整式的乘除复习课
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第七章 整式的乘除 复习课
知识框图
幂的运算性质
同底数幂乘法 幂的乘方 积的乘方
同底数幂除法
单项式乘以单项式 多项式乘以单项式 多项式乘以多项式
乘法公式
零指数、负整数指数 单项式除以单项式 多项式除以单项式
一、幂的部分运算性质
知识点 法则简述
注意
同底数幂的乘法 底数不变指数
aman=am+n
相加
幂的乘方 (am)n=amn
=4-12y+9y2-4x2+12x-9 =9y2-4x2-12y+12x-5
例：多项式4x2+1加上一个单项式 后，使它能成为一个整式的完全 平方，则求可能加上的单项式。 解：（1）将4x2+1看作是平方和， 则可以加上中间项：4x或-4x
(2)因为4x2本身就是完全平方，
所以加上-1即可。
(3)因为1本身就是完全平方， 所以加上-4x2即可。
例：如果 2×8n×16n=222,
求：n的值 解： 由2×8n×16n=222，得 2×（23）n×（24）n=222
2×23n×24n=222 21+3n+4n=222 所以：1+3n+4n=22
解得：n=3
二、整式的乘法
知识点 法则举例
注意
单项式乘以 单项式
单项式乘以 多项式
多项式乘以 多项式
底数不变指数 相乘
积的乘方 （ab)n=anbn
将积中每个因 式分别乘方， 再相乘
a既可以是数， 也可以是“式”
与同底数幂的 乘法不要混淆
积中每个因式 都要乘方，不 要丢项
例：比较大小：3555，4444，5333
解：3555=（35）111=243111 4444=（44）111=256111 5333=（53）111=125111 256﹥243﹥125 4444﹥3555﹥5333
2ab×3a=6a2b
a(b+c)=ab+ac
(a+b)(c+d)=ac +ad+bc+bd
只在一个因式 里含有的字母
不要漏项
注意符号
重点和难点： 重点：
同底数幂的乘法法则；
整式乘法的法则； 难点：
单项式乘法的运算法则 数学思想：
1）整体的思想 2）转化的思想
计算（1）(ab2)3(ab2)4
解：(ab2)3(ab2)4 =(ab2)3+4 =(ab2)7 =a7b14
=[(216-1)(216+1)] ÷3
=
1 3
(232-1)
四、整式的除法
知识点 简述或举例
同底数幂的除法 底数不变指数
am÷an=am-n
相减
单项式除以 6a2b÷2a=3ab 单项式
多项式除以 (ma+mb+mc)
(2)(xy2)2(-x2y)3(-x2y2)4 =x2y4(-x6y3)x8y8 =-x16y15
计算（1）3x2y·(-5xy3z5)
解： 3x2y·(-5xy3z5) =(-3×5)x2+1y1+3z5 =-15x3y4z5
(2)0.5ab2·(-0.2a3b4)·(-10a5c3) =(0.5×0.2×10)a1+3+5b2+4c3 =a9b6c3
例：已知 a+b=3, a·b=2 求（1）a2+b2 (2)(a-b)2 解（1）a2+b2=(a+b)2-2ab
因为 a+b=3, a·b=2
所以a2+b2=32-2×2=5 (2)(a-b)2 =(a+b)2-4ab
因为 a+b=3, a·b=2 所以(a-b)2=32-4×2=1
例：已知(a+b)2=324, (a-b)2=16
完全平方公式 （a b)2=a2
中间项的符号 与等号左边相
2ab+b2
同
重点和难点： 重点：乘法公式及其应用
难点：对乘法公式结构特点的认识 需要熟悉的几个变形公式：
①a2+b2 =(a+b)2 – 2ab =(a-b)2 + 2ab
②(a+b)2 =（a-b）2 + 4ab
③(a-b)2 =（a+b）2 - 4ab ④(a+b)2 -（a-b）2 = 4ab
=[（m-2n)(m+2n)]2(m2+4n2)2 = (m2-4n2)2(m2+4n2)2 =[(m2-4n2)(m2+4n2)]2 =(m4-16n4)2 =m8-32m4n4+256n8
计算:(2x-3y-1)(-2x-3y+5) =(2x-3y-3+2)(-2x-3y+3+2)
=[(2-3y)+(2x-3)][(2-3y)-(2x-3)] =(2-3y)2-(2x-3)2
计算（1）(5a-3b)(4a+7b)
解： (5a-3b)(4a+7b) =5a×4a+5a×7b-3b×4a-3b×7b =20a2+35ab-12ab-21b2 =20a2+23ab-21b2
三、乘法公式
知识点
公式
注意
平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
字母a、b既可 以是数，也可
以是“式”
例：用适当方法化简算式： (22+1)(24+1)(28+1)(216+1) 解：(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
=[(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)] ÷ (22-1)
=[(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)]÷3
=[(28-1)(28+1)(216+1)]÷3
求（1）a2+b2 (2)ab
解（1）a2+b2=
1 2
[(a+b)2+(a-b)2]
= 1 (324+16) =170
2
(2)ab =
源自文库
1 4
[(a+b)2-(a-b)2]
=
1 4
(324-16)
=77
计算： (1)（5x+6y-7z)(5x-6y+7z) =[5x+(6y-7z)][5x-(6y-7z)]
(4)将4x2 看作是中间项， 所以加上4x4即可。
综上所述：可以添加： 4x, -4x, -1, -4x2, 4x4.
例：设m2+m-1=0,
求m3+2m2+2003的值。
解：因为m2+m-1=0, 所以m2+m=1 故m3+m2=m m3+2m2+2003 =m3+m2+m2+2003 =m2+m+2003 =1+2003 =2004
=25x2-(6y-7z)2 = 25x2-36y2+84yz-49z2
(2)（x+2y-3z)(x-2y+3z)+(2y-3z)2
=[x+(2y-3z)][x-(2y-3z)]+ (2y-3z)2
=x2-(2y-3z)2+(2y-3z)2 = x2
计算：（m-2n)2(m+2n)2(m2+4n2)2
知识框图
幂的运算性质
同底数幂乘法 幂的乘方 积的乘方
同底数幂除法
单项式乘以单项式 多项式乘以单项式 多项式乘以多项式
乘法公式
零指数、负整数指数 单项式除以单项式 多项式除以单项式
一、幂的部分运算性质
知识点 法则简述
注意
同底数幂的乘法 底数不变指数
aman=am+n
相加
幂的乘方 (am)n=amn
=4-12y+9y2-4x2+12x-9 =9y2-4x2-12y+12x-5
例：多项式4x2+1加上一个单项式 后，使它能成为一个整式的完全 平方，则求可能加上的单项式。 解：（1）将4x2+1看作是平方和， 则可以加上中间项：4x或-4x
(2)因为4x2本身就是完全平方，
所以加上-1即可。
(3)因为1本身就是完全平方， 所以加上-4x2即可。
例：如果 2×8n×16n=222,
求：n的值 解： 由2×8n×16n=222，得 2×（23）n×（24）n=222
2×23n×24n=222 21+3n+4n=222 所以：1+3n+4n=22
解得：n=3
二、整式的乘法
知识点 法则举例
注意
单项式乘以 单项式
单项式乘以 多项式
多项式乘以 多项式
底数不变指数 相乘
积的乘方 （ab)n=anbn
将积中每个因 式分别乘方， 再相乘
a既可以是数， 也可以是“式”
与同底数幂的 乘法不要混淆
积中每个因式 都要乘方，不 要丢项
例：比较大小：3555，4444，5333
解：3555=（35）111=243111 4444=（44）111=256111 5333=（53）111=125111 256﹥243﹥125 4444﹥3555﹥5333
2ab×3a=6a2b
a(b+c)=ab+ac
(a+b)(c+d)=ac +ad+bc+bd
只在一个因式 里含有的字母
不要漏项
注意符号
重点和难点： 重点：
同底数幂的乘法法则；
整式乘法的法则； 难点：
单项式乘法的运算法则 数学思想：
1）整体的思想 2）转化的思想
计算（1）(ab2)3(ab2)4
解：(ab2)3(ab2)4 =(ab2)3+4 =(ab2)7 =a7b14
=[(216-1)(216+1)] ÷3
=
1 3
(232-1)
四、整式的除法
知识点 简述或举例
同底数幂的除法 底数不变指数
am÷an=am-n
相减
单项式除以 6a2b÷2a=3ab 单项式
多项式除以 (ma+mb+mc)
(2)(xy2)2(-x2y)3(-x2y2)4 =x2y4(-x6y3)x8y8 =-x16y15
计算（1）3x2y·(-5xy3z5)
解： 3x2y·(-5xy3z5) =(-3×5)x2+1y1+3z5 =-15x3y4z5
(2)0.5ab2·(-0.2a3b4)·(-10a5c3) =(0.5×0.2×10)a1+3+5b2+4c3 =a9b6c3
例：已知 a+b=3, a·b=2 求（1）a2+b2 (2)(a-b)2 解（1）a2+b2=(a+b)2-2ab
因为 a+b=3, a·b=2
所以a2+b2=32-2×2=5 (2)(a-b)2 =(a+b)2-4ab
因为 a+b=3, a·b=2 所以(a-b)2=32-4×2=1
例：已知(a+b)2=324, (a-b)2=16
完全平方公式 （a b)2=a2
中间项的符号 与等号左边相
2ab+b2
同
重点和难点： 重点：乘法公式及其应用
难点：对乘法公式结构特点的认识 需要熟悉的几个变形公式：
①a2+b2 =(a+b)2 – 2ab =(a-b)2 + 2ab
②(a+b)2 =（a-b）2 + 4ab
③(a-b)2 =（a+b）2 - 4ab ④(a+b)2 -（a-b）2 = 4ab
=[（m-2n)(m+2n)]2(m2+4n2)2 = (m2-4n2)2(m2+4n2)2 =[(m2-4n2)(m2+4n2)]2 =(m4-16n4)2 =m8-32m4n4+256n8
计算:(2x-3y-1)(-2x-3y+5) =(2x-3y-3+2)(-2x-3y+3+2)
=[(2-3y)+(2x-3)][(2-3y)-(2x-3)] =(2-3y)2-(2x-3)2
计算（1）(5a-3b)(4a+7b)
解： (5a-3b)(4a+7b) =5a×4a+5a×7b-3b×4a-3b×7b =20a2+35ab-12ab-21b2 =20a2+23ab-21b2
三、乘法公式
知识点
公式
注意
平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
字母a、b既可 以是数，也可
以是“式”
例：用适当方法化简算式： (22+1)(24+1)(28+1)(216+1) 解：(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
=[(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)] ÷ (22-1)
=[(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)]÷3
=[(28-1)(28+1)(216+1)]÷3
求（1）a2+b2 (2)ab
解（1）a2+b2=
1 2
[(a+b)2+(a-b)2]
= 1 (324+16) =170
2
(2)ab =
源自文库
1 4
[(a+b)2-(a-b)2]
=
1 4
(324-16)
=77
计算： (1)（5x+6y-7z)(5x-6y+7z) =[5x+(6y-7z)][5x-(6y-7z)]
(4)将4x2 看作是中间项， 所以加上4x4即可。
综上所述：可以添加： 4x, -4x, -1, -4x2, 4x4.
例：设m2+m-1=0,
求m3+2m2+2003的值。
解：因为m2+m-1=0, 所以m2+m=1 故m3+m2=m m3+2m2+2003 =m3+m2+m2+2003 =m2+m+2003 =1+2003 =2004
=25x2-(6y-7z)2 = 25x2-36y2+84yz-49z2
(2)（x+2y-3z)(x-2y+3z)+(2y-3z)2
=[x+(2y-3z)][x-(2y-3z)]+ (2y-3z)2
=x2-(2y-3z)2+(2y-3z)2 = x2
计算：（m-2n)2(m+2n)2(m2+4n2)2