平方根与立方根典型题
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平方根 算术平方根 立方根三说
一、平方根、算术平方根、立方根知识点概要
1. 平方根、算术平方根的概念与性质
如果一个数x 的平方等于a （即x a 2=），那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根），记作：x a =±，这里a 是x 的平方数，故a 必是一个非负数即a ≥0；例如16的平方根是±4，从定义还可得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根只有一个0，即为它本身。
正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，表示为()a a ≥0，例如16的算术平方根是164=，从定义中容易发现：算术平方根具有双重非负性：①a ≥0；②a ≥0。
2. 平方根、算术平方根的区别与联系
区别：①定义不同；
②个数不同；
③表示方法不同；
④取值范围不同：平方根可以是正数、负数、零，而算术平方根只能取零及正数，即非负数。 联系：①它们之间具有包含关系；
②它们赖以生存的条件相同，即均为非负数；
③0的平方根以及算术平方根均为0。
3. 立方根的定义与性质
如果一个数x 的立方等于a （即x a 3
=），那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根），记作：x a =3。
立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。
二、解题中常见的错误剖析
例1. 求()-32
的平方根。
错解：() -=392 ()∴-32的平方根是-3
剖析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而()-=392是一个正数，故它的平方根应有两个即±3。
例2. 求9的算术平方根。
错解： 392=
∴9的算术平方根是3
剖析：本题是没有搞清题目表达的意义，错误的认为是求9的算术平方根，因而导致误解，事实上本题9就是表示的9的算术平方根，而整个题目的意义是让求9的算术平方根的算术平方根。 93=，而3的算术平方根为3，故9的算术平方根应为3。仿此你能给出64的平方根的结果吗？
三、典型例题的探索与解析
例3. 已知：M a a b =
++-82是a +8算数平方根，N b a b =--+324是b -3立方根，求M N
+的平方根。
分析：由算术平方根及立方根的意义可知a +≥80 a b a b +-=<>-+=<>
22
12432 联立<1><2>解方程组，得：a b ==13，
代入已知条件得：M N ==903， 所以M N +=+=+=903033
故M ＋N 的平方根是±3。
例4. 已知x y x y +=-=-234323，，求x y +的算术平方根与立方根。
分析：由已知得x y +==<>23912
()432823x y -=-=-<>
联立<1><2>解方程组，得：x y ==14，
所以x y +=5
因而x y +的算术平方根与立方根分别为553、。
例5. 若一个正数a 的两个平方根分别为x +1和x +3，求a 2005的值。
分析：由平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，因而可构造方程
x x +++=130，解得x =-2
从而()()a x =+=-+=121122
∴=a 20051
评注：本题利用平方根的性质，构造一元一次方程，先求出其平方根，再进一步求出a ，解法可谓简捷明了，令人耳目一新。事实上方程思想是初中阶段一种重要的数学思想方法，应引起同学们高度重视。
例6. 比较a a
a 、、1的大小。
分析：要比较a a a 、、1的大小，必须搞清a 的取值范围，由1a
知a ≠0，由a 知a ≥0，综合得a >0，此时仍无法比较，为此可将a 的取值分别为
①01<1
三种情况进行讨论，各个击破。