幻方的构造研究
浅谈幻方以及C++实现平面幻方的构造
心幻方， 去掉最外围的一层， 会变成 5 阶同心幻方， 再剥掉外层就变成三阶幻方。 也就是说，如果有一个无数阶同心幻方，那它就可以剥掉无限次（但到二阶幻方 时就不能再剥了） 。下图表 6 是一个同心幻方： 4 38 39 43 6 5 40 表6 1.3 幻方的一些性质 幻方的性质很多，有共同的性质，同类型的性质、个别型的性质等，如对称 性、轮换性是两类幻方的性质。 一个由自然数 1~n2 构成的 n(>=4)阶幻方有下列的性质： 1.1 和 n 行互换后，1 和 n 列互换，仍是幻方。 2.2 和(n-1)行互换后，2 和(n-2)列互换后仍是幻方。 3.任意阶幻方中的每个数加（减、乘、除）一个不为零的数，仍是幻方。 4.n2 个项的等差（比）数列都可以构成 n 阶幻方，只要按自然数列 1 至n2 的 项号编制即可得到。 5.在自然数列或等差（比）数列中任取等距离的 n 段，每段 n 个数，这n2 个 数可编成 n 阶幻方，按自然数 1~n2 的顺序，n 阶幻方的编制法即得。 6.在自然数 1~n2 构成的 n（>=4）阶幻方中，在每行、每列及对角线适当位 置上各加一个常数 A（A>=n2 ） ，仍是幻方。如图（表 7） ： 16 16 16 16 表7 9 15 30 33 16 31 41 8 18 22 27 26 32 42 47 36 29 25 21 14 3 48 37 24 23 28 13 2 49 19 20 17 34 35 1 10 12 11 7 44 45 46
1. 2. 3. 4. 5. #include <iostream> #include <stdlib.h> #include <math.h> using namespace std;
《幻方》教学课件
反射对称法
将奇数阶幻方反射后得到 偶数阶幻方。
递推构造法
通过已知的低阶幻方推导 出高阶幻方，常用的递推 关系有菲波那契数列等。
运用编程语言实现幻方构造
Python实现
使用Python的列表操作 和循环语句实现幻方的构 造。
Java实现
使用Java的数组和循环语 句实现幻方的构造。
C实现
使用C的数组和循环语句 实现幻方的构造。
幻方学习的重要性
幻方是一种具有独特魅力的数学游戏，通过学习可以帮助学生 提高数学兴趣和思维能力。
学习内容回顾
在幻方的学习过程中，学生需要掌握基本的数学原理和方法，如 对称性、组合数学等。
学习收获
通过幻方学习，学生可以提高观察力、逻辑思维和空间想象力等 多方面的能力。
对于幻方研究的展望与建议
深入探究
伪代码描述
给出算法的伪代码描述，以清晰简洁地表达算法 的实现细节。
算法复杂度分析
对算法的时间复杂度和空间复杂度进行分析，说 明算法的效率及可行性。
优化与改进
算法优化
针对现有算法的不足之处，提出相应的优化策略和改进方案，提 高算法的效率和性能。
优化实例
通过具体实例，演示优化后的算法相比原算法的优势和特点。
《幻方》教学课件
2023-11-02
目录
• 幻方简介 • 幻方的基本构造方法 • 幻方的数学原理 • 幻方的计算机实现 • 幻方在实践中的应用 • 总结与展望
01 幻方简介
幻方的定义
幻方是一种将n×n个数字排列成一个正方形，使每行、每列 和对角线上的数字之和均相等，具有神秘色彩的组合图形。
幻方最初由古希腊数学家费尔南德斯发现，被认为是数学与 艺术的完美结合。
幻方定义和规律
幻方定义和规律幻方，作为一种具有神秘色彩的数学游戏，一直以来都吸引着人们的注意。
它的定义和规律引发了许多学者的思考和研究。
在这篇文章中，我们将深入探讨幻方的定义和规律，揭示其中的奥秘。
我们需要了解什么是幻方。
幻方是由一组整数构成的方阵，其中每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。
也就是说，幻方是一个特殊的方阵，在数值上呈现出一种平衡和对称的特性。
幻方的规律是如何产生的呢？首先，我们需要明确一个概念——幻方的阶数。
幻方的阶数表示方阵的行数和列数，通常用n表示。
根据幻方的定义，我们知道每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等，所以我们可以推断出幻方的和是多少，即n乘以每个数的平均值。
以3阶幻方为例，我们可以通过数学推导得到。
假设幻方的和为S，根据定义，每一行、每一列和对角线上的数字之和都等于S。
那么，我们可以得到以下等式：3S = n * (n^2 + 1) / 2。
通过解方程，我们可以求解出S的值。
幻方的规律还表现在数字的排列上。
对于奇阶幻方来说，数字的排列是相对简单的，可以利用一种叫做"奇序法"的方法来构造。
奇序法的基本思想是，将数字按照一定的规则填充到方阵中。
具体的规则是，从第一行的中间列开始，依次填充数字，每次向右上方移动一格。
当超出方阵边界时，需要按照特定的规则进行处理。
通过这种方法，我们可以构造出任意奇阶幻方。
对于偶阶幻方来说，数字的排列就更加复杂了。
由于偶数无法平分为两个相等的整数，所以无法使用奇序法来构造。
但是，通过一些特殊的技巧和方法，我们仍然可以构造出偶阶幻方。
其中最著名的就是四阶幻方，也被称为"洛伊斯四阶幻方"。
洛伊斯四阶幻方是由德国数学家洛伊斯于1848年发现的，它的构造方法相当巧妙。
除了基本的规律之外，幻方还有一些更加深奥的特性。
例如，幻方的对角线之和等于方阵中所有数字之和的一半。
这是一种非常有趣的性质，也是幻方研究中的一个重要发现。
构造幻方
构造幻方所谓幻方，也教纵横图，就是在n×n的方阵中放入1到n2个自然数：在一定的布局下，其各行、各列和两条对角线上的数字之和正好都相等。
这个和数就叫做“幻方常数”或幻和。
幻方分为奇数阶幻方、偶数阶幻方（单偶阶幻方、双偶阶幻方），下面就这三类幻方的构造分别示范。
奇数阶幻方的经典方法－罗伯奇数阶幻方，也就是3阶、5阶、7阶……幻方，那么如何构造这样的幻方呢？我们可以采取罗伯法（也叫连续摆数法），其法则如下：把“1”放在中间一列最上边的方格中，从它开始，按对角线方向（比如说按从左下到右上的方向）顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达右侧，则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方。
按照这一法则建立5阶幻方的示例如下图：罗伯法（连续摆数法）的助记口诀：1居上行正中央，依次斜填切莫忘。
上出框界往下写，右出框时左边放。
重复便在下格填，角上出格一个样。
1居上行正中央——数字1放在首行最中间的格子中依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入数字上出框界往下写——如果右上方向出了上边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字竖直降落至底行对应的格子中右出框时左边放——同上，向右出了边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字平移至最左列对应的格子中重复便在下格填——如果数字｛N｝右上的格子已被其它数字占领，就将｛N ＋1｝填写在｛N｝下面的格子中角上出格一个样——如果朝右上角出界，和“重复”的情况做同样处理。
偶数阶幻方的一种制作方法——双偶阶、单偶阶幻方1.双偶阶幻方（中心对称交换法）n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……)(n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义。
互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n×n+1，称为互补。
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：这个方阵的对角线，已经用颜色标出。
幻方的原理和应用
幻方的原理和应用什么是幻方？幻方是一种特殊的方阵，它的特点是每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
幻方最早出现在中国古代数学书籍《周髀算经》中，被称为“洛书”。
幻方按照数字的奇偶性可以分为奇阶幻方和偶阶幻方。
奇阶幻方的阶数为奇数，偶阶幻方的阶数为偶数。
奇阶幻方更为常见，因为奇阶幻方的构造方法更为简单。
下面将分别介绍奇阶幻方和偶阶幻方的构造方法。
奇阶幻方的构造方法奇阶幻方的构造方法有多种，其中最著名的是三阶幻方的构造方法，即“阳线法”。
阳线法的步骤如下：1.将1放在第一行的中间位置；2.下一个数字（2）放在上一个数字（1）的右上方；3.若右上方已有数字，将下一个数字放在上一个数字的正下方；4.若已到达了第一行，将下一个数字放在最后一行的下一列；5.若已到达了最后一列，将下一个数字放在前一列的同一行；6.重复上述步骤，直到填满整个方阵。
三阶幻方的构造方法比较简单，而对于更高阶的奇阶幻方，可以通过一些变形和旋转的方法得到。
偶阶幻方的构造方法与奇阶幻方相比，偶阶幻方的构造方法更加复杂。
最常见的偶阶幻方是四阶幻方，也被称为“Dürer方阵”。
下面介绍四阶幻方的构造方法：1.将1放在第一行的中间位置；2.下一个数字（2）放在上一个数字的正右上方；3.若右上方已有数字，将下一个数字放在上一个数字的正下方；4.若已到达了第一行，将下一个数字放在第四行的下一列；5.若已到达了第四列，将下一个数字放在前一列的第一行；6.若已到达了第一行且第四列，将下一个数字放在前一列的第四行。
其他偶阶幻方的构造方法与四阶幻方类似，采用类似的规则和变形即可获得。
幻方的应用幻方不仅仅是一种有趣的数学结构，还有一些实际应用。
以下是一些幻方应用的例子：1.密码学：幻方可以用作加密和解密的基础。
通过将明文编码为幻方中的数字，可以实现简单的加密算法。
2.游戏设计：幻方可以用作游戏中的谜题或迷宫的基础。
在游戏中，玩家可能需要解决幻方中的数字组合，以获得进一步的线索或通向下一关卡。
奇数阶幻方构造原理
奇数阶幻方构造原理
奇数阶幻方是指由1到n^2 的连续整数构成的方阵，其每行、每列及两条对角线上的数字之和都相等。
以下是奇数阶幻方构造的一些原理和方法：
- 九子排列法：宋代数学家杨辉总结的“洛书”幻方的编排方法。
具体步骤为：九子排列、上下对易、左右相更、四维挺出。
- 巴舍法：以构造三阶幻方为例，假设有一个三行三列的格子，然后制造阳台、天台、地下室，再爬梯填数，最后把阳台、天台、地下室及里边的数去掉，就得到了一个三阶幻方。
- 罗伯法：可以构造出所有的奇数阶幻方。
口诀为：1居上行正中央，依次斜填切莫忘；上出框界往下写，右出框界左边放；排重便在下格填，右上出格一个样。
这些方法可以帮助构造各种奇数阶幻方，有兴趣的读者可以尝试用这些方法构造五阶幻方和七阶幻方。
构造幻方的技巧
构造幻方的技巧
1. 嘿，你知道吗，构造幻方有个超有用的技巧就是对称法呢！比如说，就像我们照镜子一样，让数字在相对的位置上保持对称，这样不就能快速搞定一部分啦！就像3x3 的幻方，把中位数放中间，其他数字两两对称放置，是不是很神奇呀！
2. 哇塞，还有个技巧叫等差序列法哟！想象一下，数字们排着队，有规律地前进。
比如 5x5 的幻方，先用等差序列把数字排好，再根据规则调整，你看，一个漂亮的幻方不就出来啦！
3. 嘿，别忘了巧用中心数呀！这就像是舞台的中心主角一样重要呢。
比如在奇数阶幻方里，中心数可是起着关键作用的呀，以它为基准去摆弄其他数字，多有意思呀！
4. 哈哈，还有一个神奇的技巧叫行列交换法呢！就好像小朋友交换玩具一样，把数字所在的行和列换一换位置，说不定就能构造成幻方啦，不信你试试呀！
5. 哇哦，奇数偶数分开考虑也是个很棒的方法呀！就像把不同的小伙伴分到不同的队伍里，分别对待它们，这样构造幻方会更清晰明了呢！
6. 哎呀呀，固定角落法也很赞哦！让一些关键数字固定在角落，就像给房子打下坚实的根基一样，再去填满其他地方，是不是很厉害呀！
7. 嘿，还有一种叫斜线填充法呢！想象一下沿着斜线把数字放进去，是不是很有创意呀。
比如在某些幻方里，先沿着斜线填好几个数字，剩下的就好办多啦！
8. 哇，逐步调整法也不能忽视呀！就跟我们慢慢调整自己的状态一样，一点一点地让幻方变得完美，很有意思吧！
9. 我觉得呀，构造幻方真的超有趣！这些技巧都各有各的奇妙之处，用起来就感觉自己像个小小的魔术师呢，能把数字变得那么神奇！赶紧去试试吧！。
三阶幻方的N种构造方法
三阶幻方的N种构造方法三阶幻方是一种3x3的数字方阵，其中每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。
以下是几种构造三阶幻方的方法：1.蛇型法：首先将数字1放在第一行的中间位置，然后按照蛇形的方式，依次填充数字2、3、4⋯、9、当数字超出边界时，从相反的边界开始填充。
这样构造出的三阶幻方如下：8163574922.阶梯法：首先将数字1放在第一行的第一列，然后依次填充数字2、3到第一列的第三行。
接下来，将数字4填充到第一行的第二列，之后将数字5、6依次填充到第二列的第一行和第三行。
最后将数字7、8、9填充到第二列的第二行、第三行和第一行，最终构造出以下三阶幻方：2769514383.方块法：将数字1填充到方阵的上方，然后从上方顺序填充数字2、3、4到右上角、右下角和左下角。
接下来，将数字5填充到剩余的位置。
构造出的三阶幻方如下：2947536184.加法法：首先将数字1填充到方阵的中间位置。
然后从中间位置开始，按照数字的递增顺序依次填充2、3、4到右上角、右下角和左下角。
最后将剩下的数字以对称的方式填充到相应的位置。
构造出的三阶幻方如下：8163574925.填充法：首先将数字1填充到方阵的上方，然后从上方顺序填充数字2、3、4到右上角、右下角和左下角。
接下来，将数字5填充到剩余的位置。
构造出的三阶幻方如下：294753618以上只是几种常见的构造三阶幻方的方法，实际上，三阶幻方的构造方法有很多种，而且可以进行旋转和翻转等操作来得到更多的构造方法。
由于幻方的特殊性质和对称性，可以通过一些数学方法进行推导和计算来构造出更多的三阶幻方。
幻方是数学中的一个有趣且古老的问题，它的研究既有实际应用价值，又具有数学美感。
幻方构造方法
幻方构造方法：（有很多种，这里只举出几种）奇数阶：n=2*m+1,m为自然数1)将数字1填在(0,(n+1)/2) ；要注意c中是从下标0开始2)从左上往右下依次填。
3)由2),列的下标出界(超过n-1)时，行加1，以n为摸的余数为应填的列数；4)由2),行的下标出界(超过n-1)时，列加1，以n为摸的余数为应填的行数；5)由2),行列都未出界，但已添上其他数，应在当前位置左横移一个位置进行填数。
然后是偶数阶：前一种：n=4*m+2, m为自然数1)将n阶方阵分为四个小魔方阵ABCD如下排列：B CD A因为n*n=4*(2*m+1)*(2*m+1),记u=n/2=2*m+1,分为1~u*u,u*u+1~2*u*u,2*u*u+1~3*u*u,3*u*u+1~4*u*u即在调用子函数的时候分别如下面传递参数:A(0),B(u*u),C(2*u*u),D(3*u*u)分别在ABCD中按照前面的填法把奇数阶填好(注意加上所传参数作为基数，每一个元素都要加上这个值)，最后做如下交换：(1)B中第0~(m-1)-1行中元素与C中相对应元素交换(2)D中第(n-1)-m+1~(n-1)共m行的每行中的元素与A中相对应元素交换(3)交换D:(u+m,m)与A中对应元素(矩阵中心值)(4)交换D:(n-1,m)与A中对应元素(实际为矩阵最大值n*n)所谓对应位置，指相对于小魔方阵的左顶角的相对的行列位置上面的这些你可以用数学进行证明，利用魔方阵常数(注意n阶的和u阶的关系)后一种：n=4*m,m为自然数因为行列都是4的倍数，因而可以将整个矩阵分为每4*4的小矩阵。
先判断一个数是否在划为4*4小矩阵的对角线上，如果在，则填该位置的数为n*n-i+1(i为该元素的相对位置，从1开始，比如n阶的第s行第t个元素则其i=s*n+t)如果不在，则填上i。
参考资料：/archives/structure/2ae241192e129bc795deb5a721562f3d.php五阶幻方简便算法悬赏分：10 - 解决时间：2008-10-8 19:08五阶幻方简便算法提问者：狐老大- 试用期一级最佳答案五阶幻方10 11 17 23 `422 `3 `9 15 1614 20 21 `2 `81` 7` 13 19 259 `3 22 16 1521 20 14 `8 `213 `7 `1 25 195 `24 18 12 `617 11 10 `4 2317 24 `1 8 1523 `5 `7 14 16`4 `6 13 20 2210 12 19 21 `311 18 25 `2 `9下面这些构造方法都是比较适合于编程的。
构造幻方的方法
构造幻方的方法Constructing magic squares is a fascinating and challenging puzzle that has captured the imagination of mathematicians and enthusiasts for centuries. The beauty of magic squares lies in their elegant symmetry and the intricate patterns that emerge from arranging numbers in a specific way. These unique properties make magic squares a popular subject of study in mathematics and a source of intrigue for those who enjoy solving puzzles.构造幻方是一个引人入胜且具有挑战性的谜题，几个世纪以来吸引了数学家和爱好者的想象力。
幻方的美在于它们优雅的对称性以及通过以特定方式排列数字而产生的复杂图案。
这些独特的属性使幻方成为数学研究的热门话题，也为那些喜欢解谜题的人提供了充满魅力的对象。
One of the most common methods for constructing magic squares is the odd order magic square method, which involves arranging numbers in a square grid such that the sum of each row, column, and diagonal is equal. This method is relatively straightforward and canbe easily understood and applied by enthusiasts of all skill levels. Byfollowing a set of rules and patterns, anyone can create a unique and intriguing magic square that showcases their mathematical prowess.构造幻方的最常用方法之一是奇次阶幻方方法，它涉及将数字排列在一个方形网格中，使得每行、每列和对角线的和相等。
偶阶幻方构造方法
偶阶幻方构造方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊偶阶幻方的构造方法，这可好玩啦！
你说啥是偶阶幻方？嘿嘿，就好像是一个神奇的数字魔法阵呀！想象一下，一堆数字整整齐齐地排列在那里，横竖斜着加起来都一个得数，多有意思！
那怎么构造偶阶幻方呢？咱先来说说双偶数阶幻方，也就是 4 的倍数阶幻方。
这就像是搭积木一样，得有步骤。
先把数字按顺序排好，就像给它们排排队。
然后呢，把对角线上的数字互换位置，就像是给它们换了个新伙伴。
瞧，一个漂亮的幻方就出来啦！是不是很简单？
再来说说单偶数阶幻方，这就稍微有点难度咯，但别怕呀！咱可以把它分成几个小部分来处理。
就好像把一个大拼图分成小块，一块一块地拼起来。
先把中间的那部分搞定，然后再慢慢往外扩展。
这可得有点耐心哦，别着急，慢慢来，肯定能成功的。
你想想看，通过自己的努力，构造出一个完美的偶阶幻方，那得多有成就感呀！这就像是自己创造了一个小小的数字世界，多酷呀！而且，这可不是随便玩玩的哦，在很多地方都有用呢。
比如在数学研究里，在游戏设计里，都能看到偶阶幻方的身影呢。
构造偶阶幻方就像是一场冒险，每一步都充满了惊喜和挑战。
有时候可能会遇到困难，但别灰心，多试试，肯定能找到解决办法的。
就像走路会遇到小石子，但咱跨过去不就好啦！
总之呀，偶阶幻方的构造方法真的很有趣，也很有用。
大家都来试试吧，说不定你就是那个能创造出最神奇幻方的人呢！不用犹豫，不用害怕，大胆地去尝试吧！让我们一起在数字的海洋里畅游，感受那奇妙的魅力！。
n阶幻方构造方法
n阶幻方构造方法说实话n阶幻方构造这事，我一开始也是瞎摸索。
我就知道幻方就是把数字填到一个n乘n的格子里，让每行每列以及对角线上的数字之和都相等。
但真要动手构造啊，那可真不容易。
我试过那种最笨的方法，从1开始一个一个数字往里填。
可没填几个就乱套了。
就好比你盖房子，一块砖一块砖乱搭，最后肯定建不成好房子嘛。
后来我了解到一个叫做罗伯法的方法。
这个方法感觉就像是有了个小窍门。
比如说要构造一个奇数阶的幻方，首先是把1放在第一行中间的那个格子。
这就像是定了个小锚点一样。
接着呢，就是按照斜着往上走一格同时往右走一格的方法去填下一个数字。
要是碰到顶了，那就从最底行接着来；要是碰到最右边了，就从最左边那一列接着。
要是要填数字的格子已经有数字了，那就往下退一格再填。
就像走路遇到墙了，只能往回退一点寻找新的路。
我用这个方法试了试3阶幻方。
先把1放在第一行中间，然后按照规则去填2，发现要出顶了就从最底行接着填。
就这样慢慢地把9个数字都填进去了。
填完一看，每行每列以及对角线数字之和都相等，可高兴了。
不过对于偶数阶幻方，这个罗伯法就不行了。
我又摸索了好久。
听说有一种双偶阶幻方的构造方法。
就是把整个幻方的格子分成小的4×4的方格。
然后在每个小方格里面按一定顺序填数字。
但是这个一定顺序我就有点说不太清楚了。
我感觉就像是按照某种特殊的舞蹈步伐在填数字，但我还没能完全掌握。
还有那种单偶阶幻方的构造，我到现在都还觉得很复杂。
听说有个叫斯特雷奇法的，可我研究了半天也没完全搞明白。
感觉像进入一个迷宫一样，走了半天没能完全走通。
我觉得如果想构造n阶幻方，先把奇数阶的先拿下，用罗伯法多练习练习。
从简单的3阶幻方做起，就像学走路先从迈小步开始。
多做做例子，等把这个方法熟了再去研究偶数阶的，可能就不会那么难了。
我现在也还在探索偶数阶幻方怎么能轻松搞定的方法呢。
这个过程虽然有点波折，但每次成功构造出一个幻方的时候，那种成就感还是让我觉得挺值的。
研究性学习报告之神奇的幻方
竭诚为您提供优质文档/双击可除研究性学习报告之神奇的幻方篇一：综合与实践—探寻神奇的幻方七年级数学上册综合与实践《探寻神奇的幻方》第1课时课型：新授课时间：12月19日主备人：黄国有审核人：一、学习目标：（1分钟）1.运用有理数混合运算、字母表示数及其运算，探索三阶幻方的本质特征2.会构造简单的三阶幻方二、学习过程：情景创设：（3分钟）背诵古诗：“四海三山八仙洞，九龙王子一枝莲。
二七六郎赏月半，周围十五月团圆。
”自学指导一：（7分钟）构造三阶幻方方法介绍一、阶梯法（如图）。
口诀为“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”二、杨辉法：以方阵中间一行最上方的一格为出发点，再向右上方依序填入数字，若右上格已有数字则往下退一格，再继续往下填数字，直到填完为止，若超出格子便跳到方阵的另一头。
三、方阵斜线对换法：例1、将2、4、6、8、10、12、14、16、18填入到3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。
自学检测：（9分钟）1、自行选取一组数构造一个三阶幻方，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于60.2、试将-2、-1、0、1、2、3、4、5、6填入到3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。
让我们的每一份作业都超出日本同龄人的水平！例1自学指导二：5分钟仔细观察p189图1中的幻方，先独立思考议一议问题，然后小组讨论你没有解决的问题，7分钟后，每个小组选派一名代表展示你们的答案，比一比哪一个小组完成的更好！总结：性质1：“幻和”的3倍等于这九个数之和；性质2：所有经过中心的直线上，两端数字的平均数就等于正中间的数字。
自学检测：10分钟1、如图所示，方格中的格子被填上了数，每一行，每一列以及两条对角线中所填的数字之和均相等，则x的值为（）。
2、请完成下面的三阶幻方：第2题三、课堂小结：（2分钟）1.本节课主要学习了什么知识？你有哪些收获？回顾两个目标：（1）幻方的特点：（2）构造幻方的方法：四、课堂评价：1.学案、节清是否按时完成：是（）否（）2.本节学案任务总数难入手的任务个数3.请划出本节难入手的问题并修改。
幻方的构造方法
一居上行正中央， 依次斜填切莫忘， 上出格时往下填， 右出格时左边放， 排重便在下格填， 角上出格一个样。
七那阶，、如九果这阶给种、你方你十数法做一字叫阶出1…做来—…对了1已称吗6经，交？难你换不能法到写。了出你一了 个四阶幻方？
123 4
567 8
9 10 11 12
13 14 15 16
①以1-16依次作四行排列; ②打两条对角线，被对角线穿过的数字不动; ③其他数字，பைடு நூலகம்对角线的交点为对称中心， 对称对调.
八阶幻方怎么做？ 继把续它用看对成称是交4换个法四来阶试幻试方吧，！
将刚刚的三阶幻方绕中心旋转一定角度， 如：90o、180o等。
你得到新的三阶幻方了吗？
实际上， 平面幻方的构造，分为三种：
①奇数(3、5、7……）阶幻方;
②双偶数（4、8、12……4n）阶幻 方③;单偶数（6、10、14……4n+2)阶幻方
那刚以它么刚五按适你的 阶照合能三 幻这口编不阶 方种诀制能幻 为方，所写方例法剩有出就，叫下的其属跟做的奇他于我罗就数的奇一伯交阶奇数 起法给幻数阶 来，你方幻幻 试吧。方方 试！呢了 吧？。
南宋数学家杨辉，在他著的《续古摘 奇算法》里介绍了这种方法：
① ④② ⑦⑤ ③ ⑧⑥
⑨
①将九个自然数按照从小到大的递增次序斜排; ②把上、下两数对调，左、右两数也对调; ③把中部四数各向外面挺出，幻方就出现了。
除了刚刚还得是出让三我阶来幻告方诉外你，吧你！还能写 出其他的三阶幻方吗？ ④⑨② ③ ⑤⑦ ⑧ ①⑥
奇阶中心对称幻方的de la loubere构造方法的证明
奇阶中心对称幻方的de la Loubère构造方法的证明一、引言奇阶中心对称幻方，是一种古老而神秘的数学结构，它具有丰富的数学意义和奇妙的几何美感。
在数学史上，人们一直对奇阶中心对称幻方的构造方法和性质进行探索，其中著名的de la Loubère构造方法是一种经典而重要的方法。
在本文中，我们将对奇阶中心对称幻方的de la Loubère构造方法进行详细的证明和分析，以便更深入地理解其数学原理和内在逻辑。
二、奇阶中心对称幻方的概念与性质奇阶中心对称幻方是一个奇数阶次的幻方，其中心对称的特性使其在几何上具有非常特殊的形态。
具体来说，奇阶中心对称幻方的每一行、每一列和每条对角线的和都相等，并且其中心元素与对应元素关于中心对称。
这种特殊的对称性使得奇阶中心对称幻方在数学、艺术和文化领域都具有重要的地位，其构造方法更是备受关注。
三、de la Loubère构造方法的概述de la Loubère构造方法是一种经典的奇阶中心对称幻方构造方法，它是由法国数学家de la Loubère在17世纪提出的。
该方法通过一系列巧妙的步骤，能够将一个给定的奇数阶次的方阵转化为一个符合中心对称幻方性质的奇阶中心对称幻方。
在接下来的内容中，我们将对de la Loubère构造方法进行详细的证明和分析，以揭示其数学原理和构造逻辑。
四、de la Loubère构造方法的详细证明1. 我们取一个奇数阶次的方阵，假设其阶次为n，即n为奇数。
2. 接下来，我们按照de la Loubère构造方法的步骤，依次填入数值1,2,3,...,n^2，直至填满整个方阵。
3. 我们进行一系列的变换和调整，使得方阵的每一行、每一列和每条对角线的和都相等，并且中心元素与对应元素关于中心对称。
4. 我们得到了一个符合中心对称幻方性质的奇阶中心对称幻方，完成了de la Loubère构造方法的证明。
变量幻方的构造及研究
ｅ ＋ｚ— Ｖ
ｅ
ｅ — ｚ ＋ Ｖ
ｅ— Ｚ
ｅ ＋ｚ＋ Ｖ
ｅ— Ｖ
图 １ 三 阶 变量 幻方
由图 １看 出，这 是 一个 标 准 的三 阶幻 方 ，共有 ３个 变
量 ，幻 和 Ｓ ＝ ｅ ３。
２ ．三 阶 幻 方 定 义 的 满足 条 件
（ ）最小 的连续数幻方 ３
・
６４ ・
维普资讯
第 ２ 卷 第 ４期 １ （ ）其他连续数 幻方 ４
变量幻方的构造及研究
ｃｌ ａｌ ｃｌ ａｌ
“ 调用 １ ６个幻方参数计算模块 ” ） “ 调用两两 不相同的条件判断模块” ） “ 调用幻方 各 个 参 数 及 幻 和 是 否水 仙 花 数 的 判 断模
（ ＋Ｙ ｚ ＞ （ ＋Ｙ ＞ （ ｅ ＋） ｅ ） ｅ＋Ｙ—ｚ ＞ ｅ＋ｚ ＞ｅ ） （ ） ＞ （ —ｚ ＞ （ —Ｙ ） ＞ （ —Ｙ ＞ （ Ｙ ） ｅ ） ｅ ＋ｚ ｅ ） ｅ— —ｚ 同 样 列 出 ８个 方 程得 ：ｚ ，Ｙ ２ ＋ｄ＝ ｄ （ 公 差 ） ＝ｄ ＝ ｚ ３ ｄ为
图 ２ 最 小 的连 续 数 幻 方
最小 的连续数幻方 的公差 ｄ＝１ ＝ｄ ，Ｙ＝ ，ｅ必须 ，ｚ ＝１ ３
３ ．正 数 幻 方
满 足 ｅ ＋ｚ ＞Ｙ ＞一ｅ 条件 ，取 ｅ＝Ｙ＋ｚ ＋１＝ 。最小 的连续 数 ５
基本的形式 。其它的连续数幻方在 图 ２的基 础上加一个常数
就行 了。
要形成差距 为 ２时 ，那么 ，ｄ＝２ ＝ｄ＝２ ＝３ ６ ，ｚ ，Ｙ ｄ＝ ，
ａｌ 为 了满足 ｅ＞ Ｙ＋ｚ 最小为 Ｙ ＋１＝ 。依此类推 ，当差距 ｃ ｌ “ ，ｅ ＋ｚ ９ 调用幻方 各个 参数及幻和是否菊花数 的判断模块” ）
幻方中间是0的讲解
幻方中间是0的讲解一、幻方中间是0的概念幻方大家都知道吧，就是那种每行每列还有对角线上的数字加起来都一样的神奇方阵呢。
要是中间的数字是0呀，那可就更有趣啦。
咱们先从简单的说起哈，比如说一个3x3的幻方。
如果中间是0，那周围的数字就得相互配合，这样才能让每行每列和对角线的和都相等。
二、幻方中间是0的构造其实构造这种幻方是有小窍门的。
咱们可以先确定一些数字的位置关系。
比如说，和0在同一行或者同一列或者同一对角线上的数字，它们之间得满足一定的差值关系。
就像如果有个数字在0的左边，那在0右边相对应的位置上的数字，和左边这个数字相加得是一个固定的值。
这个固定的值就是咱们幻方每行或者每列或者对角线相加的和的一半呢。
三、幻方中间是0的数学原理从数学原理上讲，这是因为幻方的性质决定的。
幻方是一种特殊的矩阵形式，它遵循着一定的数学规律。
中间是0的幻方，其他数字的分布其实是围绕着0来平衡整个幻方的和的。
如果咱们设每行每列对角线的和为S，那在有0在中间的幻方里，其他数字的组合就得满足这个S的值。
这就涉及到一些简单的加减法运算和数字的组合规律。
比如说，在3x3幻方里，除了0之外有8个数字，这8个数字要分成4组，每组两个数字，这两个数字相加都得是S的一半。
四、幻方中间是0的实例咱们来举个实际的例子哈。
就像这个3x3幻方：第一行： -1，0，1第二行： 0，0，0第三行： 1，0， -1这里每行每列和对角线的和都是0。
你看，中间是0，然后周围的数字相互呼应，就满足了幻方的要求。
再看这个：第一行： -3，0，3第二行： 2，0， -2第三行： 1，0， -1这个幻方每行每列和对角线的和是0，也是中间是0的幻方。
通过这些例子，是不是对幻方中间是0有了更清楚的认识呢？五、幻方中间是0的拓展要是把这个幻方扩大到更大的规模呢，比如说5x5的幻方中间是0。
那构造起来就更复杂一些啦，但是原理还是一样的。
就是要让所有的行、列和对角线的和都相等，而0在中间起到一个平衡的作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
幻方的构造研究尹春来2017年2月一、什么是幻方在一个由n排n列数连续自然数组成的正方形中，任一行、列及对角线的n个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。
如下图，是一个六阶幻方。
幻方的几个概念。
奇幻方：当行(列)数n为奇数时，幻方称为奇幻方。
偶幻方：当行(列)数n为偶数时，幻方称为偶幻方。
双偶幻方：当n能被4整除时，幻方称为双偶幻方。
单偶幻方：当n被4整除时余2时，幻方称为单偶幻方。
完美幻方：任何泛对角线数字之和也相等时，也即将幻方看成是无限伸展的图形，则任何一个n×n方格内的数字都可以组成一个幻方，则称为完美幻方，又称魔鬼幻方。
幻和：幻方各行、列、对角线的和，为(n×n +1)×n/2二、幻方的构造方法在填幻方前，先约定几个规则。
一般将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j)。
幻方构造方法一般按某个规则，更多的以n个数为一组，一组最后一个数字到下一组第一个数字称为跳步。
如填写数字超出幻方格范围，则把幻方看成是可以并排放置无限伸展的图形，如下图所示，每个编号相同的对应方格视为等同位置，如果填写过程中超出了幻方原有空格位置，则自动转到对应位置继续填写。
即，按某种规则填写到a(i,j)时，若i>n，则i=i-n，若i<1则，i=i+n；j亦同。
下面，我们开始研究幻方的构造方法。
根据数字奇偶不同，我们将幻方分为奇幻方和偶幻方来分别研究。
2.1奇幻方奇幻方可以使用Merzirac法与loubere法。
1997年，我用国际象棋之马步试图构造完美幻方，故命名为horse法。
另外，幻方可以是多重嵌套的，用一定规则从低阶向高阶逐步构造，命名为Yinmagic法。
Merzirac法在第一行居中格（第(n+1)/2列）内放1，依次向左上方填入2、3、4…到n，跳步为下移一格，继续填写n+1，n+2……。
如下图用Merziral法生成的5阶幻方：loubere法在居中的方格向上一格内放1，依次向左上方填入2、3、4…，如果左上方已有数字，则形成跳步，向上移两格继续填写。
本方法与Merzirac基本相同，仅是起点位和跳步方法不同而已。
horse法国际象棋中马的走法是向一个方向走两格，再横向走一格，这里称为马步。
在第一行居中格内放入1，走马步（向下走2步，并向右走1步）后放入2，同方向走马步放入3，依次放到n；跳步为向上一格（在n的上方一格放入n+1），再按同方向的马步填写到2n，在2n的下边放入2n+1?……。
如下图用Horse法生成的5阶幻方：一般的，马步可以向任何方向，一旦第一步跳出，以后所有的马步必须是同方向的。
当n不能被三整除时，第一个数字可以放在任意一格，跳步是按马步的长距离方向回撤一格，该法生成的幻方是完美幻方。
但n是三的倍数时，1要放在第一行的居中格，跳步只能延马步的长距离方向前进一格。
YinMagic思路：就像俄罗斯套娃一样，每个幻方的中间也是一个幻方。
如下图，9阶幻方的中心处的7阶、5阶、3阶，甚至可以说1阶都是构造好的幻方。
计算机可通过递归程序实现。
构造方法：第一步构造n-2幻方，之后将其中的数字全部加上2n-2，放于n阶幻方中间；第二步依下面规律填写边框上的格子。
这里先定义两个名词。
对应格：四个角的对应格是对角线的另一侧；第一行边线上对应格，应该是第n行的同列的格子；第n行边线上的对应格，应该是第1行的同列的格子；第一列边线上对应格，应该是第n列的同行的格子；第n列边线上的对应格，应该是第1列的同行的格子。
如下图同一直线上的两个箭头所在格为对应格。
互补数：两个数字和为n×n+1，则称为互补数，如n与1互为互补数，2与n-1。
构造方法：右边框（第n列）从上起第二格填写1，第三格填写2，直到居中格（第(n+1)/2行）；下边框（第n行）第一列放(n+1)/2，从右起第二格填写(n+1)/2+1，第三格填写(n+1)/2+2，直到居中格前一格，下边中心位置“对应格”即上边框居中格填写n；左边框（第1列）从下起第二格填写n+1，第三格填写n+2，直到居中格前一格；上边框（第1行）从左起第一格填写(3n+3)/2，第二格填写(3n+3)/2+1，直到居中前一格。
相应的已填写好的格子的对应格处填入互补数。
这种幻方填写方法可以从一阶开始（一阶幻方就是一个格子，填入1就行了）。
上面图是按这种方式填写的9阶幻方，从一阶开始都是用这种方法填写出的。
2.2偶幻方偶阶幻方，可以用Hire法和YinMagic实现，另外为了方便手工构造，可以用Strachey 生成单偶幻方，用Spring法生成双偶幻方。
Hire法将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j)。
在A内两对角线上从左至右填写1、2、3、……、n，各行再填写1、2、3、……、n，使各行各列数字之和为n×(n+1)/2。
各行的填写规则：对角线数字不填。
第1行从n到1填写（a(1,i)=n+1-i），从第2行到第n/2行按从1到n进行填写，即a(j,i)=i，但第2行的第1列与第n列对调，即第1列填n 第n列填1；从第n/2+1到第n行按n到1进行填写，对角线的方格内数字不变。
如下所示为8阶填写方法：将矩阵A上所有数字减1后乘上n得到自td矩阵B，即b(i,j)=n×(a(i,j)－1）。
则AT＋B为目标幻方。
（AT为A的转置矩阵）如下图用Hire法生成的6阶幻方：YinMagic法与奇幻方思路相同，即每个幻方的中间区域也是一个幻方，奇偶幻方只是算法不同。
本方法适用于n>4的所有偶幻方第一步：先构造n-2幻方，之后将其中的数字全部加上2n-2，放于n阶幻方中间；第二步：填写四顶角其中：a[1,1]=2×n-2，a[1,n]=2×n-3，a[n,1]=n×n-2×n+4， a[n,n]=n×n-2×n+3，第三步：填写边框对于单偶幻方：第一行边框处填写1、3、4、5以及7之后数字到n，第一列边框处填写2、6、n+1至2×n-4。
将3、4、6、2×n-5、2×n-4及其他中被4整除或整除余1的数字移到对面。
剩余空白处填写对应格的互补数（即对应格数字填n×n+1减本身）。
如下图为10阶幻方边框格示意图对于双偶幻方：第一行边框依次填写1至n-2，第一列边框依次填写n-1至2×n-4。
小于2×n-9的数字中被4除余2或3的数字移到对应格，后六个数字中2×n-8至2×n-9不动，2×n-7至2×n-4移到对面。
剩余空白处填写对格的互补数。
如下图用YinMagic法生成的12阶幻方，其内部10、8、6阶均用该法生成。
Strachey法生成单偶幻方将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方。
将其等分为四分，成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方。
A用1至2m+1填写成2m+1阶幻方；B用(2m+1)2+1至2×(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；C用2×(2m+1)2+1至3×(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；D用3×(2m+1)2+1至4×(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；在A中间一行取m个小格，其他行左侧边缘取m列，将其与D相应方格内交换；B与C接近右侧m-1列相互交换。
如下图用Strachey法生成的10阶幻方：其中相同颜色区域进行相互交换。
Spring法生成双偶幻方将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方。
将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j)。
先令a(i,j)=(i-1)×n+j，即第一行从左到可分别填写1、2、3、……、n；第二行从左到可分别填写n+1、n+2、n+3、……、2n；…………。
之后进行对角交换。
对角交换有两种方法：方法一；将左上区域i+j为偶数的与幻方内以中心点为对称点的右下角对角数字进行交换；将右上区域i+j为奇数的与幻方内以中心点为对称点的左下角对角数字进行交换。
（保证不同时为奇或偶即可。
）方法二；将幻方等分成m×m个4阶幻方，将各4阶幻方中对角线上的方格内数字与n 阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换。
如下图用Spring法生成的4阶幻方：经计算：如果两个幻方经翻转、对称后相同，我们认为它们是同一个幻方。
则1阶幻方有1个，2阶幻方有0个，3阶幻方有1个，四阶幻方有880个，五阶幻方有275,305,224个……三、特殊幻方3.1完美幻方任何泛对角线数字之和也相等时，则称为完美幻方，又称魔鬼幻方。
如把幻方看成是无限伸展的图形，则任何一个相邻的n×n方格内的数字都可以组成一个幻方。
如下的幻方更是魔鬼幻方，因为对于任意四个在两行两列上的数字，他们的和都是34。
完美幻方构造用horse法构造的不能被3整除的奇数阶幻方都是完美幻方，在本文后面有证明。
不可能构造出三阶完美幻方的，最低阶完美幻方是四阶，下面有两种构造四阶完美幻方的方法。
四阶完美幻方构造方法一：平行四边形法基本步法：我们命名为平行四边形（逆）步法。
对于从小到大的四个，第一个数字在任意格(i,j)填入；第二个数字在（i-1,j+2）填入，即向右上方跳马步；第三个数字在（i-3,j+2）填入，即在第二个数字上方两格；第四个数字在（i-2,j）填入，即向左下方跳马步，也即第一个数字上方两格。
这样四个数字形成一个平行四边型，且按逆时针方向填写。
平行四边形（顺）步法：即四个数字坐标分别为(i,j),(i-1,j-2),(i-3,j-2),(i-3,j)。
顺步法时，第一个马步长步向左，短步向上，短步与逆步法要始终保持同向。
另外，我们注意到平行四边形围成的区域中有两个方格M和N，其中M更靠近最后填写的数字D，我们称为跳步格，这也是后一组数字的起点位置。
幻方构造方法：将16个数字依顺序分四组，每组四个。
从小到大按逆顺交差的平行四边形步法填写。
第二组和第四组的步法起点位于第一、三组平行四边形的跳步格。
而第三组的起点格在距前一组数字收尾格的上二右二处（如果把幻方无限延伸，下二左二、上二左二、下二右二都是一个点，其实两个点是相距最远的点）第一组：在任意格放入1，按平行四边形（逆）法依次填入2、3、4；第二组：在第一组平行四边形中找到跳步格放入5，按平行四边形（顺）法依次填入6、7、8；第三组：从8向左2格向上2格填入9，按平行四边形（逆）法依次填入10、11、12；第四组：在第三组平行四边形找到跳步格放入13，按平行四边形（顺）法依次填入14、15、16。