2020届江苏高考数学(理)总复习讲义：基本不等式及其应用
(江苏专用)2020版高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本不等式及不等式的应用课件
本不等式等有关知识,利用点到直线的距离公式变形考查学生的运算求解能力,体现了从几何
关系到代数关系的直观想象和数学运算的核心素养.
设P
x0 ,
x0
4 x0
,x0>0,则点P到直线x+y=0的距离d=
x0
x0
4 x0
2
=
2
x0
2 x0
≥4,当且仅当x0= x20 ,
1 2
c,
3 2
c
,C
1 2
a,
3 2
a
,D
(1,0),由A,D,C三点共线,
得
3c 2
=
3 2
a
,化简得ac-a-c=0,即 1 + 1 =1,
1 c 1 1 a 1
ac
2
2
所以4a+c=(4a+c) 1a
1 c
=5+ c + 4a ≥9,
得 1 acsin 120°= 1 csin 60°+ 1 asin 60°,
2
2
2
则ac=a+c,即 1 + 1 =1,
ac
所以4a+c=(4a+c) 1a
1 c
=5+ c + 4a ≥9,当且仅当a= 3 ,c=3时取等号.故4a+c的最小值为9.
ac
2
解法二(解析法):以B为原点,BD所在直线为x轴,建立直角坐标系,则A
即x0= 2 时取“=”.
江苏高考数学理一轮复习课件7.3基本不等式及其应用
2．利用基本不等式求最值：
(1)已知 x，y∈R ，如果积 xy 是定值 P，那么当 x＝y
2 P 时，和 x＋y 有最小值_____.
＋
(2)已知 x、y∈R＋，如果和 x＋y 是定值 S，那么当 x 1 2 S ＝y 时，积 xy 有最大值_____. 4
ac 2 (2)∵3a－2b＋c＝0， ∴2b＝3a＋c≥2 3ac， ∴ b ≤ ＝ 2 3 3 .当且仅当 b＝3a＝c 时等号成立． 3
答案 (1)1 3 (2) 3
[方法总结] 利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、
二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法 为：拆、凑、代换、平方．
证明
∵ a＞ 0， b＞ 0， c＞ 0， bc ca bc ab · ＝ 2c； ＋ ≥ 2 a b a c bc ab · ＝ 2b； a c
2 【训练 1】 (1)已知 0＜ x＜ ，则 y＝ 2x－ 5x2 的最大值为 5 ________． (2)若 x， y∈ (0，＋∞ )且 2x＋8y－ xy＝0，则 x＋y 的最 小值为________．
解析
1 (1)y＝2x－5x ＝x(2－5x)＝ · 5x· (2－5x)， 5
2
2 ∵0＜x＜ ，∴5x＜ 2,2－等式性质的考查，多以填空形式出现，是高考的热点， 主要考查不等式的证明以及求最值等问题．常与实际问题
相结合，以解答题形式出现．另外，不等式的证明经常与
数列、函数等知识综合考查，难度一般较大．
考点自测
a＋b 1 2 1． 下列不等式： ①a ＋1＞2a； ② ≤2； ③x ＋ 2 ≥1. x ＋1 ab
2020年高考数学总复习 第八单元第四节 基本不等式及其
最值时,要注意三个条件,即“一正、二定、三相等”，本题常见
的错解为：
∵x>0,y>0,∴
8 x
2 y
(
8 x
2 )(x y
y).此2 法x1错y6 误2 的xy原因1是6 没有考
虑等号成立的条件 和x=y同时成立是不可能的.所以在不等
式连续放缩的时候,要时刻注意是否在同一条件下进行放缩,放
(2)小题中 a+3a4虽不是定值,但变形为 +a(3a-44)+4即可发 现 3×(a-4)=3为定值,故可用基本不等式求之.分式函数求
a4 最值,通常化成y=mg(x)+A +B(A>0,m>0),g(x)恒正或恒负)的
g(x)
形式,然后运用基本不等式来求最值. (2)第(3)小题要求根据条件求最值,如何合理利用条件x+y=1是
题型三 实际应用
【例3】 (14分)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境， 计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个 相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为2m002 的十字型区域.现
计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 20m0元2 / ,在四个相
同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元m/2 ，
2
3. 利用基本不等式求最值问题
已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当 x=时y,x+y有
是 2 p.(简记:积定和最小)
值最小
(２)如果和x+y是定值p,那么当且仅当 x=时y , xy有 和定p积2 最大)
(江苏专用)2020版高考数学复习第七章不等式、推理与证明、数学归纳法7.4基本不等式及其应用教案
§7.4 基本不等式及其应用 考情考向分析 主要考查利用基本不等式求最值．常与函数、解析几何、不等式相结合考查，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度为中档．1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(a ≥0，b ≥0)(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？ 提示 不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x无最小值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( × ) (2)“x >0且y >0”是“x y ＋y x ≥2”的充要条件．( × )(3)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( × ) (4)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 有相同的成立条件．( × )(5)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )题组二 教材改编2．[P88T4]设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________．答案 81解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ， 即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81. 3．[P89例1]若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_______m 2.答案 25解析 设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ， ∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.题组三 易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 充要解析 当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1时等号成立)． 因为x ，1x同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的充要条件． 5．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________. 答案 3 解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3. 6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是________．答案 5解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5， 所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1x ＝15⎝⎛⎭⎪⎫4＋9＋3y x ＋12x y ≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12x y，即y ＝2x ＝1时，“＝”成立， 故4x ＋3y 的最小值为5.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(4－3x )22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号． (2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________． 答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立． (3)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________． 答案 15解析 y ＝x －1x －1＋4＋x －1，当x －1＝0时，y ＝0，当x －1>0时，y ＝1x －1＋4x －1＋1≤14＋1＝15， ∴当且仅当x －1＝4x －1等号成立， 即x ＝5时，y max ＝15. 命题点2 常数代换法例2(1)(2018·江苏省盐城市东台中学质检)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值为________．答案 3＋2 2解析 由x >0，y >0，得(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝3＋y x ＋2x y≥3＋22， 当且仅当y ＝2x 时等号成立，又1x ＋2y＝1，则x ＋y ≥3＋22， 所以x ＋y 的最小值为3＋2 2.(2)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________． 答案 94解析 正数x ，y 满足(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，∴4x ＋2＋1y ＋1＝14[(x ＋2)＋(y ＋1)]⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1 ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋x ＋2y ＋1＋4(y ＋1)x ＋2 ≥14⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋2x ＋2y ＋1·4(y ＋1)x ＋2＝94， 当且仅当x ＝2y ＝23时，⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2＋1y ＋1min ＝94. 命题点3 消元法例3已知正实数a ，b 满足a 2－b ＋4≤0，则u ＝2a ＋3b a ＋b的最小值为________． 答案 145解析 ∵a 2－b ＋4≤0，∴b ≥a 2＋4，∴a ＋b ≥a 2＋a ＋4.又∵a ，b >0，∴a a ＋b ≤a a 2＋a ＋4， ∴－aa ＋b ≥－a a 2＋a ＋4， ∴u ＝2a ＋3b a ＋b ＝3－a a ＋b ≥3－a a 2＋a ＋4 ＝3－1a ＋4a ＋1≥3－12 a ·4a＋1＝145， 当且仅当a ＝2，b ＝8时，两等号同时成立，即取得最小值．思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法．跟踪训练1(1)若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c的最小值是________． 答案 3解析 ∵a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，∴a ＋b ＋c ＋1＝3，且a ＋1>0，b ＋c >0.∴4a ＋1＋1b ＋c ＝13·(a ＋1＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1＋1b ＋c ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4(b ＋c )a ＋1＋a ＋1b ＋c ≥13(5＋4)＝3. 当且仅当a ＋1＝2(b ＋c )，即a ＝1，b ＋c ＝1时，等号成立．(2)(2018·苏北四市考试)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝3，|x |≠|y |，则1(2x ＋y )2＋4(x －2y )2的最小值是________．答案 35解析 由已知可得(2x ＋y )2＋(x －2y )215＝1， ∴1(2x ＋y )2＋4(x －2y )2 ＝(2x ＋y )2＋(x －2y )215×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(2x ＋y )2＋4(x －2y )2 ＝115⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋(x －2y )2(2x ＋y )2＋4(2x ＋y )2(x －2y )2≥115(5＋4)＝35， 当且仅当|x －2y |＝2|2x ＋y |时取等号．(3)若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫0<x <12，则3x ＋1y －3的最小值为________． 答案 8解析 由已知得，x ＝3y ＋3， 又0<x <12，可得y >3， ∴3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6 ≥2(y －3)·1y －3＋6＝8， 当且仅当y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝37时，⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1y －3min ＝8.题型二 基本不等式的实际应用例4某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10000x－1450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1000x 万元，依题意得当0<x <80时，L (x )＝1000x ×0.05－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋10x －250 ＝－13x 2＋40x －250； 当x ≥80时， L (x )＝1000x ×0.05－⎝ ⎛⎭⎪⎫51x ＋10000x －1450－250 ＝1200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x . ∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －13x 2＋40x －250，0<x <80，1200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x ，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950. 对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )max ＝950万元；当x ≥80时，L (x )＝1200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x ≤1200－210000＝1000(万元)，当且仅当x ＝100时，L (x )max ＝1000万元，综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大．思维升华(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 跟踪训练2(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是_______． 答案 30解析 一年的总运费为6×600x ＝3600x(万元)． 一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎪⎫3600x ＋4x 万元． 因为3600x ＋4x ≥23600x·4x ＝240， 当且仅当3600x＝4x ，即x ＝30时取得等号， 所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．题型三 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例5在△ABC 中，点P 满足BP →＝2PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM→＝mAB →，AN →＝nAC →(m >0，n >0)，则m ＋2n 的最小值为________．答案 3解析 ∵AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋23()AC →－AB → ＝13AB →＋23AC →＝13m AM →＋23nAN →， ∵M ，P ，N 三点共线，∴13m ＋23n＝1， ∴m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ＋23n ＝13＋43＋2n 3m ＋2m 3n ≥53＋22n 3m ×2m 3n＝53＋43＝3， 当且仅当m ＝n ＝1时等号成立．命题点2 求参数值或取值范围例6已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________． 答案 4解析 已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋ax y≥a ＋2a ＋1， 当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9， ∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4.思维升华求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练3(1)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C的最小值为____． 答案 32解析 由△ABC 的面积为2，所以S ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8， 在△ABC 中，由正弦定理得2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋b c＝2cb b (c ＋2b )＋b 2bc＝168＋2b 2＋b 28＝84＋b 2＋b 2＋48－12≥284＋b 2·b 2＋48－12＝2－12＝32， 当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立．(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a >0，b >0)的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，则8a ＋b ab的最小值是________．答案 9解析 由函数f (x )＝ax 2＋bx ，得f ′(x )＝2ax ＋b ，因为函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2a ＋b ＝2，所以8a ＋b ab ＝1a ＋8b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋8b (2a ＋b ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫10＋b a ＋16a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2b a ·16a b ＝12(10＋8)＝9， 当且仅当b a ＝16a b ，即a ＝13，b ＝43时等号成立， 所以8a ＋b ab的最小值为9.利用基本不等式求解实际问题数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题．过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题．例某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，即k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 每万件产品的销售价格为1.5×8＋16x x(万元)， ∴2019年的利润y ＝1.5x ×8＋16x x －8－16x －m ＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)．(2)∵m≥0时，16m＋1＋(m＋1)≥216＝8，∴y≤－8＋29＝21，当且仅当16m＋1＝m＋1，即m＝3(万元)时，y max＝21(万元)．故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．素养提升利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．1．函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为________．答案 4解析 f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥24＝4，当且仅当x ＝±2时，等号成立．2．已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1b的最小值为________．答案 9解析 由题意知，正数a ，b 满足a ＋b ＝1， 则4a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b (a ＋b )＝4＋1＋4b a＋ab≥5＋24b a ·ab＝9，当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝23，b ＝13时等号成立，所以4a ＋1b的最小值为9.3．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为________． 答案 4解析 由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b＝1，所以a＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4.4．(2018·扬州模拟)已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝xy ，则3x x －1＋2y y －1的最小值为________． 答案 5＋2 6解析 ∵正实数x ，y 满足x ＋y ＝xy ，即1x ＋1y＝1，∴1－1x ＋1－1y＝1，又3x x －1＋2y y －1＝31－1x ＋21－1y，∴3x x －1＋2yy －1＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫31－1x＋21－1y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ＋1－1y ＝5＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1y 1－1x＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1－1y≥5＋26，等号成立的条件为3⎝⎛⎭⎪⎫1－1y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2.5．(2018·江苏省无锡市第一中学期末)在等差数列{a n }中，a n >0，a 4＝5，则1a 2＋9a 6的最小值为____． 答案 85解析 由题意得a 2＋a 6＝2a 4＝10， 所以1a 2＋9a 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋9a 6(a 2＋a 6)×110＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋a 6a 2＋9a 2a 6≥110(10＋29)＝85.当且仅当a 6＝3a 2＝152时等号成立．故1a 2＋9a 6的最小值为85. 6．已知函数f (x )＝e x 在点(0，f (0))处的切线为l ，动点(a ，b )在直线l 上，则2a ＋2－b的最小值是________． 答案2解析 由题意得f ′(x )＝e x，f (0)＝e 0＝1，k ＝f ′(0)＝e 0＝1.所以切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0，∴a －b ＋1＝0，∴a －b ＝－1，∴2a＋2－b≥22a ·2－b ＝22a －b＝22－1＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝－12，b ＝12时取等号. 7．设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________． 答案 6解析 由xy ＋x －y －10＝0，得x ＝y ＋10y ＋1＝9y ＋1＋1， ∴x ＋y ＝9y ＋1＋1＋y ≥29y ＋1·(1＋y )＝6， 当且仅当9y ＋1＝1＋y ，即y ＝2时，等号成立．8．已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，且△ABC 的面积为334，则a 的最小值为________． 答案3解析 由题意得b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴2bc cos A ＝bc ，∴cos A ＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝π3.∵△ABC 的面积为334，∴12bc sin A ＝343，∴bc ＝3. ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴a 2≥2bc －bc ＝bc ＝3(当且仅当b ＝c 时，等号成立)， ∴a ≥ 3.9．(2018·扬州模拟)已知正实数x ，y 满足5x 2＋4xy －y 2＝1，则12x 2＋8xy －y 2的最小值为_______． 答案 73解析 方法一 因为5x 2＋4xy －y 2＝1，所以y 2－5x 2＋1＝4xy ≤x 2＋4y 2(当且仅当x ＝2y 时，取“＝”)， 即6x 2＋3y 2≥1， 所以2x 2＋y 2≥13，所以12x 2＋8xy －y 2＝12x 2＋2(y 2－5x 2＋1)－y 2＝2x 2＋y 2＋2≥13＋2＝73.方法二 因为5x 2＋4xy －y 2＝1， 则12x 2＋8xy －y 2＝12x 2＋8xy －y25x 2＋4xy －y2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2＋8·xy －15⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2＋4·x y－1.令t ＝x y，则t ∈(0，＋∞)，设f (t )＝12t 2＋8t －15t 2＋4t －1＝2＋2t 2＋15t 2＋4t －1，则f ′(t )＝8t 2－14t －4(5t 2＋4t －1)2＝2(4t ＋1)(t －2)(5t 2＋4t －1)2，令f ′(t )＝0，得t ＝2，则f (t )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 所以f (t )min ＝f (2)＝73.10．已知a ，b 为正实数，且(a －b )2＝4(ab )3，则1a ＋1b的最小值为________．答案 2 2解析 由题意得(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ， 代入已知得(a ＋b )2＝4(ab )3＋4ab ，两边同除以(ab )2得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ab 2＝4(ab )3a 2b 2＋4ab a 2b 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋1ab ≥4·2ab ·1ab＝8，当且仅当ab ＝1时取等号． 所以1a ＋1b≥22，即1a ＋1b的最小值为2 2.11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20 ＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x·2x y＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 12.某人准备在一块占地面积为1800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 的值最大，则x ，y 的值各为多少？ 解 (1)由题意可得xy ＝1800，b ＝2a ， 则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，所以S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a ＝(3x －8)y －33＝1808－3x －83y (x >3，y >3)． (2)方法一 S ＝1808－3x －83×1800x＝1808－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4800x ≤1808－23x ×4800x＝1808－240＝1568，当且仅当3x ＝4800x ，即x ＝40时等号成立，S 取得最大值，此时y ＝1800x＝45，所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值． 方法二 设S ＝f (x )＝1808－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4800x (x >3)，则f ′(x )＝4800x 2－3＝3(40－x )(40＋x )x2， 令f ′(x )＝0，则x ＝40， 当0<x <40时，f ′(x )>0； 当x >40时，f ′(x )<0.所以当x ＝40时，S 取得最大值，此时y ＝45.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a －c b ＝cos C cos B ，b ＝4，则△ABC 面积的最大值为________． 答案 4 3解析 ∵2a －c b ＝cos Ccos B ，∴(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ＝sin(B ＋C )＝sin A . 又sin A ≠0，∴cos B ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π3.由余弦定理得b 2＝16＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴S △ABC ＝12ac sin π3≤12×16×32＝4 3.故△ABC 面积的最大值为4 3.14．已知P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一个动点，过点P 作圆(x ＋1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别是A ，B ，则PA →·PB →的取值范围为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－3，569解析 如图，由题意设∠APB ＝2θ，则PA ＝PB ＝1tan θ，∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|cos2θ ＝1tan 2θ·cos2θ ＝1＋cos2θ1－cos2θ·cos2θ，设cos2θ＝t ，则t <1,1－t >0， ∴PA →·PB →＝t (1＋t )1－t ＝(1－t )＋21－t －3≥2(1－t )·21－t－3＝22－3，当且仅当1－t ＝21－t ，即t ＝1－2时等号成立，此时cos2θ＝1－ 2.又当点P 在椭圆的右顶点时，sin θ＝13，∴cos2θ＝1－2sin 2θ＝79，此时PA →·PB →最大，且最大值为1＋791－79×79＝569.∴PA →·PB →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－3，569.15．已知曲线C ：y 2＝2x ＋a 在点P n (n ，2n ＋a )(a >0，n ∈N )处的切线l n 的斜率为k n ，直线l n 交x 轴、y 轴分别于点A n (x n,0)，B n (0，y n )，且|x 0|＝|y 0|.给出以下结论： ①a ＝1；②当n ∈N *时，y n 的最小值为233；③当n ∈N *时，k n >2sin12n ＋1； ④当n ∈N *时，记数列{}k n 的前n 项和为S n ，则S n <2(n ＋1－1)． 其中，正确的结论有________．(写出所有正确结论的序号) 答案 ①②④ 解析 令y ＝12(2)x a +，所以y ′＝1212(2)x a -+×2＝12(2)x a -+，k n ＝12(2)x a -+，所以l n ：y －2n ＋a ＝12(2)x a -+(x －n )，所以x 0＝－a ，y 0＝a ，∴a ＝a ∴a ＝1，①对； 令t ＝2n ＋1≥3，所以y n ＝2n ＋1－n 2n ＋1＝t －t 2－12t ＝12t ＋12t ，所以y n ≥123＋123＝233，②对；令f (x )＝x －2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，13，所以f ′(x )＝1－2cos x <0， 所以f (x )<f (0)＝0，即12n ＋1<2sin12n ＋1，③错；因为k n ＝12n ＋1<2n ＋1＋n＝2(n ＋1－n )，所以S n ＝k 1＋k 2＋…＋k n <2(2－1)＋2(3－2)＋…＋2(n ＋1－n )＝2(n ＋1－1)，④对．16．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧面BCC 1B 1的面积为46，求该正三棱柱外接球表面积的最小值．解 设BC ＝a ，CC 1＝b ，则ab ＝46， 底面三角形外接圆的半径为r ， 则asin60°＝2r ，∴r ＝33a .所以R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＝b 24＋a 23≥2b24·a23＝29612＝42，当且仅当a＝32b时，等号成立．所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为4π×42＝162π.。
2020江苏高考数学(文理通用)二轮培优新方案课件：第14讲 基本不等式及其应用、简单的线性规划问题
3．设正实数 x，y，z 满足 x2－3xy＋4y2－z＝0.则当xzy取得最 大值时，2x＋1y－2z的最大值为________．
解析：xzy＝x2－3xxyy＋4y2＝xy＋41xy－3≤4－1 3＝1，当且仅当 x＝ 2y 时等号成立，此时 z＝2y2，2x＋1y－2z＝－y12＋2y＝－1y－12＋1≤1， 当且仅当 y＝1 时等号成立，故所求的最大值为 1.
考法三 多元最值问题 [例 3] (1)(2019·南京、盐城一模)若正实数 a，b，c 满足 ab ＝a＋2b，abc＝a＋2b＋c，则 c 的最大值为________． (2)(2019·苏北三市期末)已知 x>0，y>0，z>0，且 x＋ 3y＋z ＝6，则 x3＋y2＋3z 的最小值为________．
∴x＋12y＋1的最小值为 4 3. xy
答案：4 3
课堂精析考情——锁定命题热点，精准才能高效
一、小题考法——求“准”求“快”
考法一 简单的线性规划问题
[例 1] (1)(2019·南通模拟)已知变量 x，y 满足约束条件
x＋y－1≤0， 3x－y＋1≥0， x－y－1≤0，
则 z＝2x＋y 的最大值为________．
y当且仅当y＝3
2
3时取等号，得
x3＋y2＋3z＋2＋247≥3(x＋
3y
＋z)＝18，x3＋y2＋3z≥347当且仅当x＝1，y＝3 2 3，z＝21取等号.
[答案]
8 (1)7
37 (2) 4
[解题方略] 多变量函数的最值问题，常常将条件和结论统一起来，进行 合理的消元和换元，将问题转化为函数或不等式问题．
第 14 讲 基本不等式及其应用、简单的线性规划问题 课前热身启动——全面落实“四基”，基稳才能楼高
高考数学总复习 第七篇 不等式《第42讲 基本不等式及其应用(2)》课件 理 苏教版
3．过定点P(1,2)的直线在x轴与y轴正半轴的截距分别为a，b， 则ab的最小值为________． 1 2 1 2 解析 由题意可得 ＋ ＝1(a＞0，b＞0)则 ＋ ＝1≥2 a b a b 解得ab≥8. 1 2 当且仅当 ＝ ，即a＝2，b＝4时取等号． a b 答案 8 2 ， ab
4．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成 a＋b2 等比数列，则 的最小值是________． cd a＋b2 解析 由题知a＋b＝x＋y，cd＝xy，x＞0 ，y＞0 ，则 ＝ cd x＋y2 2 xy2 ≥ ＝4，当且仅当x＝y时取等号． xy xy 答案 4
考向三
不等式在解析几何中的应用
【例3】►已知直线x＋a2y＋1＝0与直线(a2＋1)x－by＋3＝0互 相垂直，a，b∈R且ab≠0，则 |ab |的最小值是________． [审题视点] 由直线垂直可得出a，b之间的关系． 解析 1 ， a2
1 1 ∴|ab |＝ a1＋ 2＝a＋ ≥2 a a
当a＜0时，不等式的解集为{x|x＞0}． (3)∵f(x)＋2x≥0(x＞0)，即
2 2 1 1 ＋2x≥ .要满足此不等式恒成立只需 x ＋2x min大于或等于 即 x a a
可， 2 而 ＋2x≥2 x 2 ×2x＝4，当且仅当x＝1时取等号． x
1 1 所以4≥ ，解得a＜0或a≥ . 4 a
因为两直线垂直，则满足a2＋1－ba2＝0.所以b＝1＋
1 |a |· ＝2，故|ab |的最小值是2. |a |
答案
2
在用不等式解决几何问题时，首先要几何问题代数 化，再用不等式的相关知识来解决．
【训练3】
(2011· 江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原
(江苏专用)2020版高考数学总复习第七章第一节不等式的基本性质与一元二次不等式课件苏教版
ab
因此可组成正确命题的个数为3.
考点二 一元二次不等式的解法
角度一 不含参数的二次不等式(组)的解法
典例2 解不等式:0<x2-x-2≤4.
解析
原不等式等价于
x x
2 2
x x
2 2
0,⇒
4
x2
x
2
x x
2 0,⇒
60
(x 2)(x 1) 0, (x 3)(x 2) 0
第一节 不等式的基本性质与 一元二次不等式
教 1.不等式的基本性质
材 2.不等式的一些常用性质 研 读 3.一元二次不等式的解法
考点一 不等式的性质及应用
考 点 考点二 一元二次不等式的解法 突 考点三 一元二次不等式的恒成立问题 破
考点四 一元二次不等式的应用
教材研读
性质
1.不等式的基本性质
判别式
Δ>0
Δ=0
Δ=b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0) 的根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
b 2a
有两个相异实根x1,x2(x1<x2) 有两个相等实根x1=x2=-
{x|x<x1或x>x2}
b
x x≠- 2a
不等式mx2-2x-m+1<0恒成立,即函数f(x)=mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下 方. 当m=0时, f(x)=1-2x,令1-2x<0,
则x> 1 ,不满足题意;
2020年高考江苏版高考数学 8.3 基本不等式及其应用
例1 (2018江苏徐州高三年级期中)已知实数x,y满足x2+y2=3,|x|≠|y|,则
(2x
1
y)2
+ (x 42
y)2
的最小值为
.
解析 因为(2x+y)2+(x-2y)2=5(x2+y2)=15,令(2x+y)2=t,(x-2y)2=μ,所以t+μ=
15, (2x
1
y)2
(4) a2
b2 2
≥④
ab 2
≥⑤ ab
2
≥ 1 1 (a,b∈R+).
ab
考向突破 考向 基本不等式
例 (2019届江苏溧阳中学检测)若实数a,b满足 1 + 2 = ab ,则ab的最小
ab
值为
.
解析 解法一:由已知得 1 + 2 = b 2a = ab ,且a>0,b>0,所以ab ab =b+2a
当且仅当 9(100 x) = x ,即x=75时取等号.
x 100 x
答:当x=75时, f(x)取得最小值.
1 100
x
=10 10
9(100 x
x)
x 100
x
.
因为1≤x≤99,x∈N*,所以9 (100 x) >0, x >0,
x
100 x
所以 9(100 x) + x ≥2 9(100 x) x =6,
x 100 x
x 100 x
+ (x 42y)2
= 1t+ 4μ= 115(t+μ)
高考数学复习 基本不等式的应用课件 苏教版
2
(2) y
x
1
1
1 9
（3）令t x 1 (0,)
则x y t 45
（4）y
t
1 4
5
t
t
第七页，共15页。
15.已知 a,b R a b 3, ab ab
，
求 的取a 值 b
(f范法àn围一wé：(ifa)ànbwé3i)a;b求 2
ab 3
的取值范围
ab 3
即 ab 9 a b 6
（足最解 (2小)3：原）值（式.已1=）(知2x 原1正y)式(，x数求y4)(z3xy
h
è4xyn
x y
g 8s h 2的y
3
x
ù)
2
2
满
（3）x
2y
1 2
(x
2 y)(1 x
1) y
1 (3 2
2y x
x ) y
3 2
2
第九页，共15页。
12.（1）求y x 1 x2 的最大值.
（2）a 0,b 0, a2 b2 ，1 求 a 1 b2
x 1
（2） y 1 2x(1 2x) 1
2
8
第六页，共15页。
14.（1）求 y x2 1(x 0的) 最小值 2
x
（2）求
y
x
x2
(x
1
0)的最大值
1 2
（3）求 y x2 7x 10 x 1 的最小值
x 1
9
（4）求
y
x2
x 1 7x 10
x
1
的最大值
解：（1）y
x
1 x
的最大值.
2
解：（1）当 x 0 时y 取最大值，
专题40 不等式的综合应用-2020年江苏省高考数学考点探究(原卷版)
专题40 不等式的综合应用 专题知识梳理在江苏高考中，不等式的综合应用主要研究下列几类问题：第一类，以函数、导数、数列、三角函数、向量等知识为载体考查利用基本不等式求最值，考查在可行域下线性规划问题．要重点把握以下三点：1.不仅要知晓基本不等式的处理方法，还要对载体（函数、导数、三角、向量等）基础知识比较了解，熟悉常规的处理方法，是两方面的一个整合，以应对高考对知识交汇点的考查立意．2. 既要研究思路的突破口，寻求两数和与积的形式，获得“倒数型”；有时的重点是考查数学运算、数学变形的能力，需要在规范的前提下，步步踩实；3. 既然是利用基本不等式求最值（范围）问题，就要满足基本不等式的条件．第二类利用基本不等式或线性规划解应用题，应遵循解应用题的一般步骤：1. 审题（要仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系）；2. 建模（引入合适的变量，依题意列出相应的函数关系式）；3. 解模（利用基本不等式及其变形解决问题，注意取等号的条件）；4. 回答（遵循实际意义进行检验，最优解的选取，并回答原问题）．第三类，一些恒成立不等式，一般都是将其转化为最值问题来处理，如f (x )>0恒成立，转化为f (x )min >0；f (x )<0恒成立，转化为f (x )max <0，从而解不等式．考点探究考向1 不等式与其它知识的综合应用【例】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－|x 3－2x 2＋x |，x <1，ln x ，x ≥1，若对于任意t ∈R ，f (t )≤kt 恒成立，则实数k 的取值范围是____．题组训练1.在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是 ．2.已知0°<x <90°，t 为正常数，则f (x )＝1sin x ＋t 1－sin x 的最小值为16，则t ＝___．3.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，D 为AB 的中点，若b ＝a cos C ＋c sin A 且CD ＝2，求△ABC 面积的最大值．4.函数y ＝log 2[k (x+3)＋2]的图象恒过定点A ，若点A 在直线1-=y x n m（m>0，n >0）上，则28+m n 的最小值为____．考向2 利用基本不等式解决实际问题【例】如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处（点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P ），再沿直线PE 裁剪．（1）当∠EFP =4π时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积； （2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．题组训练1.已知东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)＝80n＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．(1) 求出f(n)的表达式；(2) 求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？2.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系式为p＝k3x＋5(0≤x≤8)，若距离为1 km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元．设f(x)为建造宿舍与修路费用之和．(1) 求f(x)的表达式；(2) 宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求最小值．。
2020版高考数学(江苏专用)一轮教师用书(PDF)：第七章§7.3 基本不等式及不等式的应用
＝
０，则
ｂ２ ａｃ
的最小值
是 ．
１－３ 答案 ３
解析
∵
ａ－２ｂ＋３ｃ
＝
０，∴
ｂ
＝
ａ＋３ｃ， ２
∴ ｂ２ ＝ ａ２ ＋９ｃ２ ＋６ａｃ≥６ａｃ＋６ａｃ ＝ ３，
ａｃ
４ａｃ
４ａｃ
当且仅当 ａ ＝ ３ｃ 时取“ ＝ ”．
１－４
已知正实数
ｘ，ｙ
满足
ｘ＋
２ ｘ
＋３ｙ＋
４ ｙ
＝ １０，则
第七章 不等式 ６ ９
§ ７．３ 基本不等式及不等式的应用
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１－１ 答案 １６
解析
∵
ｘ＞０，ｙ＞０，
１ ｘ
＋
９ ｙ
＝ １，
( ) ∴ ｘ＋ｙ ＝ （ｘ＋ｙ）
１＋９ ｘｙ
＝
ｙ ｘ
＋
９ｘ ｙ
＋ １０≥６ ＋
１０
＝
１６，
当且仅当
ｙ ｘ
＝
９ｘ ｙ
，即
ｘ ＝ ４，ｙ ＝ １２
时，等号成立．
∴ （ ｘ＋ｙ） ｍｉｎ ＝ １６． １－２ （２０１７ 江苏七校联考） 正数 ｘ，ｙ 满足 ｘ＋２ｙ ＝ ２，则ｘ＋ｘｙ８ｙ
＞
０，因此
ｘ＋
１ ２ｙ
３ 的最大值为
２ ２
－１．
二、不等式恒成立问题
(江苏专用)2020版高考数学总复习第七章第三节基本不等式及其应用课件苏教版
a
b
8.
(2)由a,b,c均为正数,且 1 + 1 = 1 得 a = b >0,则b>c>0,1> c >0,令t= c ,t∈(0,
a b c c bc
b
b
1),则 a + b
c c
b
= b
b
c
+ b
b
c
= 1
1t
+ 1
1 t
= 2
1t
2
>2,由 a + b
c cb
>t恒成立,得
号,则函数f(x)的最小值是5.
5.(教材习题改编)若正数x,y满足x+2y=1,则 1 + 1 的最小值是
.
解析
1x + 1y = 1x
1 y
(x+2y)=3+ 2xy + xy ≥3+2 2xy
x y
=3+2 2
,当且仅当 2y =
x
x ,即x= 2 -1,y= 2 2 时取等号,故 1 + 1 的最小值是3+2 2 .
y
2
xy
6.(2019江苏淮阴中学高三模拟)已知正数a,b满足2a+b=1,则 a + b
a 1 b 2
的最大值为
.
答案 2
5
解析 令a+1=m,b+2=n,m>1,n>2,则 a=m-1,b=n-2,
2a+b=2(m-1)+n-2=2m+n-4=1,则2m+n=5,
所以 m1 + n2 = 15 m1
2020江苏高考数学一轮复习学案：第38课__基本不等式及其简单应用(2) 含解析.docx
____第38课__基本不等式及其简单应用(2)____1. 运用基本不等式求最值、取值范围及不等式恒成立问题．2. 运用基本不等式解决实际应用问题中的最值问题.1. 阅读：必修5第99～101页．2. 解悟：①应用基本不等式解决实际问题，首先要正确理解题意，然后通过分析、思考，将实际问题转化为数学模型，再应用基本不等式求解；②解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；③解应用问题时，若等号取得的条件不足，应如何处理？3. 践习：在教材上的空白处，完成必修5第102页习题第3、4题.基础诊断1. 在平面直角坐标系Oy 中，曲线4x 2＋9y 2＝1上的点到原点O 的最短距离为__5__．解析：设曲线4x 2＋9y 2＝1上的点P(，y)．设P(，y)到原点的距离为d ＝x 2＋y 2＝（x 2＋y 2）⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 2＋9y 2＝13＋4y 2x 2＋9x 2y2≥13＋24y 2x 2·9x 2y 2＝5，当且仅当4y 2x 2＝9x 2y 2时，d 取最小值，所以曲线4x 2＋9y 2＝1上的点到原点O 的最短距离为5.2. 已知，y ，∈R ＋，－2y ＋3＝0，则y 2xz的最小值是__3__．解析：因为，y ，>0，－2y ＋3＝0，所以2y ＝＋3，所以4y 2＝2＋6＋92≥2x 2·9z 2＋6＝12，当且仅当2＝92，即＝3时取等号，所以4y 2≥12，y 2xz≥3.3. 已知函数y ＝log a (＋3)－1(a>0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线m ＋ny ＋1＝0上(其中mn>0)，则1m ＋2n的最小值是__8__．解析：由题意可得定点A(－2，－1)，又因为点A 在直线m ＋ny ＋1＝0上，所以2m ＋n ＝1，且mn>0，所以m>0，n>0.则1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝4＋n m ＋4m n ≥4＋4＝8，当且仅当n m ＝4mn 时取等号，故1m ＋2n的最小值是8. 4. 从等腰直角三角形纸片ABC 上剪下如图所示的两个正方形，其中，BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形面积之和的最小值为__1__.解析：设两个正方形的边长分别为a ，b ，则由题意可得a ＋b ＝BC 2＝1，且13≤a ，b ≤23，所以两个正方形面积之和为S ＝a 2＋b 2≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故两个正方形面积之和最小为12.范例导航考向❶ 基本不等式与函数综合问题例1 设，y 是正实数，且＋y ＝1，求x 2x ＋2＋y 2y ＋1的最小值．解析：设＋2＝m ，y ＋1＝n.因为＋y ＝1，所以m ＋n ＝＋y ＋3＝4，所以x 2x ＋2＋y 2y ＋1＝（m －2）2m ＋（n －1）2n ＝m ＋n ＋4m ＋1n －6＝4m ＋1n －2.因为m ＋n ＝4，所以1＝14(m ＋n)，所以4m ＋1n －2＝14(m ＋n)⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n －2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4n m ＋m n －2≥14.当且仅当m ＝2n 时，取等号， 由＋2＝2(y ＋1)得＝2y ，即当＝23，y ＝13时，x 2x ＋2＋y 2y ＋1取得最小值14.已知实数，y 满足>y>0，且log 2＋log 2y ＝1，求x 2＋y 2x －y的最小值．解析：因为log 2＋log 2y ＝1，所以log 2y ＝1，所以y ＝2，所以x 2＋y 2x －y ＝（x －y ）2＋2xy x －y ＝－y ＋4x －y ≥2×2＝4，当且仅当＝1＋3，y ＝3－1时取等号，故x 2＋y 2x －y的最小值为4.考向❷ 基本不等式在实际应用问题中的运用例2 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建宿舍的费用与宿舍到工厂的距离有关. 若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离(m )的关系式为p ＝k 3x ＋5(0≤≤8)，若距离为1m 时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每千米成本为6万元．设 f()为建造宿舍与修路费用之和．(1) 求f()的表达式；(2) 宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f()最小？并求最小值． 解析：(1) 根据题意得100＝k 3×1＋5，所以＝800.故f()＝8003x ＋5＋5＋6，∈[0，8]．(2) f()＝8003x ＋5＋2(3＋5)－5≥28003x ＋5·2（3x ＋5）－5＝80－5＝75， 当且仅当8003x ＋5＝2(3＋5)，即＝5时，取等号，此时f()的最小值是75，所以宿舍应建在离工厂5m 处，可使总费用f()最小，最小值为75万元．在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业，其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v(米/单位时间)，单位时间内用氧量为cv 2(c 为正常数)；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为v2(米/单位时间)，单位时间用氧量为0.2，记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y.(1) 将y 表示为v 的函数．(2) 设0<v ≤5，试确定下潜速度v ，使总的用氧量最少． 解析：(1) 潜入水底用时30v ，用氧量30v ·cv 2＝30cv ，水底作业时用氧量为5×0.4＝2， 返回水面用时60v ，用氧量60v ×0.2＝12v ，所以y ＝30cv ＋2＋12v(v>0).(2) y ＝30cv ＋2＋12v ≥2＋230cv ·12v ＝2＋1210c ，当且仅当30cv ＝12v ，即v ＝25c时取等号． 当25c ≤5，即c ≥2125时，v ＝25c时，y 取得最小 值为2＋1210c. 当25c >5，即0<c<2125时，y ′＝30c －12v 2＝30cv 2－12v 2<0， 因此函数y ＝30cv ＋2＋12v 在(0，5]上为减函数，所以当v ＝5时，y 的最小值为150c ＋225.综上，当c ≥2125时，下潜速度为25c时，用氧量最小为2＋1210c ； 当0<c<2125时，下潜速度为5时，用氧量最小为150c ＋225.自测反馈1. 已知点(，y)在直线＋3y －2＝0上运动，则函数＝3＋27y ＋3的最小值是__9__．解析：因为＋3y －2＝0，所以＋3y ＝2.又因为3>0，27y >0，所以＝3＋27y ＋3＝3＋33y ＋3≥23x ·33y＋3＝232＋3＝9，当且仅当3＝33y ，即＝3y ＝1时取等号．2. 过点(1，2)的直线l 与轴的正半轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积最小时，直线l 的方程为__2＋y －4＝0__．解析：由题意可设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，a>0，b>0.因为直线l 过点(1，2)，所以1a ＋2b ＝1，所以1＝1a ＋2b≥22ab ，所以ab ≥8，当且仅当1a ＝2b ＝12，即a ＝2，b ＝4时取等号，此时△AOB 的面积取得最小值12ab ＝4，所以直线l 的方程为x 2＋y4＝1，即2＋y －4＝0.3. 已知a>0，b>0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则实数m 的最大值为__16__．解析：根据已知不等式，分离变量得m ≤(3a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b ，a>0，b>0.由(3a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b ＝10＋3b a ＋3a b≥10＋23b a ·3a b ＝16，当且仅当3a b ＝3ba，即a ＝b 时取等号，故m 最大值为16. 4. 对于任意∈R ，不等式22－a x 2＋1＋3>0恒成立，则实数a 的取值范围为__(－∞，3)__． 解析：由题意得22－a x 2＋1＋3>0对于∈R 恒成立，即a <2x 2＋3x 2＋1对于∈R 恒成立．令x 2＋1＝t (t ≥1)，则2＝t 2－1，所以y ＝2t 2＋1t ＝2t ＋1t .因为y ＝2t ＋1t在[1，＋∞)上单调递增，所以当t ＝1时，y有最小值3，所以a <3.1. 最值问题的处理方法：①直接利用基本不等式放缩(几种配凑的技巧)；②消元转化为函数求最值．2. 在运用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．3. 你还有哪些体悟，写下;：。
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答案： 25
1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．“当且仅当 a＝ b 时等号成立”的含义是“ a＝ b”是等号成立的充要条件，这一点 至关重要，忽略它往往会导致解题错误．
3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致． [ 小题纠偏 ]
9 1． (2019 ·启东检测 )函数 y＝ x＋x－ 1(x＞ 1)的最小值为 ________． 解析： ∵ x＞ 1，∴ x－ 1＞ 0，
3－ x2
解析： 由题意得 y＝
，
2x
所以
2
x＋
y＝
2
x＋
3
－
x2 ＝
3
x2
＋
3
＝
3
2x
2x 2
1 x＋x
≥ 3，
当且仅当 x＝ y＝ 1 时，等号成立．
答案： 3
3． (2017
·天津高考
)若
a，
b∈
R，
ab＞
0
，则
a
4＋
4b4＋ ab
1
的最小值为
________ ．
解析：因为
ab＞
0，所以
a
4＋
20 000 ＋ (8x ＋ 20) ·
10＋ 160 ＝ x
5 80 10 2 x＋ x ＋4 160(x＞ 1)．
5
(2) S(x)＝ 80
10 2
x＋
＋ 4 160≥ 80 x
10 × 2
2 x·5 ＋ 4 160 ＝ 1 600＋ 4 160＝ x
5 760，当且仅当 2 x＝ 5 ，即 x＝ 2.5 时，等号成立，此时 a＝ 40， ax＝ 100. x
A1B1＝ x(x＞ 1)，求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S(x) B1 C1
的解析式；
(2) 要使公园所占面积最小，则休闲区 A1B1C1D 1的长和宽该如何设计？ 解： (1)设休闲区的宽为 a m，则长为 ax m，
由
a
2
x
＝
4
000，得
20 a＝
10 .
x
则
S(x) ＝ (a ＋ 8)(ax ＋ 20) ＝ a2x＋ (8 x＋ 20)a ＋ 160 ＝ 4
t＋ μ＝ 15，
1 2x＋ y 2＋
4 x－ 2y
2＝
1 t
＋
μ4＝
1 15(t
＋
μ)
1＋ t
4 μ
＝
1 15
5＋4μt＋
μt ≥
1 15(5
＋
4)＝
35，当且
仅当 t＝ 5， μ＝ 10 时取等号，所以
1
4
3
2x＋ y 2＋ x－ 2y 2的最小值为 5.
答案： 3 5
利用基本不等式求最值的方法
a＋ b 2
2≤
a
2＋ 2
b2 (
a，
b∈
R)．
3． 算术平均数与几何平均数 a＋ b
设 a＞ 0，b＞ 0，则 a， b 的算术平均数为 2 ，几何平均数为 为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
ab，基本不等式可叙述
4． 利用基本不等式求最值问题 已知 x＞ 0， y＞ 0，则
(1) 如果 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝ y 时，x＋ y 有最小值是 2 p( 简记：积定和最小 )． q2
∴ b＋ 4的最小值为 8. ab
答案： 8
2． (2019 常·州调研 )若实数
x 满足 x＞－ 4，则函数
f(
x)
＝
x＋
9 x＋
的最小值为 4
________．
解析： 因为 x＞－ 4，所以 x＋ 4＞ 0，
所以 f(x)＝ x＋ 9 ＝ x＋ 4＋ 9 － 4≥ 2
x＋ 4
x＋ 4
x＋ 4 · 9 － 4＝ 2， x＋ 4
4b4＋ ab
1 ≥
2
4
a4b4＋ ab
1 ＝
4
a
2b2＋ ab
1
＝
4ab＋
a1b≥
2
4ab·a1b＝ 4，
当且仅当
a2 ＝ 2b2， 1
ab＝ 2
a4＋ 4b4＋ 1
时取等号，故
的最小值是 4.
ab
答案： 4
考点二 基本不等式的实际应用
重点保分型考点 —— 师生共研
[ 典例引领 ]
经调查测算，某 m 万元 (m≥ 0)
第三节
基本不等式及其应用
a＋ b 1． 基本不等式 ab≤ 2
(1) 基本不等式成立的条件： a＞0， b＞ 0.
(2) 等号成立的条件：当且仅当 a＝ b.
2． 几个重要的不等式
(1) a2＋ b2≥ 2ab(a， b∈ R)； (2) ba＋ ab≥ 2(a， b 同号 )；
(3) ab≤
a＋ b 2 2 (a， b∈R) ； (4)
解析： y＝ 4x(3－ 2x)＝ 2[2x(3－ 2x)]≤ 2 2x＋ 3－ 2x 2＝ 9，
2
2
当且仅当 2x＝ 3－ 2x，即 x＝ 34时，等号成立．
又因为
3∈ 4
3 0， 2
，
所以函数
y＝ 4x(3－ 2x)
3 0＜ x＜ 2
的最大值为
9 2.
答案： 9 2
2．已知正数 x， y 满足 x2＋ 2xy－ 3＝ 0，则 2x＋ y 的最小值是 ________．
所以 y≤ － 8＋ 29＝ 21，
即当 m＝ 3 时， y 取得最大值 21. 所以当该厂家 2018 年的促销费用投入 3 万元时，厂家获得的利润最大，为
21 万元．
解实际应用题的 3 个注意点
[ 由题悟法 ]
(1) 设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2) 根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3) 在求函数的最值时，一定要在定义域 (使实际问题有意义的自变量的取值范围 解．
又
g(2)＝
6，
g(3)
＝
17 3 .因为
g(2) ＞ g(3)，所以
g(
x)
min＝
17 3 .所以－
8 x＋x
＋ 3≤ －8， 3
所以 a≥－ 83，故 a 的取值范围是 － 83，＋ ∞ .
答案： －83，＋∞
[ 由题悟法 ]
求解含参数不等式的求解策略
(1) 观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． (2) 在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式， 体现了主元与次元的转化．
[ 由题悟法 ]
利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：
(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、 变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．
(2) 条件变形，进行 “ 1的”代换求目标函数最值．
[ 即时应用 ]
1．设 0＜ x＜ 32，则函数 y＝ 4x(3－ 2x)的最大值为 ________．
当且仅当 x＋ 4＝ 9 ，即 x＝－ 1 时取等号． x＋ 4
答案： 2
3． (2018 ·徐州调研 )已知实数
x， y 满足
x2＋ y2＝ 3，|x|≠ |y|，则
1
4
2x＋y 2＋ x－ 2y 2的最
小值为 ________． 解析： 因为 (2x＋ y)2＋ (x－ 2y)2＝ 5(x2＋ y2)＝ 15，所以令 (2x＋ y)2＝ t， (x－ 2y)2＝ μ，所以
所以利润 y 表示为年促销费用的函数关系式是
y＝28
－
16 m＋
－ 1
m(m≥0)．
(2) 由 (1)知 y＝－
16 ＋ m＋ 1 m＋ 1
＋ 29(m≥ 0)．
因为 m≥ 0 时， 16 ＋ (m＋ 1)≥ 2 m＋ 1
16 m＋
1·m＋ 1
＝ 8，
当且仅当 16 ＝ m＋ 1，即 m＝ 3 时取等号． m＋ 1
解析： ∵ x∈ (0,1)，∴ 1－ x∈ (0,1)，∵ x＋ (1－ x)＝ 1，
∴
1x＋
1 1－
x＝
1x＋
1 1－x
[
x
＋
(1
－
x
)]
＝
2＋
1－ x
x ＋
x 1－
x≥
2＋2
1－x x x ·1－
x＝
4，
当且仅当
1－ x
x ＝
x 1－
x，即
x＝ 12时取等号，
∴ m≤ 4，即实数 m 的最大值为 4.
[ 即时应用 ]
1． (2019 ·东台月考 )若对任意
x
＞
0
，
x2＋
x 3x
＋
1≤
a
恒成立，则
a 的最小值为 ________．
解析：
x
2＋
x 3x＋
1
＝
x
＋
1 3＋
1， x
∵ x＞ 0，∴ x＋ 3＋ 1x≥ 3＋ 2 ∴ 0＜ 1 1≤ 15，
x＋3＋ x
x·1x＝ 3＋2＝ 5，当且仅当 x＝ 1x，即 x＝ 1 时取等号，
∴要使
x
2＋
x 3x＋
1
≤
a
恒成立，则
a≥1，故 5
a 的最小值为
1 5.
答案： 1 5
2．已知正数 x， y 满足 x＋ 2 2xy≤ λ(x＋ y)恒成立，求实数 λ的最小值．