最小二乘复频域法(PolyMax)

最小二乘复频域法（PolyMax ）SX1201069 虞刚PolyMax 模态识别方法,属于多自由度时域识别法,也称作多参考点最小二乘复频域法( Polyreference least squares complex frequency domain method)， 是最小二乘复频域法(LSCF)的多输入形式，是一种对极点和模态参预因子进行整体估计的多自由度法,一般首先通过实验建立稳态图，以判定真实的模态频率、阻尼和参预因子；建立可以线性化的直交矩阵分式模型，然后基于正则方程缩减最小二乘问题,得到压缩正则方程,于是模态参数可以通过求解最小二乘问题得到。

该方法集合了多参考点法和LSCF 方法的优点,可以得出非常清晰的稳态图,并且密集空间可以被分离出来,尤其在模态较密集的系统(动力总成系统)，或者FRF 数据受到严重噪声污染的情况下仍可以建立清晰的稳态图，识别出高度密集的模态，对每一个模态的频率、阻尼和振型都有很好的识别精度,是国际最新发展并流行的基于传递函数的模态分析方法。

其基本思想如下： （1）建立频率响应函数模型多参考点最小二乘复频域识别技术（PRLSCF 或PolyMAX ）要以频响函数矩阵作为识别的初始数据，其数学模型采用右矩阵分式模型来描述。

在频域中，系统输出o （0,2,1N o =， 其中0N 为输出点数）和全部输入的关系可用右矩阵分式模型（RMFD ）来描述，右矩阵分式模型的表达式为()()()1-=ωωωD U H o o （1）式中：()i N l o C H ⨯∈ω—理论频响函数的第o 行，i N 是输入点数，即激励数； ()i N l o C U ⨯∈ω—分子多项式行向量；()i i N N o C D ⨯∈ω—分母多项式矩阵。

且()ωo U 和()ωo D 可以表示成如下形式：()()()∑=⋅=Nr or r o B Z U 0ωω （0,2,1N o =） （2）()()()∑=⋅=Nr r r o A Z D 0ωω （3）式中：N —多项式阶次其中分母系数矩阵i i N N r R A ⨯∈和分子系数行向量i N l or R B ⨯∈是待估计的参数。

所有这些系数合并为一个矩阵。

()TTT N T αββθ1=（4） 其中()i N N oN o o o R B B B ⨯+∈⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=110 β， ()ii N N N N oR A A A ⨯+∈⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=110 β （5）式（2）和式（3）中出现的多项式基函数()ωr Z ，一般地，有以下两种选择： ⅰ.对于连续时域模型，可取为()js r i Z ⎪⎭⎫ ⎝⎛=ωωω （6）式中：21iNs ωωω+=—缩放因子，用来提高方程的数值状况。

ⅱ.对于离散时域模型，可取为()()s r T j r e Z ⋅-=ωω （7）式中：s T —采样周期。

通常采用离散时域模型。

（2）参数的线性化通过试验测量出的频率响应函数矩阵()i o N N f C H ⨯∈ω~，用()i N f o C H ⨯∈1~ω表示实测频响矩阵的第o 行，()f o N f N o ,,2,1,,,2,1 ==，那么关于参数矩阵θ的非线性最小二乘（NLS ）目标函数可表示为()()()()()()∑∑==⋅=o fN o N f f NLS o Hf NLS o nls tr 11,,θωεθωεθ （8）式中：H •－矩阵的复共扼转置；()•tr －矩阵的迹，即矩阵的主对角元素之和。

通过对式（8）求极小值，便可以得到频率响应函数矩阵的右分式矩阵模型各系数的估计值，即θ矩阵的估计值。

式（8）中的加权非线性最小二乘误差函数被定义：()()()()()()()()()()f o f o f o f o f o f o f o f NLS o H D U W H H W ωαωβωωωθωωθωε~,,~,,1-⋅=-=-（9）上式中()o f W ω是一个加权函数。

一般地，为了提高估计的质量，我们采用 ()()(){}var o fo f o fH W H ωωω=（10）式中：{}var •—方差，可用相关函数求取。

也可使用公式 ()o f W ω=（11）来做加权函数的。

这两种加权函数都考虑了测量频响函数数据的好坏：测得频响的方差越小，对目标函数的贡献越大。

非线性误差函数可以经过一个近似的处理为一个线性的问题。

实际上，通过对(),NLS o f εωθ右乘(),f D ωα，则可以得到一个关于参数为线性的方程，此加权线性最小二乘（LS ）方程误差(),LS o f εωθ为()()()()()()()()()()()()()()10,,,,,,LS NLS o f o f f o f o fo f o ffNo frforr f o rr D W U D H D W z Bz H A εωθεωθωαωωβωαωωθωωωω-==⋅=⋅-⋅=⋅-⋅∑（12）这样式（12）关于参数为线性，将所有频率点装配成一列，1,2,,f f N =，它可用矩阵形式来表示()()()[]1,,f LS o o o LS o o o o LSoN X Y J εωθββεθααεωθ⎧⎫⎪⎪⎧⎫⎧⎫⎪⎪===⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭（13）其中：()()()()()()()()()1111111,,,,,,f f ff fo o N N N o o N o N N N N W z z z X C W z z z ωωωωωωωω⨯+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦ （14）()()()()()()()()()()()11111111,,,,,,f i f fff fo o N o N N N o o N o N N N N o N W z z z H Y C W z z z H ωωωωωωωωωω⨯+⎡⎤-⊗⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎡⎤⊗⎣⎦⎣⎦（15）式中，⊗—Kronecker 积。

（3）缩减标准方程加权线性最小二乘估计表达式为()()()()()11oo N HLS LS LSoo o N o o o TToTo o o tr R S tr S T θεθεθββαα===⋅⎛⎫⎡⎤⎧⎫⎡⎤=⋅ ⎪⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎣⎦⎝⎭∑∑ （16）式中： ()()()11Re N N H o o o R X X R +⨯+=∈ ()()()11Re i N N N H o o o S X Y R +⨯+=∈()()()11Re i i N N N N H o o o T Y Y R+⨯+=∈同时，目标函数（16）等价于()()()Re T H LStr J J θθθ=⋅⋅ （17）式中，J 是Jacobian 矩阵，被如下定义()()112210o f o i oo N N N N N N N X Y X Y J C X Y ⨯++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（18） 为使()LSθ值最小，将()LSθ对系数矩阵o β和α求导，并令其为零()()20LSo o o oR S θβαβ∂=+=∂ ()1,2,,o o N = （19）()()120o N T LS o o o o S T θβαα=⎡⎤∂=+=⎢⎥∂⎣⎦∑（20）由式（19）得到1o o o R S βα-=-⋅，把它代入式（20）得()1120o N T o o o o o T S R S M αα-=⎡⎤-⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦∑ （21）其中，()()()11112o i i N N N N N T o oo o o M T S R S R +⨯+-=⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦∑。

由式（19）和（20）得到标准方程，经过整理，此标准方程的表达式为()111222121000022Re 000oo o o oHN N N N T T T No o R S R S J J R S S S S T ββθβα=⎡⎤⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪⋅=⋅⋅=⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎩⎭⎢⎥⎣⎦∑ （22）式（21）即为“缩减”标准方程，其中矩阵M 维数为()()11i i N N N N +⨯+，比标准方程式（22）中的()Re H J J 的维数()()()()11o i o i N N N N N N ++⨯++要小的多。

（4）求解缩减标准方程通过求解“缩减”标准方程，便可得到分母系数矩阵α。

根据线性方程组的求解理论，先对系数矩阵α施加一个约束。

假如，设定系数矩阵α中的一个系数矩阵块等于正则常数矩阵（例如设系数矩阵α的最后一个矩阵块()1i N N I α+=）,在这种前提下，缩减标准方程变为A XB ⋅= （23） 其中 ()1:,1:i i A M N N N N =()()1:1:1i i i B M N N N N N N =-++ 系数矩阵α的最小二乘估计为1ˆi LS N X X A B I α-⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭（24）一旦求得了ˆLS α，那么通过1o o o R S βα-=-⋅就可得到所有的分子系数,ˆLS o β这种方法考虑了标准方程的结构特性，比直接求解方程（22）要快得多。

确定了分母系数矩阵α后，通过求解α的伴随矩阵的特征值和特征向量，这样就可以得到了系统的极点和相应的模态参与因子。

方程如下1210000000.000T TT T N N IV V I A A A A --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅=Λ⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦（25） 上式中，,o o N N N N V C ⨯Λ∈，矩阵V 的最后i N 行就是模态参与因子；对角阵Λ的角元记录为(1,2,,)i o i N N ∆=由不稳定的数学极点和稳定的物理结构点两部分组成。

记稳定的物理结构极点为r s T r e λ-∆=，通过对这些物理结构极进行转换，便可得出结构的固有频率r ω和模态阻尼比r ζ；关系式如下*,r r r r i λλσω=±或*,r r r r r λλζω=-± （26） （5）计算频率点和阻尼比点根据信号与系统基本理论中对系统稳定性的描述：系统的全部极点落于s 域左半平面（不包括虚轴），且满足有界输入有界输出原则，系统是稳定的。

复特征矩阵Λ中的复特征值总是以共轭对的形式出现，同时也包含实数（虚轴上），在求解频率点i ω和阻尼比点i ζ时，对于每个共轭对只取其中一个进行分析，且不考虑实数。

复特征矩阵Λ中的对角元i s T i e λ-∆=，由式（26），i ∆用()()Re Im i i i ∆+⋅∆描 述，则()()()()()Re Im cos sin i i si s i s i s i T T i T T i i i s i s i ee e e T i T σωσωσωω-+---∆+⋅∆==⋅=-⎡⎤⎣⎦ （27）()()Re Im i s T i i i e σ-∆+⋅∆= （28）()()Im arctan Re i i s i T ω⎛⎫∆= ⎪ ⎪∆⎝⎭（29） 所以()1ln i i sT σ=-⋅∆ （30）()()Im 1arctan Re i i si T ω⎛⎫∆=⋅ ⎪ ⎪∆⎝⎭（31） 由此可求得频率i ω和阻尼比i ζ22ii ii i i ωωσσζω⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（32） 在求得的频率i ω和阻尼比i ζ包含有结构的固有频率r ω和模态阻尼比r ζ，因此，必须对所有求得的i ω和i ζ进行有效的分析和选取，以确定系统真实的固有频率和阻尼比。