第1章 命题逻辑(二)

p，q的极小项为：p∧q，p∧¬ q，¬ p∧q，p∧¬ q
两个命题变元的极小项共4(=22)个, 三个命题变元的极小项 共8(=23)个, …。一般地说，n个命题变元共有2n个极小项。
1.5.2 主析取范式
极小项有下列的性质： ⑴每个极小项只有一个成真赋值，且各极小项的成真赋值 互不相同。极小项和它的成真赋值构成了一一对应的关系。
1.5.2 主析取范式
真值表法：即用真值表求主析取范式。 用真值表求主析取范式的步骤如下： ① 构造命题公式的真值表。
② 找出公式的成真赋值对应的极小项。
③ 这些极小项的析取就是此公式的主析取范式。
1.5.2 主析取范式
【例1.24】用真值表法，求(p→q)→r的主析取范式。 解：表1.15是(p→q)→r的真值表 p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 表1.15 p→q 1 1 1 1 0 0 1 1 (p→q)→r 0 1 0 1 1 1 0 1
1.5.2 主析取范式
矛盾式无成真赋值，因而主析取范式不含任何极小项， 将矛盾式的主析取范式记为0。 重言式无成假赋值，因而主析取范式含2n (n为公式中命题
变元的个数)个极小项。
可满足式，它的主析取范式中极小项的个数一定小于等于 2n。
1.5.3主合取范式
定义1.5.7 在基本和中，每个变元及其否定不同时存在， 但两者之一必须出现且仅出现一次，这样的基本和叫作布 尔析取，也叫大项或极大项。 两个变元p，q构成的极大项为： p∨q，p∨¬q，¬p∨q，¬p∨¬q 三个命题变元p，q，r构成的极大项为： p∨q∨r， p∨q∨¬r， p∨¬q∨r， p∨¬q∨¬r， ¬p∨q∨r，¬p∨q∨¬r，¬p∨¬q∨r，¬p∨¬q∨¬r 两个命题变元的极大项共4(=22)个, 三个命题变元的极大 项共8(=23)个, …。一般地说，n个变元共有2n个极大项。
由此例可以看出，命题公式的析取范式也不惟一。 由于析取范式和合取范式不惟一，所以使用起来很不方便。 为此，引入主析取范式和主合取范式的概念。当命题变元的 顺序约定以后，主析取范式和主合取范式是惟一的。
1.5.2 主析取范式
定义1.5.5 在基本积中，每个变元及其否定不同时存在，但 两者之一必须出现且仅出现一次，这样的基本积叫做布尔合 取也叫小项或极小项。
名称
m0 m1 m2
¬p∧q∧r p∧¬q∧¬r p∧¬q∧r
p∧q∧¬r p∧q∧r
011 100 101
110 111
m3 m4 m5
m6 m7
m001∧m100 (¬p∧¬q∧r)∧(p∧¬q∧¬r) ¬p∧¬q∧r∧p∧¬q∧¬r 0
1.5.2 主析取范式
定义1.5.6 对于给定的命题公式，如果有一个它的等价 公式，仅由极小项的析取组成，称该公式为原公式的主 析取范式。 任何命题公式都存在着与之等价的主析取范式。一个命 题公式的主析取范式可以由以下两种方法求得： ⑴等价演算法：即用基本等价公式推出。 ⑵ 真值表法：即用真值表求主析取范式。
1.5 范式 1.5.1析取范式与合取范式
定义1.5.1由一些命题变元或其否定构成的析取式称为基本和， 也叫简单析取式。约定单个变元或其否定是基本和。 例如，¬ p∨q、p∨¬ q、p∨q、¬ q、¬ p、q都是基本和。 定义1.5.2由一些命题变元或其否定构成的合取式称为基本积， 也叫简单合取式。约定单个变元或其否定是基本积。 例如，¬ p∧q、p∧¬ q、p∧q、¬ p、¬ q、p都是基本积。 定义1.5.3由基本和的合取构成的公式叫做合取范式。约定单 个基本和是合取范式。
p∨q p∨¬q ¬p∨q ¬p∨¬q
00 01 10 11
M0 M1 M2 M3
1.5.3主合取范式
三个命题变元的极大项，成假赋值及名称见表1.17。 表1.17 极大项 从表1.16和表1.17中可以 看出，极大项与成假赋 p∨q∨r p∨q∨¬r p∨¬q∨r p∨¬q∨¬r ¬p∨q∨r p∨q∨¬r ¬p∨¬q∨r ¬p∨¬q∨¬r 成假赋值 000 001 010 011 100 101 110 111 名称 M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
1.5.1析取范式与合取范式
⑵ 求析取范式
(p∨q)↔p
((p∨q)∧p)∨(¬(p∨q)∧¬p) p∨(¬p∧¬q∧¬p) p∨(¬p∧¬p∧¬q) p∨(¬p∧¬q) (消去↔) (吸收律，析取范式) (交换律) (幂等律，析取范式) ((p∨q)∧p)∨((¬p∧¬q)∧¬p) (内移)
1.5.2 主析取范式
用等价演算法求主析取范式的步骤如下： ①化归为析取范式。 ②除去析取范式中所有永假的基本积。
③在基本积中，将重复出现的合取项和相同变元合并。
④在基本积中补入没有出现的命题变元，即添加 ∧(p∨¬p)，再用分配律展开，最后合并相同的极小项。
1.5.2 主析取范式
【例1.22】用等价演算法求(p∧q)∨(¬p∧r)∨(q∧r)的主析 取范式。 解：(p∧q)∨(¬p∧r)∨(q∧r) (p∧q∧(r∨¬r))∨(¬p∧r∧(q∨¬q))∨(q∧r∧(p∨¬p)) (p∧q∧r)∨(p∧q∧¬r)∨(¬p∧q∧r)∨(¬p∧¬q∧r)∨ (p∧q∧r)∨(¬p∧q∧r) (p∧q∧r)∨(p∧q∧¬r)∨(¬p∧q∧r)∨(¬p∧¬q∧r) m111∨m110∨m011∨m001 m7∨m6∨m3∨m1 ∩1，3，6，7
1.5.3主合取范式
极大项有下列三个性质： ⑴ 每个极大项只有一个成假赋值，极大项不同，成假赋 值也不同。极大项和它的成假赋值构成了一一对应的关系。
故可用成假赋值为该极大项进行编码，并把编码作为M的 下标来表示该极大项，叫做极大项的名称。 ⑵任意两个不同的极大项的析取式为永真式。 ⑶全体极大项的合取式为永假式。记为：
1.4 重言式
定理1.4.1 任何两个重言式的合取或析取都是重言式。 证明：设A、B是重言式，对A和 B的任何赋值，总有A为 1，B为1，所以 A∧B1，A∨B1，故A∧B和A∨B都是 重言式。 推论： 任何两个矛盾式的合取或析取是矛盾式。 定理1.4.2 一个重言式，对同一分量出现的每一处都用 同一合式公式置换，其结果仍是重言式。 推论：一个矛盾式，对同一分量出现的每一处都用同一 合式公式置换，其结果仍是矛盾式。
p∨q (¬ p∨q) ∧ (p∨q)
1.5.1析取范式与合取范式
定义1.5.4由基本积的析取构成的公式叫做析取范式。约定单 个基本积是析取范式。
p∧q
(¬ p∧q) ∨ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱp∧¬ q) 任何命题公式都可以化成与其等价的析取范式或合取范式。 求析取范式和合取范式的步骤如下： ⑴ 消去联结词“→”和“↔” ⑵ 利用双重否定律消去否定联结词“¬”或利用德摩根 律将否定联结词“¬”移到各命题变元前(¬内移)。 ⑶ 利用分配律，结合律将公式归约为合取范式和析取范 式。
离 散 数 学
戎 玫 2005－9
第1章 命题逻辑
1.1 命题及联结词 1.2 命题公式与翻译 1.3 真值表和等价公式
1.4 重言式
1.5 范式 1.6 全功能联结词集
1.7 对偶式与蕴含式
1.8 命题逻辑的推理理论
1.4 重言式
定义1.4.1 设A是任一命题公式。 ⑴ 若对A的任意赋值，其真值永为真，则称命题公式A为 重言式或永真式。
可用成真赋值为极小项进行编码，并把编码作为m的下标 来表示该极小项，叫做该极小项的名称。 ⑵ 任意两个不同的极小项的合取式为永假式。 ⑶全体极小项的析取式为永真式。记为：
2 n 1 i0
mi m0∨m1∨…∨ m2 1 1
n
1.5.2 主析取范式
表1.12两个变元p和q的极小项的真值表 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∧q 0 0 0 1 p∧¬q 0 0 1 0 ¬p∧q 0 1 0 0 ¬p∧¬q 1 0 0 0
1.5.2 主析取范式
公式的成真赋值对应的极小项为： ¬ p∧¬ q∧r (成真赋值为001) ¬ p∧q∧r (成真赋值为011) p∧¬ q∧¬ r (成真赋值为100) p∧¬ q∧r (成真赋值为101) p∧q∧r (成真赋值为111) (p→q)→r 的主析取范式为： (p∧q∧r)∨(p∧¬ q∧r)∨(p∧¬ q∧¬ r) ∨(¬ p∧q∧r) ∨(¬ p∧¬ q∧r) m111∨m101∨m100∨m011∨m001m7∨m5∨m4∨m3∨m1 ∩1，3，4，5，7
1.4 重言式
⑵ (p∨¬p)→((q∧¬q)∧r) 1→((q∧¬q)∧r) 1→(0∧r) 1→0 0 由此可知，⑵为矛盾式。 ⑶ (p→q)∧¬p (¬p∨q)∧¬p ¬p (条件等价式) (吸收律) (排中律) (矛盾律) (零律) (条件联结词的定义)
由此可知，⑶是可满足的。
2 n 1 i 0
Mi
M0∧M1∧…∧ M
2n 1
0
1.5.3主合取范式
例如，两个变元p，q的极大项¬ p∨¬ q，它的成假赋值是11， 表示为M11，把11理解为2进制数，它的10进制表示为3，所 以M 11又表示为M3。 两个命题变元的极大项，成假赋值及名称见表1.16。 表1.16 极大项 成假赋值 名称
⑵ 若对A的任意赋值，其真值永为假，则称命题公式A为 矛盾式或永假式。
⑶ 若A不是矛盾式，则称命题公式A为可满足的。 由定义1.4.1可以看出，任何重言式都是可满足的。
1.4 重言式
【例1.18】用等价演算法判断下列公式的类型。 ⑴ q∨¬ ((¬p∨q)∧p) ⑵ (p∨¬p)→((q∨¬q)∧r) ⑶ (p→q)∧¬p 解：⑴ q∨¬((¬p∨q)∧p) q∨¬((¬p∧p)∨(q∧p)) (分配律) q∨¬(0∨(q∧p)) (矛盾律) q∨¬(q∧p) (同一律) q∨(¬q∨¬p) (德摩根律) (q∨¬q)∨¬p (结合律) 1∨¬p (排中律) 1 (零律) 由此可知，⑴为重言式。
值的对应关系为：变元 对应0，而变元的否定 对应1。
1.5.3主合取范式
定义1.5.8 对于给定的命题公式，如果有一个它的等价 公式，仅由极大项的合取组成，则该等价式称为原公式 的主合取范式。
任何命题公式都存在着与之等价的主合取范式。
表1.13二个命题变元的极小项，成真赋值和名称 极小项 成真赋值 名称
¬p∧¬q
¬p∧q p∧¬q p∧q
00
01 10 11
m0
m1 m2 m3
1.5.2 主析取范式
表1.14三个命题变元的极小项，成真赋值和名称
极小项
¬p∧¬q∧¬r ¬p∧¬q∧r ¬p∧q∧¬r
成真赋值
000 001 010
1.5.1析取范式与合取范式
【例1.21】求命题公式(p∨q)↔p的合取范式和析取范式。 解：⑴求合取范式 (p∨q)↔p ((p∨q)→p)∧(p→(p∨q)) (消去↔) (¬ (p∨q)∨p)∧(¬ p∨(p∨q)) (消去→) ((¬ p∧¬ q)∨p)∧(¬ p∨(p∨q)) (内移) (¬ p∨p)∧(¬ q∨p)∧(¬ p∨p∨q) (分配律，合取范式) 1∧(¬ q∨p)∧(1∨q) (排中律) 1∧(¬ q∨p)∧1 (零律，合取范式) (¬ q∨p) (同一律，合取范式) 由此例可以看出，公式的合取范式并不惟一。
1.4 重言式
【例1.19】利用定理1.4.2证明 ((p∨q)∧r)∨¬ ((p∨q)∧r)为重言式。 证明：由排中律知p∨¬ p为重言式，以((p∨q)∧r) 去置换其中的p，得公式((p∨q)∧r)∨¬ ((p∨q)∧r)， 根据定理1.4.2，这是重言式。
1.4 重言式
定理1.4.3 设A、B为两个命题公式，AB当且仅当A↔B是 重言式。 证明： 设AB，下证A↔B是重言式。 给A，B的任何赋值，因为AB，所以A，B具有相同的真值， 由双条件联结词的定义知A↔B为真，所以A↔B为重言式。 设A↔B为重言式，下证AB 给A，B的任何赋值，因为A↔B为重言式，故A，B的真值相 同，由命题公式等价的定义知AB