初中数学常见运算错误及其成因分析

初中数学常见运算错误及其成因分析

作者：洪桂华

来源：《理科考试研究·初中》2013年第05期

初中数学运算是学生利用所学数学知识解决数学习题过程的重要组成部分，作为数学学习情况的第一手直接反馈材料，我们可以从学生的运算过程中的表现来判断学生对数学知识的掌握情况，并对下一阶段的数学教学提供有益思考.其中，对学生数学运算的错误进行分析显得尤为重要，因为成功的数学运算过程往往意味着知识已经成功掌握，这种内化在教师心中的数学教学思路会成为教学中“自然流淌的血液”，而错误的运算则往往意味着教师的教与学生的学出现了对接不上的情况.因此对其的分析可以让我们从自身的教，从学生的学，以及从数学知识本身所起的教学衔接作用进行思考，从而提高教师的教学及研究水平.近年来，笔者结合课题研究，对初中数学教学中的常见运算错误进行了思考与梳理，对错误的成因进行了一些分析与判断，现将自己的思考所得写成文章，既作为研究以来的阶段性总结，也希望能够对初中数学教学同行起到一点参考作用.

一、初中数学常见的运算错误及原因探究

一般情况下，我们遇到学生在初中数学学习过程中的运算错误时，会经验性地作出一些判断.但这些判断有时可能只是对错误表面现象的一种描述，由于缺少专业化的深刻分析，因而不能对学生的错误原因作出准确的把握，随之而来的改进措施就有偏离方向的风险.因此，在笔者看来，对初中阶段的运算错误及原因探究首先在于对学生学习规律的把握.

笔者认为，要想真正达到有效把握的境地，可以从这样几个方面进行思考.一是要认真观察学生的学习过程，尤其是知识建构的过程，对这个过程的观察能够发现学生在知识学习过程中（在本课题研究中重点强调关注学生对运算规则的把握与运用过程）的心理活动，从而获得学生运算的第一手资料.二是要理论联系实际.这里所说的理论主要是基于义务教育数学课程标准提出的数学教学理念、方法，以及基于数学学习心理的相关知识.作为研究学习规律的教育（学习）心理学，其是一种非常好的学习科学理论，通过这些理论建立的学习模型及其分析，可以很好地把握数学学习的规律，当然也可以很好地发现数学运算过程中的错误及原因.笔者拙作就尝试从这两个方面加以描述，下面以示例分析之.

其一，基于原有经验出现的运算规则直觉运用错误.在数学学习的过程中，尤其是在一个数学规则运用的初步阶段，学生的运算心理往往凭借的不是运算规则，而是直觉，而这一思维极其容易导致运算错误，笔者称之为直觉运用错误.比如说，由于前置概念的存在，学生会把代表数的符号看成一个自然数，也就是说当在符号前面加上负号时（如-a），学生就会认为其是一个负数，于是类似于-a

其二，基于运算规则的不全面理解引起的顾此失彼性错误.这一类错误一般数学教师都比较熟悉，但常常归因为学生粗心或马虎.笔者认为这种基于表面现象得出的马虎结论，并让学

生“下次运算要小心”的矫正策略效果是不大的，在实际教学中我们看到的现象恰恰是学生无论怎样小心，类似的错误仍然不断地发生.因此，笔者更深入一步了解，知道了学生其实是对运算规则把握不全面，在运算过程中顾此失彼引发了错误.例如，在让学生将23x2+xy+34y2分解因式时，不少学生会通过运算得到8x2+12xy+9y2的结果，为什么会这样呢？只有仔细观察才会发现学生采用的是“去分母”的方法，可他在顾此的同时失去了“这是因式，不可以套用去分母”这个彼.分析学生的这一运算过程，并结合学习心理的相关知识，我们可以寻找到这样的解释，即学生在运算过程中由于对因式分解规则的理解不全面，不同知识之间的错误联系，导致了对运算规则产生了错误运用.

其三，对数学运算规则的简单理解造成的简单化错误.数学知识作为自然学科的一种，简洁是其区别于其它学科的一个重要特点.我们可以看到所有的数学概念、运算规则都是用最简单的语言和符号表达出来的，在对这种智慧的结晶进行学习的过程中，我们也常常跟学生强调这种简洁美.但有时物极必反，学生对这些运算规则的理解会出现简单化的情形，因而会导致一些错误的发生.比如说几乎每一届的教学中都会有学生犯（a+b）2=a2+b2的错误，是（a+b）2=a2+2ab+b2很难记忆吗？不是.那为什么有些学生老是犯错误呢？是因为（a+b）2=a2+b2其实更符合学生内心认识的一种需要，在运算过程中只要一不留神，这种简单思想就会引导学生出错.

二、基于成因针对常见的运算错误的矫正策略

既然我们寻找到了学生的错误原因，那在实际教学中我们就要采取有效的矫正策略，来帮学生改掉这些错误.而且这里需要强调的是，我们矫正错误的策略不能只基于某一题的错误矫正，应该是帮学生矫正错误的思维策略，以为一类错误的改正提供坚实保证.

其一，针对运算规则直觉运用错误，我们可以采用顺应的教学思维，通过将学生在运算规则的学习过程中，对一些可能无法有效地同化到原有知识结构中的知识采用顺应的教学方式.比如说上面所举的-a的简单例子，在教学中可以增加一小小的教学环节即可有效地实施矫正.笔者常用的一个简单方法就是在符号教学的基础上多走一步，通过三个左右的数值来代替符号，让学生进行运算.由于学生更熟悉数值运算，又由于本教学环节中数值与符号关系密切，因此可以实现顺利的过渡.

其二，针对基于运算规则的不全面理解引起的顾此失彼性错误，我们可以采用错例分析的教学策略，让学生在比较中生成正确的运算思路.根据我们的教学经验，在新的运算规则学习的过程中，学生是不可能不犯错误的，而对错误的分析是一种特别有效的矫正策略.比如说上例中提到的23x2+xy+34y2变成8x2+12xy+9y2，我们就可以带领学生分析其与正确答案的差异，同时比较因式分解与等式变形之间的联系与区别，并最终让学生自主寻找原因所在.事实表明，哪怕是再简单的比较过程，也比教师单向的解释提醒要好得多.

其三，针对简单理解造成的简单化错误，被证明行之有效的矫正策略一般是变式训练，此不赘述.

三、一点总结

在课题研究的过程中，笔者一个重要认识是学生运算过程中的错误往往都有着深层次的原因，如果我们只是满足于表面现象的分析，那就难以寻找到背后真正的原因.而基于对现象的深入观察与分析并寻找理论解释，是矫正策略的重要基础.从这个角度看，对于包括运算过程中的常见错误及成因分析在内的研究，我们仍在探究的路上.