空间直线与平面单元试卷及答案
立体几何第二章空间点线面的位置关系单元测试题(含详细答案解析)
第二章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为错误!（）A．5B．4C．9D．1［答案] D[解析］由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．2．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线错误!（)A．平行B．垂直C．相交D．异面[答案] B[解析］当直尺垂直于地面时，A不对;当直尺平行于地面时,C不对；当直尺位于地面上时，D不对．3．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是错误!(）A．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行C．若α、β不平行．．．与β平行的直线．．．,则在α内不存在D．若m、n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能[答案］ D［解析]A项，α、β可能相交，故错误；B项，直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面,故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n,m∥n，则m∥β，故错误;D项，假设m、n垂直于同一平面,则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．4．已知α、β是两个平面,直线l⊄α，l⊄β,若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件,另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有错误!（)A．①③⇒②；①②⇒③B．①③⇒②；②③⇒①C．①②⇒③；②③⇒①D．①③⇒②；①②⇒③;②③⇒①［答案] A［解析]因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，又因为l⊥α,所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β,即①③⇒②；因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，又因为l⊥α，所以n⊥α，又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③.5．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，若过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H一定在导学号 92180601（)A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC的内部[答案] B[解析］∵∠BAC＝90°,∴BA⊥AC．又∵BC1⊥AC,∴AC⊥平面ABC1，∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴C1在面ABC上的射影在直线AB上．6．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有错误!（) A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] B［解析］如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线,当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．7．（2016·浙江文）已知互相垂直的平面α、β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则错误!(）A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n[答案］ C[解析]选项A，只有当m∥β或m⊂β时,m∥l；选项B,只有当m⊥β时,m∥n；选项C,由于l⊂β,∴n⊥l；选项D，只有当m∥β或m⊂β时，m⊥n,故选C．8．（2016·南安一中高一检测)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱BC 和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为错误!（）A．30°B．45°C．60°D．90°[答案] C[解析］如图，连接A1C1、BC1、A1B．∵M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，∴MN∥BC1。
高中试卷-8.5 空间直线、平面的平行 同步练习(Word版含解析)(含答案)
空间直线、平面的平行 习题1.设,m n 是两条不同直线， ,a b 是两个不同平面，有下列说法：①若,//m n a a Ì，则//m n ；②若//,m a b a Ì，则//m b ；③若//,//m n a a ，则//m n .其中正确的是( )A.①B.②③C.②D.①②2.已知,,a b g 是三个不同的平面，且,m n a g b g Ç=Ç=，则“m n P ”是“a b P ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G ，H ，则GH 与AB 的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.平行或异面4.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且//MN 平面PAD ，则( )A.//MN PDB.//MN PAC.//MN ADD.以上均有可能5.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，1DD 上，且112DE DF EB FD ==.若G 在线段1CC 上，且平面//AEF 平面1BD G ，则1CG CC =( )A.12 B.13 C.23 D.146.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,E F G H 分别是棱 111111,,,A B BB CC C D 的中点，则必有( )A ．1BD GH ∥B ．BD EF ∥C ．平面EFGH ∥平面ABCD D ．平面EFGH ∥平面11A BCD 7.如图，在各棱长均为1的正三棱柱111ABC ABC -中，M ，N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，且//MN 平面11ACC A ，则这样的MN 有( )A.1条B.2条C.3条D.无数条8.如图，下列正三棱柱111ABC A B C -中，若M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，则不能得出//AB 平面MNP 的是( )A. B.C. D.9.下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是( )A.①③B.②③C.①④D.②④10.如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点，,F G 分别为11C D ，1BC 上一点，11C F =，且//FG 平面ACE ，则BG =( )A. B.4 C. D. 11.已知点S 是等边三角形ABC 所在平面外一点，点 ,,D E F 分别是,,SA SB SC 的中点，则平面DEF 与平面ABC 的位置关系是______.12.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别是棱1111,, ,CC C D D D CD 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足_________时，有//MN 平面11B BDD .13.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，E ，F ，G ，H 分别为PA ，PD ，PC ，PB 的中点.在此几何体中，给出下面五个结论：①平面//EFGH 平面ABCD ；②//PA 平面BDG ；③//EF 平面PBC ；④//FH 平面BDG ；⑤//EF 平面BDG .其中正确结论的序号是_________________.（写出所有正确结论的序号）14.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上.若//EF 平面1AB C ，则线段EF 的长度等于__________.15.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ^底面,,//,,ABCD AB AD AB DC E F ^分别为PC ，DC 的中点，222PA DC AB AD ====.(1)证明：平面//PAD 平面EBF .(2)求三棱锥P BED -的体积.答案解析1.答案：C解析：对于①，若,//m n a a Ì，则//m n 或m 与n 异面，所以①错误；对于②，若//,m a b a Ì，则//m b ，根据面面平行的性质可判定②正确；对于③，若//,//m n a a ，则 //m n 或m 与n 异面或m 与n 相交，所以③错误，故选C.2.答案：B解析：如图，将平面,,a b g 视为一个三棱柱的三个侧面，设,,,a a m n a b Ç=为三棱柱三条侧棱所在的直线，则由m n P 得不到a b P .若a b P ，且,m n a g b g Ç=Ç=，由面面平行的性质定理可得出m n P .所以由a b P 可得m n P ，因此“m n P ”是“a b P ”的必要不充分条件.故选B.3.答案：A解析：在长方体1111ABCD A B C D -中，11//AA BB ，E Q ，F 分别为1AA ，1BB 的中点，//AE BF \，\四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB \.EF Ì/Q 平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，//EF \平面ABCD .EF ÌQ 平面EFGH ，平面EFGH I 平面ABCD GH =，//EF GH \，又//EF AB ，//GH AB \.故选A.4.答案：B解析：//MN Q 平面PAD ，平面PAC I 平面PAD PA =，MN Ì平面PAC ，//MN PA \.故选B.5.答案：B解析：Q 四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为平行四边形，E ，F 分别在线段DB ，1DD 上，且112DE DF EB FD ==，113DF DD \=，1//EF BD ，平面11//ADD A 平面11BCC B .GQ在1CC 上，且平面//AEF 平面1BD G ，//AF BG \.又//AD BC Q ，DF CG \=，1113CG DF CC DD \==.故选B.6.答案：D解析：对于A ，由图形知1BD 与GH 是异面直线，∴A 错误；对于B ，由题意知BD 与EF 也是异面直线，∴B 错误；对于C ，平面EFGH 与平面ABCD 是相交的，∴C 错误；对于D ，平面//EFGH 平面11A BCD ，理由是：由,,,E F G H 分别是棱111111,,,A B BB CC C D 的中点，得出111//,//EF A B EH A D ，所以//EF 平面11A BCD ，//EF 平面11A BCD ，又EF EH E =I ，所以平面//EFGH 平面11A BCD .故选：D.7.答案：D解析：如图，过线段1A B 上任一点M 作1//MH AA ，交AB 于点H ，过点H 作//HG AC 交BC 于点G ，过点G 作1CC 的平行线，与1CB 一定有交点N ，且//MN 平面11ACC A ，则这样的MN 有无数条.故选D.8.答案：C解析：在A ，B 中，易知11////AB A B MN ，MN Ì平面MNP ，AB Ë平面MNP ，所以//AB 平面MNP ；在D 中，易知//AB PN ，PN Ì平面MNP ，AB Ë平面MNP ，所以//AB 平面MNP .9.答案：C解析：本题考查线面平行的判定.对于①，如图①，连接AC .由于//,//MN AC NP BC ，且,,MN NP N MN NP Ç=Ì平面,,,MNP AC BC C AC BC Ç=Ì平面ABC ，则根据面面平行的判定定理可知，平//MNP 平面ABC .因为AB Ì平面ABC ，所以//AB 平面MNP .对于②，如图②，连接BC 交MP 于点D ，连接DN .由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以DN 不平行于AB ，所以在平面ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.对于③，如图③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面MNP 相交，所以AB 与平面MNP 相交.对于④，如图④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④.故选C.10.答案：C解析：根据题意，连接BD ，与AC 交于点O ，连接1,EO BD ，如图.在1BDD △中，O 为BD 的中点，则EO 为1BDD △的中位线，所以1//BD EO .因为1BD Ë平面,ACE EO Ì平面ACE ，所以1//BD 平面ACE .又//FG 平面,ACE FG 与1BD 共面，所以1//BD FG .因为11C F =，且114C D =，所以1114C G BC =，所以1C G =，则11BG BC C G =-=故选C.11.答案：平行解析：,E F Q 分别是,SB SC 的中点，EF \是SBC V 的中位线，//EF BC \.又BC ÌQ 平面,ABC EF Ì/平面,//ABC EF \平面ABC .同理// DE 平面ABC . ,EF DE E Ç=\Q 平面//DEF 平面ABC .12.答案：M 在线段FH 上解析：连接FH ，FN ，HN ，因为1//,//,,,HN DB FH D D FH HN H FH HN Ç=Ì平面FHN ，11,,DB D D D DB D D Ç=Ì平面11B BDD ，所以面//FHN 面11B BDD .因为点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，故M FH Î.13.答案：①②③④解析：依题意，由展开图还原几何体，如图所示.可知平面//EFGH 平面ABCD ；//PA 平面BDG ；////EF HG BC ，故//EF 平面PBC ；//FH DB ，//FH 平面BDG ；EF 与平面BDG 不平行.故正确结论的序号是①②③④.14.解析：因为在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，所以AC =.又E 为AD 的中点，//EF 平面1,AB C EF Ì平面ADC ，平面ADC Ç平面1AB C AC =，所以//EF AC ，所以F 为DC 的中点，所以12EF AC ==15.答案：(1)见解析(2)13P BED V -=解析：(1)由已知F 为CD 的中点，且2CD AB =，所以DF AB =，因为//AB CD ，所以//AB DF ，又因为AB DF =，所以四边形ABFD 为平行四边形，所以//BF AD ，又因为BF Ì平面PAD ，AD Ì平面PAD ，所以//BF 平面PAD ，在PDC △中，因为E ，F 分别为PC ，CD 的中点，所以//EF PD ，因为BF Ì/平面,PAD PD Ì平面PAD ，所以//EF 平面PAD ，因为EF BF F Ç=，所以平面//PAD 平面EBF .(2)由已知E 为PC 中点，2P BDC E BDC V V --=，又因为P BDE P BDC E BDC V V V ---=-，所以12P BDE P BDC V V --=，因为11212BDC S =´´=△，1233P BDC BDC V S AP -=×=△，所以三棱锥P BED -的体积13P BED V -=.。
空间点,直线,平面的位置关系试题(含答案)2
空间角和距离一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线m 与平面α间距离为d ，那么到m 与α距离都等于2d 的点的集合是（ ）A ．一个平面B ．一条直线C ．两条直线D ．空集 2．异面直线a 、b 所成的角为θ，a 、b 与平面α都平行，b ⊥平面β，则直线a与平面β所成的角（ ）A ．与θ相等B ．与θ互余C ．与θ互补 D ．与θ不能相等．3．在正方体ABCD —A 'B 'C 'D '中，BC '与截面BB 'D 'D 所成的角为（ ） A ．3πB ．4π C ．6πD ．arctan24．在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D是EF 的中点，现在沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S －EFG中必有（ ）A ．SG ⊥△EFG 所在平面B ．SD ⊥△EFG 所在平面C ．GF ⊥△SEF 所在平面D ．GD ⊥△SEF 所在平面 5．有一山坡，它的倾斜角为30°，山坡上有一条小路与斜坡底线成45°角，某人沿这条小路向上走了200米，则他升高了（ ）A ．1002米 B ．502米 C ．256米D ．506米6．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小为 （ ）A ．arccos33 B ．arccos 31 C ．2π D ．32π7．正四面体A —BCD 中E 、F 分别是棱BC 和AD 之中点，则EF 和AB 所成的角 （ ） A ．45︒ B ．60︒ C．90︒D ．30︒8．把∠A =60°，边长为a 的菱形ABCD 沿对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为（ ）A ．43aB ．43 a C ．23 aD ．46 a9．若正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成的角为α，则下列各等式中成立的是（ ）A ．0＜α＜6πB ．6π＜α＜4πC ．4π＜α＜3πD ．3π＜α＜2π10．已知A （1，1，1），B （－1，0 ，4），C （2 ，－2，3），则〈AB ，CA〉的大小为（ ）A ．6πB ．65π C ．3πD ．32π二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．从平面α外一点P 引斜线段PA 和PB ，它们与α分别成45︒和30︒角，则∠APB 的最大值是______最小值是_______12．∆ABC 中∠ACB=90︒，PA ⊥平面ABC ，PA=2，AC=2 3 ，则平面PBC 与平面PAC ，平面ABC 所成的二角的大小分别是______、_________．13．在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，90=∠ABC，30=∠BAC，ＢＣ＝５，又ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝ＡＣ，则点Ｐ到平面ＡＢＣ的距离是 ．14．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为 ． 三、解答题（共计76分）15．（本小题满分12分）已知SA ⊥平面ABC ，SA=AB ，AB ⊥BC ，SB=BC ，E 是SC 的中点，DE ⊥SC 交AC 于D ． （1） 求证：SC ⊥面BDE ；（2）求二面角E —BD —C 的大小．16．（本小题满分12分）如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM⊥交1AA 于点M，1BB PN ⊥交1CC 于点N．(1) 求证：MN CC ⊥1； (2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFEEF DF EFDFDE∠⋅-+=cos 2222．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．17．（本小题满分12分）如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3．（1）求证BC SC；（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．18．（本小题满分12分）在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90︒,AD=DC=1AB=a,(如图一)将△ADC 沿AC折起，使2D到D'．记面AC D'为α,面ABC为β．面BC D'为γ．（1）若二面角α-AC-β为直二面角（如图二），求二面角β-BC-γ的大小;（2）若二面角α-AC-β为60︒（如图三），求三棱锥D'-ABC的体积．19．（本小题满分14分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点．（1）求证AM//平面BDE；（2）求二面角A-DF-B的大小；（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60︒．20．（本题满分14分）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若a=)BNCM=<a．20(<（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小．参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．750 ,150 12．900 ,300 13．35 14．π32三、解答题（本大题共6题，共76分）15．(12分) （1）证明：（1）∵SB=BC E 是SC 的中点 ∴BE ⊥SC ∵DE ⊥SC ∴SC ⊥面BDE（2）解：由（1）SC ⊥BD ∵SA ⊥面ABC ∴SA ⊥BD ∴BD ⊥面SAC ∴∠EDC 为二面角E-BD-C 的平面角设SA=AB=a,则SB=BC=a2．,2,a SC SBC Rt =∆∴中在,30,0=∠∆∴DCESAC Rt 中在60,=∠∆∴EDC DEC Rt 中在．16．(12分) (1) 证：MNCC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ； (2)解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACCB BCCA ACCB BCCA ABBS S S S S ⋅-+=，其中α为 平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角．∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP ∠,在PMN ∆中，cos 2222⇒∠⋅-+=MNP MN PN MNPNPMMNPCC MN CC PN CCMN CC PN CCPM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222， 由于111111111,,BB PM S CCMN S CCPN S A ABBA ACCB BCC⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACCB BCCA ACCB BCCA ABBS S S S S ⋅-+=．17．(12分) （1）证法一：如，∵底面ABCD 是正方形， ∴BC ⊥DC ．∵SD ⊥底面ABCD ，∴DC 是SC 在平面ABCD 上的射影， 由三垂线定理得BC ⊥SC ．证法二：如图1，∵底面ABCD 是正方形， ∴BC ⊥DC ．∵SD ⊥底面ABCD ，∴SD ⊥BC ，又DC ∩SD=D ，∴BC ⊥平面SDC ，∴BC ⊥SC ．（2）解：如图2，过点S 作直线,//AD l l ∴在面ASD 上，∵底面ABCD 为正方形，l BC AD l ∴∴,////在面BSC 上，l ∴为面ASD 与面BSC 的交线．l ∴,,,,SC l SD l SC BC AD SD ⊥⊥∴⊥⊥∴∠CSD 为面ASD 与面BSC 所成二面角的平面角．（以下同解法一） （3）解1：如图2，∵SD=AD=1，∠SDA=90°， ∴△SDA 是等腰直角三角形．又M 是斜边SA 的中点，∴DM ⊥SA ．∵BA ⊥AD ，BA ⊥SD ，AD ∩SD=D ，∴BA ⊥面ASD ，SA 是SB 在面ASD 上的射影．由三垂线定理得DM ⊥SB ．∴异面直线DM 与SB 所成的角为90°．图1图2解2：如图3，取AB 中点P ，连结MP ，DP ．在△ABS 中，由中位线定理得 MP//SB ，DMP ∠∴是异面直线DM 与SB 所成的角．2321==SB MP，又,25)21(1,222=+==DP DM∴在△DMP 中，有DP 2=MP 2+DM 2，︒=∠∴90DMP∴异面直线DM 与SB 所成的角为90°．18．(12分) 解：（1）在直角梯形ABCD 中， 由已知∆DAC 为等腰直角三角形， ∴45,2=∠=CAB a AC , 过C 作CH ⊥AB ，由AB=2a ，可推得 AC=BC=.2a∴ AC ⊥BC ．取 AC 的中点E ，连结ED '，则 ED '⊥AC 又 ∵ 二面角β--AC a 为直二面角，∴ED '⊥β 又 ∵ ⊂BC 平面β ∴ BC ⊥E D ' ∴ BC ⊥a ，而a C D ⊂'，∴ BC ⊥C D ' ∴ CAD '∠为二面角γβ--BC 的平面角．由于45='∠CAD ， ∴二面角γβ--BC 为 45．（2）取AC 的中点E ，连结E D '，再过D '作β⊥'O D ，垂足为O ，连结OE ．∵ AC ⊥E D '， ∴ AC ⊥OE ∴ EOD '∠为二面角β--ACa 的平面角， ∴ EO D '∠60=． 在OE D Rt '∆中，aACE D 2221=='，∴O D S V ABC ABC D '⋅=∆-'31O D BC AC '⋅⋅⨯=2131a a a 462261⨯⨯⨯=.1263a =19．（14分）解法一: (1)记AC 与BD 的交点为O,连接OE, ∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，图3ACEF 是矩形，∴四边形AOEM 是平行四边形， ∴AM ∥OE ．∵⊂OE平面BDE ，⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDE ．(2)在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF 于S ，连结BS ，∵AB ⊥AF ， AB ⊥AD ， ,A AF AD = ∴AB ⊥平面ADF ，∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影，由三垂线定理得BS ⊥DF ．∴∠BSA 是二面角A —DF —B 的平面角． 在RtΔASB 中，,2,36==AB AS∴,60,3tan ︒=∠=∠ASB ASB∴二面角A —DF —B 的大小为60º．（3）设CP=t （0≤t≤2）,作PQ ⊥AB 于Q ，则PQ ∥AD ， ∵PQ ⊥AB ，PQ ⊥AF ，A AFAB = ，∴PQ ⊥平面ABF ，⊂QE平面ABF ，∴PQ ⊥QF ．在RtΔPQF 中，∠FPQ=60º，PF=2PQ ． ∵ΔPAQ 为等腰直角三角形，∴).2(22t PQ -=又∵ΔPAF 为直角三角形，∴1)2(2+-=t PF，∴).2(2221)2(2t t -⋅=+-所以t=1或t=3(舍去),即点P是AC 的中点．解法二： （1）建立如图所示的空间直角坐标系． 设NBD AC = ，连接NE ， 则点N 、E 的坐标分别是（)0,22,22、（0,0,1）,∴)1,22,22(--=NE, 又点A 、M 的坐标分别是)0,2,2(,（)1,22,22∴AM =（)1,22,22--∴AMNE =且NE与AM 不共线，∴NE ∥AM ．又∵⊂NE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDF ．（2）∵AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ,A AD = ∴AB ⊥平面ADF ．∴AB)0,0,2(-=为平面DAF 的法向量．∵DBNE ⋅=（)1,22,22--·)0,2,2(-=0， ∴NFNE⋅=（)1,22,22--·)0,2,2(=0得DBNE ⊥，NFNE⋅，∴NE 为平面BDF 的法向量．∴cos<>⋅NE AB =21∴AB 与NE 的夹角是60º．即所求二面角A —DF —B的大小是60º． （3）设P(t,t,0)(0≤t≤2)得PF),1,2,2(t t --=∴BC =（2，0，0）又∵PF 和BC 所成的角是60º．∴21)2()2(2)2(60cos 22⋅+-+-⋅-=︒t t t解得22=t 或223=t （舍去），即点P 是AC 的中点．20．(14分) 解：（1）作MP ∥AB 交BC 于点P NQ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP =NQ，即MNQP 是平行四边形∴MN =PQ由已知a BN CM ==，1===BE AB CB∴2==BF AC 又21a CP =，21a BQ =，即2a BQ CP ==∴MN=PQ =22)1(BQCP +-=22)2()21(a a +-=21)22(2+-a )20(<<a（2）由（Ⅰ），MN=21)22(2+-a ,所以，当22=a 时，MN=22即M 、N 分别移动到AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22．（3）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，∵ANAM =，BNBM=，G 为MN的中点 ∴AG⊥MN，BG ⊥MN，∠A G B即为二面角α的平面角,又AG =BG 46=，所以，由余弦定理有314646214646cos 22-=⋅⋅-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α, 故所求二面角⎪⎭⎫⎝⎛-=31arccos α。
人教版数学高一第二章点,直线,平面之间的位置关系单元测试精选(含答案)2
【答案】A
15．如图，在三棱柱 ABC－A′B′C′中，点 E、F、H、K 分别为 AC′、CB′、A′B、B′C′
的中点，G 为△ABC 的重心，从 K、H、G、B′中取一点作为 P，使得该三棱柱恰有 2
条棱与平面 PEF 平行，则点 P 为 ( )
A．K
B．H
C．G
D．B′
【来源】人教 A 版高中数学必修二第 2 章 章末综合测评 3
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
【来源】人教 A 版高中数学必修二第二章 章末检测卷
【答案】C
19．如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A、B 到 l 的距离分别是 a 和 b，AB 与α、β
试卷第 5页，总 17页
所成的角分别是θ和φ，AB 在α、β内的射影长分别是 m 和 n，若 a＞b，则 ( )
【来源】2013-2014 学年福建省清流一中高一下学期第二次阶段考数学试卷（带解析) 【答案】①②
30．如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M，N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点， 若 B1MN 是直角，则 C1MN ________.
试卷第 8页，总 17页
【来源】人教 A 版 2017-2018 学年必修二第 2 章 章末综合测评 1 数学试题 【答案】90°
29．如图，将边长为1的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得平面 ADC 平面 ABC ， 在折起后形成的三棱锥 D ABC 中，给出下列三个命题： ① DBC 是等边三角形； ② AC BD ； ③三棱锥 D ABC 的体积是 2 .
6
其中正确命题的序号是* * * ．（写出所有正确命题的序号）
试卷第 1页，总 17页
平面与空间直线练习题
高二数学同步检测一平面与空间直线说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,选择一个符合题目要求的选项）1.列命题是真命题的是( )A.空间不同三点确定一个平面B.空间两两相交的三条直线确定一个平面C.四边形确定一个平面D.和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内答案:D解析:根据公理3(经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面)知不在同一直线上的三点,才能确定一个平面,所以A错.如图(1),a,b,c三条直线两两相交,但a,b,c不共面,所以B错误.如图(2),显然四边形ABCD不能确定一个平面.2.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于( )A.30°B.30°或150°C.150°D.以上结论都不对答案:B解析:由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补,即∠PQR=30°或150°.3.如右图,α∩β=l,A∈β,B∈β,AB∩l=D,C∈α,则平面ABC和平面α的交线是( )A.直线ACB.直线BCC.直线ABD.直线CD答案:D解析:CD为平面ABC与平面α的交线.故选D.4.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的图是( )答案:C解析:A,B中的PQ与RS相互平行;D中的PQ与RS相交;由两条直线异面的判定定理可知C 中的PQ与RS异面.5.对“a,b是异面直线”的叙述，正确的是( )①a∩b=∅且a不平行于b ②a⊂平面α,b⊂平面β且α∩β=∅③a⊂平面α,b⊄平面α④不存在平面α,使a⊂平面α且b⊂平面α成立A.①②B.①③C.①④D.③④答案:C解析:根据“异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线”的定义知,结论④正确.空间不相交的两条直线除平行外就是异面,故对于结论①,既然两直线不平行,则必然异面.分别在两个平面内的两条直线可能平行,故②不正确.平面内的一条直线和平面外的一条直线除异面外还可能平行或相交,故③不正确.综上所述,只有①④正确.6.右图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为…( )A.180°B.90°C.60°D.45°答案:C解析:把平面图形还原为立体图形，找准A、B、C三点相对位置,可知∠ABC在等边△ABC 内.7.在空间四边形ABCD中,M,N分别是AB,CD的中点,设BC+AD=2a,则MN与a的大小关系是( )A.MN>aB.MN=aC.MN<aD.不能确定答案:C解析:如图,取AC 中点P,则MP21BC,NP AD,且MP+NP=21(BC+AD)=a>MN,故C 正确. 8.如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于( )A.510 B.515C.54D.32答案:B解析一:如图(1),取面CC 1D 1D 的中心为H ，连结FH 、D 1H.易知OE ∥FH ，所以∠D 1FH 为所求异面直线所成的角.在△FHD 1中，FD 1=25，FH=23，D 1H=22由余弦定理，得∠D 1FH 的余弦值为515. 解析二:如图(2),取BC 中点为G.连结GC 1、FD 1,则GC 1∥FD 1.再取GC 中点为H,连结HE 、OH ，则∠OEH 为异面直线所成的角.在△OEH 中，OE=23,HE=45，OH=45. 由余弦定理，可得cos ∠OEH=515. 9.空间有四点A,B,C,D,每两点的连线长都是2,动点P 在线段AB 上,动点Q 在线段CD 上,则P,Q 两点之间的最小距离为( ) A.1 B.23C.2D.3 答案:C解析:PQ 的最小值应是AB,CD 的公垂线段长.易知P,Q 分别是AB,CD 中点时,PQ ⊥AB,PQ ⊥CD.在Rt△BQP中,3-=2.∵BQ=3,BP=1,∴PQ=110.右图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中:①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;③CN与BM成60°角;④DM与BN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是( )A.①②③B.②④C.③④D.②③④答案:C解析:将上面的展开图还原成如图所示正方体.容易知道BM与ED异面,CN与BE平行,故①②不正确.因为BE∥CN,所以CN与BM所成的角是∠EBM=60°,延长CD至D′,使DD′=DC,则D′N∥DM,∠BND′就是DM与BN所成的角.设正方体的棱长为1,因为BN=3a,ND′=2a,BD′=5a,所以BN2+D′N2=D′B2,即BN⊥ND′,BN⊥DM.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题,答案需填在题中横线上）11.以下四个命题:①A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α;②A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=AB;③l⊄α,A∈l⇒A∉a;④A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α与β重合.其中推理正确的序号是__________.答案:①②④解析:由公理1知①正确;由公理2知②正确;由公理3知④正确;而③中直线l 可能与平面α相交于A.故③不正确.12.空间四条直线,两两相交可确定平面的个数最多有____________个. 答案:6解析:显然,任两条相交直线若都能确定一个平面(不重复),此时平面个数最多.如图,平面PAB,平面PAC,平面PAD,平面PBC,平面PCD,平面PBD,共6个. 13.(2006全国重点中学一模,11)给出三个命题:①若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行; ②若两条直线都与第三条直线垂直,则这两条直线互相平行; ③若两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线互相平行. 其中不正确的序号是__________. 答案:①②解析:在如图所示的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,A 1D 1⊥D 1D,C 1D 1⊥D 1D, 即A 1D 1与D 1D,C 1D 1与D 1D 所成的角都是90°,但A 1D 1与C 1D 1不平行,可知①②不正确,由公理4可知③正确.14.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，如果E 、F 分别为AB 、CC 1的中点，那么异面直线A 1C 与EF 所成的角等于_______________. 答案:arccos32 解析:延长AA 1到P ，使A 1P=21AA 1， 连结PF ，则PF ∥A 1C ，设A 1A=a.则PE 2=(23a)2+(21a)2=410a 2， EF 2=(21a)2+a 2+(21a)2=46a 2，PF 2=A 1C 2=3a 2.∴cos ∠PEF=322632410463222=∙∙-+aa a a a .∴直线A 1C 与EF 所成的角等于arccos32. 三、解答题（本大题共5小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）15.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1C 1、B 1C 1的中点，AC∩BD=P ，A 1C 1∩EF=Q ，求证：(1)D 、B 、F 、E 四点共面；(2)若直线A 1C 交平面DBFE 于点R ，则P 、Q 、R 三点共线. (1)证法一:∵EF 是△D 1B 1C 1的中位线, ∴EF ∥B 1D 1.在正方体AC 1中，B 1D 1∥BD, ∴EF ∥BD.由公理3知EF 、BD 确定一个平面, 即D 、B 、F 、E 四点共面.证法二:延长BF,CC 1交于点G,延长DE,CC 1交于点G ′.G 与G ′重合DE,BF 是相交直线⇒D,B,F,E 四点共面.(2)证明:正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，设A 1ACC 1确定的平面为α,设平面DBFE 为β, ∵Q Q C A Q Q EF Q ⇒⎭⎬⎫∈⇒∈∈⇒∈αβ11又为α、β的公共点.同理,P 亦为α、β的公共点,∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫∈∈⇒∈∴可知由公理又21βαR R C A R R ∈PQ,即P 、Q 、R 三点共线. 点评:证明多点共线，可先由两点确定一直线，证其余点在直线上.要证点在一条直线上，只需证明这点是两平面的公共点，而直线是两个平面的交线，这是证点在直线上的常用方法. 16.如图，E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且有AE ∶EB=AH ∶HD=m,CF ∶FB=CG ∶GD=n.(1)证明E 、F 、G 、H 四点共面.(2)m 、n 满足什么条件时，EFGH 是平行四边形? (3)在（2）的条件下，若AC ⊥BD ，试证明EG=FH. (1)证明:∵AE ∶EB=AH ∶HD ，∴EH ∥BD. ∵CF ∶FB=CG ∶GD ，∴FG ∥BD.∴EH ∥FG .∴E 、F 、G 、H 四点共面.(2)解:当且仅当EH FG 时，四边形EFGH 为平行四边形.∵1+=+=m m EB AE AE BD EH ,∴EH=1+m mBD. 同理,FG=1+n nBD.由EH=FG 得m=n.故当m=n 时，四边形EFGH 为平行四边形.(3)证明:当m=n 时，AE ∶EB=CF ∶FB,∴EF ∥AC.又∵AC ⊥BD ，∴∠FEH 是AC 与BD 所成的角.∴∠FEH=90°. 从而EFGH 为矩形，∴EG=FH.点评:空间四边形是立体几何的一个基本图形，它各边中点的连线构成平行四边形；当两对角线相等时该平行四边形为菱形；当两对角线互相垂直时，该平行四边形为矩形；当两对角线相等且互相垂直时,该平行四边形为正方形.17.如图,a,b,c 为不共面的三条直线,且相交于一点O,点M,N,P 分别在直线a,b,c 上,点Q 是b 上异于N 的点,判断MN 与PQ 的位置关系,并予以证明.证法一:(反证法)假设MN 与PQ 共面于β,则点M,N,P,Q ∈β.ββββ⊂⇒⎭⎬⎫∈∈⇒⎭⎬⎫∈⊂⇒∈c P O b O b b Q N ,又点同理,a ⊂β.∴a,b,c 共面,与已知a,b,c 不共面矛盾.故MN 与PQ 为异面直线.⎪⎭⎪⎬⎫∈∈=⋂b Q N M b a ,:0α证法二⇒⎭⎬⎫⇒∈N b Q MON Q N M 且异于又共面于点,,点Q ∉MN,⇒⎭⎬⎫∈⊄c P MON OP 平面点P ∉平面MON. 故平面MON 内一点Q 与平面外一点P 的连线PQ 与平面内不过Q 点的直线MN 是异面直线.18.如图所示,今有一正方体木料ABCD —A 1B 1C 1D 1,其中M,N 分别是AB,CB 的中点,要过D 1,M,N 三点将木料锯开,请你帮助木工师傅想办法,怎样画线才能顺利完成?解:作法如下:(1)连结MN 并延长交DC 的延长线于F,连结D 1F 交CC 1于Q,连结QN; (2)延长NM 交DA 的延长线于E,连结D 1E 交A 1A 于P,连结MP;(3)依次在正方体各个面上画线D 1P,PM,MN,NQ,QD 1,即为木工师傅所要画的线.19.如图,AB,CD 是两条异面直线,AB=CD=3a,E,F 分别是线段AD,BC 上的点,且ED=2AE,FC=2BF,EF=7a,G ∈BD,EG ∥AB. (1)求AB 与CD 所成的角; (2)求△EFG 的面积.解:(1)∵ED=2AE,EG ∥AB,∴DG=2BG . ∵FC=2BF,∴FG ∥DC.∴∠EGF 即为AB 与CD 所成的角或其补角. ∵AB=CD=3a,EG=2a,GF=a,又EF=7a,∴cos ∠EGF=2122742222222-=∙∙-+=∙-+a a a a a GF EG EF GF EG . ∴∠EGF=120°.∴AB 与CD 所成的角为60°. (2)S △EFG =21EG ·GF ·sin120° =21×2a ×a ×sin120° =23a 2.。
专题11 空间点、直线、平面之间的位置关系(核心素养练习)(原卷版)附答案.pdf
专题十一空间点、直线、平面之间的位置关系核心素养练习一、核心素养聚焦考点一逻辑推理-证明直线共面例题9.已知：AB∩AC＝A,AB∩BC＝B,AC∩BC＝C.求证：直线AB,BC,AC共面．考点二直观想象-直线之间的关系例题10.在空间四边形ABCD中,E,F分别为对角线AC,BD的中点,则BE与CF( ) A．平行 B．异面C．相交D．以上均有可能二、学业质量测评一、选择题1．设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α,β平行于同一条直线D．α,β垂直于同一平面2．已知平面α与平面β、γ都相交,则这三个平面可能的交线有( )A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条()3．如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中直线AB与CD的位置关系为 A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直4．若是异面直线,且//平面,那么与平面的位置关系是（ ）,a b a αb αA ．B ．与相交C ．D ．以上三种情况都有可能//b αb αb α⊂5．已知平面平面,直线,直线,则直线,的位置关系为（ ）//αβm α⊂n β⊂m n A ．平行或相交B ．相交或异面C ．平行或异面D ．平行､相交或异面6．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥αD ．如果两个平面有三个大众点,则这两个平面重合．二、多选题7．（多选）下列说法中错误的是（ ）A ．不共面的四点中,任意三点不共线B ．三条两两相交的直线在同一平面内C ．有三个不同大众点的两个平面重合D ．依次首尾相接的四条线段不一定共面8．（多选）已知表示不同的点,表示直线,表示不同的平面,则下列推理正确的是（）A B C ，，l αβ，A ．,,,∈A l A α∈B l ∈B l αα∈⇒⊂B ．,,,A α∈A β∈B α∈B ABβαβ∈⇒= C ．,l αÚA l A α∈⇒∉D ．,,A α∈∈A l l l Aαα⊄⇒⋂=三、填空题9．如图,在正方体中,分别为棱的中点,有以下四个结论：1111—ABCD A B C D M N ，111C D C C ，①直线与是相交直线；AM 1CC ②直线与是平行直线；AM BN ③直线与是异面直线；BN 1MB ④直线与是异面直线．AM 1DD 其中正确的结论的序号为________．10．棱长为的正方体中,是棱的中点,过作正方体的截面,则截面的面21111ABCD A B C D -M 1AA 1,,C M D 积是_________________．11．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图,图中的四条线段、、和在原正方体中AB CD EF GH 相互异面的有__________对.12．在底面为正六边形的六棱柱中,互相平行的面视为一组,则共有______组互相平行的面,与其中一个侧面相交的面共有______个.四、解答题13．已知四点和直线,且,,,,求证:直线共面.A B C D ，，，l ∈A l B l ∈C l ∈D l ∉AD BD CD ，，14．如图,AB ∥CD,AB∩α＝B,CD∩α＝D,AC∩α＝E.求证：B,E,D 三点共线.15．如图所示的几何体中,,,,且,,,.求证:直11//AB A B 11//AC A C 11//BC B C 11AB A B <11AC A C <11BC B C <线,,相交于同一点.1A A 1B B 1C C专题十一空间点、直线、平面之间的位置关系核心素养练习一、核心素养聚焦考点一逻辑推理-证明直线共面例题9.已知：AB∩AC＝A,AB∩BC＝B,AC∩BC＝C.求证：直线AB,BC,AC共面．【证明】法一：因为AC∩AB＝A,所以直线AB,AC可确定一个平面α.因为B∈AB,C∈AC,所以B∈α,C∈α,故BC⊂α.因此直线AB,BC,AC都在平面α内,所以直线AB,BC,AC共面．法二：因为A不在直线BC上,所以点A和直线BC可确定一个平面α.因为B∈BC,所以B∈α,又A∈α,所以AB⊂α.同理AC⊂α,故直线AB,BC,AC共面．法三：因为A,B,C三点不在同一条直线上,所以A,B,C三点可以确定一个平面α.因为A∈α,B∈α,所以AB⊂α,同理BC⊂α,AC⊂α,故直线AB,BC,AC共面．考点二直观想象-直线之间的关系例题10.在空间四边形ABCD中,E,F分别为对角线AC,BD的中点,则BE与CF( ) A．平行 B．异面C．相交D．以上均有可能【参考答案】B 【解析】假设BE 与CF 是共面直线,设此平面为α,则E ,F ,B ,C ∈α,所以BF ,CE ⊂α,而A ∈CE ,D ∈BF ,所以A ,D ∈α,即有A ,B ,C ,D ∈α,与ABCD 为空间四边形矛盾,所以BE 与CF 是异面直线．二、学业质量测评一、选择题1．设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α,β平行于同一条直线D ．α,β垂直于同一平面【参考答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件,由面面平行性质αβ//αβ定理知,若,则内任意一条直线都与平行,所以内两条相交直线都与平行是的必要条//αβαβαβ//αβ件,故选B ．2．已知平面α与平面β、γ都相交,则这三个平面可能的交线有( )A ．1条或2条B ．2条或3条C ．1条或3条D ．1条或2条或3条【参考答案】D【解析】分类讨论：当α过平面β与γ的交线时,这三个平面有1条交线；当β∥γ时,α与β和γ各有一条交线,共有2条交线；当β∩γ=b ,α∩β=a ,α∩γ=c 时,有3条交线.本题选择D 选项.3．如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为 ()A ．相交B ．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直【参考答案】D【解析】利用展开图可知,线段AB 与CD 是正方体中的相邻两个面的面对角线,仅仅异面,所成的角为600,因此选D4．若是异面直线,且//平面,那么与平面的位置关系是（ ）,a b a αb αA ．B ．与相交C ．D ．以上三种情况都有可能//b αb αb α⊂【参考答案】D【解析】若a 、b 是异面直线,且a ∥平面α,则根据空间中线面的位置关系可得：b ∥a 或者b ⊂α或者b 与α相交．故选：D ．5．已知平面平面,直线,直线,则直线,的位置关系为（ ）//αβm α⊂n β⊂m n A ．平行或相交B ．相交或异面C ．平行或异面D ．平行､相交或异面【参考答案】C【解析】因为平面平面,直线,直线,//αβm α⊂n β⊂所以直线没有大众点,m n ，所以两条直线平行或异面.故选：C.6．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥αD ．如果两个平面有三个大众点,则这两个平面重合．【参考答案】A【解析】因梯形的上下底边平行,根据公理3的推论可知A 正确．两条直线和第三条直线所成的角相等,这两条直线相交、平行或异面,故B 错．当直线和平面相交时,该直线上有无数个点不在平面内,故C 错．如果两个平面有三个大众点且它们共线,这两个平面可以相交,故D 错．综上,选A ．二、多选题7．（多选）下列说法中错误的是（ ）A ．不共面的四点中,任意三点不共线B ．三条两两相交的直线在同一平面内C ．有三个不同大众点的两个平面重合D ．依次首尾相接的四条线段不一定共面【参考答案】BC【解析】由公理2易知选项AD 正确；对于选项B ：如正方体中,具有同一顶点的三条棱不在同一平面内,故选项B 错误;对于选项C:三个不同的大众点可在两平面的交线上.,故选项C 错误;故选: BC8．（多选）已知表示不同的点,表示直线,表示不同的平面,则下列推理正确的是（）A B C ，，l αβ，A ．,,,∈A l A α∈B l ∈B l αα∈⇒⊂B ．,,,A α∈A β∈B α∈B ABβαβ∈⇒= C ．,l αÚA l A α∈⇒∉D ．,,A α∈∈A l l l Aαα⊄⇒⋂=【参考答案】ABD【解析】对于选项A:由公理1知,,故选项A 正确;l α⊂对于选项B ：因为表示不同的平面,由公理3知,平面相交,且,故选项B 正确;αβ，αβ，AB αβ= 对于选项C:分两种情况:与相交或.当与相交时,若交点为A,则,故选项C 错误；l α⊄l α//l a l αA α∈对于选项D ：由公理1逆推可得结论成立,故选项D 成立;故选:ABD三、填空题9．如图,在正方体中,分别为棱的中点,有以下四个结论：1111—ABCD A B C D M N ，111C D C C ，①直线与是相交直线；AM 1CC ②直线与是平行直线；AM BN ③直线与是异面直线；BN 1MB ④直线与是异面直线．AM 1DD 其中正确的结论的序号为________．【参考答案】③④【解析】因为四边不共面,所以直线与是异面直线,所以①错误的；同理,直线与1,,,A M C C AM 1CC AM 也是异面直线,直线与是异面直线,直线与是异面直线,所以②是错误的；③是正确BN BN 1MB AM 1DD 的,④是正确的,故填③④．10．棱长为的正方体中,是棱的中点,过作正方体的截面,则截面的面21111ABCD A B C D M 1AA 1,,C M D 积是_________________．【参考答案】92【解析】如图,由面面平行的性质知截面与平面AB 1的交线MN 是△AA 1B 的中位线,所以截面是梯形CD 1MN ,又,．11MN CD CN MD ====92故参考答案为92AB CD EF GH11．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图,图中的四条线段、、和在原正方体中相互异面的有__________对.【参考答案】3【解析】画出展开图复原的几何体,所以C与G重合,F,B重合,所以：四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有：AB与GH,AB与CD,GH与EF,共有3对．故参考答案为3．12．在底面为正六边形的六棱柱中,互相平行的面视为一组,则共有______组互相平行的面,与其中一个侧面相交的面共有______个.【参考答案】4. 6.【解析】六棱柱的两个底面互相平行,每个侧面与其直接相对的侧面平行,故共有4组互相平行的面.六棱柱共由8个面围成,在其余的7个面中,与某个侧面平行的面有1个,其余6个面与该侧面均为相交的关系.故参考答案为：；46四、解答题13．已知四点和直线,且,,,,求证:直线共面.A B C D ，，，l ∈A l B l ∈C l ∈D l ∉AD BD CD ，，【参考答案】证明见解析【解析】证明：因为,所以直线与点可以确定平面,如图所示,D l ∉l D α因为,所以,又,所以.∈A l A α∈D α∈AD α⊂同理可证,,BD α⊂CD α⊂所以,,在同一平面内,AD BD CD α即直线,,共面AD BD CD 14．如图,AB ∥CD,AB∩α＝B,CD∩α＝D,AC∩α＝E.求证：B,E,D 三点共线.【参考答案】略【解析】证明：∵AB ∥CD,∴AB,CD 可确定一个平面,设为平面β,∴AC 在平面β内,即E 在平面β内.而AB∩α＝B,CD∩α＝D,AC∩α＝E,可知B,D,E 为平面α与平面β的大众点,根据公理3可得,B,D,E 三点共线.15．如图所示的几何体中,,,,且,,,.求证:直11//AB A B 11//AC A C 11//BC B C 11AB A B <11AC A C <11BC B C <11线,,相交于同一点.1A A 1B B 1CC 【参考答案】证明见解析【解析】证明∵,,11//AB A B 11AB A B <∴直线,确定一个平面,并且直线,相交,设.①1A A 1B B 11AA B B 1A A 1B B 11A A B B D ⋂=∵,∴与确定一个平面,11//AC A C AC 11A C 11AA C C ∵平面,∴平面.1A A ⊂11AA C C D ∈11AA C C 同理平面.D ∈11BB C C 又因为平面平面,∴.②11AA C C 111BB C C C C =1D C C ∈由①②可知,,,三线共点,即直线,,相交于同一点.1A A 1B B 1C C 1A A 1B B 1C C D 知识改变命运。
2023学年上海高二上学期数学同步精讲练第10章 空间直线与平面(单元提升卷)
第10章 空间直线与平面（单元提升卷）（满分150分，完卷时间120分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、填空题1．已知直线,a b 和平面α，若,a b αα⊥⊥，则a 与b 的位置关系是________2．三条不同的直线a 、b 、c ，若//a b ，c 与a 、b 都相交，则a 、b 、c 三条直线能确定的平面的个数是______个．3．已知角α的大小为150°,且异面直线a b 、分别与角α的两边平行,则异面直线a b 、所成角的大小为_________.4．线段AB 在平面α的同侧，A ，B 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为________．5．如图，平面ABC ⊥平面ABD ，90ACB ︒∠=，CA CB =，ABD △是正三角形，O 为AB 的中点，则图中直角三角形的个数为______.6．如果直线l 与平面α所成的角为3π，那么直线l 与平面α内的直线所成的角的取值范围是______；7．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m β⊥的是______．①αβ⊥，且m α⊂；②m n ∥，且n β⊥；③αβ⊥，且m α∥；④m n ⊥，且n β∥．8．如图，矩形ABCD 的长AB =2，宽AD =x ，若PA ⊥平面ABCD ，矩形的边CD 上至少有一个点Q ,使得PQ ⊥BQ ，则x 的范围是____________．9．如图，水平放置的ABC 的斜二测直观图是图中的A B C '''，若3AC ''=，2B C ''=，则边AB的实际长度为___________10．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的___________条件.11．如图，已知PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AB =，BC =PB P BC A --的大小为________12．如图，平面α⊥平面β，A α∈，B β∈，AB 与两平面α、β所成的角分别为45°和30°，过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A '、B '，若AB ＝12，则A B ''=______． 二、单选题13．设m ､n 是两条不同的直线，α､β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，则//m βC ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥14．在正方形123SG G G 中，E 、F 分别是12G G 及23G G 的中点，D 是EF 的中点．现在沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个空间四边形，使1G 、2G 、3G 三点重合，重合后的点记为G ，那么，在空间四边形S EFG -中必有（ ）A ．SG EFG △⊥所在平面B ．SD EFG ⊥所在平面C ．GF SEF ⊥所在平面D ．GD SEF ⊥所在平面15．在矩形ABCD 中，1AB =，()0BC a a =>，PA ⊥平面ABCD ，且1PA =.若边BC 上存在两个不同的点1Q ､2Q ，使得11PQ DQ ⊥，22PQ DQ ⊥.则a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．[)1,2C ．()2,+∞D ．[]2,416．下列说法正确的个数（ ）（1）三点确定一个平面；（2）一条直线和一个点确定一个平面；（3） 两条直线确定一个平面；（4）三角形和梯形一定为平面图形.A ．0B ．1C ．2D ．3三、解答题 17．已知,,αβγ是三个平面，且,,a b c αβαγβγ===.（1）若a b O ⋂=，求证：a ，b ，c 三线共点.（2）若//a b ，则a 与c ，b 与c 有什么关系？为什么？18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中.(1)求异面直线1A B 和1CC 所成的角的余弦值；(2)求证：直线1//A B 平面11DCC D .19．如图，长方体中1111ABCD A B C D -中，2DA =，DC =，1DD =,M N 分别为棱,AB BC 的中点.（1）证明：平面1D MN ⊥平面1D DM ；（2）求点D 到平面1D MN 的距离.20．如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：EF PAD 平面；(2)若∠PDA＝45°，求EF与平面ABCD所成角的大小．21．如图1，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E为AD的中点，将△ABE沿直线BE折起至平面PBE⊥PB平面CEM．平面BCDE（如图2），点M在线段PD上，//(1)求证：MP＝2DM；(2)求二面角B－PE－C的大小；(3)若在棱PB、PE上分别取中点F、G，试判断点M与平面CFG的关系，并说明理由．。
空间直线、平面的垂直
6． (多选)如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶ AB＝2∶3∶4，E，F 分别是 AB，CD 的中点，将四边形 ADFE 沿直线 EF 进行翻折，则下列结论可能正确的是( )
A．DF⊥BC B．BD⊥FC C．平面 BDF⊥平面 BCF D．平面 DCF⊥平面 BCF
A．A1E⊥DC1 C．A1E⊥BC1
B．A1E⊥BD D．A1E⊥AC
答案 C
解析 解法一：如图，连接 A1E，D1E，B1C， BC1 ， DC1 ． 假 设 A1E ⊥ DC1 ， ∵ A1D1 ⊥ 平 面 DCC1D1，∴A1D1⊥DC1，又 A1E⊂平面 A1D1E， A1D1⊂平面 A1D1E，A1E∩A1D1＝A1，∴DC1⊥平 面 A1D1E，又 D1E⊂平面 A1D1E，∴DC1⊥D1E， 而 D1E 与 DC1 不垂直，∴A1E⊥DC1 不成立，故 A 错误，同理可证 B，D 错误．由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又 CE∩B1C ＝C，∴BC1⊥平面 CEA1B1．又 A1E⊂平面 CEA1B1，∴A1E⊥BC1．故选 C．
15．(多选) (2020·济宁模拟)如图，正三棱柱 ABC－A1B1C1 各棱的长度 均相等，D 为 AA1 的中点，M，N 分别是线段 BB1 和线段 CC1 上的动点(含 端点)，且满足 BM＝C1N，当 M，N 运动时，下列结论中正确的是( )
A．在△DMN 内总存在与平面 ABC 平行的线段 B．平面 DMN⊥平面 BCC1B1 C．三棱锥 A1－DMN 的体积为定值D．△DMN 可能为直角三角形
解法二(空间向量法)：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的 棱长为 1，则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0，0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)， E0，21，0，∴A→1E＝－1，12，－1，D→C1＝(0,1,1)，B→D＝(－1，－1，0)， B→C1＝(－1,0,1)，A→C＝(－1,1,0)，∴A→1E·D→C1≠0，A→1E·B→D≠0，A→1E·B→C1＝0， A→1E·A→C≠0，∴A1E⊥BC1．故选 C．
高二级数学单元测试卷(空间直线与平面)
高二级数学单元测试卷 2003/3班级___________ 姓名_________ 座号____________ 成绩___________ 一. 选择题（6分×10=60分）1．空间四条直线两两平行，最多可确定的平面的个数是（A ） １个 （B ） ２个 （C ） ３个 （D ） ６个 ２．正方形的边长为２，其水平放置的直观图的面积是 （A ）22（B ） 2 （C ） ２ （D ） ４３．互相不重合的三个平面最多可以把空间分成（A ） 四个部分 （B ） 六个部分 （C ） 七个部分 （D ） 八个部分 ４．正方体的一条面对角线与正方体的棱可组成异面直线的对数是（A ） ３对 （B ） ６对 （C ） １２对 （D ） ２４对 ５．甲命题：空间四点不共面，乙命题：空间四点中任意三点不共线；则甲是乙的 （A ） 充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件（C ） 充要条件 （D ） 既不充分又不必要条件 ６．直角三角形ABC 的两条直角边BC ＝３，AC ＝４，PC ⊥平面ABC ，且PC ＝59， 则点P 到边AB 的距离是（A ） ３ （B ） ４ （C ） １５ （D ） 24７．点P 到三角形ABC 的三个顶点距离相等，点P 在平面ABC 上的射影是三角形ABC （A ） 内心 （B ） 外心 （C ） 垂心 （D ） 重心８．空间四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则四边形EFGH 为（A ）平行四边形 （B ） 菱形 （C ） 矩形 （D ） 不能确定 ９．若一直线与两平行平面中的一个平行，则该直线与另一平面的位置关系为（A ） 平行 （B ） 相交 （C ） 直线在平面内 （D ）平行或在平面内10．BC 是直角三角形ABC 的斜边，PA ⊥平面ABC ，PD ⊥BC 于D ，则图中直角三角形 的个数是 （A ） ８个 （B ） ７个（C ） ６个 （D ） 5个AB CD P二．填空题（５分×４＝２０分）１．① 过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行② 过直线外一点可以作无数个平面与已知直线垂直 ③ 与同一直线异面的两条直线异面 ④ 与同一平面垂直的两条直线平行以上命题中正确的序号为 ２．点P 到平面α的距离为４，则平面α内到点P 的距离为５的点的轨迹是 ３．平面α，β平行，α⊂a ，β⊂b ，则直线a ,b 的位置关系是 ４．一直角所在平面外一点P 到直角顶点的距离为23，到两直角边的距离是17，则点P 到直角所在平面的距离是三．解答题 （２０分）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1（１）E 、F 分别是AB 、BC 的中点，求证：EF ∥平面A 1C 1（２）求证：BD 1⊥平面A 1C 1D（３）M 、N 分别为AA 1、BB 1的中点，求异面直线C 1M 与DN 所成的角的大小。
直线与平面的垂直的判定 性质单元测试题及答案
《直线与平面的垂直的判定、性质》单元测试卷一、 选择题1.如果直线l 和平面α内的无数条直线都垂直,那么( )A.α⊥lB.l 与α相交C.α⊄lD.l 与α的关系不确定2.如图，PA ⊥平面ABC ，△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数是（ ）。
A.4 B.3 C.2 D.13.两条异面直线在同一平面内的射影是( ).A.两条平行直线B.两条相交直线C.一个点和一条直线D.以上都有可能4.已知Rt △ABC 中，∠C=90°,点P 在平面ABC 外，且PA=PB=PC, PO ⊥平面ABC 于点O ，则O 是（ ）A.AC 边的中点B.BC 边的中点C.AB 边的中点D.以上都有可能5.a,b 表示两条直线，α表示平面，给出以下命题，其中正确的命题是（ ） ①a ⊥α,b ∥α⇒a ⊥b ②a ⊥α, a ⊥b ⇒ b ∥α③a ∥α, a ⊥b ⇒ b ⊥α ④a ⊥α,b ∥a ⇒b ⊥αA.①②B.②③C.③④D.①④6.已知P 是平面四边形ABCD 所在平面外一点，且P 到这个四边形各边的距离相等，那么这个四边形一定是（ ）。
A.圆内接四边形B.矩形C.圆外切四边形D.平行四边形7.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于（ ）。
A.ACB.BDC.A 1D 1D.AA 18.下列命题中真命题是（ ）。
A.和平面的斜线垂直的直线也和这条斜线的射影垂直B.和斜线的射影垂直的直线也和斜线垂直C.如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行D.和斜线的射影不垂直的直线也和斜线不垂直9.从平面α外一点P 作与α相交的直线，使得P 与交点的距离为1，则满足条件的直线条数一定不可能是（ ）.A.0B.1C.2D.无数个10.已知PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，并且PA=6,AB=3,AD=4，则P 到BD 的距离是（ ）. A.5296 B.296 C.53 D.132 11. Rt △ABC 的斜边AB 在平面α内，直角顶点C 在平面α外，C 在α上的射影为D （不在AB 上），则△ABD 是（ ）。
平面与空间直线练习题
立体几何题型与方法(理科)1．平面平面的根本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
〔1〕.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点〔依据：由点在线上，线在面 ，推出点在面〕， 这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。
〔2〕.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。
〔3〕.证共面问题一般先根据一局部条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面，或者用同一法证明两平面重合 2. 空间直线.〔1〕. 空间直线位置关系三种：相交、平行、异面. 相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面，无公共点[注]：①两条异面直线在同一平面射影一定是相交的两条直线.〔×〕〔也可能两条直线平行，也可能是点和直线等〕②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交③假设直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α. ④两条平行线在同一平面的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面射影是直线的图形一定是直线.〔×〕〔射影不一定只有直线，也可以是其他图形〕⑥在同一平面的射影长相等，那么斜线长相等.〔×〕〔并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段〕⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，假设b a =，那么b a ,的位置关系为相交或平行或异面.⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平面一点的直线和平面不经过该点的直线是异面直线.〔不在任何一个平面的两条直线〕〔2〕. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向一样，那么这两个角相等〔如右图〕.〔直线与直线所成角]90,0[︒︒∈θ〕〔向量与向量所成角])180,0[ ∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角〔或直角〕相等.〔3〕. 两异面直线的距离：公垂线段的长度.空间两条直线垂直的情况：相交〔共面〕垂直和异面垂直.[注]：21,l l 是异面直线，那么过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面. 〔1L 或2L 在这个做出的平面不能叫1L 与2L 平行的平面〕 3. 直线与平面平行、直线与平面垂直.〔1〕. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面.〔2〕. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.〔“线线平行⇒线面平行〞〕[注]：①直线a 与平面α一条直线平行，那么a ∥α. 〔×〕〔平面外一条直线〕 ②直线a 与平面α一条直线相交，那么a 与平面α相交. 〔×〕〔平面外一条直线〕③假设直线a 与平面α平行，那么α必存在无数条直线与a 平行. 〔√〕〔不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之〕④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. 〔×〕〔可能在此平面〕 ⑤平行于同一个平面的两直线平行.〔×〕〔两直线可能相交或者异面〕 ⑥直线l 与平面α、β所成角相等，那么α∥β.〔×〕〔α、β可能相交〕〔3〕. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.〔“线面平行⇒线线平行〞〕〔4〕. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.● 假设PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO 〔三垂线定理〕， ● 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.〔“线线垂直⇒线面垂直〞〕直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.〔5〕.a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面的射影是一条直线.〔×〕]b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面的射影在这个角的平分线上。
新必修二-第八章.立体几何初步-8.6空间直线、平面的垂直(知识点一：直线与平面垂直)
8.6空间直线、平面的垂直（知识点一：直线与平面垂直）一．选择题（共30小题）1．如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB＝，D为直角边BC上的一点，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H 在线段AB上，设AH＝x，则x的取值范围是（）A．（1，）B．（，1）C．（，）D．（0，1）2．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是侧面AA1B1B（含边界）上的动点，要使AB1⊥平面C1DF，则线段C1F 的长的最大值为（）A．B．C．D．3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝AP＝2，AB ＝BC＝1，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于点F，设PF＝λPC，则λ＝（）A．B．C．D．4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列判断正确的是（）A．A1C⊥面AB1D1B．A1C⊥面AB1C1DC．A1B⊥面AB1D1D．A1B⊥AD15．如图，在△ABC中，P A⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（）A．5B．6C．7D．86．已知平面α∥β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．在三棱锥S﹣ABC中，SA＝SB＝SC，则点S在平面ABC的射影一定在（）A．BC边的中线上B．BC边的高线上C．BC边的中垂线上D．∠BAC的平分线上8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中正确的是（）A．AD1⊥DP B．AP⊥B1C C．AC1⊥DP D．A1P⊥B1C9．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能使a⊥b成立是（）A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（）A．MN⊥CC1B．MN⊥平面ACC1A1C．MN∥AB D．MN∥平面ABCD11．已知三条直线a，b，c及平面α，具备以下哪一条件时a∥b？（）A．a∥α，b∥αB．a⊥c，b⊥cC．a⊥c，c⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α12．如图在矩形ABCD中，，BC＝2，将△ACD沿着AC折起．使得D折起的位置为D1，且D1在平面ABC的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，其中面面互相垂直的对数为（）A．2对B．3对C．4对D．5对13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列结论中正确的有：（）①总存在某个位置，使CE⊥平面A1DE；②总有BM∥平面A1DE；③存在某个位置，使DE⊥A1C．A．①②B．①③C．②③D．①②③14．在空间直角坐标系中，O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，c），D（2，d，﹣1），若直线OD⊥平面ABC，则实数c，d的值分别是（）A．2，﹣1B．﹣2，1C．，1D．，﹣115．在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB1⊥BC，则B1在底面ABC上的射影H 必在（）A．直线AC上B．直线BC上C．直线AB上D．△ABC内部16．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC其中正确的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④17．阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是（）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面P AC⊥平面ABC，BC⊥AC求证：BC⊥P A证明：因为平面P AC⊥平面ABC平面P AC∩平面ABC＝ACBC⊥AC，BC⊂平面ABC所以______．因为P A⊂平面P AC．所以BC⊥P AA．AB⊥底面P AC B．AC⊥底面PBC C．BC⊥底面P AC D．AB⊥底面PBC 18．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面△ABC中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在（）A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC内部19．如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内（）A．不存在与l垂直的直线B．存在一条与l垂直的直线C．存在无数条与l垂直的直线D．任一条都与l垂直20．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，A1B1的中点．点P在该正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于（）A．4B．C．D．21．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则（）A．AE⊥CC1B．AE⊥B1D1C．AE⊥BC D．AE⊥CD22．已知P是△ABC所在平面外一点，P A，PB，PC两两垂直，且P在△ABC所在平面内的射影H在△ABC内，则H一定是△ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心23．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是（）A．B．C．D．24．如图所示，已知P A⊥面ABC，AD⊥BC于D，BC＝CD＝AD＝1，令PD＝x，∠BPC＝θ，则（）A．B．C．D．25．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，则四面体P﹣ABC中直角三角形的个数为（）A．4B．3C．2D．126．如图，在下列四个正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是（）A．B．C．D．27．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AB＝2BC，E是CD上一点，若AE⊥平面PBD，则的值为（）A．B．C．3D．428．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为（）A．B．1C．D．229．下列说法不正确的是（）A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．同一平面的两条垂线一定共面30．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列判断错误的是（）A．A1D与AC所成角为60°B．A1D⊥BC1C．A1D⊥AC1D．A1D⊥B1D1二．填空题（共20小题）31．已知四边形ABCD为平行四边形，P A⊥平面ABCD，当平行四边形ABCD满足条件时，有PC⊥BD（填上你认为正确的一个条件即可）．32．如图，已知球O的面上有四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝，则球O的体积等于．33．如图，矩形ABCD的长AB＝2，宽AD＝x，若P A⊥平面ABCD，矩形的边CD上至少有一个点Q，使得PQ⊥BQ，则x的范围是．34．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，则四个侧面△P AB，△PBC，△PCD，△P AD中，有个直角三角形．35．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝x，将△ABD沿矩形对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则．①∀x∈（0，2），都存在某个位置，使得AB⊥CD②∀x∈（0，2），都不存在某个位置，使得AB⊥CD③∀x＞1，都存在某个位置，使得AB⊥CD④∀x＞1，都不存在某个位置，使得AB⊥CD36．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝．37．已知在矩形ABCD中，AB＝，BC＝a，P A⊥平面ABCD，若在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，则a的最小值是．38．在三棱锥P﹣ABC中，点O是点P在底面ABC内的射影．①若P A＝PB＝PC，则O是△ABC心；②若P A⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的心；③若侧面P AB，PBC，P AC与底面ABC所成的二面角相等，则O是△ABC的心．39．如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD；⑤GD⊥平面SEF．其中正确的是（填序号）．40．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD．已知AB＝1，AA1＝，E为AB上一个动点，则D1E+CE的最小值为．41．边长为a的正三角形ABC的边AB、AC的中点为E、F，将△AEF沿EF折起，此时A 点的新位置A'使平面A'EF⊥平面BCFE，则A'B＝．42．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，PB＝BC，F为BC的中点，DE垂直平分PC，且DE分别交AC，PC于点D，E．（1）证明：EF∥平面ABP；（2）证明：BD⊥AC．43．P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．（1）若P A、PB、PC两两互相垂直，则O点是△ABC的心；（2）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC内部，则点O是△ABC的心；（3）若P A⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，则点O是△ABC的心；（4）若P A、PB、PC与底面ABC成等角，则点O是△ABC的心．44．如图，矩形ABCD的边AB＝4，AD＝2，P A⊥平面ABCD，P A＝3，点E在CD上，若PE⊥BE，则PE＝．45．已知三棱锥P﹣ABC中，P A，PB，PC两两垂直，则点P在底面内的射影是△ABC的心．46．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线P A垂直于圆O所在的平面，点M是线段PB的中点．有以下四个命题：①MO∥平面P AC；②P A∥平面MOB；③OC⊥平面P AC；④平面P AC⊥平面PBC．其中正确的命题的序号是．47．已知直线l⊥平面α，垂足为O，三角形ABC的三边分别为BC＝1，AC＝2，AB＝．若A∈l，C∈α，则BO的最大值为．48．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各条棱所在的直线中，与直线AA1垂直的条数共有条．49．若△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，PC⊥平面ABC，PC＝2，P′是AB 上的动点，则△PP′C的面积的最小值为．50．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝时，CF⊥平面B1DF．8.6空间直线、平面的垂直（知识点一：直线与平面垂直）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．【分析】推导出AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D ＝90°，CH⊥平面ABC，从而AH＜AC1＝1，当CD＝1时，B与D重合，AH＝，当CD＜1时，AH＞＝，由此能求出x的取值范围．【解答】解：∵在等腰Rt△ABC中，斜边AB＝，D为直角边BC上的一点，∴AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AH＝x，∴AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，∴AH＜AC1＝1，故排除选项A和选项C；当CD＝1时，B与D重合，AH＝，当CD＜1时，AH＞＝，∵D为直角边BC上的一点，∴CD∈（0，1），∴x的取值范围是（，1）．故选：B．【点评】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．2．【分析】以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段C1F长的最大值．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是侧面AA1B1B（含边界）上的动点，以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，设F（0，a，b），0≤a≤1，0≤b≤2，由题意得A（1，0，2），B1（0，1，0），C1（0，0，0），D（，0），＝（﹣1，1，﹣2），＝（，0），＝（0，a，b），∵AB1⊥平面C1DF，∴，解得a＝2b，∴F（0，2b，b），∵0≤a≤1，0≤b≤2，a＝2b，∴0，∴线段C1F的长的最大值为：||＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查线段长的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．3．【分析】延长DC和AB交于一点G，连接EG交PC于点F，由已知可确定点F为三角形的重心，从而可得答案．【解答】解：延长DC和AB交于一点G，连接EG交PC于点F，平面ABE即为平面AEG，连接PG，因为AD＝2BC，且AD∥BC，可得点C，B分别是DG和AG的中点，又点E是PD的中点，即GE和PC分别为△PDG的中线，从而可得点F为△PDG的重心，即PF＝λPC，可得λ＝，故选：C．【点评】本题考查平面的确定和三角形的重心的性质，考查分析和推理能力，属于中档题．4．【分析】由已知证明A1C⊥B1D1，A1C⊥AB1，得A1C⊥平面AB1D1，说明A正确，B不正确，再求出A1B与AD1所成角为60°，说明C，D错误．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，又CC1⊥B1D1，且A1C1∩CC1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1C，则A1C⊥B1D1，同理A1C⊥AB1，则A1C⊥平面AB1D1，故A正确，B不正确；连接D1C，AC，则∠AD1C为A1B与AD1所成角，为60°，故C、D不正确．故选：A．【点评】本题考查直线与平面存在着的判定，考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．5．【分析】在△ABC中，P A⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，由此能求出图中直角三角形的个数．【解答】解：∵在△ABC中，P A⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，∴图中直角三角形有：△ABD，△ADC，△P AD，△P AB，△P AC，△PBD，△PCD，共7个．故选：C．【点评】本题考查直角三个形个数的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．【分析】根据题意，由直线与平面垂直的性质，结合充分必要条件的定义，分析可得答案．【解答】解：根据题意，“a⊥α”，又由平面α∥β，则有“a⊥β”，则“a⊥α”是“a⊥β”的充分条件，反之，若“a⊥β”，又由平面α∥β，则有“a⊥α”，则“a⊥β”是“a⊥β”的必要条件，则“a⊥α”是“a⊥β”的充要条件；故选：C．【点评】本题考查充分必要条件的判定，涉及直线与平面垂直的性质，属于基础题．7．【分析】设点S在平面ABC上的射影为O，连结OA、OB、OC，由SA＝SB＝SC，得到O是△ABC的外心，从而点S在平面ABC的射影一定在BC边的中垂线上．【解答】解：设点S在平面ABC上的射影为O，连结OA、OB、OC，∵SA＝SB＝SC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，∴点S在平面ABC的射影一定在BC边的中垂线上．故选：C．【点评】本题考查三棱锥中顶点到底面上的射影位置的判断，考查空间位置关系和空间思维能力的培养，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．8．【分析】推导出B1C⊥BC1，B1C⊥AB，从而B1C⊥平面ABC1D1，由此能得到AP⊥B1C．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB＝B，∴B1C⊥平面ABC1D1，∵点P是线段BC1上任意一点，∴AP⊥B1C．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．【分析】在A中，a，b相交、平行或异面；在B中，a，b相交、平行或异面；在C中，由线面垂直的性质定理得a⊥b；在D中，由线面垂直的性质定理得a∥b．【解答】解：由a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，得：在A中，∵a⊥c，b⊥c，∴a，b相交、平行或异面，故A错误；在B中，∵α⊥β，a⊂α，b⊂β，∴a，b相交、平行或异面，故B错误；在C中，∵a⊥α，b∥α，∴由线面垂直的性质定理得a⊥b，故C正确；在D中，∵a⊥α，b⊥α，∴由线面垂直的性质定理得a∥b，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题．10．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【解答】解：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，则B（2，2，0），C1（0，2，2），M（1，2，1），D1（0，0，2），C（0，2，0），N（0，1，1），＝（﹣1，﹣1，0），＝（0，0，2），∴•＝0，∴MN⊥CC1，故A正确；A（2，0，0），＝（﹣2，2，0），＝2﹣2+0＝0，∴AC⊥MN，又MN⊥CC1，AC∩CC1＝C，∴MN⊥平面ACC1A1，故B成立；∵＝（0，2，0），＝（﹣1，﹣1，0），∴MN和AB不平行，故C错误；平面ABCD的法向量＝（0，0，1），＝0，又MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断，考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．11．【分析】在A中，a，b相交、平行或异面；在B中，a，b相交、平行或异面；在C中，a，b相交、平行或异面；在D中，由线面垂直的性质定理得a∥b．【解答】解：在A中，∵a∥α，b∥α，∴a，b相交、平行或异面，故A错误；在B中，∵a⊥c，b⊥c，∴a，b相交、平行或异面，故B错误；在C中，∵a⊥c，c⊥α，b∥α，∴a，b相交、平行或异面，故C错误；在D中，∵a⊥α，b⊥α，∴由线面垂直的性质定理得a∥b，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．12．【分析】设D1在平面ABC的射影为E，连接D1E，根据线面垂直的性质与判定，面面垂直的判定定理寻找互相垂直的平面．【解答】解：设D1在平面ABC的射影为E，连接D1E，则D1E⊥平面ABC，∵D1E⊂平面ABD1，∴平面ABD1⊥平面ABC．∵D1E⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E∩AB＝E，∴BC⊥平面ABD1，又BC⊂平面BCD1，∴平面BCD1⊥平面ABD1，∵平面BC⊥平面ABD1，AD1⊂平面ABD1，∴BC⊥AD1，又CD1⊥AD1，BC∩CD1＝C，∴AD1⊥平面BCD1，又AD1⊂平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BCD1．∴共有3对平面互相垂直．故选：B．【点评】本题考查互相垂直的平面的对数的判断，考查线面垂直的性质与判定，面面垂直的判定等基础知识，是中档题．13．【分析】在①中，总存在某个位置，使CE⊥平面A1DE；在②中，取CD中点F，连接MF，BF，可得平面MBF∥平面A1DE，总有BM∥平面A1DE；在③中，A1C在平面ABCD 中的射影为AC，AC与DE不垂直，从而DE与A1C不垂直．【解答】解：在①中，总存在某个位置，使CE⊥平面A1DE，①正确；在②中，取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥A1D且MF＝A1D，FB∥ED且FB＝ED，由MF∥A1D与FB∥ED，可得平面MBF∥平面A1DE，∴总有BM∥平面A1DE，故②正确；在③中，A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴DE与A1C不垂直，故③错误．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．14．【分析】求出＝（2，d，﹣1），＝（﹣1，2，0），＝（﹣1，0，c），由直线OD ⊥平面ABC，列出方程组，能求出实数c，d的值．【解答】解：∵在空间直角坐标系中，O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，c），D（2，d，﹣1），∴＝（2，d，﹣1），＝（﹣1，2，0），＝（﹣1，0，c），∴，解得c＝﹣2，d＝1．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，考查线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．【分析】由题意知要判断B1在底面ABC上的射影H，需要看过这个点向底面做射影，观察射影的位置，根据BC与一个平面上的两条直线垂直，得到BC与两条直线组成的面垂直，根据面面垂直的判断和性质，得到结果．【解答】解：∵在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB1⊥BC，∴BC⊥AC，又AC∩AB1＝A，∴BC⊥平面ACB1，BC⊂平面ABC，∴平面ACB1⊥平面ABC，∴B1在底面ABC上的射影H必在两平面的交线AC上．故选：A．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查直线与平面垂直的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查平面与平面垂直的性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16．【分析】设等腰直角三角形△ABC的腰为a，则斜边BC＝a，①利用面面垂直的性质定理易证BD⊥平面ADC，又AC⊂平面ADC，从而可知BD⊥AC，可判断①；②依题意及设法可知，AB＝AC＝a，BD＝CD＝a，利用勾股定理可求得BC＝•a＝a，从而可判断②；③又因为DA＝DB＝DC，根据正三棱锥的定义判断；④作出平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，利用BD⊥平面ADC可知，∠BDF为直角，∠BFD不是直角，从而可判断④．【解答】解：设等腰直角三角形△ABC的腰为a，则斜边BC＝a，①∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，又平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD＝AD，BD⊥AD，BD⊂平面ABD，∴BD⊥平面ADC，又AC⊂平面ADC，∴BD⊥AC，故①正确；②由A知，BD⊥平面ADC，CD⊂平面ADC，∴BD⊥CD，又BD＝CD＝a，∴由勾股定理得：BC＝•a＝a，又AB＝AC＝a，∴△ABC是等边三角形，故②正确；③∵△ABC是等边三角形，DA＝DB＝DC，∴三棱锥D﹣ABC是正三棱锥，故③正确．④∵△ADC为等腰直角三角形，取斜边AC的中点F，则DF⊥AC，又△ABC为等边三角形，连接BF，则BF⊥AC，∴∠BFD为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，由BD⊥平面ADC可知，∠BDF为直角，∠BFD不是直角，故平面ADC与平面ABC不垂直，故④错误；综上所述，正确的结论是①②③．故选：B．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查线面垂直的判定与应用，考查二面角的作图与运算，属于中档题．17．【分析】根据面面垂直的性质定理判断即可．【解答】解：根据面面垂直的性质定理判定得：BC⊥底面P AC，故选：C．【点评】本题考查了面面垂直的性质定理，考查数形结合思想，是一道基础题．18．【分析】由条件，根据线面垂直的判定定理，AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC内，根据面面垂直的判定定理，平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．【解答】解：如图：∵∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，∴AC⊥BC1，而BC1、AB为平面ABC1的两条相交直线，根据线面垂直的判定定理，AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC内，根据面面垂直的判定定理，平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．故选：B．【点评】本题主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，属于中档题．19．【分析】平面α内与l在α内的射影垂直的直线，垂直于直线l，这样的直线有无数条，故可得结论．【解答】解：平面α内与l在α内的射影垂直的直线，垂直于直线l，这样的直线有无数条，故A、B不正确，C正确；若在平面α内，任一条都与l垂直，则直线l与平面α垂直，与题设矛盾，故D不正确故选：C．【点评】本题考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．【分析】取CC1的中点G，连接DGMA，设BN交AM与点E，则使BN与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM，由此可得使BN与MP垂直的点P所构成的轨迹的周长．【解答】解：如图，取CC1的中点G，连接DGMA，设BN交AM与点E，则MG∥BC，∵BC⊥平面ABA1B1，NB⊂平面ABA1B1，∴NB⊥MG，∵正方体的棱长为1，M，N分别是A1B1，BB1的中点，△BEM中，易得∠MBE＝∠MAB，可得∠MEB＝∠ABM＝90°，可得：BN⊥AM，MG∩AM＝M，∴NB⊥平面ADGM，∴使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM，∵正方体的棱长为1，∴故由勾股定理可得，使B1C与MP垂直的点P所构成的轨迹的周长等于2+．故选：D．【点评】本题主要考查了立体几何中的轨迹问题，考查学生的分析解决问题的能力，解题的关键是确定使BN与MP垂直的点P所构成的轨迹，属于中档题．21．【分析】根据线面垂直和线线垂直的性质判断即可．【解答】解：如图示：，连接AC，BD，∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴ABCD是正方形，AC⊥BD，CE⊥ABCD，∴BD⊥AC，BD⊥CE，而AC∩CE＝C，故BD⊥平面ACE，∵BD∥B1D1，且B1D1⊊ACE，故B1D1⊥平面ACE，故B1D1⊥AE，故选：B．【点评】本题考查了线线，线面垂直的性质及判定，考查数形结合思想，是一道基础题．22．【分析】点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，从而证得BE⊥AC、AD⊥BC，符合这一性质的点O是△ABC垂心．【解答】解：过P点作PO⊥平面ABC，垂足为O，连结AO并延长，交BC与D，连结BO并延长，交AC与E；因P A⊥PB，P A⊥PC，故P A⊥面PBC，故P A⊥BC；因PO⊥面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥面P AO，故AO⊥BC即AD⊥BC；同理：BE⊥AC；故O是△ABC的垂心．故选：C．【点评】本题考查线面垂直的定义与三角形的全等，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23．【分析】由已知几何体为正方体，利用线面垂直的判定逐一分析四个选项得答案．【解答】解：对于A，连接CD，则MN∥CD，在正方体AB中，可证AB⊥CD，则AB⊥MN，同理AB⊥MQ，则有直线AB⊥平面MNQ；对于B，连接CD，则MN∥CD，在正方体AB中，可证AB⊥CD，则AB⊥MN，又AB ⊥NQ，可得直线AB⊥平面MNQ；对于C，显然AB⊥NQ，连接CD，可得AB∥CD，CD⊥MQ，则AB⊥MQ，∴直线AB ⊥平面MNQ；对于D，若AB⊥平面MNQ，则AB⊥MN，则AB⊥AC，而∠ACB为直角，矛盾，故直线AB与平面MNQ不垂直．故选：D．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．24．【分析】由P A⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC＝CD＝AD＝1，利用x表示P A，PB，PC，由余弦定理得到关于x的解析式，进一步利用x表示tanθ．【解答】解：∵P A⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC＝CD＝AD＝1，设PD＝x，∴可求得：AC＝，AB＝，P A＝，PC＝，BP＝，∴在△PBC中，由余弦定理知：cosθ＝＝，∴tan2θ＝﹣1＝﹣1＝，∴tanθ＝．故选：A．【点评】本题考查直线与平面垂直的性质，余弦定理的应用，基本不等式的应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．25．【分析】由在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，能推导出BC⊥平面P AB．由此能求出四面体P﹣ABC中有多少个直角三角形．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，∴BC⊥P A，BC⊥AB，∵P A∩AB＝A，∴BC⊥平面P AB．∴四面体P﹣ABC中直角三角形有△P AC，△P AB，△ABC，△PBC．故选：A．【点评】本题考查直线与平面垂直的性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的灵活运用．26．【分析】画出截面图形，利用直线与平面垂直的判定定理判断即可．【解答】解：如图在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，是一个平面图形，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，满足题意，只有选项D直线BD1与平面EFG不垂直．故选：D．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．27．【分析】推导出PD⊥AE，当AE⊥BD时，AE⊥平面PBD，此时△ABD∽△DAE，由此能求出的值．【解答】解：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AE，当AE⊥BD时，AE⊥平面PBD，此时△ABD∽△DAE，则，∵AB＝2BC，∴DE＝＝CD，∴＝3．故选：C．【点评】本题考查两线段长的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．28．【分析】作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求，由C1D⊥平面AA1BB，AB1⊂平面AA1B1B，则C1D⊥AB1，AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，满足线面垂直的判定定理，则AB1⊥平面C1DF【解答】解：作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF．四边形AA1B1B为矩形，此时点F为B1B的中点．如图则有△AA1B1∽DB1F，即⇒．故选：A．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定．应熟练记忆直线与平面垂直的判定定理，属于中档题．29．【分析】对于A，空间中，一组对边平行可确定此四边形为平面四边形，再利用平行四边形的判定定理可判断①正确；对于B，由面面垂直的判定定理可判断②错误；对于C，由平面公理三得正确；对于D，同一平面的两条垂线一定平行，两平行线确定一个平面，可得共面．【解答】解：对于A，空间中，一组对边平行，则此四边形为平面四边形，由平行四边形的判定定理可知正确；对于B，当一条直线与已知平面垂直时，过这条直线的所有平面都与已知平面垂直，此时不唯一，故错误；对于C，由平面公理三得过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内，故正确；对于D，同一平面的两条垂线一定平行，两平行线确定一个平面，所以共面．正确．故选：B．【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，着重考查平面的基本性质等考点的理解，考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，考查空间想象能力，属于中档题．30．【分析】在A中，由A1D∥B1C，得∠ACB1是A1D与AC所成角，由AC＝B1C＝AB1，得A1D与AC所成角为60°；在B中，由C1B∥AD1，且A1D⊥AD1，得A1D⊥C1B；在C中，由A1D⊥平面AD1C1，得A1D⊥AC1；在D中，A1D与B1D1成60°角．【解答】解：由正方体ABCD﹣A1B1C1D1知在A中，∵A1D∥B1C，∴∠ACB1是A1D与AC所成角，∵AC＝B1C＝AB1，∴∠ACB1＝60°，∴A1D与AC所成角为60°，故A正确；在B中，∵C1B∥AD1，且A1D⊥AD1，∴A1D⊥C1B，故B正确；在C中，∵A1D⊥C1D1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥平面AD1C1，∵AC1⊂平面AD1C1，∴A1D⊥AC1，故C正确；在D中，A1D与B1D1成60°角，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．二．填空题（共20小题）31．【分析】推导出BD⊥P A，当四边形ABCD是菱形时，BD⊥AC，从而BD⊥平面P AC，进而PC⊥BD．【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，P A⊥平面ABCD，∴BD⊥P A，当四边形ABCD是菱形时，BD⊥AC，又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∴PC⊥BD．故答案为：四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查满足线线垂直的条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．32．【分析】取CD中点M，证明BC⊥BD，故而M为外接球的球心，利用勾股定理计算出半径，代入体积公式得出答案．【解答】解：取CD的中点M，连接MA，MB，∵DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥AD，又BC⊥AB，AB∩AD＝A，∴BC⊥平面ABD，又BD⊂平面ABD，∴BC⊥BD，∴△ACD，△ABD都是直角三角形，∴MA＝MB＝MC＝MD，∴M为外接球的球心，∵AD＝AB＝BC＝，∴BD＝2，CD＝＝，∴外接球半径为r＝．∴外接球的体积V＝＝π．故答案为：π．【点评】本题考查了棱锥与外接球的位置关系，属于中档题．33．【分析】依据三垂线定理，要使PQ⊥BQ，必须有AQ⊥BQ，即以AB为直径的圆应与CD有公共点即可，从而可求x的范围．【解答】解：∵P A⊥平面ABCD，BQ⊂平面ABCD，∴P A⊥BQ；要使PQ⊥BQ，依三垂线定理得，必须有AQ⊥BQ，而Q为矩形的边CD上的一个点，∴以AB为直径的圆应与CD有公共点，∵AB＝2，宽AD＝x，∴0＜x≤1．故答案为：0＜x≤1．【点评】本题考查直线与平面垂直的性质，考查等价转化思想，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．34．【分析】首先由线面垂直得P A⊥AB，P A⊥AD；再证BC⊥平面P AB，得到△PBC为直角三角形，同理得另一个也是．【解答】解：∵P A⊥平面ABCD∴P A⊥AB，P A⊥AD∴△P AB，△P AD为直角三角形事实上，BC⊥P A，BC⊥AB∴BC⊥平面P AB∴BC⊥PB∴△PBC为直角三角形同理△PDC为直角三角形∴四个侧面三角形均为直角三角形．【点评】此题考查了线面垂直与线线垂直之间的关系，难度不大．35．【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当a＝1时，满足AB⊥CD，当a≠1时，不满足AB⊥CD，当a＝0时，点A1位于yoz坐标平面内，b2+c2＝1，0＜b＜1，x＝。
空间点直线平面之间的位置关系测试题及答案
2．1空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．下列命题正确的是………………………………………………（ ） A ．三点确定一个平面 B ．经过一条直线和一个点确定一个平面 C ．四边形确定一个平面 D ．两条相交直线确定一个平面2．若直线a 不平行于平面α，且α⊄a ，则下列结论成立的是（ ） A ．α内的所有直线与a 异面 B ．α内不存在与a 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与a 平行 D ．α内的直线与a 都相交3．平行于同一平面的两条直线的位置关系………………………（ ） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．平行、相交或异面4．正方体''''D C B A ABCD -中，AB 的中点为M ，'DD 的中点为N ，异面直线M B '与CN 所成的角是…………………………………………………（ ） A ．0 B ．45 C ．60 D ．905．平面α与平面β平行的条件可以是…………………………（ ） A ．α内有无穷多条直线都与β平行B ．直线βα//,//a a 且直线a 不在α内，也不在β内C ．直线α⊂a ，直线β⊂b 且β//a ，α//bD ．α内的任何直线都与β平行6．下列命题中，错误的是…………………………………………（ ） A ． 平行于同一条直线的两个平面平行 B ． 平行于同一个平面的两个平面平行 C ． 一个平面与两个平行平面相交，交线平行D ． 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交 7．已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确的个数是…………………………………………（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．08．下列命题中错误的是……………………………………（ ） A ． 如果平面βα⊥，那么平面α内所有直线都垂直于平面β B ． 如果平面βα⊥，那么平面α一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果平面γα⊥，γβ⊥，l =⋂βα，那么γ⊥l9．直线//a 平面α，α∈P ，那么过点P 且平行于α的直线…………（ ） A ． 只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在α内10．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中 ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 异面 ③CN 与BM 成60 ④DM 与BN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④二、填空题1． 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是__________________2． 正方体''''D C B A ABCD -中，AC 与'BD 所成角_______________3． 平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是_______________4． 已知直线b a ,和平面α,且α⊥⊥a b a ,,则b 与α的位置关系是______________ 三、解答题1． 已知长方体''''D C B A ABCD -中，32=AB ，32=AD ，2'=AA ， 求：（1）BC 与''C A 所成的角是多少？ （2）'AA 与'BC 所成的角是多少？2． 正方体''''D C B A ABCD -中，求证：平面''D AB //平面BD C '。
高考数学 9.1 空间直线与平面(A、B)随堂检测(含解析)
9.1 空间直线与平面（A 、B ） 随堂检测（含答案解析）1. 如图，四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为1的菱形，∠ABC ＝60°，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝1，则异面直线AB 与PD 所成角的余弦值为( )A.24B.22C.144D.23解析：选A.∵AB ∥CD ，∴∠PDC (或其补角)即为异面直线AB 与PD 所成的角． 在△PDC 中，PD ＝2，CD ＝1，PC ＝2，cos ∠PDC ＝2＋1－22×2×1＝24. 2．在直平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若AB ＝AA 1＝1，AD ＝2，∠BAD ＝45°，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为( )A ．0B ．1C.63D.66解析：选C.连结A 1D 、DB ，∵A 1D ∥B 1C ，∴∠BA 1D (或其补角)为异面直线A 1B 与B 1C 所成的角．又∵BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos45°，∴BD 2＝1.又∵A 1B 2＝2，A 1D 2＝A 1A 2＋AD 2＝3，∴cos ∠BA 1D ＝A 1B 2＋A 1D 2－BD 22·A 1B ·A 1D ＝63. 3．(2011·高考四川卷)l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面解析：选B.当l 1⊥l 2，l 2⊥l 3时，l 1也可能与l 3相交或异面，故A 不正确； l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3，故B 正确；当l 1∥l 2∥l 3时，l 1，l 2，l 3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 不正确； l 1，l 2，l 3共点时，l 1，l 2，l 3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D 不正确．4．(2013·成都模拟)已知△ABC 是边长为2a 的正三角形，则它的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( )A.32a 2B.34a 2C.64a 2 D.6a 2 解析：选C.准确地画出△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′.AB ＝A ′B ′＝2a ，C ′E ′＝22C ′D ′＝22·32a ＝64a . ∴S △A ′B ′C ′＝12·2a ·64a ＝64a 2，故选C.。
数学必修二空间点_直线_平面的位置关系练习题含答案
数学必修二空间点、直线、平面的位置关系学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 如图，平面不能用( )表示．A.平面αB.平面ABC.平面ACD.平面ABCD2. 已知m，n，l为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若m⊥l，n⊥l，则m // nB.若m // α，n // α，则m // nC.若m⊥α，n⊥α，则m // nD.若α⊥γ，β⊥γ，则α // β3. 对于不同点A、B，不同直线a、b、l，不同平面α，β，下面推理错误的是（）A.若A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，则a⊂βB.若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β=直线ABC.若l⊄α，A∈l，则A∉αD.a∩b=Φ，a不平行于b，则a、b为异面直线4. 若点B在直线b上，b在平面β内，则B、b、β之间的关系可记作（）A.B∈b∈βB.B∈b⊂βC.B⊂b⊂βD.B⊂b∈β5. 直线a、b为两异面直线，下列结论正确的是（）A.过不在a、b上的任何一点，可作一个平面与a、b都平行B.过不在a、b上的任一点，可作一直线与a、b都相交C.过不在a、b上任一点，可作一直线与a、b都平行D.过a可以并且只可以作一个平面与b平行6. 如图所示，平面α∩平面β=l，点A，B∈α，点C∈β，直线AB∩l=R．设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ=（）A.直线ACB.直线BCC.直线CRD.以上均不正确7. 一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是()A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定8. 若点P为两条异面直线a，b外的任意一点，则下列说法一定正确的是( )A.过点P有且仅有一条直线与a，b都平行B.过点P有且仅有一条直线与a，b都垂直C.过点P有且仅有一条直线与a，b都相交D.过点P有且仅有一条直线与a，b都异面9. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1上一点且CE=2EC1，则异面直线AE与A1B所成角的余弦值为()A.√1144B.√1122C.3√1144D.√111110. 空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角的大小关系为（）A.相等B.互补C.相等或互补D.互余11. 在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线AB和CC1的距离为________．12. 如图所示是一个正方体的表面展开图，A，B，C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为________．13. 如果一条直线不在平面内，那么这条直线与这个平面的位置关系是________．14. 已知a // β，a⊂α，α∩β=b，则a和b的位置关系是________．15. 设a、b为两条直线，α、β为两个平面，有下列四个命题：①若a⊂α，b⊂β，且a // b，则α // β；②若a⊂α，b⊂β，且a⊥b，则α⊥β；③若a // α，b⊂α，则a // b；④若a⊥α，b⊥α，则a // b；其中正确命题的序号为________．16. 设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________（用代号表示）．17. 在空间直角坐标系O−xyz中，经过A(1, 0, 2)，B(1, 1, −1)，C(2, −1, 1)三个点的平面方程为________．18. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，D、E、F分别是A1B1、BC、B1C1的中点，则平面DEF与平面ACC1A1的位置关系是________．19. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB // CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．20. 给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直干同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中真命题是________（写出所有真命题的序号）21. 已知直线a，b，c，且a∩b＝A，a∩c＝B，b和c异面，试画出图形表示它们之间的关系．22. 举几对既不相交也不平行的直线的例子．23. 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形（四条线段首尾相接，且连接点不在同一个平面内，所组成的空间图形叫空间四边形）各边AB，AD，CB，CD上的点，且直线EF和HG交于点P，求证：点B，D，P在同一条直线上．24. 如图，过直线l外一点P，作直线a，b，c分别交直线l于点A，B，C，求证：直线a、b、c共面．25. 如图，已知E、F分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的中点，求证：四边形EBFD1是菱形．26. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，若AC1=3,BC1=√5，则异面直线BC1与AD所成的角的正切值为________.27. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点．（1）判断BD1与平面AEC的位置关系，并证明你的结论．（2）若AB=BC=√3，CC1=2，求异面直线AE、BD1所成的角的余弦值．28. 如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=3，求异面直线A1B与B1C夹角的余弦值．29. 如图，已知长方体的长宽都是4cm，高为2cm．（1）求BC与A′C′，A′D与BC′所成角的余弦值；（2）求AA′与BC，AA′与CC′所成角的大小．30. 已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面（1）若α⊥γ，β⊥γ，则α // β；（2）若m // α，m // β，则α // β；（3）若m // α，n // α，则m // n；（4）若m⊥α，n⊥α，则m // n．上述命题中正确的为________．31. 如图，已知ABCD是空间四边形，AB=AD，CB=CD，求证：BD⊥AC．32. 已知三条直线a、b、c，若这三条直线两两相交，且交点分别为A、B、C，试判断这三条直线是否共面．33. 如图，△ABC中，∠ABC=90∘，SA⊥平面ABC，E、F分别为点A在SC、SB上的射影．（1）求证：BC⊥SB；（2）求证：EF⊥SC．34. 三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC＝90∘，AB＝BC＝BB1＝2，M，N分别是AB，A1C的中点．(Ⅰ)求证：MN // 平面BCC1B1；(Ⅱ)求证：MN⊥平面A1B1C．35. 如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′．（1）要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？（写出画法步骤，并在图中画出）（2）说明所画的线与平面AC的位置关系．36. 直线a // b，a与平面α相交，判定b与平面α的位置关系，并证明你的结论．37. 如图，在四棱锥P−ABCD中，有同学说平面PAD∩平面PBC=P，这句话对吗？请说明理由．38.（1）如图，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的α1，α2，α3，α4，使得A i∈αi(i=1, 2, 3, 4)，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足：A i∈αi(i=1, 2, 3, 4)，求该正四面体A1A2A3A4的体积．39. 如图，a，b是异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的两点，直线a // 平面a，直线b // 平面a，AB∩a=M，CD∩a=N，若AM=BM，求证：CN=DN．40. 如图，已知平面α、β，且α∩β=l．设梯形ABCD中，AD // BC，且AB⊂α，CD⊂β．求证：AB，CD，l共点（相交于一点）．参考答案与试题解析数学必修二空间点、直线、平面的位置关系一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【考点】平面的概念、画法及表示【解析】利用平面的表示方法，对每个选项逐一判断即可.【解答】解：A．平面可用希腊字母α，β，γ表示，故A正确；B．平面不可用平行四边形的某条边表示，故B错误；C．平面可用平行四边形的对角的两个字母表示，故C正确；D．平面可用平行四边形的顶点表示，故D正确.故选B.2.【答案】C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】根据空间线面位置关系的情况举出反例判断或根据性质说明．【解答】对于A，当l⊥α，m⊂α，n⊂α时，显然有m⊥l，n⊥l，单m与n可能平行，也可能相交，故A错误．对于B，若α // β，m⊂β，n⊂β，则m // α，n // α，但m，n可能平行也可能相交，故B错误．对于C，由线面平行的性质“垂直于同一个平面的两条直线平行“可知C正确．对于D，当三个平面α，β，γ两两垂直时，显然结论错误．3.【答案】C【考点】平面的基本性质及推论【解析】在A中，由直线a上有两个点A，B都在β内，知a⊂β；在B中，由不同点A、B分别是两个不同平面α，β的公共点，知α∩β=直线AB；在C中，由l⊄α，A∈l，知A有可能是l与α的交点；在D中，因a∩b=Φ，a不平行于b，知a、b为异面直线．【解答】解：在A中，∵直线a上有两个点A，B都在β内，∴a⊂β，故A正确；在B中，∵不同点A、B分别是两个不同平面α，β的公共点，∴α∩β=直线AB，故B正确；在C中，∵l⊄α，A∈l，∴A有可能是l与α的交点，故C错误；在D中，∵a∩b=Φ，a不平行于b，∴a、b为异面直线，故D正确．故选C．4.【答案】B【考点】平面的概念、画法及表示【解析】由题意，点B在直线b上，b在平面β内，点与面之间的关系是属于关系，线与面之间的关系是包含关系，由此三者之间的关系易得【解答】解：由题意，点B在直线b上，b在平面β内，则B、b、β之间的关系可记作B∈b⊂β故选B5.【答案】D【考点】异面直线的判定【解析】若此点与直线a确定一平面β恰好与直线b平行，可得a⊂β，可判断A的真假；结合空间中直线关系的定义及几何特征，可判断B的真假；依据平行公理，即可判断C的真假；由公理2及其推论，我们可以判断D的真假．【解答】解：A中：若此点与直线a确定一平面β恰好与直线b平行，此时直线a在已知平面上，并非与已知平面平行，故A错误；B中：由①可得，当此点在β平面上时，结论B不成立；C中：若存在这样的直线l，则l // a，l // b，有平行公理知，必有a // b，与已知矛盾，故C错误；D中：在直线a上取A、B点，过A、B分别作直线c、d与直线b平行，c、d可确定平面α，即b平行于α，此时a在α平面上，故D正确；故答案为D6.【答案】C【考点】平面的基本性质及推论【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，∵AB∩l=R，平面α∩平面β=l，∴ R ∈l ，l ⊂β，R ∈AB ，∴ R ∈β．又∵ A ，B ，C 三点确定的平面为γ，∴ C ∈γ，AB ⊂γ，∴ R ∈γ．又∵ C ∈β，∴ C ，R 是平面β和γ的公共点，∴ β∩γ=CR ．故选C ．7.【答案】D【考点】平行公理【解析】根据题意，可在正方体中，举例说明，得到答案【解答】如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，二面角D −AA 1−F 与二面角D 1−DC −A 的两个半平面分别对应垂直，但是这两个二面角既不相等，也不互补，所以这两个二面角不一定相等或互补．．AB例如：开门的过程中，门所在平面及门轴所在墙面分别垂直于地面与另一墙面，但门所在平面与门轴所在墙面所成二面角的大小不定，而另一二面角却是90∘，所以这两个二面角不一定相等或互补．8.【答案】B【考点】异面直线的判定【解析】A 通过反证法可以判定；B 由异面直线公垂线的唯一性可以判定；C 、D 利用常见的图形举出反例即可．【解答】解：设过点P 的直线为n ，且{n//a,n//b,， ∴ a // b ，这与a ，b 异面矛盾，选项A 错误；∵ 异面直线a ，b 有唯一的公垂线，∴ 过点P 与公垂线平行的直线有且只有一条，选项B 正确；如图所示的正方体中，设AD 为直线a ，A′B′为直线b ，若点P 在P 1点处，则无法作出直线与两直线都相交， ∴ 选项C 错误；如图所示的正方体中，若P 在P 2点，则由图中可知直线CC′及D′P 2均与a ，b 异面， ∴ 选项D 错误.故选B .9.【答案】B【考点】异面直线及其所成的角【解析】本题考查建立适当的空间直角坐标系，利用向量方法求解即可.【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系，如图，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，E (1,1,23)，A 1(0,0,1)，B(1,0,0),∴ AE →=(1,1,23)，A 1B →=(1,0,−1),∴ cos <AE →,A 1B →>=AE →⋅A 1B →|AE||A 1B|=1−2 3√12+12+(23)2⋅√12+(−1)2=√1122.故选B．10.【答案】C【考点】平行公理【解析】根据等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角的相等，从而易知本题答案．【解答】解：根据等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角的相等．本题的条件是：一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，由于没有指出角的对应两边的方向情况，故两个角可能相等或互补．故选C．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】2【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】由题意，异面直线AB和CC1的距离为BC，即可得出结论．【解答】解：由题意，异面直线AB和CC1的距离为BC=2．故答案为：2．12.【答案】√105【考点】异面直线及其所成的角【解析】建立空间坐标系，分别求出两条异面直线的方向向量，利用向量的夹角公式即可得出．【解答】解：如图所示，建立空间坐标坐标系．取正方体的棱长为2．则B(1, 2, 0)，A(2, 2, 1)，D(2, 0, 2)，C(2, 1, 0)．∴ BA →=(1, 0, 1)，CD →=(0, −1, 2)．∴ cos <BA →，CD →>=|BA →|⋅|CD →|˙=2√2⋅√5=√105． ∴ 异面直线AB 和CD 的夹角的余弦值为√105． 故答案为：√105． 13. 【答案】平行或相交【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】利用直线与平面的位置关系求解．【解答】解：∵ 直线与平面的位置关系有三种：平行、相交或直线在平面内，∴ 如果一条直线不在平面内，那么这条直线与这个平面的位置关系是平行或相交．故答案为：平行或相交．14.【答案】平行【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据线面平行的性质定理判断出a // b ．【解答】解：∵ a // β，a ⊂α，α∩β=b ，∴ 由线面平行的性质定理得，a // b ，故答案为：平行．15.【答案】④【考点】空间中平面与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据空间中面面平行的判定方法，面面垂直的判定方法，线面平行的性质及线面垂直的性质，我们对已知中四个结论逐一进行判断即可得到结论．【解答】解：若a⊂α，b⊂β，且a // b，则α与β可能平行与可能相交，故①错误；若a⊂α，b⊂β，且a⊥b，则α与β可能平行与可能相交，故②错误；若a // α，b⊂α，则a与b可能平行与可能异面，故③错误；若a⊥α，b⊥α，则a // b，故④正确；故答案为：④16.【答案】①③④⇒②（或②③④⇒①）【考点】空间中平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系【解析】分析本题中的条件，四个条件取三个，有四种组合，由于本题是一开放式题答案不唯一，故选取其一即可．【解答】解：观察发现，①③④⇒②与②③④⇒①是正确的命题，证明如下：证①③④⇒②，即证若m⊥n，n⊥β，m⊥α，则α⊥β，因为m⊥n，n⊥β，则m⊂β或m // β，又m⊥α故可得α⊥β，命题正确；证②③④⇒①，即证若n⊥β，m⊥α，α⊥β，则m⊥n，因为m⊥α，α⊥β则m⊂β或m // β，又m⊥α故可得m⊥n，命题正确．故答案为：①③④⇒②（或②③④⇒①）．17.【答案】4x+3y+z＝6【考点】平面的概念、画法及表示【解析】设过A、B、C三点的平面方程为Ax+By+Cz＝D，把点的坐标代入方程求得A、B、C的值，从而求得平面方程．【解答】设过A(1, 0, 2)，B(1, 1, −1)，C(2, −1, 1)三点的平面方程为Ax+By+Cz＝D，则A+2C＝D①，A+B−C＝D②，2A−B+C＝D③，由①②③组成方程组，解得A=2D3，B=D2，C=D6；∴2D3x+D2y+D6z＝D，化简得4x+3y+z＝（6）18.【答案】平行【考点】空间中平面与平面之间的位置关系【解析】根据面面平行的判定定理，判断两个平面平行即可．【解答】解：因为D、E、F分别是A1B1、BC、B1C1的中点，所以BD // A1C1，BE // C1C，所以BD // 面A1B1C1，BE // 面A1B1C1，因为DB∩BE=E，所以平面DEF // ACC1A1．故答案为：平行．19.【答案】4【考点】平面的基本性质及推论【解析】判断EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可．【解答】由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．20.【答案】②④【考点】平面的基本性质及推论【解析】利用两个平面平行的判断判断出①错；利用两个平面垂直的判断判断出②对；利用垂直于同一条直线的直线的位置关系判断出③错；利用两个平面垂直的性质判断出④对．【解答】解：对于①，若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，故①错对于②，若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直是两个平面垂直的判断定理，故②对对于③，垂直干同一直线的两条直线相互平行、相交或异面，故③错．对于④，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直．故④对故答案为：②④．三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ）21.【答案】∵ a ∩b ＝A ，a ∩c ＝B ，b 和c 异面，∴ 画图表示如下：．【考点】异面直线的判定【解析】根据直线a ，b ，c 的关系，画出图形即可．【解答】∵ a ∩b ＝A ，a ∩c ＝B ，b 和c 异面，∴ 画图表示如下：．22.【答案】既不相交也不平行的直线是异面直线，如图，在正方体A 1B 1C 1D 1−ABCD 中，AB 和A 1D 1，B 1C 1都构成异面直线，BC 和A 1B 1，C 1D 1→都构成异面直线．【考点】异面直线的判定【解析】可知，既不相交也不平行的直线是异面直线，可画出一个正方体，找出几对上面的异面直线即可．【解答】既不相交也不平行的直线是异面直线，如图，在正方体A 1B 1C 1D 1−ABCD 中，AB 和A 1D 1，B 1C 1都构成异面直线，BC 和A 1B 1，C 1D 1→都构成异面直线．23.【答案】证明：∵ E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边AB ，AD ，CB ，CD 上的点， ∴ 由公理一，得EF ⊂平面ABD ，GH ⊂平面CBD ，∵ 面ABD ∩面CBD =BD ，直线EF 和HG 交于点P ，∴ 由公理三得P ∈BD ，∴ 点B ，D ，P 在同一条直线上．．【考点】平面的基本性质及推论【解析】由公理一，得EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，由公理三得P∈BD，由此能证明点B，D，P在同一条直线上．．【解答】证明：∵E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，AD，CB，CD上的点，∴由公理一，得EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，∵面ABD∩面CBD=BD，直线EF和HG交于点P，∴由公理三得P∈BD，∴点B，D，P在同一条直线上．．24.【答案】证明：设直线l与l外一点P确定的平面为α，则P∈平面α，又A∈直线l，∴A∈平面α；又P∈直线a，A∈直线a，∴直线a⊂平面α；同理直线b⊂平面α，直线c⊂平面α，∴直线a、b、c共面．【考点】平面的基本性质及推论【解析】先设直线l与l外一点P确定一个平面α，再证明直线a⊂平面α，同理得出直线b、c⊂平面α即可．【解答】证明：设直线l与l外一点P确定的平面为α，则P∈平面α，又A∈直线l，∴A∈平面α；又P∈直线a，A∈直线a，∴直线a⊂平面α；同理直线b⊂平面α，直线c⊂平面α，∴直线a、b、c共面．25.【答案】证明：取棱BB1中点为G，连C1G、EG，由正方体性质，侧面ABB1A1为正方形，又E、G分别为边AA1、BB1中点，所以EG=A1B1=C1D1，EG // A1B1 // C1D1，从而四边形EGC1D1为平行四边形，∴D1E // C1G，D1E=C1G，又F、G分别为棱CC1、BB1中点，由侧面CBB1C1为正方形，知四边形BGC1F为平行四边形，所以BF // C1G，BF=C1G，又∴D1E // C1G，D1E=C1G，由平行公理可知D1E=BF，D1E // BF，从而四边形EBFD1为平行四边形．由ABCD−A1B1C1D1为正方体，不妨设其棱长为a，易a知BE=BF=√52而由四边形EBFD1为平行四边形，从而即为菱形．【考点】平行公理【解析】根据菱形的定义直接证明即可．【解答】证明：取棱BB1中点为G，连C1G、EG，由正方体性质，侧面ABB1A1为正方形，又E、G分别为边AA1、BB1中点，所以EG=A1B1=C1D1，EG // A1B1 // C1D1，从而四边形EGC1D1为平行四边形，∴D1E // C1G，D1E=C1G，又F、G分别为棱CC1、BB1中点，由侧面CBB1C1为正方形，知四边形BGC1F为平行四边形，所以BF // C1G，BF=C1G，又∴D1E // C1G，D1E=C1G，由平行公理可知D1E=BF，D1E // BF，从而四边形EBFD1为平行四边形．由ABCD−A1B1C1D1为正方体，不妨设其棱长为a，易a知BE=BF=√52而由四边形EBFD1为平行四边形，从而即为菱形．26.【答案】12【考点】异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】解：设AB=a，因为ABCD是正方形，所以AC=√2a.所以CC1⊥AC,CC1⊥BC，所以CC12=AC12−AC2=BC12−BC2，即9−2a2=5−a2，解得a=2.所以CC1=1，因为AD//BC，所以∠CBC1即异面直线BC1与AD所成的角，tan∠CBC1=CC1BC =12.故答案为：12.27.【答案】解：（1）BD1 // 平面AEC，如图，连结BD交AC于O，则O为BD中点，连结OE；∵E为DD1的中点，∴OE // BD1；∵OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC；∴BD1 // 平面AEC；（2）∵OE // BD1；∴异面直线AE，BD1所成的角为∠AEO；∵AB=BC=√3，CC1=2；∴EA=EC=2，EO=12BD1=√102；∴EO⊥AC；∴Rt△AEO中，cos∠AEO=EOEA =√104；因此，异面直线AE，BD1所成的角的余弦值为√104．【考点】异面直线及其所成的角空间中直线与平面之间的位置关系【解析】（1）连接BD，设交AC于O，连接EO，便可说明BD1 // OE，由线面平行的判定定理即（2）由上面BD1 // OE即可得到异面直线AE、BD1所成的角为∠AEO，而通过条件可说明OE⊥AC，并且可求出AE，OE，从而根据直角三角形的边角关系cos∠AEO=EOAE，这样即可求出异面直线AE，BD1所成角的余弦值．【解答】解：（1）BD1 // 平面AEC，如图，连结BD交AC于O，则O为BD中点，连结OE；∵E为DD1的中点，∴OE // BD1；∵OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC；∴BD1 // 平面AEC；（2）∵OE // BD1；∴异面直线AE，BD1所成的角为∠AEO；∵AB=BC=√3，CC1=2；∴EA=EC=2，EO=12BD1=√102；∴EO⊥AC；∴Rt△AEO中，cos∠AEO=EOEA =√104；因此，异面直线AE，BD1所成的角的余弦值为√104．28.【答案】【考点】异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答29.【答案】解：（1）∵ 长方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，BC // A′C′∴ ∠A ′C ′B ′就是异面直线BC 与A′C′所成角 Rt △A ′B ′C ′中，A′C′=√42+42=4√2 ∴ cos ∠A ′C ′B ′=B ′C‘A′C′=√22； 连结B ′C ，可得四边形A ′DCB ′是平行四边形，∴ A ′D // CB ′，直线B ′C 与BC ′所成的角就是A′D 与BC′所成的角 矩形BB ′C ′C 中，BC ′=B ′C =√42+22=2√5 设A′D 与BC′所成的角为θ，则由余弦定理得cos θ=2×√5×√5=35综上所述，可得BC 与A′C′，A′D 与BC′所成角的余弦值分别为√22和35； （2）∵ 长方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，AA ′ // BB ′∴ ∠B ′BC （或其补角）就是AA′与BC 所成的角 矩形BB ′C ′C 中，可得∠B ′BC =90∘；又∵ AA′ // CC′，∴ AA′与CC′所成角为0∘综上所述AA′与BC ，AA′与CC′所成角的大小分别为90∘和0∘．【考点】异面直线及其所成的角 【解析】（1）根据长方体的性质，可得∠A ′C ′B ′就是异面直线BC 与A′C′所成角，在Rt △A ′B ′C ′中，利用三角函数的定义可得cos ∠A ′C ′B ′=√22，即为BC 与A′C′所成角的余弦值．同理可得直线B ′C 与BC ′所成的角就是A′D 与BC′所成的角，结合余弦定理加以计算即可得到A′D 与BC′所成角的余弦值；（2）根据长方体的性质可得AA ′ // BB ′，因此矩形BB ′C ′C 中，∠B ′BC =90∘就是AA′与BC 所成的角；再由AA′ // CC′，得到AA′与CC′所成角为0∘． 【解答】解：（1）∵ 长方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，BC // A′C′∴ ∠A ′C ′B ′就是异面直线BC 与A′C′所成角 Rt △A ′B ′C ′中，A′C′=√42+42=4√2 ∴ cos ∠A ′C ′B ′=B ′C‘A′C′=√22； 连结B ′C ，可得四边形A ′DCB ′是平行四边形，∴ A ′D // CB ′，直线B ′C 与BC ′所成的角就是A′D 与BC′所成的角 矩形BB ′C ′C 中，BC ′=B ′C =√42+22=2√5设A′D 与BC′所成的角为θ，则由余弦定理得cos θ=5+5−162×√5×√5=35综上所述，可得BC 与A′C′，A′D 与BC′所成角的余弦值分别为√22和35；（2）∵ 长方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，AA ′ // BB ′ ∴ ∠B ′BC （或其补角）就是AA′与BC 所成的角 矩形BB ′C ′C 中，可得∠B ′BC =90∘；又∵ AA′ // CC′，∴ AA′与CC′所成角为0∘综上所述AA′与BC ，AA′与CC′所成角的大小分别为90∘和0∘． 30.【答案】 （4）． 【考点】空间中平面与平面之间的位置关系 空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据题意，分析4个命题：（1）由α⊥γ，β⊥γ，得α // β，或α∩β； （2）由m // α，m // β，得α // β，或α∩β；（3）由m // α，n // α，得m // n ，或m ∩n ，或m ，n 异面；（4）由m ⊥α，n ⊥α，根据线面垂直的性质，得m // n ．进而可得答案． 【解答】 解：（1）命题不一定成立，因为α⊥γ，β⊥γ时，α，β可能平行，也可能相交； （2）命题不一定成立，因为m // α，m // β时，α，β可能平行，也可能相交； （3）命题不一定成立，因为m // α，n // α时，直线m ，n 可能平行，也可能相交，也可能异面；（4）命题是正确的，因为m ⊥α，n ⊥α时，由垂直于同一平面的两条直线平行，得m // n ．所以，上述正确的命题只有（4）． 31.【答案】证明：取BD 的中点O ，连接AO ，CO ． ∵ AB =AD ，∴ AO ⊥BD ， ∵ CB =CD ，∴ CO ⊥BD ， 又AO ∩CO =O ， ∴ BD ⊥平面ACO ， AC ⊂平面ACO ，∴BD⊥AC．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】取BD的中点O，连接AO，CO．由等腰三角形的三线合一，得到AO⊥BD，CO⊥BD，再由线面垂直的判定定理得到BD⊥平面ACO，运用线面垂直的性质即可得证．【解答】证明：取BD的中点O，连接AO，CO．∵AB=AD，∴AO⊥BD，∵CB=CD，∴CO⊥BD，又AO∩CO=O，∴BD⊥平面ACO，AC⊂平面ACO，∴BD⊥AC．32.【答案】解：如图，三条直线a、b、c两两相交，且交点分别为A、B、C，设a，b确定一个平面α，∵B∈a，C∈a，A∈b，C∈b，∴A∈α，B∈α，又∵A∈c，B∈c，∴c⊂α，∴三条直线a，b，c共面于α．∴这三条直线共面．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】利用设a，b确定一个平面α，由已知条件利用公理二能推导出c⊂α，从而这三条直线a，b，c共面于α．【解答】解：如图，三条直线a、b、c两两相交，且交点分别为A、B、C，设a，b确定一个平面α，∵B∈a，C∈a，A∈b，C∈b，∴A∈α，B∈α，又∵A∈c，B∈c，∴c⊂α，∴三条直线a，b，c共面于α．∴这三条直线共面．33.【答案】证明：（1）∵ SA ⊥面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴ SA ⊥BC ，又∵ AB ⊥BC ，SA ∩AB =A ， ∴ BC ⊥平面SAB ， ∵ SB ⊂平面SAB ， ∴ BC ⊥SB ；（2）∵ AF ⊂平面SAB ，BC ⊥平面SAB ， ∴ BC ⊥AF ，∵ AF ⊥SB ，且BC ∩SB =B ， ∴ AF ⊥平面SBC ， ∵ SC ⊂平面SBC ，∴ SC ⊥AF ，又AE ⊥SC ，且AF ∩AE =A ， ∴ SC ⊥平面AEF ， ∴ EF ⊥SC ．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】（1）证明BC ⊥平面SAB ，然后，从而得到BC ⊥SB ；（2）对于EF ⊥SC 的证明，可以先证明SC ⊥平面EF ，然后，很容易得到EF ⊥SC ． 【解答】 证明：（1）∵ SA ⊥面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴ SA ⊥BC ，又∵ AB ⊥BC ，SA ∩AB =A ， ∴ BC ⊥平面SAB ， ∵ SB ⊂平面SAB ， ∴ BC ⊥SB ；（2）∵ AF ⊂平面SAB ，BC ⊥平面SAB ， ∴ BC ⊥AF ，∵ AF ⊥SB ，且BC ∩SB =B ， ∴ AF ⊥平面SBC ， ∵ SC ⊂平面SBC ，∴ SC ⊥AF ，又AE ⊥SC ，且AF ∩AE =A ， ∴ SC ⊥平面AEF ， ∴ EF ⊥SC ． 34.【答案】证明：(Ⅰ)证明：连接BC 1，AC 1．在△ABC 1中，∵ M ，N 是AB ，A 1C 的中点，∴ MN||BC 1． 又∵ MN ⊄平面BCC 1B 1，∴ MN||平面BCC 1B 1．（2）如图，以B 1为原点建立空间直角坐标系B 1−xyz ．则B 1(0, 0, 0)，C(0, 2, 2)，A 1(−2, 0, 0)，M(−1, 0, 2)，N(−1, 1, 1) ∴ B 1C →=(0, 2, 2)，A 1B 1→=(2,0,0)，NM →=(0,−1,1)． 设平面A 1B 1C 的法向量为n ＝(x, y, z)．{n ⋅B 1C →=0n ⋅A 1B 1→=0⇒{x =0y =−z令z ＝1，则x ＝0，y ＝−1，∴ n ＝(0, −1, 1)． ∴ n =NM →．∴ MN ⊥平面A 1B 1C ．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】(Ⅰ)欲证MN||平面BCC 1B 1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN 与平面BCC 1B 1内一直线平行即可，而连接BC 1，AC 1．根据中位线定理可知MN||BC 1，又MN ⊄平面BCC 1B 1满足定理所需条件；(Ⅱ)以B 1为原点，A 1B 1为x 轴，B 1B 为y 轴，B 1C 1为z 轴建立空间直角坐标系B 1−xyz ，求出平面A 1B 1C 的法向量为n ＝(x, y, z)，而n =NM →，根据法向量的意义可知MN ⊥平面A 1B 1C ． 【解答】证明：(Ⅰ)证明：连接BC 1，AC 1．在△ABC 1中，∵ M ，N 是AB ，A 1C 的中点，∴ MN||BC 1． 又∵ MN ⊄平面BCC 1B 1，∴ MN||平面BCC 1B 1．（2）如图，以B 1为原点建立空间直角坐标系B 1−xyz ．则B 1(0, 0, 0)，C(0, 2, 2)，A 1(−2, 0, 0)，M(−1, 0, 2)，N(−1, 1, 1) ∴ B 1C →=(0, 2, 2)，A 1B 1→=(2,0,0)，NM →=(0,−1,1)． 设平面A 1B 1C 的法向量为n ＝(x, y, z)．{n ⋅B 1C →=0n ⋅A 1B 1→=0 ⇒{x =0y =−z令z ＝1，则x ＝0，y ＝−1，∴ n ＝(0, −1, 1)． ∴ n =NM →．∴ MN ⊥平面A 1B 1C ．35.【答案】解：（1）过点P作B′C′的平行线，交A′B′、C′D′于点E，F，连结BE，CF；作图如右图，（2）易知BE，CF与平面AC的相交，∵BC // 平面A′C′，又∵平面B′C′CB∩平面A′C′=B′C′，∴BC // B′C′，∴EF // BC，又∵EF⊄平面AC，BC⊂平面AC，∴EF // 平面AC．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】（1）注意到棱BC平行于面A′C′，故过点P作B′C′的平行线，交A′B′、C′D′于点E，F，连结BE，CF；（2）易知BE，CF与平面AC的相交，可证EF // 平面AC．【解答】解：（1）过点P作B′C′的平行线，交A′B′、C′D′于点E，F，连结BE，CF；作图如右图，（2）易知BE，CF与平面AC的相交，∵BC // 平面A′C′，又∵平面B′C′CB∩平面A′C′=B′C′，∴BC // B′C′，∴EF // BC，又∵EF⊄平面AC，BC⊂平面AC，∴EF // 平面AC．36.【答案】解：判定b与平面α的位置关系是b∩α=Q，下面给出证明：如图所示，∵a // b，∴可以经过直线a，b确定一个平面β．∵a∩α=P，∴α∩β=l．则b与直线l必然相交，否则b // l，则a // l，与a∩l=P相矛盾．因此b∩l=Q，∴b∩α=Q．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】判定b与平面α的位置关系是b∩α=Q，可用反证法给出证明：如图所示，由于a // b，可以经过直线a，b确定一个平面β．由于a∩α=P，可得α∩β=l．可得b与直线l必然相交，否则b // l，得出矛盾．【解答】解：判定b与平面α的位置关系是b∩α=Q，下面给出证明：如图所示，∵a // b，∴可以经过直线a，b确定一个平面β．∵a∩α=P，∴α∩β=l．则b与直线l必然相交，否则b // l，则a // l，与a∩l=P相矛盾．因此b∩l=Q，∴b∩α=Q．37.【答案】解：由平面与平面的基本性质可知，如果两个平面相交，有且仅有结果该点的公共直线，所以如图，在四棱锥P −ABCD 中，有同学说平面PAD ∩平面PBC =P ，这句话不正确．【考点】平面的基本性质及推论空间中直线与平面之间的位置关系【解析】利用平面的基本性质判断即可．【解答】解：由平面与平面的基本性质可知，如果两个平面相交，有且仅有结果该点的公共直线，所以如图，在四棱锥P −ABCD 中，有同学说平面PAD ∩平面PBC =P ，这句话不正确． 38.【答案】解：（1）如图所示，取A 1A 4的三等分点p 2，p 3，A 1A 3的中点M ，A 2A 4，的中点N ， 过三点A 2，P 2，M ，作平面α2，过三点A 3，P 3，N 作平面α3，因为A 2P 2 // NP 3，A 3P 3 // MP 2，所以平面α2 // α3，再过点A 1，A 4，分别作平面α1，α4，与平面α3平行，那么四个平面α1，α2，α3，α4依次互相平行，由线段A 1A 4被平行平面α1，α2，α3，α4截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故α1，α2，α3，α4为所求平面．（2）：当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面每相邻两平面之间的距离为1，则正四面体A 1A 2A 3A 4就是满足题意的正四面体．设正四面体的棱长为a ，以△A 2A 3A 4的中心O 为坐标原点，以直线A 4O 为y 轴，直线OA 1为Z 轴建立如图所示的右手直角坐标系，则A 1(0, 0, √63a)，A 2(−a 2, √36a, 0)，A 3(a 2, √36a, 0)，A 4(0, −√33a, 0)． 令P 2，P 3为．A 1A 4的三等分点，N 为A 2A 4的中点，有P 3(0, −2√39a, √69a)，N(−a 4, −√312a, 0)，所以P 3N →=(−a 4, 5√336a, −√69a)，NA 3→=(34a, √34a, 0)，A 4N →=(−a 4, √34a, 0)。
空间直线与面、面与面的关系基础训练题(有详解)
空间直线与面、面与面的关系基础训练题（有详解)一、单选题1．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是A ．//,,αβm αn β烫，则//m nB ．//,//m m n α，则//n αC ．,//,m n m αβα⊥⊥，则//n βD ．,//m m n α⊥，则n α⊥2．下列命题中正确的是（ ）A ．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C ．如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面D ．如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面3．已知,,a b c 表示直线，α表示平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若//,//a b a α，则//b αB ．若,a b b α⊥⊥，则//a αC ．若,a c b c ⊥⊥，则//a bD ．若,a b αα⊥⊥，则//a b4．下列命题中正确的个数是（ ）①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点．②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α．③若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行④已知平面α，β和异面直线a ，b ，满足a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβ． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．设,a b 表示不同的直线，,αβ表示不同的平面，给出下列命题：①若//a α，a β⊂，则//αβ； ②若a α⊂，//αβ，则//a β；③若//a b ，a α⊥，b β⊥，则//αβ； ④若a b ⊥r r，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥.则以上命题正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知,,l m n 为三条不同直线，,,αβγ为三个不同平面，则下列判断正确的是（ ） A ．若m αβ=，n αγ=，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥B ．若m α，n α，则m nC ．若l αβ=，m α，m β，则m lD ．若m α⊥，n β，αβ⊥，则m n ⊥7．给出下列三个命题：(1)如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；(2)一个平面内的任意一条直线都与另一个平面不相交，则这两个平面平行；(3)一个平面内有不共线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．38．已知a ，b 为不同的直线，α、β、γ为不同的平面.在下列命题中，正确的是（ ） A ．若直线//a 平面α，直线//a 平面β，则//αβB ．若平面α内有无穷多条直线都与平面β平行，则//αβC ．若直线a α⊂，直线b β⊂，且//a β，//b α，则//αβD ．若平面//α平面γ，平面//β平面γ，则//αβ参考答案1．D【解析】【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项即可.【详解】两平行平面内的直线的位置关系为：平行或异面，可知A 错误；//m α且//m n ，此时//n α或n α⊂，可知B 错误；αβ⊥，//m n ，m α⊥，此时n β⊥或n β⊂，可知C 错误；两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条必垂直于该平面，D 正确.本题正确选项：D【点睛】本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查学生对于定理的掌握程度，属于基础题.2．D【解析】【分析】利用定理及特例法逐一判断即可。
8.6 空间直线、平面的垂直(1)(精讲)(解析版)
8.6空间直线、平面的垂直（1）（精讲）思维导图常见考法考法一线面垂直【例1】（2021·江西景德镇市·景德镇一中）在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠= ，60BAC CAD ∠=∠= ，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，M 为AD 的中点，24PA AB ==．（1）取PC 中点F ，证明：PC ⊥平面AEF ；（2）求点D 到平面ACE 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明:因为PC 中点F ，在Rt ABC 中，2,60AB BAC =∠= ，则4BC AC ==．而4PA =，则在等腰三角形APC 中，PC AF ⊥①.又在PCD 中，,PE ED PF FC ==,则//EF CD ，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，则PA CD ⊥，又90ACD ∠= ，即AC CD ⊥，AC PA A ⋂=，则CD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以PC CD ⊥，因此EF PC ⊥②.又EF AF F = ，由①②知PC ⊥平面AEF ；（2）在Rt ACD △中，4CD AC ==，ACD S ∴= ，又//EM PA ，PA ⊥平面ABCD ，EM ∴⊥平面ABCD ，即EM 为三棱锥E ACD -的高，111632333E ACD ACD V S EM -∴=⋅=⋅= ，在ACE △中，4AE CE AC ===，8ACE S ∴= ，设点D 到平面ACE 的距离为h ，则133D ACE E ACD ACE V V S h --==⋅⋅= ，h ∴=，即点D 到平面ACE 的距离为【一隅三反】1．（2021·陕西省黄陵县中学高一期末）如图所示，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD ⊥平面ABC ，AE BD ⊥于E ，AF CD ⊥于F .求证：BD ⊥平面AEF .【答案】证明见解析【解析】证明：AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上点，所以BC AC⊥因为DA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以DA BC⊥又DA AC A = ,所以BC ⊥面DAC又AF ⊂平面DAC ，则BC AF⊥又AF DC ⊥，DC BC C =I ，所以AF ⊥平面BCD又BD ⊂平面BCD ，所以AF BD⊥又因为AE BD ⊥，AE AF A⋂=所以BD ⊥平面AEF2．（2021·宁夏银川市·银川一中高一期末）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，底面ABC 是直角三角形，4PA AB BC ===，O 是棱AC 的中点，G 是AOB ∆的重心，D 是PA 的中点.（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求证：DG//平面PBC ；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）证明：PA ⊥ 平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥，底面ABC 是直角三角形且AB BC =，AB BC ∴⊥，又PA ⊂平面PAB ，AB Ì平面PAB ，PA AB A = ，∴BC ⊥平面PAB .(2)证明：连结OG 并延长交AB 于点E ，连结DO ，DE ,G 是AOB ∆的重心，∴OE 为AB 边上的中线，∴E 为AB 边上的中点，又有D 为PA 边上的中点，∴//DE PB ，PB ⊂平面PBC ，//DE ∴平面PBC ，同理可得//DO 平面PBC ，又DE ⊂ 平面DOE ，DO ⊂平面DOE ，DE DO D ⋂=，∴平面DOE //平面PBC ，又有DG ⊂平面DOE ，DG //∴平面PBC3．（2021·陕西咸阳市·高一期末）将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -沿平面11A BCD 截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点.（Ⅰ）证明：EF ⊥平面1A AC ；（Ⅱ）求三棱锥1A D EF -的体积.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1.【解析】（Ⅰ）如图所示：连接BD ，易知BD AC ⊥，因为1A A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1A A BD ⊥，又1A A AC A =I ，所以BD ⊥平面1A AC .在CBD 中，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点，所以//BD EF .所以EF ⊥平面1A AC .（Ⅱ）∵1D D ⊥平面ABCD ，∴1D D 是三棱锥1D AEF -在平面AEF 上的高，且12D D =.∵点E ，F 分别是BC ，DC 的中点，∴1DF CF CE BE ====.∴2111322222AEF S AD DF CF CE AB BE =-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅=△.∴11111321332A D EF D AEF AEF V V S D D --==⋅⋅=⨯⨯=△.考法二线线垂直【例2】（2020·全国专题练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，11,2AB AA ==，D 是1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，且CO ⊥平面11ABB A (1)证明：1BC AB ⊥；(2)若2OC OA =，求三棱柱111ABC A B C -的高.【答案】（1）证明见解析；（2）62.【解析】（1）证明：由题意2216, 3.2BD AB AD AB =+==且1AOD B OB ∆∆ ,111.2AO DO AD OB OB BB ∴===163,363OD BD AO ===222AO OD AD +=,所以1AB BD ⊥,又CO ⊥侧面11ABB A ，1AB CO ∴⊥,又BD 与CO 交于点O ，所以,1AB ⊥平面CBD又因为BC ⊂平面CBD ,所以1BC AB ⊥．(2)在矩形11ABB A 中，由平面几何知识可知36,33OA OB ==∵2OC OA =，∴63OC =，∴2321,,33ABC AC BC S ∆===设三棱柱111ABC A B C 的高为h ，即三棱锥1A ABC -的高为h 又122ABA S ∆=，由11C ABA A ABC V V --＝得1··ABC ABA S h S OC ∆∆=，∴62h =【一隅三反】1．（2021·西安市航天城第一中学高一期末）如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，侧棱CC '⊥底面ABC ，AB AC =，,,D E F 分别为棱,,AA BB BC ''的中点．（1）求证：BC AF '⊥；（2）若2,22,AB BC CC ==='求三棱锥D AEF -的体积．【答案】（1）见解析；（2）23.【解析】（1）因为侧棱CC '⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC ，所以CC AF '⊥，因为F 为中点，AB AC =，故BC AF ⊥，而CC BC C '⋂=，故AF ⊥平面BCC '，而BC '⊂平面BCC '，故BC AF '⊥.（2）取AB 的中点为G ，连接FG .因为2,AB AC BC ===，故222BC AC AB =+，故AC AB ⊥，因为,CF FB AG GB ==，故//FG AC ，且1FG =，故FG AB ⊥，因为三棱柱ABC A B C '''-中，侧棱CC '⊥底面ABC ，故三棱柱ABC A B C '''-为直棱柱，故BB '⊥底面ABC ，因为FG ⊂底面ABC ，故BB FG '⊥，而BB AB B '⋂=，故FG ⊥平面ADE ，而111244ADE S AD AB AA AB CC AB ='⨯⨯=⨯⨯=⨯'⨯= ，故12133A DEF F ADE V V --===.2．（2021·广西河池市·高一期末）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11ACC BCC ∠=∠，AC BC =．（1）若三棱柱111ABC A B C -的体积为1，求三棱锥1C ABC -的体积；（2）证明：1AB CC ⊥．【答案】（1）13；（2）证明见解析.【解析】（1）设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，ABC 的面积为S ，由三棱柱111ABC A B C -的体积为1，可得1111ABC A B C V Sh -==，可得三棱锥1C ABC -的体积为1133Sh =.（2）如图所示：取AB 的中点D ，连CD ，1C D ,∵1111AC BC CC CC ACC BCC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴11ACC BCC ≌，∴11AC BC =,∵AD DB =，11AC BC =，∴1AB C D⊥∵AD DB =，AC BC =，∴AB CD ⊥,∵1AB C D ⊥，AB CD ⊥，1,CD C D ⊂平面1CDC ，1CD C D D ⋂=，∴AB ⊥平面1CDC ∵AB ⊥平面1CDC ，1CC ⊂平面1CC D ，∴1AB CC ⊥．3．（2021·扶风县法门高中高一期末）如图，三棱锥V—ABC 中，VA=VB ＝AC=BC=2，AB ＝VC=1．（1）证明：AB ⊥VC ；（2）求三棱锥V—ABC 的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）12.【解析】（1）证明：取AB 的中点为D ，连接VD ，CD，∵VA=VB ，ABV ∴ 是等腰三角形，∴AB ⊥VD ，AC BC = ，ABC ∴ 是等腰三角形，AB ⊥CD ，VD CD D = ，所以AB ⊥平面VDC ．又VC ⊂平面VDC ，故AB ⊥VC .（2）由（1）知AB ⊥平面VDC ，12AD AB ==，2VA =，所以1VD ==，2AC =，1CD ==，又VC=1，所以VDC 是等边三角形，所以11sin 601122VDC S DC =⨯⨯=⨯⨯= ，故三棱锥V—ABC 的体积等于11313342VDC S AB =⨯⨯= ．考法三面面垂直【例3】（2021·江西景德镇市·景德镇一中高一期末）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，2AB PD ==，，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若//PD 平面EAC ，求三棱锥B AEC -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】（1）因为四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，PD ⊥ 底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，AC PD ∴⊥，PD BD D ⋂= ，AC ∴⊥平面PBD ，AC ⊂ 平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBD ；（2）如下图所示，连接OE ，四边形ABCD 为正方形，且AC BD O = ，则O 为BD 的中点，因为//PD 平面AEC ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD 平面AEC OE =，//OE PD ∴，O 为BD 的中点，E ∴为PB 的中点，PD ⊥ 平面ABCD ，OE ∴⊥平面ABCD ，且162OE PD ==，ABC 的面积为21222ABC S =⨯=△，所以，112626333B AEC E ABC ABC V V S OE --==⋅=⨯=△.【一隅三反】1．（2021·陕西宝鸡市·高一期末）如图，在三棱锥P ABC -中，⊥PA AB ，PA BC ⊥，AB BC ⊥，2PA AB BC ===，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（1）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（2）当//PA 面BDE 时，求三棱锥E BCD -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）13．【解析】（1）证明：由AB BC =，D 为线段AC 的中点，可得BD AC ⊥，由PA AB ⊥，PA BC ⊥，AB BC B ⋂=，可得PA ⊥平面ABC ，又BD ⊂平面ABC ，可得 PA BD ⊥，又PA AC A= 所以BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PAC ；（2）解：//PA 平面BDE ，PA ⊂平面PAC ，且平面PAC 平面BDE DE =，可得//PA DE ，又D 为AC 的中点，可得E 为PC 的中点，且112DE PA ==，由PA ⊥平面ABC ，可得DE ⊥平面ABC ，可得111221222BDC ABC S S ==⨯⨯⨯= ，则三棱锥E BCD -的体积V=11111333BDC DE S ⋅=⨯⨯= ．2．（2021·全国高一课时练习）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，AP ⊥平面PCD ，E ，F 分别为PC ，AB 的中点求证：（1）平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）//EF 平面PAD【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）∵AP ⊥平面PCD ，CD ⊂平面PCD∴AP CD⊥∵ABCD 为矩形，∴AD CD⊥又：AP AD A ⋂=，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD∴CD ⊥平面PAD∵CD ⊂平面ABCD∴平面PAD ⊥平面ABCD（2）连接AC ，BD 交于点O ，连接OE ，OF ，∵ABCD 为矩形，∴O 点为AC 中点∵E 为PC 中点∴//OE PA∵OE ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD∴//OE 平面PAD同理可得：//OF 平面PAD∵OE OF O⋂=∴平面//OEF 平面PAD∵EF ⊂平面OEF∴//EF 平面PAD3．（2021·全国高一课时练习）如图所示，已知在三棱锥A BPC -中，,AP PC AC BC ⊥⊥，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且PMB △为正三角形．（Ⅰ）求证：//DM 平面APC ；（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（Ⅲ）若4,20BC AB ==，求三棱锥D BCM -的体积．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）107【解析】证明：因为M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，所以MD 是ABP △的中位线，MD AP P .又MD Ë平面APC ，AP ⊂平面APC ，所以MD P 平面APC .（2）证明：因为PMB △为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD PB ⊥.又MD AP P ，所以AP PB ⊥.又因为AP PC ⊥，PB PC P ＝，所以AP ⊥平面PBC .因为BC ⊂平面PBC ，所以⊥AP BC .又因为BC AC ⊥，AC AP A ⋂＝，所以BC ⊥平面APC .(3)因为AP ⊥平面PBC ，MD AP P ，所以MD ⊥平面PBC ，即MD 是三棱锥M DBC -的高.因为20AB =，M 为AB 的中点，PMB △为正三角形，所以310,2PB MB MD MB ====由BC ⊥平面APC ，可得BC PC ⊥，在直角三角形PCB 中，由104PB BC ＝，＝，可得PC ＝.于是1114222BCD BCP S S ⨯⨯⨯=△△＝＝.1133D BCM M DBC BCD V V S MD --⨯=g △＝＝＝考法四空间距离【例4】（2020·全国专题练习）在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中求出下列距离：（1）点A 到面11BB C C 的距离；（2）线段11B D 到面ABCD 的距离；（3）点A 到面11BB D D 的距离；（4）C 到平面1BDC 的距离.【答案】（1）a ；（2）a ；（3）2a ；（4）3a .【解析】（1）因为正方体1111ABCD A B C D -，则AB ⊥平面11BB C C ，所以点A 到面11BB C C 的距离为边长AB a =；（2）因为11B D ∥平面ABCD ，且1B B ⊥平面ABCD ，所以线段11B D 到面ABCD 的距离为1B B a =；（3）因为AC ⊥平面11BB D D ，所以点A 到面11BB D D 的距离为面对角线的AC 的12，即2a ；（4）设C 到平面1BDC 的距离为h ，三棱锥1C BDC -的体积为V ，在1BDC ∆中，11BD DC BC ===，则1BDC ∆的面积为22)42a =，利用等体积法可得：211133232V a a a a h =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，所以33h a =【一隅三反】1．（2020·北京二十中高一期末）如图，正四棱锥P ABCD -的高为2，且底面边长也为2，则点A 到平面PBC 的距离为（）A．5B．5C．4D．2【答案】A【解析】由正四棱锥的性质可知，其底面ABCD 为正方形，连接AC 、BD ，设交点为点O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，且2PO =，底面对角线的长度为BD =22222+=，侧棱长度为PB =()22226+=22(6)15PM =-=，1114·2223323P ABC ABC V S PO -==⨯⨯⨯⨯= ，1125522PBC S BC PM =⋅=⨯= ，设点A 到平面PBC 的距离为h ，由A PBC P ABC V V --=，即14533h =，解得55h =．故选：A.2．（2020·全国）已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A．2B．32D．1【答案】D【解析】因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得111112222232323E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯=，在BDE 中，()22226,2BE DE BD ==+=，BD 边上的高()()22622=-=，所以12222BDE S =⨯= 112233A BDE BDE V S h h -==⨯ ，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得:1222233h ⨯=,解得:1h =3．（2020·全国高一课时练习）已知1111ABCD A B C D -是长方体，且4AB =，3AD =，12AA =.（1）写出点A 到平面11BCC B 的距离；（2）写出直线AB 到平面1111D C B A 的距离；（3）写出平面11ADD A 与平面11BCC B 之间的距离.【答案】（1）4（2）2（3）4【解析】如图.（1）点A 到平面11BCC B 的距离14h AB ==；（2）∵AB ‖平面1111D C B A ，∴AB 到平面1111D C B A 的距离212h AA ==；（3）∵平面11ADD A ∥平面11BCC B ，∴平面11ADD A 与平面11BCC B 之间的距离34h AB ==.。
第九章 第一节 平面和空间直线
第九章第一节平面和空间直线1．(2009·湖南高考)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A．3 B．4C．5 D．6解析：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件．答案：C2．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有________．解析：①中两直线相交确定平面，则第三条直线在这个平面内．②中可能有直线和平面平行．③中直线最多可确定3个平面．④同①.答案：①④3．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A、M、O三点共线B．A、M、O、A1不共面C．A、M、C、O不共面D．B、B1、O、M共面解析：连结A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1、C1、C、A四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A、M、O三点共线．答案：A4．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB、BC、AD、DC分别与平面α相交于点E、G、H、F.求证：E、F、G、H四点共线(在同一条直线上)．证明：∵AB∥CD，∴AB、CD确定一个平面β.又∵AB∩α＝E，AB⊂β，∴E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F、G、H均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E、F、G、H四点必定共线．5.111111() A．相交直线B．平行直线C. 不垂直的异面直线D．互相垂直的异面直线解析：四棱台可看作是由四棱锥截得的，因此DD1与BB1所在直线是相交的．答案：A6．正方体AC1中，E、F分别是线段BC、C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是() A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．答案：A7．如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________．解析：取A 1C 1的中点D 1，连结B 1D 1，由于D 是AC 的中点，∴B 1D 1∥BD ，∴∠AB 1D 1即为异面直线AB 1与BD 所成的角．连结AD 1，设AB ＝a ，则AA 1＝2a ，∴AB 1＝3a ，B 1D 1＝32a ，AD 1＝＝32a . ∴cos AB 1D 1222393a a a +-＝12， ∴∠AB 1D 1＝60°.答案：60°8．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点E 、F 、G 分别是DD 1、 AB 、CC 1的中点．求异面直线A 1E与GF 所成角的大小．解：连结B 1G ，EG ，由于E 、G 分别是DD 1和CC 1的中点，∴EG 綊C 1D 1，而C 1D 1綊A 1B 1，∴EG 綊A 1B 1，∴四边形EGB 1A 1是平行四边形．∴A 1E ∥B 1G ，从而∠B 1GF 为异面直线所成角，连结B 1F ，则FG ＝3，B 1G ＝2，B 1F ＝5，由FG 2＋B 1G 2＝B 1F 2，∴∠B 1GF ＝90°，即异面直线A 1E 与GF 所成的角为90°.9.在正方体ABCD －A 1B1C 1D 11到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为 ( )解析：到定点B 的距离等于到直线A 1B 1的距离，所以动点P 的轨迹是以B 为焦点， 以A 1B 1为准线的过A 的抛物线的一部分．答案：C10．如图所示，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，P A ＝AB ＝AC ＝2， E 是PC 的中点．(1)求异面直线AE 和PB 所成角的余弦值；(2)求三棱锥A －EBC 的体积．解：(1)取BC 的中点F ，连结EF 、AF ，则EF ∥PB ，所以∠AEF 或其补角就是异面直线AE 和PB 所成角．∵∠BAC ＝60°，P A ＝AB ＝AC ＝2，P A ⊥平面ABC ，∴AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2；cosAEF ＝2＋2－32×2×2＝14， 所以异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14. (2)因为E 是PC 中点，所以E 到平面ABC 的距离为12P A ＝1， V A －EBC ＝V E －ABC ＝13×(12×2×2×32)×1＝33.。
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《空间的直线与平面》单元测试卷
（时间：100分钟 满分：100分）
班级___________学号___________姓名_______________得分__________________ 命题教师：洪汪宝
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1、下列命题中，正确的是（ ）。
A.若两个平面有一个公共点，则它们一定相交
B.若两个平面有三个公共点，则它们一定重合
C.垂直于同一直线的两直线互相平行
D.两条平行直线中的一条平行于一个已知平面，则另一条也平行于该平面
2、以空间不重合三个平面能把空间分成的部分数为元素的集合是（ ）。
A.{3，4，5，6}
B.{2，4，6，7}
C.{4，6，7，8}
D.以上都不是
3、已知平面α∩平面β=直线a ，A,B ∈α,C ∈β,C a,直线AB ∩a=D ，过A 、B 、C 三点确定平面γ，则平面β与γ的交线必通过（ ）。
A.点A
B.点B
C.点C 但不通过点D
D.点C 和点D
4、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 为B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论错误的是（ ）
A.A ，M ，O 三点共线
B.A ，M ，O ，A 1四点共面
C.A ，O ，C ，M 四点共面
D.B ，B 1，O ，M 四点共面
5、两条异面直线在同一平面内的射影一定是（ ）。
A.两条平行直线
B.两条相交直线
C.两条相交或平行直线
D.以上都不对
6、直线垂直于梯形的两底边所在直线是它垂直于梯形所在平面的（ ）。
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
7、已知△ABC 的平面直观图△A 1B 1C 1是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为（ ）。
A.223a
B.243a
C.22
6a D.23a 8、若点E 、F 、G 、H 顺次为空间四边形ABCD 的四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且EG=3，FH=4，则AC 2+BD 2=（ ）。
A.25
B.50
C.100
D.200
9、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CC 1的中点，则EF 与BG 所成角的余弦值为（ ）。
A.22
B.-2
2 C.510 D.-510 10、已知矩形ABCD 中，AB=3，BC=a ，若PA ⊥平面AC ，在BC 边上取一点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是（ ）。
A.a ＞6
B.a ≥6
C.0＜a ＜6
D.0＜a ≤6
11、过平面外一点A 引斜线段AB 、AC ，垂线段AO ，B 、C 为斜足，O 为垂足，若∠
ABO=30°，AO=6，AC ⊥BC ，则线段BC 的长的取值范围是（ ）。
A.（0，6）
B.（6，+∞）
C.（0，36）
D.（36，+∞）
12、若直角△ABC 的斜边AB 在平面内，直角顶点C 在平面外，C 在平面内的射影为
C 1，C 1不在AB 上，则△ABC 1是（ ）。
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13、点D 在由△ABC 所确定的平面外，E 点是AD 上不与A 、D 重合的一点，F 在BC
的延长线上（不与C 重合），则AB 、BC 、AC 、EF 、AD 、BD 中共有____________对异面直线。
14、给你四个命题：
① 过直线外一点，有且只有一条直线与该直线平行；
② 过直线外一点，有且只有一个平面与该直线平行；
③ 过平面外一点，有且只有一条直线与该平面平行；
④ 过平面外一点，有无数条直线与该平面平行。
其中真命题有__________________（写出序号即可）
15、在直角△ABC 中，∠ABC=90°，线段CD ⊥平面ABC ，分别连结AD 和BD ，若
△ABC 、△ADC 、△DBC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则△ABD 的面积等于______________________。
16、若P 为直角△ABC 所在平面外的一点，∠ACB=90°，PC=24，作PO ⊥平面ABC
于O 点，且PO=12，P 到AC 、BC 的距离相等，则P 到AC 的距离为_____________。
三、解答题（本大题共5小题，第17、18、19、20题各10分，第21题12分，共52分）
17、求证：过两条异面直线中的一条只能作一个平面平行于另一直线。
（要求：根据所
给图形和题意写出已知、求证及证明过程）
a
b α
18、已知直角△ABC 中，∠C=90°，PA ⊥平面ABC ，且AE ⊥PB ，AF ⊥PC ，E ，F 为
垂足。
求证：（1）AF ⊥平面PBC ；
（2）PB ⊥平面AEF 。
19、已知平面四边形ABCD 在平面α内的射影为一个平行四边形A 1B 1C 1D 1。
求证：（1）平面DD 1C 1C ∥平面AA 1B 1B ；
（2）四边形ABCD 是平行四边形。
20、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，
求证：B 1O ⊥PA 。
21、已知棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BC 、A 1D 1的中点。
（1） 求证：B 1EDF 是菱形；
（2） 求A 1C 与DE 所成的角（用反余弦表示）
A
A 1。