材料现代研究方法(10倒易点阵)

b a
a
b
γ-Fe, fcc
Cu3Au, simple cubic
材料现代研究方法讲义
点阵常数
为了表示晶胞的形状和大小， 为了表示晶胞的形状和大小，可将晶胞画在 空间坐标上，坐标轴(又称晶轴) 空间坐标上，坐标轴(又称晶轴)分别与晶胞 的三个棱边重合， 的三个棱边重合，坐标的原点为晶胞的一个 顶点， 顶点，晶胞的棱边长以 a,b,c 表示，棱间夹角 表示， α,β,γ表示 表示。 以α,β,γ表示。棱边 和棱间夹角α, 长a,b,c 和棱间夹角α, β,γ共六个参数称为 β,γ共六个参数称为 点阵常数。 点阵常数。
利用厄瓦尔德图解释晶体的衍射现象 3、粉末法：试样有极多的小晶粒组成的多晶体
空间点阵中的(hkl)面在倒易点阵中用一个结点表示 面在倒易点阵中用一个结点表示 空间点阵中的
晶面与倒易结点的关系
空间点阵
倒易点阵
材料现代研究方法讲义
坐标原点到hkl倒易点的距离等于正点阵 的(hkl)面的面间距的倒数，
uu r 1 r *HKL = d HKL
简单立方的倒易点阵： 体心立方的倒易点阵： 面心立方的倒易点阵： （考虑结构因数之后的倒易点阵） 实空间：平面－－－倒易空间： 实空间：平面－－－倒易空间：线 －－－倒易空间
二维问题一维化处理
材料现代研究方法讲义
正点阵和倒易点阵中基本平移矢量之间的关系 r r r 正点阵基本平移矢量： a , b , c
uur uu uu r r 倒易点阵基本平移矢量： a *, b *, c *
rr r rr r rr r 晶胞体积 V = a b × c = b c × a = c a × b r r r r uur b × c r uur r uu r uu r r b×c a*= = r r r a a* = b b* = c c* =1 V a ⋅b × c r r r r r uu r uu r uur r r uu c × a r c×a a b* = b c* = c a* = 0 b* = =r r r
根据晶体的对称特点,可分为 个晶系 根据晶体的对称特点 可分为7个晶系： 可分为 个晶系：
1) 三斜晶系(triclinic 或anorthic) a≠b≠c；α≠β≠γ≠90˚。 2) 单斜晶系(monoclinic) a≠b≠c；α＝γ＝90˚≠β (第二种定向,晶体学常用)。 a≠b≠c α β 90˚≠γ ( a≠b≠c；α＝β＝90˚≠γ (第一种定向)。 ) 3) 正交晶系(orthorhombic) a≠b≠c；α＝β＝γ＝90˚ (又称斜方晶系)。 4) 菱方晶系(rhombohedral) a＝b＝c；α＝β＝γ≠90˚ (又称三方晶系)。 5) 正方晶系(tetragonal) a＝b≠c；α＝β＝γ＝90˚ (又称四方晶系)。 6) 六方晶系(hexagonal) a＝b≠c；α＝β＝90˚；γ＝120°。 7) 立方晶系(cubic) a＝b＝c；α＝β＝γ＝90˚；(又称等轴晶系)。
P1
SP1 / λ
r
* P1
SP2 / λ
•
S0 / λ
C
O*
r
* P2
P2
材料现代研究方法讲义
利用厄瓦尔德图解释晶体的衍射现象 1、劳埃法：单晶体试样固定不动，采用连续X射线
材料现代研究方法讲义
利用厄瓦尔德图解释晶体的衍射现象 2、旋转晶体法：单晶体绕与入射线垂直的轴转动。
材料现代研究方法讲义
c
α-Fe 1, the basic unit: one Fe atom 2, regard the unit as a point 3, the geometry of the points = Body centered cubic lattice
a b
材料现代研究方法讲义
点阵与晶体结构
a
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CsCl
材料现代研究方法讲义
点阵与晶体结构
阵点(几何点代替结构单元)和点阵(阵点的分布总体) 注意与晶体结构(=点阵+结构单元)的区别。
材料现代研究方法讲义
点阵与晶体结构
Steps to reach lattice 1, determine the basic unit 2, regard the unit as a point 3, the geometry of the points = lattice
材料现代研究方法讲义
1.三斜(P)； 2.简单单斜(P);3.底心单斜(C); 4.简单正方(P);5.底心正方(C); 6.体心正方(I);7.面心正方(F); 8.简单斜方(P);9.体心斜方(I) 10.简单立方(P);11.体心立方(I); 12.面心立方(F); 13.六方(P); 14.菱方(R)
1, the basic unit: one Cs atom + one Cl 2, regard the unit Cs + Cl as a point 3, the geometry of the points = simple cubic lattice
材料现代研究方法讲义
点阵与晶体结构
c
c
b⋅c× a r r r r uu a × b r a×b r r r c* = = V c⋅a×b V
uur 1 uur 1 uur 1 a* = r , b* = r , c* = r a b c
材料现代研究方法讲义
正点阵和倒易点阵中点、线、面的关系
uu r uur uu uu r r 点阵矢量 r * = ha * + kb * + lc * uur uu uu r r 倒易点阵基本平移矢量： 倒易点阵基本平移矢量：a *, b *, c *
倒易点阵
材料现代研究方法讲义
点阵的概念
构成晶体的原子呈 周期性重复排列, 周期性重复排列,同 时,一个理想晶体也 可以看成是由一个 基本单位在空间按 基本单位在空间按 一定的规则周期性 无限重复构成的。 无限重复构成的。 晶体中所有基本单位的化学组成相同、 晶体中所有基本单位的化学组成相同、空间结构 基本单位 相同、排列取向相同、周围环境相同。 相同、排列取向相同、周围环境相同。将这种基 本单位称为基元(motif)。基元可以是单个原子, 本单位称为基元(motif)。基元可以是单个原子, 基元(motif) 也可以是一组相同或不同的原子。 也可以是一组相同或不同的原子。
P=
k
−
h
Q=
l
−
k
0 a/h
u r S hkl
ur ur ur ur uu r P×Q P×Q ∝ r*= ＝ r r r 规一化因子 a ⋅b×c hkl
u b/k r P
r r r r uu r hkl b a c b r * = r r r − × − h l k a ⋅b×c k
材料现代研究方法讲义
倒易点阵
倒易点阵是晶体学中极为重要的概念，也 是衍射理论的基础。
晶体点阵：－－实空间 由晶体的周期性直接抽象出的点阵(正点阵)； 倒易点阵：－－倒易空间 根据空间点阵虚构的一种点阵。
材料现代研究方法讲义
倒易点阵概念的引入
在晶体学中通常关心的是晶体取向,即晶面的法线 r r r 方向,希望能利用点阵的三个基矢 a , b , c 来表示 u r 出某晶面的法向矢量 S h k l。 u r u r ur ur S hkl c/l S hkl ⊥ P , Q r r r r ur u b a r ur c b Q
材料现代研究方法讲义
晶体的对称元素及对称操作
范畴 宏 微 观 对 称 元 素 镜面(反映面) 旋转轴 对称中心 反轴 平移轴 螺旋轴 滑移轴 对 称 操 作 反映 旋转 倒反(反演) 旋转倒反 平移 旋转+平移(螺旋旋转) 反映+平移(滑移反映)
观
材料现代研究方法讲义
14种空间点阵 种空间点阵(Bravais点阵 点阵) 种空间点阵 点阵
材料现代研究方法讲义
若将每个基元抽象成 一个几何点， 一个几何点，即在基元中 任意规定一点， 任意规定一点，然后在所 有其他基元的相同位置也 标出一点， 标出一点，这些点的阵列 就构成了该晶体的点阵 就构成了该晶体的点阵 (lattice)。 (lattice)。 点阵是一个几何概念， 点阵是一个几何概念， 是按周期性规律在空间排 布的一组无限多个的点， 布的一组无限多个的点， 每个点都具有相同的周围 环境， 环境，在其中连接任意两 点的矢量进行平移时， 点的矢量进行平移时，能 使点阵复原。 使点阵复原。
r r uur b × c a* = V r r uu c × a r b* = V r r uu a × b r c* = V
材料现代研究方法讲义
uu r uur uu uu r r r * = ha * + kb * + lc *
uur uu uu r r 为新的三个基矢， 以 a *, b *, c * 为新的三个基矢， 引入另一个点阵， uur uur uu 引入另一个点阵，显然该点阵 uu r r 中的点阵矢量 r * = ha * + kb * + lc * 的方向就是晶面(hkl)的法线方 的方向就是晶面 的法线方 向，该矢量指向的点阵点指数 即为hkl 即为 。 倒易点阵的一个结点对应空间点阵的一个晶面
衍射矢量方程及厄瓦尔德图解
材料现代研究方法讲义
衍射矢量方程
r r s − s 0 ⊥ ( HKL) 衍射矢量
r r u r s − s 0 = 2 S sin θ = 2sin θ r r 1 s − s0 = λ ⋅ d HKL uuur r r * s − s 0 = λ ⋅ rHKL uu r uur uu r uu r r * = H a * + Kb * + Lc *
材料现代研究方法讲义
厄瓦尔德图解：衍射矢量方程与倒易点阵结合， 厄瓦尔德图解：衍射矢量方程与倒易点阵结合，表示 衍射条件与衍射方向
反射球（衍射球， 反射球（衍射球，厄 瓦尔德球） 瓦尔德球）：在入射线 方向上任取一点C为球 心，以入射线波长的倒 数为半径的球。 产生衍射的条件： 产生衍射的条件：若以入 射线与反射球的交点为原 点，形成倒易点阵，只要 倒易点落在反射球面上， 对应的点阵面都能满足布 拉格条件，衍射线方向为 反射球心射向球面上其倒 易结点的方向。