孟生旺《非寿险精算学》(第三版)参考解答
中国精算师《非寿险精算》过关必做500题(含历年真题)(第4章 非寿险费率校正)【圣才出品】
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第 4 章 非寿险费率校正
一、单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将
正确选项的代码填入括号内）
1．在已知θ的条件下，损失随机变量 X 的条件密度函数是
，x＞0，参
数θ的先验分布密度函数是
E（X 1 ）=1，Var（X1 ）=1，E（X 2 ）=2，Var（X 2 ）=2，E（X 3 ）=9，cov（X1 ， X 2 ）=1，cov（X 1 ，X 3 ）=4，cov（X 2 ，X 3 ）
该保单过去2年的总赔付额为10，则第3年的信度保费 Xˆ 3 为（ ）。[2008年真题]
3 / 88
A．1 B．2 C．3 D．4 E．5
【答案】D
【解析】由题给条件知该模型满足 Bulhmann 模型，且有 ( ) E(Xi∣ ) ,Var(Xi∣ )
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于是可以得到
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=E(( )) E( ) 2, v E(Var(Xi | )) E( ) 2 a Var(( )) 1
nv/a
1v / a
30
时。联立 2 个方程解得 v / a 1，u 1 。因此，如果前三个月没有赔案发生时，即 n 3 时，
5
5
未来一个月的预期赔案次数的参数估计为（1
3
3 v
/
a
）u
（1
3
3
1
）
1 5
1 80
。
5
5．设某保单过去2年的赔付额分别为X1，X2，现要估计第3年的赔付额X3。给定结构 参数，X1，X2，X3条件独立。已知：
精算师《非寿险精算》模拟试卷及答案分析.doc
精算师《非寿险精算》模拟试卷及答案分析试题：1.已知发生在某时期的经验损失与可分配损失调整费用为：2300万元同时期的均衡已经保费为：3200万元假设目标损失率为：0.659求指示费率整体水平变动量。
A.0.0907B.1.0907C.11.0254D.0.9168E.0.92682.已知各发生年的预测最终索赔次数如下：发生年预测最终索赔次数如下19842541985285198628019873121988320计算1989年预测索赔次数与1988年预测索赔次数之比。
A.1.05B.1.06C.1.07D.1.08E.1.093.设三类风险在5年内观测值的一些有关数据如下：试估计最小平方信度因子。
A.0.01B.11C.1D.0.5533E.04.在经验估费法中，关于不同规模风险的信度的陈述，下列选项中正确的是哪一项?①规模较大的风险在估费时更为可信;②不同规模风险的信度公式仍具有形式;③公式是建立在风险方差与风险规模成反比的基础上的。
A.仅①正确B.仅②正确C.仅③正确D.①、②正确E.全部正确5.有关贝叶斯方法的陈述，下列选项中正确的是哪一项?①在0-1损失函数下，贝叶斯方法得到的信度因子的估计与最小平方信度是一致的;②在估计非线性问题时，贝叶斯方法比最小平方信度更有优越性;③贝叶斯方法含有主观的成分，此主观成分主要表现在对先验分布及损失函数的选取上。
A.仅①正确B.仅②正确C.仅③正确D.②、③正确E.全部正确答案：1.解：选A。
2.解：设X=发生年-1983则有如下的对应关系：设y=ax+b是其回归方程，解如下方程组可得回归系数a，b的估计：上式方程组变为②-①3得：159=10a这样可得到1989年的预测值为：因此可得到所求的值为：338/320=1.063.解：1-的估计为故=0选E。
4.解：①显然正确;②，其中p表示期望损失，该公式建立的前提是：，piu越是第i类风险在第u年的风险单位数，故②、③选项也正确。
风险模型与非寿险精算学 (20)
(19)
风险模型与非寿险精算学
0 导论 1 分保协议 2 特定分布 3 通货膨胀 4 估计 5 超额保单 6 真题
Example 2.5 假设保单组合的赔款满足exp(λ)分布.自留限额为1000，超 过1000的索赔由再保险人支付. 保险公司希望估计λ的值，观察了100个索赔的随机样本，发 现90个不超过1000个索赔的平均金额为82.9.有10个索赔确实超出 了自留限额.计算λ的极大似然估计值.
0 导论 1 分保协议 2 特定分布 3 通货膨胀 4 估计 5 超额保单 6 真题
4 估计
考虑存在超额损失再保险的估计问题.假设索赔记录只显示保 险人支付的净索赔.典型的索赔记录可能是 ：
x1, x2, M, x3, M, x4, x5, ...
(18)
需要对潜在的总索赔分布进行估计.
风险模型与非寿险精算学
风险模型与非寿险精算学
0 导论 1 分保协议 2 特定分布 3 通货膨胀 4 估计 5 超额保单 6 真题
解
Exp(λ) 分布超过1000的概率仅为e−1000λ.因此似然函数为：
L(λ) = λe−λx1 λe−λx2 ...λe−λx90 ×(e−1,000λ)10 = λ90e−(10,000+ xi)λ 取对数:
0 导论 1 分保协议 2 特定分布 3 通货膨胀 4 估计 5 超额保单 6 真题
由于无法计算平均索赔金额，因此矩估计法不可用.另一方 面，可能可以使用百分位数方法而不做任何更改；如果自留 额M 很高，并且只有较高的样本百分位数受到(少数)再保险索赔 的影响，则会发生这种情况.
形式为(18)的样本的统计术语叫删失.一般来说，当某些值被准 的样本.
风险模型与非寿险精算学
寿险精算学(第3版)习题答案2
【解2.1】（1）可以被写成=(90−p(r200)18000，又由于达到极限寿命时=0，故=90。
（2）证明：因为，0=1；其次，达到极限寿命=90时，有90=0；且，的导数−110−218000<0,>0。
由此，生存函数的三个条件都被满足。
（3）93333.0)0()10(00010==S S p （4）(030−050)020（5）=−0'(p/0==110+218000−110−2因此，40=0.015833。
【解2.2】作为生存函数的基本属性有：(0)1,S =函数是单调递减的，同时lim ()0x S x →∞=。
（1）由于()exp[0.7(21)](10.72ln 2)xxS x x '=---⨯⨯，(0)0.51480S '=>，说明该函数不满足单调递减的性质。
所以，它不能作为生存函数。
（2）由于(0)1S =,3()2(1)0S x x -'=-+<，21lim ()lim0(1)x x S x x →∞→∞==+。
该函数可以作为生存函数。
（3）由于(0)1S =，()2()(2)0x S x ex -'=-<，lim ()0x S x →∞=。
该函数可以作为生存函数。
【解2.3】（1）4320751001)75(1)75(=--=-=S F （2）20017510040175)()75(=-==-=x x S dx d f （3）501412001)75()75()75(===S f μ【解2.4】(40)40(40)(40)40(40)(40)60(),060(40)60(40)1(),060(40)601()(),06060T t T T t T S t tS t p t S S t t t S t tf x p t t μμ+-===<≤'+=-=<≤+-==<≤【解2.5】()18)100(9)100(6)100(3100)100()100(2)]([2)]([3100)100()100()]([)100()100(222210002221000100022100022x x x x dt x t x t x T E dt p t x T Var xdt x t x dt p x T E x t x l l p xxx t xxx tx t x x t -=---=⎪⎭⎫⎝⎛------=-=-=---==---==⎰⎰⎰⎰----+【解2.6】所有表达式均为非负，因此需要验证是否满足0∞B =∞，使得0)(=∞S （1）∞==∞∞⎰0ln C BC dx BC xx，可以（2）∞=+=+∞∞-⎰001)ln()(x b a dx x b a ，可以（3）21)1(21)1(023=+-=+∞∞-⎰x dx x ，不可以【解2.7】把30.250x q +=代入120.170x q +=式中，得11232120.1700.680x x x x x x q p p q p p ++++++=⋅⋅=⇒=上式与已知条件11210.090x x x q p q+++=⋅=联立求解，解出10.770x p +=，20.117x q +=最后得1212(1)0.230.1170.347x x x x q q p q +++++=-+=+=【解2.8】由()1xS x ω=-，可知~(0,)X U ω，且有(20)~(0,20)T U ω-则[()]2x E T x ω-=，2()[()]12x Var T x ω-=已知020e 40=，即20401002ωω-=⇒=所以2(20)Var[T(20)]533.312ω-==【解2.9】首先计算K 的生存函数k012197k p +1015415则210414()09715151502210422()(21)13509715151513422()()[()]225E K p k k E K k p k k Var K E K E K ==++=∑==+⋅=⋅+⋅+⋅=∑==-=【解2.10】证明：（1）x t x x x t q t T t T p -=<-=≥=1)Pr(1)Pr(（2）xu t x t x x x x ut p p u t T t T u t T t q +-=+≥-≥=+≤≤=)Pr()Pr()Pr(（3）()()()tx u x t t x x x ut p p u T t T p ++⋅=≥⋂≥=Pr 【解2.11】（1）证明：110111111111+∞+∞+-∞∞+=+≤⋅+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x t x x t x t x t x t x e dt p dtp p dt p dt p dt p dt p e （2）证明：由于是关于的递减函数，因此有K1B≥所以xk x k k k kx tx t x e p dtp dt p e =≥==∑∑⎰⎰∞=+∞=+∞101【解2.12】证明：()()()()()()()t x t x x t S x t f x t S x t x t p p t t S x S x S x μμ+∂∂++-++====∂∂【解2.13】318.02005exp 20025exp 20015exp )5()25()15(200exp 100exp )(2225101020=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎰S S S q x dt t x S x 【解2.14】[][]8684284p =其中86l 已知，而[][][][][]2848484184841(1)(1)p p p q q ++==--由已知条件推导出[][][]85841848483144508030360.3225550803343640050800.20644556400q q q q q ++-=⋅=⋅=-==⋅⋅=⋅=【解2.15】(1)7[76]=83[76]=1192816608=0.718208(2)6|275+1=82−8475+1=0.084631【解2.16】40+1=40(1−40),40+2=402p [40],43=40+2−40∗2|40,46=43−40+1∗2|340+1.因此343=46/43=1−(1−40)2|340+1/(2p [40]−2|40)=1−(1−0.01608)×0.08964/(0.95977-0.02383)=0.905765【解2.17】151025:2525152540015100.040.04150.06015.40667t t tte p dt p p dtedt eedt--⨯-=+=+=⎰⎰⎰⎰【解2.18】(1)0.752.5=1−53.252.5=1−0.853+0.2540.552+0.553=0.0068381.7|1.252.5=54.2−55.452.5=0.854+0.255−0.655−0.4560.552+0.553=0.022690(2)0.752.5=1−0.5p 52.50.2p 53=1−520.5530.2=0.0068351.7|1.252.5=1.7p 52.51−1.2p 54.2=0.5p 52.5530.2p 541−0.8p 54.20.4p 55=520.553540.21−540.8550.4=0.022668【解2.19】因为{}10102102221exp ()=1exp 2()1exp ()1()1(1)2x x x x x q x t dt x t dt x t dt p q q q μμμ⎡⎤''=--+⎢⎥⎣⎦⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=-=--=-⎰⎰⎰由此推出2x xq q '<。
非寿险精算学教学课件(共11章)03索赔次数分布
-
6.48E-04 -4.21E-04 -5.12E-04 -4.02E-04 1.49E-04 1.11E-04 4.66E-05 1.43E-05 3.47E-06 7.07E-07
3
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. n!
i=1
0 0.258463 0.259111 1 0.35035 0.349929 2 0.236802 0.23629 3 0.10641 0.10637 4 0.035764 0.035913 5 0.009589 0.0097 6 0.002137 0.002183 7 0.000407 0.00421 8 6.76E-05 7.11E-05 9 1.32E-06 1.07E-05
E(N ) = rβ, β > 0,
3
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3.3.1 1, 2, · · · , n,
Ni ∼ N B(ri, β),i =
m
3
N1 + N2 + · · · + Nm ∼ N B( ri, β).
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3.2.1
F. N F (0).
m (m, q)
. ,
, q = 1−
3
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15 非寿险精算选讲
中，保险的标的一般是相应风险造成 的损失。然而，各种非寿险险种对应 的损失的分布规律并不像寿险中的生 命表那样业已阐明，需要利用概率论 和数理统计的随机不确定性方法加以 探索和近似表述，这是非寿险精算与 寿险精算的显著区别，也是非寿险精 算相对较难的主要原因。非寿险精算 的主要任务是建立风险损失的分布规 律模型，通过费率厘定来制定保险保
2.一些重要的随机变量及其分布的回 顾：泊松（Possion）分布、二项分布、 负二项分布、几何分布、指数分布、 对数正态分布、伽马分布、帕累托分 布、威布尔分布等； 3.一些随机变量重要统计数字特征回 顾：数学期望、方差、标准差、变异 系数、偏度系数。 4.费率厘定：根据保险标的的经验损 失数据和其他相关信息建立模型，并 对
帕累托分布具有性质： （1）帕累托分布总是右偏的，众数恒 为0. （2）帕累托分布乘以正数后，仍然是 帕累托分布，第二个参数乘以该正数。 （3）如果均值保持不变，当第一个参 数无限增大时，帕累托分布收敛到参 数为均值倒数的指数分布。
威布尔分布：设损失金额服从参数为 的威布尔分布，则其分布 ， 函数和密度函数分别为：
它的特点是基于人的生存规律，这一 规律已经由生命表表出，因此，它的 理论和方法十分成熟。 非寿险精算学泛指寿险精算以外的其 他保险的精算问题研究，这些保险包 括财产保险、医疗保险、健康保险、 人身意外伤害保险、社会保险等。在 财产保险中又包括房屋建筑物保险、 车辆保险、火灾保险、海上保险、航 空保险等等。在上述非寿险的保险
所厘定的费用。包括信度模型和奖惩 系统。
二. 损失模型 损失模型又可以称为索赔模型，因为保 险损失发生实际上等价于索赔发生。损 失模型即是损失随机变量的分布。通常 将损失模型分为损失次数（索赔次数） 模型和损失金额（索赔额）模型以及累 积损失模型三种。
孟生旺非寿险精算学》 第三版 参考答案
Var( K ) E[Var( I N )] Var[E( I N )] q(1 q)*E( N ) q 2 *Var( N )
0.00001 0.99999 68.6 0.000012 1.372 0.000686
2011 日历年总已赚车年=5+10=15
（2）截至 2010 年 12 月 31 日，
2010 保单年保单 A 承保车年数=5×2=10；2010 保单年保单 B 承保车年数=10×2=20；
因此，2010 保单年承保的总车年数=10+20=30
（3）2010 日历年，保单 A 承保车年数=5×2=10；保单 B 承保车年数=10×2=20；
E( N ) n1 p1 68.6, Var( N ) n1 p1 (1 p1 ) 70 0.98 0.02 1.372
P 表示飞机上的人员数，M 表示飞机上的乘客数， M ~ B(n2 , p2 ) ， n2 200 ， p2 0.9 ，
则
P 6M ，
孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著，非寿险精算学（第三版）
，中国人民大学出版社，2015。
《非寿险精算学》
（第三版）参考答案
第1章
非寿险简介（略）
第2章
损失模型
2.1
首先将 2005 年和 2006 年的损失折现到 2004 年中：
2005 年平均损失金额的折现值为： 1200
2006 年平均损失金额的折现为： 1500
f S (2)
2
f X (1) f S (1) 2 f X (2) f S (0) 0.043229
非寿险精算学2孟生旺
155
.
156
.
157
.
158
理赔过程
.
159
理赔过程的特点：
第一，理赔过程较长，可能出现反复，理赔周 期一般持续很长时间。
第二，对于一项理赔的估计值可能在一段时间 产生变化，直到理赔最终结束时才会确定。
第三，一个被保险人的申请索赔可能有多种类 型。
第四，一次理赔与多个时间日期相关。
金的评估方法。
.
120
非寿险准备金的定义
•经营非寿险业务（人寿保险以外的保险业务， 包括财产损失保险、责任保险、信用保险、短期 健康保险和意外伤害保险业务及其再保险业务） 的保险公司对其所承保的有效保单未了责任评估 后的资金准备。即，根据保险合同用于支付未来 赔付所应预留或准备的资金。
.
121
非寿险风险准备金的分类
.
142
增量已付赔款流量三角形
数据的 尾部
.
143
思考：如何由增量已付赔款流量三角形得到累计 已付赔款流量三角形？
将进展年的第1列对应的数据加到进展年第2列 对应数据之上，可得进展年第2列的累计数据；
将第2列的累计数据加到进展年第3列对应的数 据之上，可得进展年第3列的累计数据；
依此类推。
.
34
P 110例7-2.
.
35
Bühlmann-straub信度模型
.
36
模型假设：个体风险的规模可以变化。
.
37
PZX(1Z)
加权 平均
X是个体风险的平均经验损失，经验纯保费；
Z是信度因子
是个体风险所属的风险集合的纯保费。
Z m m mK mv/a
其中K=v/a为Buhlmann参数，过程方差的均值 与假设均值的方差之比
寿险精算学(第3版)习题答案3
【解3.1】因为()()ln ()Pr Pr Pr T z F z Z z e z T δδ-⎛⎫=≤=≤=≥ ⎪-⎝⎭且由条件知剩余寿命服从De Moivre 分布,即()0,70T U ，故70ln ln 1ln ()Pr 17070z z z F z T dt δδδ-⎛⎫=≥==+ ⎪-⎝⎭⎰密度函数等于分布函数求导()ln 117070Z z f z zδδ'⎛⎫=+= ⎪⎝⎭已知0.05δ=，0.6z =代入上式得()0.60.48Z f =【解3.2】（40）的剩余寿命T 服从均匀分布（0，70），其生存函数为407070t tP -=，070t ≤≤由题意，可得ln 70ln ln ()Pr()Pr()Pr()ln 70t z z v F z Z z v z t v-=≤=≤=≥=Z 的90％置信上限即为使()0.9F z =的z 值，即ln 70ln 0.970zv -=解得exp[(70700.9)ln ]0.84z v =-⨯=【解3.3】在恒定死亡力和恒定利息力场合，容易验证趸缴净保费等于x A μδμ=+在调整以前有0.60.05μμ=+则求得0.075μ=调整以后0.0750.020.095μ'=+=，0.04δ'=则调整后的趸缴净保费为0.0950.7040.0950.04x A μμδ'===''++【解3.4】（1）()()tx A E Z E v ==,则()()2200.055001 1.250.031252500.0312522Pr[0]t x T x tt t A e f t dtedte dte Y δ∞-∞--+⎛⎫∞- ⎪⎝⎭====≥⎰⎰⎰其中~( 1.25,25)Y N -，则()1.25Pr(0)Pr(0.25)10.255Y Y +≥=≥=-Φ()0.031252[10.25]0.83x A e =-Φ=（2）因为22()x x Var Z A A =-，其中()()()2220.100.15001 2.50.1252500.12522[10.5]0.70t x T x tt t A e f t dte dte dte ∞-∞--+⎛⎫∞- ⎪⎝⎭====-Φ=⎰⎰⎰所以222()0.700.830.014x x Var Z A A =-=-=【解3.5】给付函数和贴现函数都已知，容易得到现时值函数为1(10.2)t t Z b v t -==+密度函数已知()()40400.02,050T t f t p t t μ=+=≤≤则趸缴净保费等于()()505000ln 10.21110.020.2410.2500.210t E Z dt t +⎛⎫=⨯=== ⎪+⎝⎭⎰两倍利息力下，趸缴净保费等于()()50502200110.020.020.091(10.2)0.210.2E Z dt t t -=⨯=⨯=++⎰所以现值变量的方差等于222()()[()]0.09090.23980.0334Var Z E Z E Z =-=-=【解3.6】一般情况下，如果剩余寿命T 服从()0,ω的均匀分布，即1(),0T f t t ωω=≤≤可以得到()0111t x T tt A e f t dte dtev a δωδωδωωωωδωδω∞---==-=-==⎰⎰本题中，T 服从（0，60）的均匀分布，故所求的净保费为604040100010001000666.76060a A =⨯=⨯=【解3.7】令3z 为()x 岁的人投保期末赔付1的n 年定期生存保险的现时值变量，根据已知条件有3()0.20.450.09n n x E z v p =⋅=⨯=223()0.040.450.018n n x E z v p =⋅=⨯=根据定期两全保险与定期寿险和定期生存险的关系，有213z z z =+则213123()()()()()()0.350.090.26E z E z E z E z E z E z =+⇒=-=-=[][]222213222212322()()()()()()()()0.060.0180.350.1645Var z E z E z E z E z Var z E z E z =+-⇒=-+=-+=推导出()[]2221110.16450.260.0969Var Z E Z E Z ⎡⎤=-=-=⎣⎦【解3.8】因为死亡服从De Moivre 分布，故40岁的人剩余寿命的密度函数为()160T f t =，060t ≤≤由于延期20年，所以赔付现值变量为0,020,2060TT Z e T δ-≤≤⎧=⎨<≤⎩所以，0z =点为重概率点，该点概率值为20201Pr(0)Pr(020)()603T Z T f t dt ==≤≤===⎰【解3.9】该保单可以视为一个10000元的终身寿险和10000元的20年定期寿险的组合，则该保单趸缴净保费为14545:201000010000A A +已知450.25A =，下面求145:20A 的值。
非寿险
/kuaiji/jingsuan/moniti/china/2013中国准精算师考试《非寿险精算》经典习题5(以下l～20题为单项选择题，每题1.5分，共30分)1.某保险公司已销售500件火险保单如下：已知：(1)每一保单之理赔金额均匀分布于0与保险金额最大值之间。
(2)每一保单超过理赔l件以上的概率为0。
(3)赔案发生是独立分布。
请计算期望理赔总额。
A.35 000B.25 000C.31 500D.37 000E.32 8002.某保险公司承保3类数量相同的汽车险，每一类的发生频率服从泊松分布。
已知情况如下：请计算当一个被保险在第一年无赔案发生之情况下第二年的预期损失。
A.500B.550C.600D.700E.800第3～5题基于以下信息：一家保险公司某险种损失服从指数分布，其均值为30万元。
保险公司支付大于2万元损失的80%，最大支付值为80万元，其中再保险负责大于50万元的支付值。
3.计算保险公司的平均支付值。
A.15B.18C.20D.22E.234.计算再保险公司的平均支付值。
A.1B.2C.3D.4E.55.计算被保险人承受的损失的期望值。
A.6B.7C.8D.9E.10第6～7题基于以下信息：已知某保险公司针对汽车险业务安排超额再保险时情况如下：(1)2004年的预期损失合计为10 000(2)2004年的个别损失服从帕累托分布(3)每一损失超过3 000以上将有再保险赔付(4)每年支付给再保险人再保险费等于再保险所承担之预期损失的110%(5)考虑通货膨胀，损失金额每年增加5%(6)损失发生频率不会改变6.2004年再保险费等于( )。
A.2 500B.3 400C.4 000n 4 4n0 F.5 1007.2005年再保险费等于( )。
A.4 800B.5 400C.6 000D.5 700E.5 000第8～10题基于以下信息：ABC保险公司与XYZ再保险公司签订了40%的成数再保险合同。
20XX中国准精算师考试《非寿险精算》经典习题3第2页-精算师考试.doc
2013中国准精算师考试《非寿险精算》经典习题3第2页-精算师考试整理了2013年中国准精算师考试《非寿险精算》经典习题，望给广大考友带来帮助，预祝大家取得优异的成绩！第1页：单项选择题第3页：多项选择题第4页：综合解答题11.设某类保单的索赔次数服从泊松分布P(λ)，若最近观察的一系列索赔次数为8、9、10、1l，试求λ的极大似然估计量。
A.8.5B.9.0C.9.5D.10.0E.10.512.某险种当前费率、均衡已经保费、损失信息如下：假设当前基础费率为 1.2(千元)，若整体指示费率变化量为1.15，即整体保费上升15%，求指示基础费率。
A.1.36B.1.37C.1.38D.1.39E.1.4013.某险种当前费率、均衡已经保费、损失信息如下：假设当前基础费率为 1.2(千元)，若整体指示费率变化量为1.15，即整体保费上升15%，求冲销因子。
A.1.052B.1.053C.1.054D.1.055E.1.05614.某成数再保险合同中约定，每一风险单位的最高限额为100万元，自留20%，分出80%，并且再保险对接受的保额也有限额80万元，现有风险单位A，保险金额为120万元，遭受了80万元损失，问成数再保险接受人应摊赔多少万元?A.50B.40C.60D.120E.8015.以下关于费率厘订的叙述，哪一项是正确的?A.保险产品价格应当为充分费率B.费率厘订一般不考虑利润因素C.理论保费即为纯保费D.理论保费即为充分保费E.影响索赔频率与平均索赔的因素一般而言是相同的16.选出下面与其他四项不同的选项。
A.链梯法B.随机模拟C.贝叶斯方法D.矩估计法E.最大似然法17.原保险人与再保险人签订了下述合同，最高承保能力为20万元，若x≤5万元，赔款由原保险人承担，若5万元A.3B.3.5C.4.0D.4.5E.5.018.对于下述四种再保险形式：①超额赔款再保险②溢额再保险③成数再保险④停止损失再保险试按转移风险由大到小的顺序排列。
非寿险精算学
概论 风险与保险的基本关系
1、保险是将风险由被保险人向保险人的转移；
2、保险人也需要对其所承保的超额风险寻求保险保障；
3、风险集合包含的个体风险越多，其相对风险越少；
4、不同的保险人具有不同的风险水平；
5、在很多情况下，少数巨灾风险所造成的损失找到总损失的很大比重。
理赔次数0123456
保 单 数427536501500450100205
试分析索赔次数是否服从泊松分布（ ）。
解：第一步，计算理赔次数X的均值；
则有：
第二步，计算皮尔逊统计量
理赔次数ki)观测次数( )
理论次数( )
042754274.150.0002
136503633.030.0793
k=1, 2, …
几何分布的方差大于均值，均值为 ，方差为
二、损失（索赔）金额（强度）模型
1、指数分布
假设损失金额X服从参数为 的指数分布，则其分布函数和密度函数分别为：
其中， ，x>0
?指数分布的均值和方差分别为： 和
2、对数正态分布
假设损失金额X服从参数为 的对数正态分布，则其分布函数和密度函数分别为：
第一章非寿险和非寿险精算
非寿险是与寿险相对而言的，是指寿险以外的其它保险业务，主要包括财产保险、责任保险、健康保险和意外伤害保险等。
一、财产保险
财产保险是以有形的物质财富及相关利益为保险标的的一种保险。主要包括火灾保险、运输保险和工程保险等。
1、火灾保险
特点：首先，火灾保险的保险标的只能存放于固定场所并处于相对静止状态下的各种财产物资；其次，火灾保险承报财产的地址不能随意变动，如果被保险人确实需要变动保险财产的存放地点，必须征得保险人的同意。
非寿险精算学教学课件(共11章)02损失分布
Full Screen Close Quit
2.1.1
.
Xi,i ≤ n
,
2
Xi ∼ N (µi, σi2), i ≤ n
M
n i=1
Xi
(t)
=
பைடு நூலகம்
n
MXi(t) =
n
etµi+
t2σi2 2
=
et
P n
. i=1
µi+
t2
n i=1
σi2
2
i=1
i=1
,
n
Gamma
,
MX (t)
∞ etxβαe−βxxα−1
=
dx
0
Γ(α)
∞ βαe−x(β−t)xα−1
=
dx
0
Γ(α)
βα
∞ (β − t)αe−x(β−t)xα−1
= (β − t)α 0
dx Γ(α)
=
(β
βα − t)α
=
(1
−
1 t)−α, β β
>
t.
2
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2.1.1
X ∼ N (µ, σ2).
MX (t)
=
eµt+
σ2 2
t2
.
2
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2.1.1
X ∼ N (µ, σ2).
MX (t)
=
eµt+
σ2 2
t2
《非寿险精算》试题及答案
《非寿险精算》试题及答案（解答仅供参考）第一套一、名词解释1. 非寿险精算：非寿险精算是研究非寿险业务中风险评估、保费定价、准备金评估、损失分布分析等领域的数学和统计方法。
2. 损失概率：损失概率是指在一定时间内，某一特定风险事件发生的可能性。
3. 纯保费：纯保费是指保险公司为了覆盖预期的损失成本而收取的保费。
4. 保险准备金：保险准备金是保险公司为应对未来可能发生的索赔而储备的资金。
5. 责任年限法：责任年限法是一种计算未决赔款准备金的方法，基于假设所有未决赔款将在一定年限内结案。
二、填空题1. 非寿险精算的主要内容包括风险评估、______、准备金评估和损失分布分析。
答案：保费定价2. 在非寿险业务中，______是决定保费水平的重要因素。
答案：损失概率和损失程度3. 如果实际赔付金额超过已收取的保费和投资收益之和，就需要动用______来支付。
答案：保险准备金4. 在非寿险精算中，______是一种常用的损失分布模型。
答案：泊松分布或帕累托分布5. 在责任年限法中，如果假设所有未决赔款将在一年内结案，那么这就是______责任年限法。
答案：一年三、单项选择题1. 非寿险精算主要应用于哪种类型的保险业务？A. 寿险B. 健康险C. 财产险D. 意外险答案：C. 财产险2. 下列哪一项不属于非寿险精算的内容？A. 风险评估B. 保费定价C. 投资管理D. 准备金评估答案：C. 投资管理3. 在非寿险精算中，用来衡量风险大小的指标是？A. 损失概率B. 损失程度C. 风险暴露D. 风险溢价答案：A. 损失概率4. 下列哪种方法可以用来计算非寿险业务的未决赔款准备金？A. 综合比例法B. 平均估算法C. 责任年限法D. 追溯法答案：C. 责任年限法5. 在非寿险精算中，如果某风险事件的发生概率为0.1，且每次发生时的平均损失为1000元，则该风险的期望损失为？A. 10元B. 100元C. 1000元D. 10000元答案：B. 100元四、多项选择题1. 非寿险精算的主要内容包括：A. 风险评估B. 保费定价C. 准备金评估D. 损失分布分析E. 投资管理答案：ABCD2. 下列哪些因素会影响非寿险业务的保费定价？A. 损失概率B. 损失程度C. 营运费用D. 目标利润E. 法律法规答案：ABCD3. 下列哪些方法可以用来计算非寿险业务的未决赔款准备金？A. 综合比例法B. 平均估算法C. 责任年限法D. 追溯法E. 预测法答案：ABCD4. 在非寿险精算中，以下哪些是常用的损失分布模型？A. 正态分布B. 泊松分布C. 帕累托分布D. 对数正态分布E. 卡方分布答案：BC5. 下列关于非寿险精算的陈述中，哪些是正确的？A. 非寿险精算是研究非寿险业务中的风险评估和管理的学科。
风险模型与非寿险精算学 (30)
母函数MS(t) 的表达式exp(λ(MX (t) − 1)) 4 如果N 满足参数为m和q的二项分布，则
Acknowledgement
T HAN KS
风险模型与非寿险精算学
4 二项分布 查表可知，如果 N ∼ Bin(m, q), 则 MN (t) = (1 − q + qet)m 根据(ii)的结果，我们得出： MS(t) = (1 − q + qeln MX(t))m = (1 − q + qMX (t))m
风险模型与非寿险精算学
1 承保风险的一般特征 2 短期保险合同模型 3 聚合风险模型 4 真题
2 (ii) MGF S的矩母函数的定义是 MS(t) = E[etS] 再次，我们使用条件法来做 E etS = E E etS |N = E E et(X1+X2+...+XN ) |N = E E etX1 E etX2 ...E etXN |N = E E etX1 N = E (MX (t))N = E [exp (N ln MX (t))] = M N (lnM X (t))
3 泊松分布 查表可知，如果 N ∼ P oi(λ)，则 MN (t) = exp[λ(et − 1)]. 根据(ii)的结果，我们得出： MS(t) = exp[λ(elnMX(t) − 1)]
风险模型与非寿险精算学
1 承保风险的一般特征 2 短期保险合同模型 3 聚合风险模型 4 真题
真题答案 (Subject 106 , April 2003,Q9(part)) III
风险模型与非寿险精算学 (34)
2 个体风险模型
在这个模型下，考虑一个由固定数量的风险组成的组合.假设 这些风险是独立的 来自这些风险的索赔金额不是同分布的随机变量 保险责任期内的风险数量不变.
如前所述，本组合的总索赔用S表示.所以 S = Y1 + Y2 + · · · + Yn 其中Yj 表示第j 个风险下的索赔金额，n表示风险数量.有些风险 可能不会引起索赔.因此，一些观察到的{Yj }nj=1 值可能为0.
E[S] = E Yj = E[Yj] = qjµj
(6)
j=1
j=1
j=1
需要假设单个风险是独立的
n
n
n
var[S] = var Yj = var[Yj] = (qjσj2 + qj(1 − qj)µ2j )
j=1
j=1
j=1
(7)
在特殊情况下当{Yj }nj=1 是一个相同分布的序列，也是独立的 随机变量 ，那么对于每一个保单，qj , µj 和 σj2的值是相同的.由 于Fj(x)独立于j，我们可以简单地将其记为F (x).
(5)
S是n个独立复合二项随机变量的和.只有当复合二项变量分布 相同且独立时，才能说明S的分布.在一定条件下，计算S的分布 函数是可能的，但很复杂.
风险模型与非寿险精算学
1 比例和超额赔款再保险的总索赔分布 2 个体风险模型 3 参数可变性/不确定性 4 真题
然而，很容易找到S的均值和方差.
n
n
n
风险模型与非寿险精算学
1 比例和超额赔款再保险的总索赔分布 2 个体风险模型 3 参数可变性/不确定性 4 真题
非寿险精算(孟生旺)课后答案
2.15 X 的矩母函数为 M x ( z ) = ∫ e
0
N 的母函数为 PN ( z ) = [1 − β ( z − 1) ]
kh da w. co m
案 网
zx 5 ni Ai2 n A2 + 0.04∑ i i = 1.7072 × 109 4 i =1 12
1
θ
e
− x /θ
dx =
1
θ
n
2.5 2.6
M x (t ) = E(etx ) = ∫ etx ∑ ai λi e − λi x dx = ∑ ai (1 −
0 i =1 i =1
E ( S ) = λ E ( X ) = 20 × 100 = 2000
Var ( S ) = Var ( X ) E ( N ) + Var ( N ) [ E ( X ) ] = λ Var ( X ) + [ E ( X ) ]
课后答案网
《非寿险精算学》
（孟生旺 刘乐平 编著，中国人民大学出版社 2007 版）
参考答案
（2008 年 2 月）
0, x ≤ 0 ⎧ ⎪ f (x + d ) 其密度函数为 f Y ( x ) = ⎨ ,x > 0 ⎪ ⎩ 1 − F (d )
w.
=
1⎞ ⎛ f ⎜x+ ⎟ ∞ ∞ ∞ f (x + d) λ⎠ E (Y ) = ∫ xfY ( x )dx = ∫ x ⋅ dx = ∫ x ⎝ dx 0 0 0 1− F (d ) ⎛1⎞ 1− F ⎜ ⎟ ⎝λ⎠
+∞
1 16 −2 λ 4 −λ e ， P ( x = 4 λ = 1) = e−1 ， P (x = 4 λ = 2) = e 24 4! 24
风险模型与非寿险精算学 (44)
Pr [M100 > 50] = 0.4902 Pr [M100 > 100] = 0.00453
风险模型与非寿险精算学
0 背景 1 广义极值分布(GEV) 2 区块极值法 3 广义极值分布的应1.用1 极4大广值义1帕.2累广托义分极布值分布 1.3 广义极值分布的稳定性 1.4
也可以采用近似法
风险模型与非寿险精算学
0 背景 1 广义极值分布(GEV) 2 区块极值法 3 广义极值分布的应1.用1 极4大广值义1帕.2累广托义分极布值分布 1.3 广义极值分布的稳定性 1.4
Solution
Pr [Mn ≤ x] = (F (x))n Pr [M100 > x] = 1 − [F (x)]100 = 1 − 1 − e−x/10 100
= (F (x))n
风险模型与非寿险精算学
0 背景 1 广义极值分布(GEV) 2 区块极值法 3 广义极值分布的应1.用1 极4大广值义1帕.2累广托义分极布值分布 1.3 广义极值分布的稳定性 1.4
Example
Example 6.1 在一个风险集合中，索赔金额服从指数分布， F (x) = 1 − e−x/10. 试计算100次观测记录中，极大值超 过50和100的概率.
风险模型与非寿险精算学
0 背景 1 广义极值分布(GEV) 2 区块极值法 3 广义极值分布的应用 4 广义帕累托分布
寿险精算学(第3版)习题答案7
【解 7.2】 根据题意有
所以
t
t px00 exp( 01 02dt ) e 0.05 t
0
t
t p1x1 exp( 12dt ) e 0.05 t
0
t
t px01
s
px00 01
t
s
p11 x s
dt
0.02te
0.05 t
0
p 00
10 x
10 px00 10 px01
e 0.5
所以
35
p40
p 25 25,50 p 15 25
0.2 0.9
2 9
【解 7.16】
由 i 0.04 1 ，得 d i 1 ，且延付年金和初付年金之间具有如下关系
25
i 1 26
ax ax 1 11 ， ay ay 1 16 ， axy axy 1 10
则根据题意，该保单的精算现值等于
t
p60,55
t
p6s0
t
p5n5
20 t 20
2
25 t 25
则他们还能共同生活的期望时间为
0
e
20 0
t
p60,55dt
20 0
20 20
t
2
25 25
tdt
5.33
【解 7.25】
qx 1 px 1 e 1 e 1.2 0.6988
qx3
qx
3
0.6988
o
e70,75
35 0
p70,75dt
35 1
0
75t t 1400
2
dt
12.40
【解 7.9】 则
t q70
t 40
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0, X 20
为保险人的赔款随机变量。
X 20, X 20
令Y
2.6
E(Y) = E(X-20|X>20)×P(X>20)+0×P(X<20)
+∞
∫ (x-20)f(x)dx
= ∫ (x-20)f(x|x>20)dx ×P(X>20)= 20
×P(X>20)
P(X>20)
20
+∞
+∞
+∞
= ∫ (x-20)f(x)dx= ∫ (x-20)0.2e-0.2x dx=5e-4
20
20
4
P x
2.7
4
4!
e ，P x
4
1 1
16 2
e ， Px 4 2
e
24
24
1
e-1
24 ·0.6
P(l =1|x =4)=
=0.2031
1
3
1
1090.9
1 10%
1
1239.7
1 10%2
2
3
2004 年的平均损失金额为： E x 1090.9 1239.7 1190.1
而 Pareto , 分布的期望是 E x
1
1
2
用损失次数进行加权，得 1090.9 1239.7 1190.1
= 1 + 2 + ⋯ +
其中对每个 i， Y ji ，
（j = 1，…，ni）独立分布，设其分布与 IBi 相同，
Bi U (0，Ai)，ui = E (Bi) = Ai / 2， i var( Bi ) Ai /12 ，则总赔付额 S 为：
2
S X1 X 2
f S (2)
2
f X (1) f S (1) 2 f X (2) f S (0) 0.043229
依此类推，其他计算结果如下表所示。
x
0
1
2
3
4
5
6
f S ( x)
FS ( x)
0.818731
0.130997
0.043229
0.005799
0.001097
0.000128
0.000018
，中国人民大学出版社，2015。
E ( S ) E ( X ) 20 100 2000
Var ( S ) Var ( X ) E ( N ) Var ( N ) E ( X )
2
Var ( X ) E ( X )
2
20(1002 1002 ) 400000
从而，λ 的矩估计值为 675.8。
2.3 (1 , 2 , … ; ) = − ∑=1
L(1 , 2 , … ; ) = (1 , 2 , … ; ) = − ∑
=1
对L(1 , 2 , … ; )关于 求偏导并令其等于 0，有：
0.818731
0.949728
0.992957
0.998756
0.999853
0.999981
0.999999
1，火灾发生
2.10 设 I
0，火灾不发生
，q = P (I = 1) = 0.04。对最高赔偿额为 Ai 的第 i 类保单，设
Xi 为其理赔总额， Y ji ，j = 1，…，ni 为第 j 份保单获得的赔付额，则
，得 λ = 2380.2
3
3
3 1
2.2
E( x) x
0
2 2
dx
3
( x )
2 1
由题意可知，2007 年平均索赔金额的期望值为：
( 500×1.053 ×100+600×1.052 ×150+700×1.05×200 ) ÷ 450 = 675.8
即：E(x) = 675.8 = λ
2.8
E ( S ) E ( X ) 20 100 2000
2 Var ( S ) Var ( X ) E ( N ) Var ( N ) E ( X )
2
Var ( X ) E ( X )
2
20(1002 1002 ) 400000
5
5
i 1
i 1
E( S ) ni ui qi
− ∑ = 0
=1
n
解得，
x
i 1
2.4
n
1
x
i
n
n
t
i 1
i 1
i
M x (t ) E(etx ) etx ai i e i x dx ai (1
0
) 1 ,(t i )
2.5
1
孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著，非寿险精算学（第三版）
e-1
16e-2
24 ·0.6+ 24 ·0.4
16e-1
24 ·0.4
P(l =2|x =4)=
=0.7969
e-1
16e-2
24 ·0.6+ 24 ·0.4
E P 1 x 4 1 P 2 x 4 2 0.20311 0.7969 2 1.7969
2.9
为简化计算，假设一个货币单位为 5000 元，则有 fX(1)=0.8，fX(2)=0.2
2
孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著，非寿险精算学（第三版）
，中国人民大学出版社，2015。
f S (0) e e 0.2 0.818731, f S (1) f X (1) f S (0) 0.2 0.8 e 0.2 0.130997
E ( X 3 ) 12
4000003/ 2
4
2
2
2 17.778， 6.667 103，x0
666.67
E[( S E ( S ))3 ]
-3
因此 S 的分布函数为 G(x+666.67; 17.778, 6.667×10 )，99%分位数=3687
孟生旺、刘乐平、肖争艳 编著，非寿险精算学（第三版）
，中国人民大学出版社，2015。
《非寿险精算学》
（第三版）参考答案
第1章
非寿险简介（略）
第2章
损失模型
2.1
首先将 2005 年和 2006 年的损失折现到 2004 年中：
2005 年平均损失金额的折现值为： 1200
2006 年平均损失金额的折现为： 1500