波速度），与振动频率无关。

（2-3）式称线性振动方程，其解为具有如下形式的简谐波[])(e x p ),(t qx i A t x u ω-= （2-4） 式中，A 为振幅，πνω2=为角频率，ν为振动频率，λπ2=q 为波矢（波数λ1π2⨯），λνυ=为波速，从而有q υλπυπνω===/22 （2-5）即ω与波矢q 成正比。

q 的绝对值可取∞→0，因而振动频率也可取∞→0，且与q 是一一对应的。

（2-5）式也称波的色散关系。

§2-2 一维单原子链的振动晶体由周期性排列的原子构成。

由于晶体微观结构的这种不连续性，使得晶体中原子的振动具有与连续媒质弹性振动不同的特点。

由于原子之间的相互作用，每个原子的振动并不是彼此孤立的，而是一个原子的振动要依次传递给其他原子。

晶体中的原子振动，总体而言，也是以波的形式在晶体中传播的。

这种晶体中原子振动波称格波。

下面分析质量为m 、间距为a （晶格常数）的一维单原子链的晶格振动。

如图2-2所示，假设第n 个原子的位移为u n 。

若这个原子从平衡位置偏离不大，则其受到的相互作用力可认为是准弹性的，并与原子间距的变化成比例。

因此，在忽略包括次近邻以外原子的作用后，n 原子所受到的作用力F n 为n-1和n+1两个最近邻原子的作用力之和，即)2()()(1111n n n n n n n n u u u u u u u F -+=---=-+-+βββ （2-6）式中，β称准弹性力常数且a K /=β，即a K β=，K 为弹性模量。

于是，第n 个原子的运动方程可写为=22dtu d m n)2(11n n n u u u -+-+β （2-7）该方程的解为简谐波[])(e x p t q n a i A u n ω-= （2-8） 将（2-8）代入（2-7）得)2(2-+=--i q a i q a e e m βω=[]2sin 4)cos 1(22qa qa ββ-=-- 从而有 2s i n422qam βω= （2-9） 于是得 2s i n 2s i n )(22/1qaqa m m ωβω== （2-10）式中，2/1)/(2m m βω=为最大振动角频率。

（2-10）式即为一维单原子链的色散关系或频谱分布。

从而一维单原子链中准弹性波的传播速度为λπβπλπωλνλυam sin)/(22/1=== （2-11） 与波长有关。

一维单原子链的格波（简谐波）具有以下性质：1．所有原子都以相同的角频率ω和振幅A 作简谐振动；2．各原子之间有一均匀变化的位相差。

位相差的大小由原子之间的距离a 和波长qπλ2=决定。

近邻原子间的位相差为a a q λπ2=； 3．如果两个波矢'q q 和之间存在以下关系l aq q π2'+= （l 为任意整数） （2-12） 则相应于这两个波矢的格波所引起的原子振动是相同的。

**因为，对于'q 格波，原子振动为[][]t)-exp )2exp()(exp 2(exp 'ωπωωπqna A nl i t qna i A t na l a q i A u n （）=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+= =u n (2-13)与波矢为q 的格波所引起的原子的振动相同。

因此，当q 在2π/a 的范围内变化时，能够给出所有的独立格波。

为了明确起见，通常限制aq a ππ<≤- （2-14）波矢q 的这一变化范围，称为第一布里渊区。

格波之所以具有上述性质，是因为晶体中的原子不是连续分布，而是周期排列的。

由于q 在a a ππ和-之间取值，故当aq π=max 时，相应的格波波长最小，为a q 22maxmin ==πλ。

这个结果的物理意义是很清楚的。

小的格波。

图2-3中，图2-3 一维单原子链中不同波长的格波画出了)6(62a a q ==λπ和)2(a a q ==λπ的两个格波。

而)7/6(62*7a a q ==λπ的简谐波与a q 62π=相差aπ2，半波长小于a ，故不属于格波。

§2-3 一维双原子链的振动如图2-4所示，假设在质量为m 1和m 2的两种原子组成的晶格常数为a 的一维晶体中，分别用序列号'n 和"n 标志第n 个原胞中的m 1和m 2原子，用'n u 和"n u 表示'n 和"n 位置原子的位移，并认为相邻原子之间的弹性力常数β相等，则可写出以下两种原子的运动方程'"1"2'212(n n n n u u u dtu d m -+=-β）)2("''12"22n n n n u u u dtu d m -+=+β （2-15） 上述方程的解为[])(e x p 1't qna i A u n ω-=[])(e x p 2"t q n a i A u n ω-= 3,2,1,0±±±=n （2-16）将（2-16）代入（2-15）得0)1()2(2121=+---A e A m i q a βωβ0)2()1(2221=--+A m A e i q a ωββ （2-17）这是一个二元线性齐次联立方程组。

若要A 1和A 2不同时为零，则其系数行列式必须等于零。

即)2()1()1()2(2221ωβββωβm e e m i q a i q a-++--=0 （2-18） 利用qa e e iqa iqa cos 2=+-和2sin 2cos 12qaqa =-，可得 02s i n 422212221214=++-qa m m m m m m βωβω （2-19）从而有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=2s i n 112222021qa r ωω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2s i n 112222022qa r ωω (2-20)式中,2121202m m m m +=βω,221212)(4m m m m r +=。

由（2-20）可知，每个q 对应两个ω（负ω无意义）。

因此，在原胞中有两个原子的一维晶体中有两支振动波（格波），其中频率较高者与晶体的光学性质有关，通常称光学波。

而频率较低者则与宏观弹性波（声波）有密切关系，通常称声学波。

图2-5给出了一维双原子链振动频率与波矢之间的关系。

下面讨论两种极端情况，即对波长最长和最短的格波进行讨论。

1）对q=0和q=π/a 有 01)0(ωω= ， 201112)(r a -+=ωπω0)0(2=ω ， 202112)(r a--=ωπω （2-21）从而有 )0()()()0(22101ωπωπωωω〉〉〉=aa =0 （2-22）2）对无限长波长声学波，0)0(2=ω，从而由（2-16）和（2-17）式有1)(21"'==A Au u nn （2-23）即此时两个原子的位移相同。

这意味着无限长声学波中，两个原子的振动是同步的，并在任何时刻它们偏离平衡位置的方向相同，与弹性波类似，故称其为声学波。

3）对无限长波长光学波，最大频率01)0(ωω=。

根据（2-16）和（2-17）式有： 1221"'m mA A u u n n -== （2-24）因此，在无限长光学波中，同一原胞中的两个原子反向位移，位相相反，质量中心不动，即0"2'1=+n n u m u m 。

如果原胞由两个符号不同的离子组成，它们的反位相振动将导致原胞电偶极矩的变化，从而引起红外光的吸收和发射，故称其为光学波。

4）对较长波长格波，即q 较小时，有22sin qa qa ≈，从而（2-20）式中的根号项可展成级数，结果对光学波有：)321(22201q a r -≈ωω (2-25) 当0→q 时，光学波的相速度∞→=qf 1ωυ,而群速度0162201→-==q a r dq d g ωωυ. 而对声学波则有：q q m m a raq υβωω=+=≈)(2412102 （2-26）式中，a K /2=β。

上式表明,对于长声学波，振动频率正比于声速ρβυKm m a=+=)(221且相速度与群速度均等于声速，即：υυυ==g f 。

这意味着当q 较小时，晶格原子的声学波对应于通常的声波，其传播速度等于晶体中的声速。

5）对最短波长aq a πλ==,2min ，此时光学波的振动频率最小，而声学波的频率最高，分别为：m i n 12/111)/2()(ωβπω==m a 和max 22/122)/2()(ωβπω==m a§2-4 玻恩---卡门边界条件（周期性边界条件）前两节讨论了分布在无限长直线上的原子振动问题，得到的格波频谱分布是连续的。

然而，实际晶体大小总是有限的。

对有限晶体，边界附近的原子与内部原子所处的环境有所不同，晶体结构的周期性被破坏，这给分析问题带来不便。

为克服这一困难，玻恩、卡门提出了一种理想化的边界条件-----周期性边界条件：要求原子的运动具有以实际的有限晶体为周期的周期性。

该条件虽然有一定的人为性，但对所讨论的问题一般影响不大（为什么？），可得到一些重要结论。

下面用周期性边界条件讨论一维单原子链和双原子链问题。

1）对于一维单原子链，设想其由N 个相同的原子组成，这些原子以等间距a 排列在一条长为L=Na 的直线上。