数形结合例题选集

数形结合

一、在一些命题证明中的应用举例： 1、证明勾股定理：

2222

c b a b a 0.5ab 4=+=-+⨯）（）（

解析：上图中，四个小三角形（阴影部分）的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积，化简后得到勾股定理222c b a =+。 2、证明乘法公式（平方差与完全平方）：

））（（b a b a b a 22-+=- 2ab b a b a 222

++=+）（

解析：在上图中，利用正方形和小正方形面积的转化，能更进一步理解平方差公式与完全平方公式的运算过程以及公式的本质问题。 3、证明基本不等式：

解析：如上图所示，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，长度为

2

b

a +，根据直角三角形的相似关系，可以得到直角三角形斜边上的高的长度为a

b ，显然在直角三角形中，斜边上的中线的长度会大于等于高，利用这样简洁明了的几何图解，对基本不等式的理解也就更加简单了。 4、证明正（余）弦定理：

解析：

（1）如上图所示，csinB bsinC bsinC a 2

1

h a 21S ABC =⇒⋅=⋅=

∆的面积； 即sinC

c sinB b sinA a sinC c sinB b ===，同理可得； 根据圆的性质（等弧对等角）2R sinA

a 2R a sinD sinA D A ===∠=∠，即，； 综上，得正弦定理：

2R sinC

c

sinB b sinA a ===。 （2）根据勾股定理2

2222222cosB c a b cosB c c CE AC BE AB ）（）（，即⋅--=⋅--=-；

整理可得余弦定理：2ac

b c a cosB 2

22-+=；同理得出cosA 、cosC 的余弦定理。

5、证明结论），（，2

0x sinx x x tan π

∈>>

解析：如上图所示，根据y=tanx 、y=x 、y=sinx 在）

，（20x π

∈上的图像可看出tanx>x>sinx ，）

，（20x π

∈。当然，实际考试作图不可能如此精确，那么转化到右图的单位圆中，当）

，（20x π

∈时，角的终边始终在第一象限内，根据三角函数线可知，蓝线表示正弦线，红线表示正切线，再根据弧长公式x 1x R =⋅==θl ，即图中黑色弧线的长度表示x ，显而易见。红线长度>弧线长度>蓝线长度，即tanx>x>sinx ，）

，（20x π

∈。 6、证明两角差的余弦公式：

解析：如上图所示，根据三角比的定义及单位圆的定义可知单位圆上的点的坐标

表示。左图中，2

22sin sin cos cos AB ）（）（βαβα-+-=，将B 点旋转至（1，0）处（右

图所示）。此时，222][sin ]1[cos AB ）（）

（βαβα-+--=，因为线段AB 的长度没有发生变化，即

2

2sin sin cos cos ）（）（βαβα-+-22][sin ]1[cos ）（）（βαβα-+--=，化简：

βαβαβαsin sin cos cos cos +=-）（。当然也可以用向量的方法证明，利用向量数量积定义，证明更加简洁。如左图，11sin cos sin cos OB

OA OB OA cos ⋅⋅=

⋅⋅=

-）

，（），（）（ββααβα βαβαsin sin cos cos +=。

二、在考试中的具体应用：

1、与函数的综合运用，主要体现在求零点、交点、解的个数及参数范围等方面： 例1 （14奉贤）已知定义在R 上的函数y=f （x ）对任意x 都满足f （x+2）=-f

（x ），当，若函数）（时，3x x f 1x 1-=<≤x log x f x g a -=）（）（只有四个零点，

则a 的取值范围是

答案：）

，（），（533

1

51⋃ 解析：根据已知条件，f （x ）的周期为4，先画f （x ）一个周期图像，当1≤x<3

时，2

22x -x f x -f 2x 2x f ）（）（），（）（）（-==-=-，由此画出[-1，3）的图像，

此为一个周期，图像如下，x log x f x g a -=）（）（只有四个零点即f （x ）与y=x log a 只有四个交点，需分类讨论： （1）当0

此时5个交点，代入点（-5，-1），解得a=5

1

此时3个交点，代入点（3，-1），解得a=3

1

（2）当a>1时，也有两个界值，如下图所示：

此时3个交点，代入（-3，1），解得a=3。

评注：数形结合体型，一定要结合图像分析，并且一些用于定位的特殊点要善于把握；另一方面，必须熟悉初等函数的所有性质及函数图像的变换。

例2 （14闵行）⎪⎩⎪

⎨⎧>+-<<=4

x 370

8x x 324

x 0x log x f 22，，）（，若a 、b 、c 、d 互不相同，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=f （d ），则abcd 的取值范围是 答案：（32，35）

解析：根据题意，如下图所示，ab=1，abcd=cd=2c 12c 12c -=-）（

，4

评注：这类题出现很多，典型的数形结合题型，要让学生熟悉各类函数图像及相