《数学分析》(II)期末考试试题(A卷)参考答案及评分标准
西华师范大学数学分析大二期末试题(含答案)
西华师范大学数学分析（2）期末试题课程名称数学分析（Ⅱ）适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）1、下列级数中条件收敛的是（）．A ．1(1)nn ∞=−∑B ．nn ∞=C ．21(1)nn n∞=−∑D ．11(1)nn n ∞=+∑2、若f 是(,)−∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数,则f 的傅里叶（Fourier ）级数在它的间断点x 处（）．A ．收敛于()f xB ．收敛于1((0)(0))2f x f x −++C ．发散D ．可能收敛也可能发散3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（）．A ．有界B ．连续C ．单调D ．存在原函数4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x ′=（）A ．1xB ．ln x xC ．21x −D ．xe5、已知反常积分20 (0)1dxk kx +∞>+∫收敛于1，则k =（）A ．2πB ．22πC ．2D ．24π6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n nx x x x −−+−+−+⋯⋯收敛，则（）A ．x e<B ．x e>C ．x 为任意实数D ．1e x e−<<二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）1、已知幂级数1nn n a x∞=∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为．2、若数项级数1n n u ∞=∑的第n 个部分和21n nS n =+，则其通项n u =，和S =．3、曲线1y x=与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为．4、已知由定积分的换元积分法可得，10()()bxxaef e dx f x dx =∫∫，则a =，b =．5、数集(1)1, 2 , 3, 1nn n n ⎧⎫−=⎨⎬+⎩⎭⋯的聚点为．6、函数2()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为．65三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）1、(1)dxx x +∫．2、2ln x x dx ∫．3、 0(0)dx a >∫．4、 2 0cos limsin xx t dt x→∫．5、dx ∫．四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）1、讨论函数项级数21sin n nxn ∞=∑在区间(,)−∞+∞上的一致收敛性．2、求幂级数1nn x n ∞=∑的收敛域以及收敛区间内的和函数．3、设()f x x =,将f 在(,)ππ−上展为傅里叶（Fourier ）级数．五、证明题（每小题6分，6×2＝12分）1、已知级数1nn a∞=∑与1nn c∞=∑都收敛，且, 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=⋯，证明：级数1nn b∞=∑也收敛．2、证明：22 00sin cos nn x dx x dx ππ=∫∫．66试题参考答案与评分标准课程名称数学分析(Ⅱ)适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）⒈B⒉B⒊A⒋C⒌D⒍D二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）⒈2⒉2, =2(1)n u S n n =+⒊ln 2⒋1, a b e ==⒌1±⒍201, (,)!nn x x n ∞=∈−∞+∞∑三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）1.解111(1)1x x x x=−++∵1(1)dxx x ∴+∫（3分）11(1dxx x=−+∫ ln ln 1.x x C =−++（3分）2.解由分部积分公式得231ln ln 3x xdx xdx =∫∫3311ln ln 33x x x d x =−∫（3分）33111ln 33x x x dx x =−⋅∫3211ln 33x x x dx =−∫3311ln 39x x x C =−+（3分）3.解令sin , [0, ]2x a t t π=∈由定积分的换元积分公式，得0∫2220cos atdtπ=∫（3分）6768220(1cos 2)2a t dtπ=+∫221(sin 2)22a t t π=+2.4a π=（3分）4.解由洛必达(L ＇Hospital)法则得200cos limsin xx tdtx →∫20cos x x →=4分）lim cos x x→=1=（2分）5.解=（2分）20 sin cos x x dxπ=−∫4204(cos sin ) (sin cos )x x dx x x dx πππ=−+−∫∫（2分）244(sin cos )(sin cos )x x x x πππ=+−+2.=−（2分）四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）1.解(, ), x n ∀∈−∞∞∀+（正整数）22sin nx n n ≤（3分）而级数211n n ∞=∑收敛，故由M 判别法知，21sin n nxn ∞=∑在区间(,)−∞+∞上一致收敛．（3分）2.解幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径111lim nn R n→∞==，收敛区间为(1,1)−．（2分）易知1nn x n ∞=∑在1x =−处收敛，而在1x =发散，故1nn x n∞=∑的收敛域为[1,1)−．（2分）01, (1, 1)1n n x x x ∞==∈−−∑（2分）逐项求积分可得0001, (1,1)1xx nn dt t dt x t ∞==∈−−∑∫∫．即101ln(1), (1,1).1n nn n x x x x n n+∞∞==−−==∈−+∑∑（2分）3.解函数f 及其周期延拓后的图形如下函数f 显然是按段光滑的，故由收敛性定理知它可以展开为Fourier 级数。
浙江大学大二数学专业《数学分析(二)》考试A卷及答案
数学分析（二）课程考试A 卷适用专业 考试日期：试卷所需时间120分钟 闭卷 试卷总分100分一、判断题：（对的打√，错的打×，每小题2分，共12分）1、若lim 0n n na a →∞=≠，则级数n a ∑收敛。
（ ）2、若()f x 在[,]a b 上连续，2()0baf x dx =⎰，则[,]x a b ∀∈，()0f x ≡。
（ ）3、若00(,)(,)lim(,)x y x y f x y a →=，则00lim lim (,)x x y y f x y a →→=。
（ ）4、级数2(1)sin nn n x ∞=-+∑在[0,2]x π∈上一致收敛。
（ ）5、级数,n n a b ∑∑均发散，则级数min(,)n n a b ∑也发散。
（ ）6、若在可积，则在可积。
（ ）二、填空题：（共6小题，每小题2分，共12分）1、函数1x e x-在0x =处的幂级数展开式为 。
2、函数222(,)y f x y x y=+在点(0,0)的重极限和累次极限分别为 、 、 。
3、定积分211(sin 2)x ex dx --+⎰等于 。
4、若反常积分11x dx xα+∞-+⎰收敛时，则α的取值范围是 。
5、幂级数2nn x n∑的收敛半径和收敛区域分别为 、 。
6、函数2x 在(,)ππ-上展开成傅立叶级数为 。
三、计算题：（共4小题，每小题5分，共20分）1、1ln eex dx ⎰ 2、1201x dx -3、1xe + 4、!lim lnnn n n→∞四、（10分）计算由sin ,0,2,0y x x x y π====所围成的平面图形，绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。
院系： 专业班级： 姓名： 学号：装 订 线五、（10分）求幂级数1nn nx ∞=∑的和函数()s x ，并利用该结果求级数12nn n∞=∑的值。
六、（10分）判别：（1）级数3!n n n n∑是否收敛；（2）级数2nx n n+∑在[0,1]x ∈上是否一致收敛。
数学分析试题及答案解析
2014 -——2015学年度第二学期《数学分析2》A试卷学院班级学号（后两位）姓名一.判断题（每小题3分，共21分）（正确者后面括号内打对勾，否则打叉）1。
若在连续，则在上的不定积分可表为（）.2.若为连续函数，则（)。
3。
若绝对收敛，条件收敛，则必然条件收敛（).4。
若收敛，则必有级数收敛( )5. 若与均在区间I上内闭一致收敛,则也在区间I上内闭一致收敛（).6. 若数项级数条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（).7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数,并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）.二.单项选择题（每小题3分,共15分）1.若在上可积,则下限函数在上( ）A.不连续B. 连续C。
可微D。
不能确定2。
若在上可积，而在上仅有有限个点处与不相等，则（）A。
在上一定不可积;B. 在上一定可积,但是;C。
在上一定可积，并且；D. 在上的可积性不能确定。
3.级数A。
发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定4。
设为任一项级数,则下列说法正确的是( )A.若，则级数一定收敛；B。
若，则级数一定收敛;C。
若，则级数一定收敛；D. 若，则级数一定发散；5。
关于幂级数的说法正确的是( ）A. 在收敛区间上各点是绝对收敛的；B. 在收敛域上各点是绝对收敛的;C。
的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；D。
在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值（每小题5分，共10分）1。
2。
四. 判断敛散性（每小题5分，共15分)1.2.3.五. 判别在数集D上的一致收敛性（每小题5分，共10分）1。
2。
六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。
(本题满10分）七. 将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上)，且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为20米,高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。
数学分析(二)期末考试解答及评分标准
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华南理工大学期末考试
《数学分析(二)》试卷 A 参考答案
注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；
⎝a ⎠ a
a
所以,综上所得
∫ e ax
cos bxdx
=
⎧ b sin bx
⎪ ⎨
a2
+ a cos bx + b2
e ax
+
C,
当a 2
+
b2
≠
0时
⎪⎩C , 当a 2 + b2 = 0时
其中 C 为任意常数。…………………7 分
2
2
2
2、计算星形线 x 3 + y 3 = a 3 (a > 0) 的弧长。（第 2 小题 8 分）
a
i =1 ui −1
∑ ∫ ∑ ∫ =
n i =1
ui [ψ (u) −
ui −1
mi ]sin
pudu +
n i =1
ui ui −1
mi
sin
pudu
∑ ∫ ∑ ∫ n
≤
i =1
ui ψ (u) −
ui −1
mi
n
du +
i =1
mi
ui sin pudu
ui −1
∑ ∑ ≤
n
ωi ∆ui
i =1
⎬⎫，当q ⎭
>
1时， ,
⎪ ⎪
数学分析报告2期末考精彩试题库
数学分析2期末试题库 《数学分析II 》考试试题（1）一、叙述题：（每小题6分，共18分）1、 牛顿-莱不尼兹公式2、∑∞=1n na收敛的cauchy 收敛原理3、 全微分 二、计算题：（每小题8分，共32分）1、4202sin limx dt t x x ⎰→2、求由曲线2x y =和2y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。
3、求∑∞=+1)1(n nn n x 的收敛半径和收敛域，并求和4、已知zy x u = ，求yx u∂∂∂2三、（每小题10分，共30分）1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数2、讨论反常积分⎰+∞--01dx e x x p 的敛散性3、讨论函数列),(1)(22+∞-∞∈+=x n x x S n 的一致收敛性四、证明题（每小题10分，共20分）1、设)2,1(11,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞=1n n x 发散 2、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微。
，一、叙述题：(每小题5分，共10分）1、 叙述反常积分a dx x f ba,)(⎰为奇点收敛的cauchy 收敛原理2、 二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续 二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)212111(lim nn n n +++++∞→ 2、求摆线]2,0[)cos 1()sin (π∈⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积3、求⎰∞+∞-++dx x xcpv 211)(4、求幂级数∑∞=-12)1(n nn x 的收敛半径和收敛域 5、),(yxxy f u =， 求y x u ∂∂∂2三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、yx y x y x f +-=2),(，求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？2、讨论反常积分⎰∞+0arctan dx x xp的敛散性。
数学分析试题及答案解析
WORD 格式整理2014 ---2015 学年度第二学期 《数学分析 2》A 试卷学院 班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七八总分核分人得分一. 判断题（每小题 3 分，共 21 分）( 正确者后面括号内打对勾，否则打叉 )1.若 f x 在 a,b 连续，则 f x 在 a,b 上的不定积分 f x dx 可表为x af t dt C （ ）.2. 若 f x ,g x 为连续函数，则 f x g x dx f x dx g x dx （ ）.3. 若f x dx 绝对收敛，g x dx 条件收敛，则 [ f x g x ]dx 必aaa然条件收敛（）.4. 若f x dx 收敛，则必有级数f n 收敛（ ） 1n 15. 若 f n 与 g n 均在区间 I 上内闭一致收敛，则 f ng n 也在区间 I上内闭一致收敛（）.6. 若数项级数a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散 n n 1于正无穷大（ ）.7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数， 并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）.专业资料值得拥有WORD 格式整理二. 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）8.若 f x 在 a,b 上可积，则下限函数axf x dx 在 a,b 上（）A.不连续B. 连续C. 可微D. 不能确定9.若g x 在 a,b 上可积，而f x 在 a,b 上仅有有限个点处与g x 不相等，则（）A. f x 在 a,b 上一定不可积；B. f x 在 a,b 上一定可积, 但是babf x dxg x dx；aC. f x 在 a,b 上一定可积，并且babf x dxg x dx；aD. f x 在 a,b 上的可积性不能确定 .10.级数n1 1 12nn 1nA. 发散B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 不确定11.设u n 为任一项级数，则下列说法正确的是（）uA. 若lim u n 0 ，则级数nn一定收敛；un 1B. 若lim 1，则级数u n 一定收敛；n unun 1C. 若N,当n N时有，1，则级数u n 一定收敛；un专业资料值得拥有WORD 格式整理u n 1D. 若 N,当nN 时有， 1，则级数u n 一定发散；u n12. 关于幂级数na n x 的说法正确的是（）A. na n x 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. na n x 在收敛域上各点是绝对收敛的；C. na n x 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；D.na n x 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三. 计算与求值（每小题 5 分，共 10分）1 1.lim nnnn 1 n 2nn专业资料值得拥有WORD 格式整理ln sin x13.dx2cos x四. 判断敛散性（每小题 5 分，共 15 分）3 x 12.dx0 1 2x x专业资料值得拥有14.n1 n! n n15.n 1nn1 2nn 1 2专业资料值得拥有五. 判别在数集D上的一致收敛性（每小题 5 分，共 10 分）sin nx16.f n , 1,2 , ,x n Dn专业资料值得拥有WORD 格式整理2n17. D , 2 2,nx六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面30 角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。
兰州文理学院2018-2019学年第二学期 期末考试《数学分析Ⅱ》(A)卷
二、判断题（每题1分，共8分）11. 函数)(xf在[a,b]上可积的必要条件是连续. ( )12. 函数项级数一致收敛的必要条件是通项收敛. ( )13. 若)(xf在[a,b]上可积，则|)(xf|在[a,b]上必可积. ( ) 14. dxxfa⎰+∞)(收敛，则0)(lim=∞→xfx. ( )15.nnn1)1(1∑+∞=-收敛，∑+∞=11nn也收敛. ( )16. 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和.( )17. 设级数∑n u与∑n v都发散，则∑+)(nnvu也一定发散. ( )18.311x+的幂级数展开式为∑+∞=03nnx. ( )三、选择题（每题2分，共12分）19. 设xexf-=)(，则：=⎰dxxxf)(ln( )A cx+1B cx+ln C cx+-1D cx+-ln20. 设)(xf是[a,b]上可积的奇函数，则dttf x⎰0)(是( )A 连续的奇函数B 连续的偶函数C 未必连续的奇函数D 未必连续的偶函数21.nnxn)1(11-∑+∞=的收敛域为( )A (-1,1)B [-1,1)C (0,2]D [0,2)22. 下列说法错误的是 ( )A 函数列{fn}收敛的全体收敛点集合，称为函数列{fn}的收敛域B 若函数列{fn}在区间I 上一致收敛且每项都连续，则其极限函数在I 上也连续C 若连续函数列{fn}在区间I 上内闭一致收敛，则极限函数在I 上连续D 一致收敛性是极限运算与求导运算的交换的充要条件23. xe xf =)(在[0,1]上绕x 旋转一周生成体的体积是 ( ) A22e πBe 2πC)1(22-e πD 12-e24. ∑=3sin )(n nxx f 在),(+∞-∞上 ( )A f 连续但f '不连续B f 连续且f '连续C f 不连续D f 不可导四、计算题（每题10分，共20分）25. 计算 1) 620sin limx dt t xx ⎰→(5分) 2) dx e e xx ⎰+-1(5分).26. 求由摆线]2,0[)cos 1()sin (π∈⎩⎨⎧-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的平面图形的面积.五、证明题（每题10分，共20分）27. 证明：若正项级数∑+∞=1n na收敛，且数列n a 单调，则n n na 0lim →=0.41.10分，共20分）. 30. 将x x f =)(在[0,2]上展开成余弦级数，并由此推出++++=222271513118π.。
数学分析(2)评分标准
09--10(1)数学分析（1）期末考试（A 卷）评分标准一、定积分部分（每小题6分，共36 分）： 1．计算122100(14)x x dx -⎰．解:1212102102201(14)(14)(14)8x x dx x d x -=---⎰⎰3分 121121(14)88x =--5分 188=．6分2．计算x x dx 206[]⎰,其中[]表示取整．解:623456222222012345[]2345x x dx x dx x dx x dx x dx x dx=++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰5分 285=．6分3．设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=-.0,11,0,)(2x e x xe x f xx 计算⎰-=41)2(dx x f I ．解: 令2t x =-，1分则21()I f t dt -=⎰22021101()()1t t f t dt f t dt dt te dte ---=+=++⎰⎰⎰⎰4分d 202210(1)112t t t d e e dt e ----+=-++⎰⎰ 411ln(1)22e e -+=+-．6分4．求⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x u xu x due du e 022022lim ．解:()222222002202limlimx x u x u x x x x u e duee duee du→+∞→+∞=⎰⎰⎰求导3分222lim02x x x e xe→+∞==．6分注：知道利用罗必达法则但求导时有错给2分． 5．记V ()ξ是曲线y xx =+12在x ∈[,]0ξ的弧段绕x 轴旋转一周所围成的旋转体的体积，求常数a 使得满足V a V ()lim ()=→+∞12ξξ． 解: 由)1(2)1()(22022a a dx x x a V a+=+=⎰ππ，3分 可知2)(lim πξξ=+∞→V ，于是得到21122=+aa ，解得 1=a ．6分注：求出1a =±，不舍去1-不扣分；没求a 给4分．6．讨论下列函数在 [0,1] 的可积性f x ()1,,1,.x x -⎧=⎨⎩为有理数为无理数解: 因为对[0,1]的任意划分P ，总有 2=i ω，3分 所以21=∆∑=ni ii xω，可知)(x f 在[0,1]上不可积．6分注：仅知道振幅2=i ω给3分；运用积分定义讨论也相应给分．二、反常积分部分（每小题6分，共12分）： 1．计算⎰∞+∈0)(e 2R a dx x ax ．解: 当0≥a 时积分发散；2分当0<a 时，⎰∞+02edx x ax ⎰∞+=02)(e 212ax d a ax a21-=．6分注：知道用比较法给2分；计算过程不分情况讨论给3分；运用其它方法也相应给分． 2．判断反常积分⎰∞++131tan arc dx xx的敛散性． 解: 当+∞→x 时，31arctan x x +～32xπ，3分又3311122dx dx x x ππ+∞+∞=⎰⎰收敛，所以积分⎰∞++131tan arc dx x x 收敛．6分三、常数项级数部分（每小题6分，共18分）：1．求级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-13121n nn之和． 解: ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n k k k n S 1312121121121-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=n31131131-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-n，4分所以21lim ==∞→n n S S ．6分注：利用等比级数求和写出公式但过程存在问题给3分2．讨论正项级数∑∞=122n n n 的敛散性．解: 设22n n n u =，则1分1limn n nu u +→∞121<=，5分 由D ’Alembert 判别法，∑∞=122n n n 收敛．6分注：利用比值判别法或者根植判别法时不带极限符号给4－5分．3．设)(x f 在]1,1[-上具有二阶连续导数，且0)(lim=→xx f x ．证明级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛． 证: 由0)(lim=→xx f x 可知0)0(=f ,0)0('=f , 2分 ()()()()()22001!2!2f f f f x f x x x ξξ'''''=++=，ξ介于0与x 之间，4分于是⎪⎭⎫⎝⎛n f 1～212)0("n f ⋅（∞→n ）， 所以级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛．6分注：知道泰勒展开但有错给3分．四、函数项级数部分（每小题8分，共16分）： 1．证明函数序列()nx n S x e -=()1,2,3,n =在区间)1,0(上不一致收敛性，但在),1(+∞上一致收敛．证: 固定x ∈)1,0(，()lim lim nxn n n S x e-→∞→∞=0)(=x S =()S x ，2分)()(sup ),()1,0(x S x S S S d n x n -=∈1= ─/→ 0（∞→n ）， 所以{}()n S x 在(0,1)上非一致收敛．4分固定x ∈)1,0(，()lim lim nxn n n S x e-→∞→∞=0)(=x S =()S x ，)()(sup ),(),1(x S x S S S d n x n -=+∞∈n e -=)(0∞→→n ，所以{}()n S x 在(1,)+∞上一致收敛．8分注：知道方法法但求极限时有错给2分；证明不一致收敛时也可以取点列{}n x ；运用其他方法相应给分． 2．证明函数级数∑∞=-02)1(n n x x 在区间[]0,1一致收敛性．证: 设n n x x x u 2)1()(-=，则在]1,0[上()211()2(1)(1)(1)21n n n n u x x x n x x x x x n x --'=--+-=--+-⎡⎤⎣⎦()1(1)2n x x n n x -=--+⎡⎤⎣⎦3分令()0.n u x '=解得唯一驻点2nx n =+，比较知 )2()(0+≤≤n n u x u n n 2)2(4+<n ，6分由于∑∞=+02)2(4n n 收敛，7分由Weierstrass 判别法，∑∞=-02)1(n n x x 在]1,0[上一致收敛．8分注：若转化成函数列的情况但有错酌情给分2－4分；运用其他方法相应给分．五、幂级数部分（每小题6分，共12分）：1．求幂级数∑∞=+0212n n n x 的和函数．解: 22222222321limlim 2321n n nn n n x n x n xn x x n ++→∞→∞++==++，由比值判别法知21x <时级数收敛，21x >时级数发散，级数收敛半径为1=R ，当1±=x 时，级数发散，所以收敛域为)1,1(-=D ．3分设∑∞=+=0212)(n nn x x S ，()xS x =∑∞=++01212n n n x ，利用逐项求导，得到 []221()1n n xS x x x ∞='==-∑， 所以20()1xdx xS x x =-⎰11ln 21xx+=-，0x ≠时．()S x =11ln 21xx x+-，0x =时，(0)1S =．6分注：不求收敛域最多给5分；知道逐项求导或者逐项积分但过程问题较大给2分；不考虑0x =的情况最多给5分．2．将()ln f x x =展开为()2x -的幂级数．解: ()()1ln 111n nn x x n +∞=+=-+∑()11x -<≤2分ln ln[2(2)]x x =+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=221ln 2ln x ()110(1)ln 2(2)12n n n n x n ∞++=-=+-+⋅∑．5分由211222042x x x --<≤⇒-<-≤⇒<≤．6分注：仅写出ln ln[2(2)]x x =+-给2分；知道展开公式但错误较大给2分；． 六、多元函数的极限（6分）： 1．讨论函数yx yx y x f +-=),(当),(y x 趋于)0,0(时的极限是否存在． 解： 当动点(),x y 沿直线y kx =趋近于()0,0时1分 001lim (,)limlim 1y kxy kxx x x x y x kx kf x y x y x kx k==→→→---===+++4分此极限随着k 的变化而变化5分所以当),(y x 趋于)0,0(时函数(,)f x y 极限不存在．6分。
数学分析(II)期终考试试题(A卷)
23．原式= lim
n→∞
∑ cos
1 2
iπ 1 ⋅ ………………………………………………………３分 n n
………………………………………………………………６分
2
∫
1 0
cos 2 π xdx =
2 2
24．圆 x + ( y − R ) ≤ r (0 < r < R ) 的上、下半圆分别为
y1 = R + r 2 − x 2 和y 2 = R − r 2 − x 2 , x ≤ r
′
′
28. 因 u n u n +1 ≤
1 (u n + u n+1 ) 2
…………………………………………………4 分 ………………………………………7 分
而∑
1 (u n + u n+1 ) 收敛，得证 2
2
六．讨论题： （本题共 8 分） 30.
∫
+∞ 0
+∞ 1
1 dx +∞ dx dx =∫ p +∫ ……………………………………………………2 分 p 0 x 1 x xp
u dx p1−1 , p >1 dx = = …………………………………4 分 lim p p ∫ u →+∞ 0 x x +∞, 0 < p ≤ 1
∫
1
1 1 dx 1− dx p , 0 < p <1 = = ， …………………………………6 分 lim ∫ 0 x p u → 0+ ∫ u x p p ≥1 +∞,
《数学分析》 （II）期终考试试题(A 卷)
学历自考模拟试卷-《数学分析II》期末考查试卷【附答案】
x
3xdx +
y x cos ydy （5 分）
M0M
0
0
＝ 3 x2 + x sin y （6 分）（说明：原函数可以直接观察得出！） 2
五、应用题（7 分）
一页长方形白纸，要求印刷面积占 Acm2 ,并使所留页边空白为：上部与下部宽度之和为： a + b = h cm,左部与右部宽度之和为： c + d = r cm (A,r,h 为已知数)，求页面的长(y)和宽(x)， 使它的面积最小.
（3 分）
L = (x − r)(y − h) − A = 0.
于是有
x = r , 1+
y = h , 1+
= − 1+
Ah r
（5
分）
根据问题的实际意义知，此时页面的面积是最小的.（7 分）
x = Ar + r, y = Ah + h. （6 分）
h
r
3
= ar cos , y
= br sin
（3
分），则
D
可表示为： 0
2 , 0 r
1（4
分），所以，
S =
2
d
1abrdr （5 分），所以 S = ab （7 分）.
0
0
4、计算第二型曲面积分： I
=
S
1 dxdy ，其中 S 是椭球面 x2
z
a2
+
y2 b2
+
z2 c2
= 1 的外侧
解：由题意，目标函数与约束条件分别为 S = xy 与 x r, y h, (x − r)(y − h) = A. （1 分）作 Lagrange 函数 L = xy + [(x − r)(y − h) − A], （2 分）则有
数学分析(Ⅱ)试题与参考答案
数学分析（2）期末试题课程名称数学分析（Ⅱ） 适 用 时 间试卷类别1适用专业、年级、班 应用、信息专业一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）1、 下列级数中条件收敛的是（ ）．A ．1(1)nn ∞=-∑ B ．1nn ∞=．21(1)n n n ∞=-∑ D ．11(1)nn n ∞=+∑2、 若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶（Fourier ）级数在它的间断点x 处 （ ）．A ．收敛于()f xB ．收敛于1((0)(0))2f x f x -++ C ． 发散 D ．可能收敛也可能发散3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（ ）．A ．有界B ．连续C ．单调D ．存在原函数4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（ ）A ．1x B ．ln x x C ． 21x- D ． x e 5、已知反常积分20 (0)1dxk kx +∞>+⎰收敛于1，则k =（ ） A ． 2π B ．22π C ． 2D ． 24π6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n nx x x x --+-+-+收敛，则（ ）A ． x e <B ．x e >C ． x 为任意实数D ． 1e x e -<<二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）1、已知幂级数1nn n a x∞=∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为．2、若数项级数1n n u ∞=∑的第n 个部分和21n nS n =+，则其通项n u =，和S =． 3、曲线1y x=与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为． 4、已知由定积分的换元积分法可得，1()()bxxaef e dx f x dx =⎰⎰，则a =，b =．5、数集(1)1, 2 , 3, 1nnn n ⎧⎫-=⎨⎬+⎩⎭的聚点为． 6、函数2()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为．65三、计算题（每小题6分，6×5＝30分） 1、(1)dx x x +⎰． 2、2ln x x dx ⎰． 3、 0 (0)dx a >⎰． 4、 2 0cos limsin xx t dt x→⎰．5、dx ⎰．四、解答题（第1小题6分，第2、3 小题各8分，共22分）1、讨论函数项级数21sin n nxn ∞=∑在区间(,)-∞+∞上的一致收敛性． 2、求幂级数1nn x n ∞=∑的收敛域以及收敛区间内的和函数．3、设()f x x =,将f 在(,)ππ-上展为傅里叶（Fourier ）级数．五、证明题（每小题6分，6×2＝12分）1、已知级数1nn a∞=∑与1nn c∞=∑都收敛，且, 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=，证明：级数1nn b∞=∑也收敛．2、证明：22 0sin cos nn x dx x dx ππ=⎰⎰．66试题参考答案与评分标准课程名称 数学分析(Ⅱ) 适 用 时 间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、 单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）⒈ B ⒉ B ⒊ A ⒋ C ⒌ D ⒍ D二、 填空题（每小题3分，3×6＝18分）⒈2⒉2, =2(1)n u S n n =+⒊ln 2⒋1, a b e ==⒌1±⒍201, (,)!nn x x n ∞=∈-∞+∞∑三、 计算题（每小题6分，6×5＝30分）1. 解111(1)1x x x x=-++1(1)dx x x ∴+⎰（3分）11()1dx x x =-+⎰ln ln 1.x x C =-++（3分）2. 解 由分部积分公式得231ln ln 3x xdx xdx =⎰⎰ 3311ln ln 33x x x d x =-⎰（3分） 33111ln 33x x x dx x =-⋅⎰ 3211ln 33x x x dx =-⎰ 3311ln 39x x x C =-+（3分） 3. 解 令sin , [0, ]2x a t t π=∈由定积分的换元积分公式，得⎰2220cos atdt π=⎰（3分）6722(1cos2)2at dtπ=+⎰221(sin2)22at tπ=+2.4aπ=（3分）4.解由洛必达(L＇Hospital)法则得2coslimsinxxtdtx→⎰2coslimcosxxx→=（4分）lim cosxx→=1=（2分）5.解=（2分）2sin cosx x dxπ=-⎰424(cos sin)(sin cos)x x dx x x dxπππ=-+-⎰⎰（2分）244(sin cos)(sin cos)x x x xπππ=+-+2.=（2分）四、解答题（第1小题6分，第2、3小题各8分，共22分）1.解(,),x n∀∈-∞∞∀+（正整数）22sin1nxn n≤（3分）而级数211nn∞=∑收敛，故由M判别法知，21sinnnxn∞=∑在区间(,)-∞+∞上一致收敛．（3分）682. 解 幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径1R ==，收敛区间为(1,1)-．（2分）易知1n n x n ∞=∑在1x =-处收敛，而在1x =发散，故1nn x n∞=∑的收敛域为[1,1)-．（2分） 01, (1, 1)1n n x x x ∞==∈--∑（2分） 逐项求积分可得0001, (1,1)1xx nn dt t dt x t ∞==∈--∑⎰⎰． 即101ln(1), (1,1).1n nn n x x x x n n+∞∞==--==∈-+∑∑（2分）3. 解 函数f 及其周期延拓后的图形如下函数f 显然是按段光滑的，故由收敛性定理知它可以展开为Fourier 级数。
数学分析期末试题A答案doc
数学分析期末试题A答案doc2024年数学分析期末试题A及答案一、选择题1、以下哪个函数在 x = 0 处连续？ A. $f(x) = x^2$ B. $f(x) = \frac{1}{x}$ C. $f(x) = sin x$ D. $f(x) = e^x$ 答案：D解析：在 x = 0 处，只有选项 D 中的函数 e^x 是连续的。
因此，答案为 D。
2、设 $f(x) = x^2$，则 $f(3x - 2) =$ __________。
A. $x^2$ B. $(3x - 2)^2$ C. $(3x - 2)^3$ D. $(3x - 2)^2 + 1$ 答案：B解析：将 $x$ 替换为 $3x - 2$，得 $f(3x - 2) = (3x - 2)^2$。
因此，答案为 B。
3、下列等式中，错误的是： A. $\int_{0}^{1}x^2dx =\frac{1}{3}x^3|{0}^{1}$ B. $\int{0}^{\pi}\sin xdx = \cosx|{0}^{\pi}$ C. $\int{0}^{2\pi}\sin xdx = 0$ D.$\int_{0}^{1}(2x + 1)dx = (x^2 + x)|_{0}^{1}$ 答案：A解析：等式两边取极限，只有 A 选项等式两边不相等，因此 A 选项是错误的。
4、下列哪个导数是常数函数？ A. $y = x^3$ B. $y = \sin x$ C. $y = e^x$ D. $y = log_a(x)$ 答案：C解析：常数函数的导数为零。
在选项中，只有 C 中的函数 e^x 的导数为常数函数，其导数为 $e^x$。
因此，答案为 C。
高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试是一次重要的学业水平测试，旨在考察学生在本学期学习生物课程的效果。
以下是本次考试的部分试题及其答案，供大家参考。
一、选择题1、下列哪一种生物不是由细胞构成的？ A. 细菌 B. 植物 C. 动物D. 病毒答案：D2、哪一个器官属于消化系统？ A. 口腔 B. 食道 C. 胃 D. 大肠答案：C3、在光合作用中，哪一个物质是植物从空气中吸收的？ A. 氧气 B. 二氧化碳 C. 葡萄糖 D. 水答案：B二、填空题1、病毒是一种生物，但它不能 _______ 和保持生命活动，必须_______ 在细胞内。
数学分析2试题A及答案(09
3、解：
1 3 2x
1 3
1 12
x
1 3
n0
(2 3
x)n
n0
2n 3n1
xn,
2 x 1, x 3
3
2
3
四、证明：依定理 9.10， f 在 R 上可导，且对 x R, f (x) f (x)或f (x) f (x) 0 。
考虑函数 g(x) f (x)ex ，则对 x R, g(x) [ f (x) f (x)]ex 0 ，从而 g(x) c(c 为常数），即 f (x)ex c或f (x) cex
)
，所以
lim
n
2 3
xn
dx 0
0 1 x
解法五：因为 0
2 3 0
xn 1 x
dx
2 3
n
2 3 0
1
1
x
dx
2 3
n
ln
5 3
0(n
)
，所以
lim
n
2 3
xn
dx 0
0 1 x
n
3、解： lim
n
n
lim
1 1 1 1 dx
n i1 n2 i2 n i1 1 ( i )2 n 0 1 x2
4
n
4、解： d x3 dt 3x2 2x dx x2 1 t2 1 x12 1 x8
5、解：因为 lim x2 1 1, p 2 1 ，所以原积分收敛。 x x 1 xm(1
x1
x)
arctan 1 x3
x
lim
x1
arctan x 1 x x2
, p 1，所以瑕积分 12
x f (t)dt 1 (ex 1) 1,
数学分析(2)期末试题参考答案
些值，使得
∫J
χK
(x,
y)dy ∫
≤
F (x)
≤
J χK (x, y)dy，则 F (x) 在 I 上 Riemann
可积，且有
I F (x)dx =
I ×J
χK (x,
y)dxdy
=
0。注意
F ∫
(x)
≥
0，所以，F
(x)
几乎处处为零。另一方面，根据 Kx 的定义，有 F (x) = J χKx (y)dy，所以 Kx
0，则有
(∫ R−ε ∫ R )
I(R) =
+
ey2−R2 dy ≤ e−2 R ε+ε2 (R − ε) + ε,
0
R−ε
于是 lim sup I(R) ≤ ε，另一方面显然有 lim inf I(R) ≥ 0，最后再令 ε → 0 即可
R→+∞
R→+∞
证明 lim I(R) = 0。
R→+∞
（证法二）上述极限还可通过 L’Hôspital 法则求得：
解答：（证法一）因为
K
紧且
Lebesgue ∫
零测，所以
Jordan
零测，于是
χK (x,
y)
在
I
×J
上
Riemann ∫
可积，且有
I×J χK (x, y)dxdy = 0。根据 Fubini 定理，
积分
F (x)
= ∫
J χK (x, y)dy
几乎处处存在。在 ∫
F (x)
不存在的地方随意规定一
det J
=
det AU det AV
> 0。
2021-2022学年数学分析II期末试题参考答案
课程编号：100171019 北京理工大学2021-2022学年第二学期2021级数学分析（II ）期终考试试题A 卷解答1.(23分)求下列函数的偏导数或全微分 (1)设cos xyz e=，求dz .(2)设(,)z z x y =由方程zx y z e ++=所确定的隐函数，求z x ∂∂和22zx∂∂.(3)设1()()z f xy yg x y x=++，其中f 和g 在R 上有连续的二阶导数，求z x ∂∂，z y ∂∂和2zy x∂∂∂ 解：(1)cos (cos )xy dz e d xy =cos (sin )()xy e xy d xy =−cos sin ()xy xye ydx xdy =−+.(2)方程关于x 求导，y 是常数，z 是x 的函数，1z x x z e z +=，11x zz e =−. 23(1)(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. 方法二. zzxx x x xx z e z z e z =+，221(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. (3)//211()()()z f xy f xy y yg x y x x x∂=−+⋅++∂ //21()()()yf xy f xy yg x y x x =−+++，//1()()()z f xy x g x y yg x y y x∂=⋅++++∂ //()()()f xy g x y yg x y =++++，2/////()()()zf xy yg x y yg x y y x∂=⋅++++∂∂ /////()()()yf xy g x y yg x y =++++.2.(15分)(1)求二重积分22Dy I dxdy x=⎰⎰，其中D 为由1,2,y y y x x ===所围的区域. (2)求三重积分I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰，其中Ω由0,0,0,21x y z x y z ===++=所围成.(3)求第一型曲面积分()MI x y z dS =++⎰⎰，其中M为上半球面：z =222x y R +≤(0)R >. 解：(1)2221221y y Dy y I dxdy dy dx x x==⎰⎰⎰⎰22111()yyy dy x =−⎰2223111()()y y dy y y dy y=−=−⎰⎰ 94=. 方法二. 22212221122212x x Dy y y I dxdy dx dy dx dy x xx ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(2)设D 为xy −平面上由0,0,21x y x y ==+=所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰120x yDdxdy xdz −−=⎰⎰⎰(12)Dx x y dxdy =−−⎰⎰[]11(1)20(1)2x dx x x xy dy −=−−⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰. 方法二. 对任意的[0,1]x ∈，x D 为yz −平面上由0,0,21y z y z x ==+=−所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰1xD dx xdydz =⎰⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰(3) x z =y z =，()MI x y z dS =++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221x y Rdxdy +≤=⎰⎰3R π=.3.(8分)设(,)z z x y =在2R 有连续偏导数，并且322cos(2)3cos(2)dz axy x y dx x y b x y dy ⎡⎤⎡⎤=+++++⎣⎦⎣⎦其中,a b 是常数，求,a b 的值和(,)z z x y =的表达式. 解：由条件3cos(2)x z axy x y =++，223cos(2)y z x y b x y =++， 则232sin(2)xy z axy x y =−+，26sin(2)yx z xy b x y =−+. 因为xy z 和yx z 都连续，所以xy yx z z =, 232sin(2)axy x y −+26sin(2)xy b x y =−+, 取,02x y π==，解得2b =，进而得出2a =.再由32cos(2)x z xy x y =++，23(,)sin(2)()z x y x y x y y ϕ=+++， 22/32cos(2)()y z x y x y y ϕ=+++， 于是/()0y ϕ=，()y C ϕ=.故23(,)sin(2)z x y x y x y C =+++.4.(10分)求幂级数211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域及和函数的表达式.解：记21(1)()(21)!n n n n u x x n −−=+. 对任意的0x ≠，21()0,()2(23)n n u x xn u x n n +=→→+∞+， 则211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑收敛. 即得211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域为(,)−∞+∞. 记211(1)()(21)!n n n n S x x n +∞−=−=+∑，定义域为(,)−∞+∞.容易求得(0)0S =. 对任意的0x ≠，利用幂级数的性质，2/11(1)()()2(21)!nn n S x x n +∞=−=+∑/211(1)2(21)!n n n x n +∞=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/21111(1)2(21)!n n n x x n +∞+=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/11(sin )2x x x⎛⎫=− ⎪⎝⎭ 2cos sin 2x x xx−=.5.(10分)设()f x 是以2π为周期的函数，它在区间(,]ππ−上的表达式为00()20x f x x ππ−<≤⎧=⎨<≤⎩. (1)求()f x 的Fourier 级数；(2)求()f x 的Fourier 级数的和函数在区间[0,2]π上的表达式；(3)求11(1)21n n n −+∞=−−∑.解：(1)先计算()f x 的Fourier 系数， 01()a f x dx πππ−=⎰122dx ππ==⎰，1()cos n a f x nxdx πππ−=⎰12cos 0nxdx ππ==⎰，1,2,n =，1()sin n b f x nxdx πππ−=⎰ ()0122sin 1(1)n nxdx n πππ==−−⎰2421(21)n k n k k π=⎧⎪=⎨=−⎪−⎩，1,2,k =.()f x 的Fourier 级数为()01cos sin 2n n n a a nx b nx +∞=++∑ 14sin(21)121k k xk π+∞=−=+−∑. (2) 12(0,)4sin(21)10(,2)2110,,2k x k x x k x ππππππ+∞=∈⎧−⎪+=∈⎨−⎪=⎩∑. (3)令2x π=，1411sin (21)2212k k k ππ+∞=⎛⎫+−= ⎪−⎝⎭∑，解得11(1)214n n n π−+∞=−=−∑.6.(12分)(1)判别下列广义积分的收敛性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(a) 30411dx +∞−⎰ (b) 20sin x dx +∞⎰ (2)设()af x dx +∞⎰收敛，并且lim ()x f x L →+∞=.证明：0L =.解：(1)(a) 0,1x x ==为瑕点， 考虑30411dx +∞−⎰1122133330122444411111111dx dx dx dx +∞=+++−−−−⎰⎰⎰⎰.因为330004411lim lim111x x x →+→+==−−，3431141lim 111x x x →→−⋅==−，31342433441lim lim111x x xxx +→+∞→+∞⋅==−−，而其中1351244+=>，所以112213333012244441111,,,1111dx dx dx dx +∞−−−−⎰⎰⎰⎰都收敛，于是30411dx +∞−⎰收敛，又被积函数非负，故是绝对收敛.(b)0x =不是瑕点，20sin x dx +∞⎰与21sin x dx +∞⎰具有相同的收敛性，只讨论21sin x dx +∞⎰即可.令2t x =，则2111sin 2x dx +∞+∞=⎰⎰, 1+∞⎰条件收敛. 那么20sin x dx +∞⎰条件收敛.(2)假设0L ≠，不妨设0L >.由lim ()x f x L →+∞=，根据极限性质，存在0X >，使得当x X >时，()2Lf x >.则A X ∀>，()()()A X AaaXf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰()()2X aLf x dx A X >+−⎰， 由此推出lim()A aA f x dx →+∞=+∞⎰，与()af x dx +∞⎰收敛矛盾.假设不成立，即0L =.7.(12分)(1)证明：函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，但在(0,)+∞不一致收敛.(2)证明：1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续且可导.证：(1)对任意的[,)x δ∈+∞和任意的正整数n ，0nx n ne ne δ−−<<， 而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明1nn neδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.记()nx n u x ne −=，对任意的正整数n ，取1(0,)n x n=∈+∞， 1()0,n n u x ne n −=→+∞，则()nxn u x ne−=在(0,)+∞不一致收敛于0.故函数项级数1nx n ne +∞−=∑在(0,)+∞不一致收敛. (2) (0,)x ∀∈+∞，存在0δ>，使得(,)x δ∈+∞.因为()nxn u x ne−=在(0,)+∞连续(1,2,)n =，利用(1)，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，所以和函数1()nx n f x ne +∞−==∑在[,)δ+∞上连续，于是它在x 连续.由x 的任意性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续.对任意的0δ>，/22()nx n n u x n e n e δ−−=−≤，[,),1,2,x n δ∀∈+∞=，而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明21nn n eδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数/1()n n u x +∞=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.根据一致收敛的函数项级数的逐项可导性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间[,)(0)δδ+∞>可导. 同理可得，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上可导.8.(10分)设1α>，10n n a a +<≤，0,1,2,n =.证明：111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛. 证：由条件，{}n a 单调递增，则要么{}n a 有上界要么{}n a 趋于+∞. (1)设{}n a 有上界. 则{}n a 收敛，记lim n n A a →+∞=，显然0A >.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时， 2n Aa >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么1111120()()()22n n n n n n n n a a a a a a A A a a A ααα+−−−−−−≤<=−. 由于1001(),nk k n k a a a a A a n −=−=−→−→+∞∑，说明11()n n n a a +∞−=−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.(2) 设{}n a 无上界，即lim n n a →+∞=+∞.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时，1n a >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么11111110n n n n n n n n n na a a a a a a a a a α−−−−−−−≤≤=−. 由于 110011111(),nk k k n n a a a a a =−−=−→→+∞∑， 说明1111()n n n a a +∞=−−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.。
北京交通大学工科数学分析期末考试(A)卷答案
∂ z ∂ z + 2 = ze 2 x 2 ∂y ∂x
2 2
∂z ∂z = f ′(u )e x sin y ， = f ′(u )e x cos y ∂y ∂x ∂2 z = f ′′(u )e 2 x sin 2 y + f ′(u )e x sin y ， ∂x 2
(
)
2 2 2 st′ = ( x′)t + ( y′)t + (z ′)t = 9 sin 2 t cos 4 t + 9 cos 2 t sin 2 t + 4 sin 2 2t = 5 sin t cos t ， G 1 所以， T = (− 3 cos t， 3 sin t， − 4 ) ， 5
Ω Σ1 Σ1
(
)
……5
(
)
= ∫∫∫ dxdydz + 16
Ω
x 2 + z 2 ≤2
∫∫ dzdx
=π∫
1
3
(
y − 1 dy + 32π
……8
)
2
= 34π
九． （本题满分 8 分） 设直线
P (1， − 2， 5) ，试求常数 a ， b ．
解：
⎧x + y + b = 0 2 2 在平面 π 上，而平面 π 与曲面 z = x + y 相切于点 ⎨ ⎩ x + ay − z − 3 = 0
工科数学分析（A）卷答案-1
3 ⎧ ⎪ f x ( x， y ) = 4 x − 2 x − 2 y = 0 ⎨ 3 ⎪ ⎩ f y (x， y ) = 4 y − 2 x − 2 y = 0 解得其驻点为 M 0 ( 0， 0 ) 、 M 1 ( 1， 1 ) 、 M 2 ( − 1， 1 ) ，则______________ ．
《数学分析II》期末试卷+参考答案
《数学分析（II ）》试题2004.6一．计算下列各题：1．求定积分∫+e x x dx 12)ln 2(；2．求定积分； ∫−222),1max(dx x3．求反常积分dx x x ∫∞++021ln ；4．求幂级数()∑∞=−+1221n n n x n n 的收敛域；5．设，求du 。
yz x u =二．设变量代换可把方程⎩⎨⎧+=−=ay x v y x u ,20622222=∂∂−∂∂∂+∂∂y z y x z x z 简化为02=∂∂∂v u z ，求常数。
a三．平面点集(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎟⎠⎞⎜⎝⎛L U ,2,11sin ,10,0n n n是否为紧集？请说明理由。
四．函数项级数n nn n x x n +⋅−∑∞=−1)1(11在上是否一致收敛？请说明理由。
]1,0[五．设函数在上连续，且满足)(x f ),(∞+−∞1)1(=f 和)arctan(21)2(20x dt t x tf x =−∫。
求。
∫21)(dx x f六．设函数在上具有连续导数，且满足)(x f ),1[∞+1)1(=f 和22)]([1)(x f x x f +=′，+∞<≤x 1。
证明：存在且小于)(lim x f x +∞→41π+。
七．设如下定义函数：dt t t x f x x t1sin 21)(2∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=，。
1>x 判别级数∑∞=2)(1n n f 的敛散性。
八．设∫=40cos sin πxdx x I n n （L ,2,1,0=n ）。
求级数的和。
∑∞=0n n I《数学分析（II ）》试题（答案）2004.6一．1．421π⋅； 2．320； 3．； 4． 0)2/1,2/1(−； 5．⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=xdz y xdy z dx x yz x dz yz ln ln 。
二．。
3=a 三． 是紧集。
四．一致收敛。
五．43。
六．因为，所以单调增加，因此0)(>′x f )(x f 1)1()(=>f x f 。
2020-2021《数学分析 》(二)期末课程考试试卷A(含答案)
2020-2021《数学分析》（二）期末课程考试试卷A一、 填空题（3分⨯5=15分）.1.(ln )[1(ln )]f x dx x f x '=+⎰ln (ln )1f x c ++ .2.45522[sin cos ]x x x dx ππ-+=⎰8/15 . 3.22limarcsin x x x e dxx x--->⎰=1 .4.设()f x C =+⎰则 )(x f ''= .5. 2()xf x e -=的麦克劳林级数为()f x = 0(1)2!nnn n x n ∞=-∑二、 选择题（3分⨯5=15分）.1.若反常积分1a xx e dx +∞-⎰收敛，则 ( A ).（A ）0>a , (B) R a ∈, (C) 1>a , (D) 0<a . 2. 若反常积分011(1)adx x -⎰收敛，则 ( D ).（A ）0>a , (B) R a ∈, (C) 1>a , (D) 1<a . 3. 若反常积分1sin axdx x +∞⎰绝对收敛，则 ( C ). （A ）0>a , (B) R a ∈, (C) 1>a , (D) 0<a .4. 若级数∑∞=+-031)1(n annn 条件收敛，则 ( D ). （A ）0>a , (B) R a ∈, (C) 1>a , (D) 2/3>3/1>a .5. 设函数()f x =⎪⎩⎪⎨⎧-11 ππ<≤<≤-x x 00以2T π=为周期，其傅里叶级数的和函数为()S x ，则(6)4S ππ+=（ B ）.（A ）-1 , (B) 1 , (C) 0 , (D)不存在.三、计算题（6分⨯5=30分）1.求ln(1)x dx +⎰. 解：原式=ln(1)1xx x dx x +-+⎰-------------------4分 =ln(1)ln(1)x x x x C +-+++-----------------6分 2.求312x xdx -⎰.解：原式=21(2)x x dx -⎰+32(2)x x dx -⎰--------------2分=43--------------6分 3.求)1sin 2sin (sin 1lim πππn n n n n n -+++∞>- .解：原式=n k n n k n π)1(sin 1lim 1-∑=∞>-=⎰1sin xdx π-------------2分院系 班级 序号 姓名 装 订 线=10)cos (1x -π-------------4分=2/π-------------6分4.求21⎰.解：原式=22sin cos cos ttdx tπ⎰-------4分=4π-------6分5. 求反常积分211(1)dx x x +∞+⎰的值. 解：因为211(1)dx x x +∞+⎰21111111dx dx dx x x x +∞+∞+∞=-++⎰⎰⎰------------4分 1ln 2=--------------6分四、（1）求由曲线2y x =与直线0,1,1x x y ===-所围图形的面积. （2）求上述图形绕直线1y =-旋转一周而得立体体积. (10分).解：（1）120413s x dx =+=⎰--------------------5分（2）122028(1)15v x dx ππ=+=⎰--------------------10分 五、证明：若级数∑∞=12n n a 收敛，)0(1>∑∞=n n na na 也收敛. (4分) 证明：因为级数 ∑∞=121n n，∑∞=12n na收敛------------2分所以)1(212n n a n +∑∞=收敛，又(21≤n a n )122n a n+ 则)0(1>∑∞=n n na n a 也收敛. ----------------4分 六、求幂级数0(1)1n nn x n ∞=-+∑的收敛半径、收敛域与和函数，又求01(1)(1)2n nn n ∞=-+∑的 和(10分)解： 令 =)(x s ∑∞=+-01)1(n n n x n=)(x xs ∑∞=+-+01)1(1n n n x n ， ])(['x xs =∑∞=-0)1(n n n x =x+11，)1,1(-∈x=)(x xs ⎰+=+xx dx x 0)1ln(11=)(x s xx )1ln(+0≠x0)(,0==x s x ------------------4分收敛半径为1 ，收敛域为（-1，1]。
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lim ( ) ( )
x , y → 0,0
x 2 + y 2 = 0 = f ( 0, 0 ) 故连续……………………………………………3 分
∆x → 0
lim
∆x 2 + 0 − f (0,0 ) ∆x 2 1 ∆x > 0 ……………………………6 分 = lim = ∆x →0 ∆x ∆x − 1 ∆x < 0
《数学分析》 （II）期末考试试题(A 卷)
参考答案及评分标准
一．填空题(每小题 2 分，共 10 分)：
1.
2x 3x 2 ln y + v y
2.
∑b
n =1
∞
n
sin nx
3. 2
4.
(1, −1, −3)
5. x + y − 2 = 0
二．计算题(每小题 10 分，共 50 分)： 6．
∞ x n −1 x n −1 1 M 由 判别法知： 在 x ∈ [−1, 1] 一致收敛………………………3 分 , ≤ ∑ 2 n2 n2 n =1 n
f ′( x) = −
Fx sin x + ye xy = , …………………………………………10 分 Fy cos y − xe xy
4
e| x| | x |n +1 = 0 ，即 lim Rn ( x) = 0 ……………………5 分 n →∞ ( n + 1)! n →∞
Rn ( x) =
对任何实数 x 都有 则 e = 1+
x
1 1 1 x + x 2 + " + x n + " , x ∈ (−∞, ∞ ) ………………………………6 分 1! 2! n! 1 2 1 4 1 2n x2 得 e = 1 + x + x + " + x + " , x ∈ (−∞, ∞ ) …………………………8 分 n! 1! 2! 1 x3 1 x5 1 x 2 n +1 所以 F ( x) = ∫ e dt = x + + +"+ +" 0 1! 3 2! 5 n ! 2n + 1
x t2
…………………10 分
8．
∂z 1 = g1 + g 2 , ∂x y
∂z x = − 2 g2 ∂y y
…………………………………………………4 分
1
∂2 z 2 1 = g11 + g12 + 2 g 22 ……………………………………………………………6 分 2 ∂x y y ∂2 z x x 1 = − 2 g12 − 3 g 22 − 2 g 2 ……………………………………………………8 分 ∂x∂y y y y ∂2 z 2x x2 = + g g 22 …………………………………………………………………10 分 2 ∂y 2 y 3 y4
(n)
( x) = e x ， f ( n ) (0) = 1 ， (n = 1, 2,") ………………………………………………2 分
eθx e| x| x n +1 (0 ≤ θ ≤ 1) ， | Rn ( x) |≤ | x |n +1 …………………………4 分 (n + 1)! (n + 1)! lim
x n −1 每个 un ( x) = 2 在 x ∈ [−1, 1] 上连续；………………………………………………6 分 n
∫
7． f
x 0
n −1 ∞ xt t n −1 xn S (t )dt = ∫ ∑ 2 dt = ∑ ∫ dt = ∑ 3 ………………………………………10 分 0 n2 n n =1 n 0 n =1 x ∞
9．令 F ( x, y, z ) = 2 x + 3 y + z − 9 ， G ( x, y, z ) = 3 x + y − z ……………………2 分
2 2 2 2 2 2
则 Fx = 4 x ， Fy = 6 y ， Fz = 2 z ， Gx = 6 x ， G y = 2 y ， Gz = −2 z ，…………4 分 所以
lim
2
即
( x , y ) →(0,0)
lim
当 y ≠ 0 时， lim
x →0
xy = 0 …………………………………………………7 分 x + y2
2
从而 lim lim
y →0 x →0
xy = 0 ………………………………………………………8 分 x + y2
2
同理有 lim lim
x →0 y → 0
∂( F , G ) ∂ ( x, y )
(1, −1,2)
= 28 ，
∂( F , G) ∂ ( y, z )
(1, −1,2)
= 32 ，
∂( F , G ) ∂ ( z, x)
(1, −1,2)
= 40 ………6 分
切线方程为，
x −1 y +1 z − 2 = = …………………………………………………8 分 8 10 7
故关于 x 的偏导数不存在，……………………………………………………………7 分
2
同理； z 关于 y 的偏导数不存在。……………………………………………………10 分 12． F ( x0 + h, y0 + k ) = F ( x0 , y0 ) + Fx ( x0 + θh, y0 + θk ) h + Fy ( x0 + θh, y0 + θk ) k ……………………………………………………4 1 ≠ 0, Fx (0, 0) = 0
…………………………………6 分
3
方程 cos x + cos y = e 能确定隐函数 y = f ( x)
xy
…………………………7 分
由（Ⅲ）知，隐函数 y = f ( x) 可微，……………………………………………9 分
xy = 0 ……………………………………………………9 分 x + y2
2
所以两个累次极限存在。……………………………………………………10 分 14.设 F ( x, y ) = cos x + cos y − e …………………………………………………２分
xy
（Ⅰ） F ( x, y ) 在原点的某个邻域内连续……………………………………3 分 （Ⅱ） F ( x, y ) = 0 ……………………………………………………………4 分 （Ⅲ） Fx = − sin x − ye , Fy = cos y − xe 连续 ………………………5 分
法平面方程为 8( x − 1) + 10( y + 1) + 7( z − 2) = 0 或 (8 x + 10 y + 7 z − 12 = 0) ……10 分 10．设长方体的长、宽、高分别为 x, y, z ，体积为 V …………………………………1 分 则表面积为 f ( x) = 2( xy + yz + zx) ，限制条件为 xyz = V ………………………3 分 设 L( x, y, z , λ ) = 2( xy + yz + zx) + λ ( xyz − V ) …………………………………5 分
Lx = 2( y + z ) + λyz = 0 L = 2( x + z ) + λxz = 0 y …………………………………………………………7 分 令 Lz = 2( y + x) + λxy = 0 Lλ = xyz − V = 0
得 x = y = z = 3 V …………………………………………………………………9 分 即，所求为正立方体。……………………………………………………………10 分 三．证明题(每小题 10 分，共 20 分): 11．
y0 = 0, h =
四．讨论题(每小题 10 分，共 20 分): 13.当动点 ( x, y ) 沿直线 y = mx 趋于 (0, 0) 时，……………………………………2 分 由于 f ( x, y ) = f ( x, mx) =
( x , y ) →(0,0)
lim
m ……………………………………………4 分 1 + m2 m f ( x, y ) = lim f ( x, mx) = ……………………………………5 分 x →0 1 + m2 f ( x, y ) = xy 不存在 ………………………………6 分 ( x , y ) → (0,0) x + y 2
π π , k= ……………………………………………6 分 3 6 π π π πθ πθ π πθ πθ sin cos = sin 0 cos 0 + cos cos − sin sin ………………8 分 3 6 3 3 6 6 3 6 πθ πθ π πθ πθ 3 π − sin sin cos 因此： = cos ………………………………10 分 4 3 3 6 6 3 6