最小二乘复频域法(PolyMax)

最小二乘复频域法（PolyMax ）

SX1201069 虞刚

PolyMax 模态识别方法,属于多自由度时域识别法,也称作多参考点最小二乘复频域法( Polyreference least squares complex frequency domain method)， 是最小二乘复频域法(LSCF)的多输入形式，是一种对极点和模态参预因子进行整体估计的多自由度法,一般首先通过实验建立稳态图，以判定真实的模态频率、阻尼和参预因子；建立可以线性化的直交矩阵分式模型，然后基于正则方程缩减最小二乘问题,得到压缩正则方程,于是模态参数可以通过求解最小二乘问题得到。该方法集合了多参考点法和LSCF 方法的优点,可以得出非常清晰的稳态图,并且密集空间可以被分离出来,尤其在模态较密集的系统(动力总成系统)，或者FRF 数据受到严重噪声污染的情况下仍可以建立清晰的稳态图，识别出高度密集的模态，对每一个模态的频率、阻尼和振型都有很好的识别精度,是国际最新发展并流行的基于传递函数的模态分析方法。其基本思想如下： （1）建立频率响应函数模型

多参考点最小二乘复频域识别技术（PRLSCF 或PolyMAX ）要以频响函数矩阵作为识别的初始数据，其数学模型采用右矩阵分式模型来描述。在频域中，系统输出o （0,2,1N o =， 其中0N 为输出点数）和全部输入的关系可用右矩阵分式模型（RMFD ）来描述，右矩阵分式模型的表达式为

()()()1

-=ωωωD U H o o （1）

式中：()i N l o C H ⨯∈ω—理论频响函数的第o 行，i N 是输入点数，即激励数； ()i N l o C U ⨯∈ω—分子多项式行向量；

()i i N N o C D ⨯∈ω—分母多项式矩阵。

且()ωo U 和()ωo D 可以表示成如下形式：

()()()∑=⋅=N

r or r o B Z U 0ωω （0,2,1N o =） （2）

()()()∑=⋅=N

r r r o A Z D 0

ωω （3）

式中：N —多项式阶次

其中分母系数矩阵i i N N r R A ⨯∈和分子系数行向量i N l or R B ⨯∈是待估计的参数。所有这些系数合并为一个矩阵。 ()T

T

T N T αββθ

1=

（4） 其中

()i N N oN o o o R B B B ⨯+∈⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=110 β， ()i

i N N N N o

R A A A ⨯+∈⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=110 β （5）

式（2）和式（3）中出现的多项式基函数()ωr Z ，一般地，有以下两种选择： ⅰ.对于连续时域模型，可取为

()j

s r i Z ⎪⎭⎫ ⎝

⎛=ωωω （6）

式中：2

1i

N

s ωωω+=

—缩放因子，用来提高方程的数值状况。

ⅱ.对于离散时域模型，可取为

()()s r T j r e Z ⋅-=ωω （7）

式中：s T —采样周期。 通常采用离散时域模型。 （2）参数的线性化

通过试验测量出的频率响应函数矩阵()i o N N f C H ⨯∈ω~，用()i N f o C H ⨯∈1~

ω表示实测频响矩阵的第o 行，()f o N f N o ,,2,1,,,2,1 ==，那么关于参数矩阵θ的非线性最小二乘（NLS ）目标函数可表示为

()()()()()()

∑∑==⋅=o f

N o N f f NLS o H

f NLS o nls tr 11

,,θωεθωεθ （8）

式中：H •－矩阵的复共扼转置；

()•tr －矩阵的迹，即矩阵的主对角元素之和。

通过对式（8）求极小值，便可以得到频率响应函数矩阵的右分式矩阵模型各系数的估计值，即θ矩阵的估计值。

式（8）中的加权非线性最小二乘误差函数被定义：

()()()()(

)()()()()(

)

f o f o f o f o f o f o f o f NLS o H D U W H H W ωαωβωωωθωωθωε~

,,~

,,1-⋅=-=-

（9）

上式中()o f W ω是一个加权函数。一般地，为了提高估计的质量，我们采用 ()()(){

}

var o f

o f o f

H W H ωωω=

（10）

式中：{}var •—方差，可用相关函数求取。也可使用公式 ()

o f W ω=

（11）

来做加权函数的。这两种加权函数都考虑了测量频响函数数据的好坏：测得频响的方差越小，对目标函数的贡献越大。

非线性误差函数可以经过一个近似的处理为一个线性的问题。实际上，通过对(),NLS o f εωθ右乘(),f D ωα，则可以得到一个关于参数为线性的方程，此加权线性最小二乘（LS ）方程误差(),LS o f εωθ为

()()()

()()()()()()()()()()()

10

,,,,,,LS NLS o f o f f o f o f

o f o f

f

N

o f

r

f

or

r f o r

r D W U D H D W z B

z H A εωθεωθωαωω

βωαωωθωωωω-==⋅=⋅-⋅=⋅-⋅∑（12）

这样式（12）关于参数为线性，将所有频率点装配成一列，1,2,,f f N =，它可

用矩阵形式来表示

()()()

[]1,,f LS o o o LS o o o o LS

o

N X Y J εωθ

ββεθααεωθ⎧⎫

⎪⎪⎧⎫⎧⎫⎪

⎪

===⎨

⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎪⎪

⎪⎪⎩⎭

（13）

其中：