函数的奇偶性及奇偶函数的图象

1）先求函数的定义域；
若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数
若定义域是关于原点对称的区间，进入第二步；
2）计算 f (－x ) 化向 f ( x ) 的解析式；
若等于 f ( x ) ，则函数是偶函数
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若等于 －f ( x ) ，则函数是奇函数
若不等于
f (x) f ( x)
解：此函数的定义域为 [－2 , + ∞) ∴ f ( x ) 是非奇非偶函数
例2：判断函数 f ( x ) =
1 x2 的奇偶性
| x 2 | 2
解：由题

1 x2 0
| x 2 | 2 0
1 x 1 x 2 2
1 x 1


任意取x ＜ 0 时，则 － x>0 ∵ x>0时 f ( x ) = x 2 －2x
∴ f (－ x ) = (－x ) 2 －2(－x ) = x 2 + 2x ∴ f ( x ) = －f (－ x ) = － （x 2 + 2x ）
故y

x2 2x

x2

2x
x0 x0
( x 1)2 1 x 0
定理：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称； 反之，如果一个函数的图象关于原点（y 轴）对称，那么这个函数是 奇（偶）函数。
此定理的作用：简化函数图象的画法。
例3、如图给出函数图象的一部分，用对称法作出下列函数的图象：
y
y
o
x
1）若函数是奇函数
o
x
2）若函数是偶函数
例4、作出函数 y = x 2 － | x | －6 的图象
先作出 x ≥ 0 的图象
可知 函数是偶函数
再用对称法作出另一半的图象；
例5、已知 f ( x ) 是奇函数，当 x ≥ 0 时， f ( x ) = x 2 －2x，求当 x ＜ 0 时， f ( x ) 的解析式，并画出此函数 f ( x ) 的图象。
解：∵ f ( x ) 是奇函数 ∴ f (－x ) = －f ( x ) 即 f ( x ) = －f (－ x ) y
在所证区间上取值
∴ f(x2)＜f(x1) 故 f ( x ) 在( 0 ，+ ∞ ) 上是减函数
1.已知 f ( x ) 是奇函数，而且在 (－∞ , 0 ) 上是增函数， 问 f ( x ) 在 ( 0 ，+ ∞ ) 上是增函数还是减函数？
2、作出下列函数的图象： 1）y = | 2x | 2）y = x 2 + 2| x | 3、已知 f ( x ) 是偶函数，当 x ≥ 0 时， f ( x ) = x 2 －2x + 1，求


(
x

1)2

1
x0
o
x
例6、已知 f ( x ) 是偶函数，而且在 (－∞ , 0 ) 上是增函数， 问 f ( x ) 在 ( 0 ，+ ∞ ) 上是增函数还是减函数？
解：设 0 ＜ x 1 ＜x 2 ＜ + ∞ 则 － ∞ ＜ －x 2 ＜－x 1 ＜ 0 ∵ f ( x ) 在 (－∞ , 0 ) 上是增函数 ∴ f (－x 2 ) ＜ f ( －x 1 ) ∵ f ( x ) 是偶函数
2） f ( x ) = －x 3 + x 5
解：此函数的定义域为 R ∵ f (－x ) = 6 (－x ) 6 + 3 (－x ) 2 + 1
=6x 6+3x2+1 =f(x) ∴ f ( x ) 是偶函数 3） f ( x ) = x 2 + 2x + 4
解：此函数的定义域为 R ∵ f (－x ) = － (－x ) 3 + (－x ) 5
解：当 x ≥ 0 时， y = x 2 － x －6 ( x 1 )2 25
2
4
当 x ＜ 0 时， y = x 2 + x
－6
( x 1 )2 25
2
4

y

( x ( x

1 )2 2 1 )2

25
4 25

2
4
x0 x0
若利用对称法作图：
y
o
x
函数 y = f ( x ) 在定义域 A 内任取一个 x ∈A，且 －x ∈A
1) 都有 f (－x ) = f ( x )
则 f ( x ) 是偶函数
2) 都有 f (－x ) = －f ( x )
则 f ( x ) 是奇函数
3) 都有 f (－x ) ≠ －f ( x ) 且 f (－x ) ≠ f ( x ) 则 f ( x ) 是非奇非偶函数
x

0且x

4
•
－4 －1
∴ 函数的定义域为 [－1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ]
•
01
1 x2 此时 f ( x ) = ( x 2) 2
1 x2 x
又f ( x)
1 ( x)2
x
1 x2 x = －f ( x )
故 f ( x ) 是奇函数
判定函数的奇偶性的步骤：
当 x ＜ 0 时，f ( x ) 的解析式，并画出此函数 f ( x ) 的图象。
问题：1）奇偶性在什么范围内考虑的？ 2）在定义域 A 内任取一个 x , 则 －x 一定在定义域 A 内吗？
注意：1）奇偶性在整个定义域内考虑；
2）定义域若不是关于原点对称的区间，则 f ( x ) 是非奇非偶函数；
3）考虑函数奇偶性必需先求出定义域。
例1、判断下列函数是否有奇偶性：
1） f ( x ) = 6x 6 + 3x 2 + 1
，则函数是非奇非偶函数
3）结论。
观察下列函数的奇偶性，并指出图象有何特征？
y y=x3
y y = x 2 －2
y
y=x+1
ox
ox
ox
图象 奇偶性
（1） 奇函数
（2） 偶函数
（3）
非奇非 偶函数
图象特征
关于原点成中心对称 简称关于原点对称 关于 y 轴成轴对称 简称关于 y 轴对称
不关于原点及 y 轴对称
= x 3 －x 5 = －(－x 3 + x 5 ) = －f ( x ) ∴ f ( x ) 是奇函数 4） f ( x ) = x 2
解：此函数的定义域为 R ∵ f (－x ) = (－x ) 2 + 2 (－x ) + 4
=
x
2 －2x
+
4
f (x) f ( x)
∴ f ( x ) 是非奇非偶函数