浅谈大数定律的发展历程与应用

概率论论文

浅谈大数定律的发展历程与实际应用

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浅谈大数定律的发展历程与实际应用

摘要：本文主要分为两部分内容，第一部分介绍了大数定律的发展历程，详细介绍了伯努利大数定律等五个大数定律的内容；第二部分则通过介绍大数定律在抛硬币实验与保险行业的应用简单介绍了大数定律在实际生产生活中的应用。

关键词：大数定律、伯努利、切比雪夫、抛硬币、保险业

正文：

一、大数定律的发展历程

大数定律(law of large numbers)，是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。大数定律并不是经验规律，而是在一些附加条件上经严格证明了的定理。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。

1、伯努利大数定律——大数定律的创立

雅各布·伯努利（1654~1705，瑞士）在其著作《猜度术》第四卷中提出了一个定律，此定律的现代表述为：设在n 重伯努利试验中，成功的次数为Y n ，而在每次试验中成功的概率为p

（00，有0lim =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛≥-=∞→εP n Y P n n 。[1]当时伯努利对大数定理叙述为“所要探讨的是：是否随着观测次数的增大，

记录下来的赞成与不赞成例数的比值接近真实比值的概率也随之不断增加，使得这个概率最终将超过任意确信度!”

2、泊松大数定律

泊松（1781~1840，法）研究了法国1817~1826年新生婴儿性别比，指出稳定性，并首次给出大数定律的描述：观察大量具有相时以另一种方式变化）而发生的事件，将会发现这些时间数目间的比值几乎是恒定值，且随着观察次数的增加，其波动幅度也愈来愈小！泊松认为大数定律适用于解释各种现象，只要有足够的耐心观察就能发现频率的稳定性[2]。

3、切比雪夫大数定律

切比雪夫（1821~1894，俄）是历史上第一个给出了伯努利大数定律和泊松大数定律的数学家，1844年，他在硕士论文《试论概率论的基础分析》中严格证明了伯努利大数定律并将其推广到了泊松大数定律。1866年，切比雪夫在其论文《论均值》中给出了切比雪夫大数定律：设X 1，X 2，…，X n ，…是相互独立的随机变量序列；若存在常数C ，使得D(X i )≦C(i=1,2…），则对任意ε>0，有()011lim =⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥∑-∑∞→εi i X E n X n P n 或

()111lim =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡<∑-∑∞→εi i X E n X n P n 。[1]

4、马尔科夫大数定律

马尔科夫（1856~1922，俄）在1907年发表了论文《大数定理对非独立随机变量的推广》，他在论文中写道：“在推导过程中，切比雪夫仅讨论相互独立随机变量序列，严格限制在这种最简单的情形……实际上其结果完全可以推广到更一般的情形，即相互依赖的随机变量序列。”马尔科夫大数定律表述为只要有()02

^1→∑i X D n ，则大数定理就能成立。

5、辛钦大数定律

亚历山大·雅科夫列维奇·辛钦（1894~1959，前苏联）发表了辛钦大数定律，其表述为：设X 1，X 2，…，X n ，…是独立同分布的随机变量序列，且具有有限的数学期望E(X i )=μ

(i=1,2，…），则对任意ε>0,有01lim =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛≥-∑∞→εμi X n P n 或11lim =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛<-∑∞→εμi X n P n 成立。[1]

二、大数定律的实际应用

大数定律是阐述大量随机变量稳定性的理论，不仅仅在概率论中有着大量的应用，许多学者对大数定律在其他领域的应用也有大量的研究；在人类科技高度发达的现在，大数据的研究与使用更加重要，而大数定律正是分析大数据的一个重要理论。

1、抛硬币实验

例如在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，抛掷一次时，正面出现的次数可能是0或1次，反面出现的次数可能是1或0次；抛掷两次时，正面出现的次数可能是0、1或2次，反面出现的次数可能是2、1或0次；但是当抛掷的次数足够多时，正面与反面出现的次数接近相等，出现的频率亦逐渐接近1/2，历史上曾有人做过相关实验；

从表中实验数据我们可以看到，在抛掷次数非常多的情况下，正反面出现的次数与反面出现的次数接近相等而且都接近抛掷次数的一半。

2、在保险业的应用

保险是大数定律在实际应用中的又一实例，投保人在保险公

司投保之后，如若发生意外，保险公司需给出相关补偿，就保险公司而言，其目的是获利，想要使其利润达到最大化，因此对于保费的制定就显得尤为重要，只有保费设置合理才能使投保人愿意投保并让自身有利可图。

例[3]、已知在某人寿保险公司里有10000个同一年龄段的人参加保险,在同一年里这些人死亡率为0.1%,参加保险的人在一年的头一天交付保险费10元,死亡是家属可以纵保险公司领取2000元的抚恤金.求保险公司一年中获利不少于40000元的概率;保险公司亏本的概率是多少?

解:设一年中死亡的人数为ｘ人.死亡概率为Ｐ=0.001,把考虑10000人在一年里是否死亡看成10000重伯努利试验,

保险公司每年收入为10000 x 10=100000元,付出2000ｘ元 ()()(){}()()(){}()()9993

.01631.36.3271161.31030161.3103.16110-Ｐ30X 0P 3.161

=0.99910p -1np X Ｄ10

0.00110000np 30x 0P 400002000x -100000P 40000P 1=--=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤=<<⨯=⨯==⨯=<<=>=

φφx 元保险公司获利不少于 即保险公司一年中以99.93%的概率获利40000元以上.