第4章、解析函数的幂级数表示法

第四章 解析函数的幂级数表示法

本章将介绍复数项级数及复函数项级数一些相关性质，此章学习要注意和实数项级数和实函数项级数概念性质做类比，这里很多内容与数学分析是一致的。

第一节 复级数的基本性质

1、复数项级数和复数序列：

复数序列就是：

111222,,n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+L

在这里，z n 是复数，Re ,Im n n n n z a z b ==一般简单记为{z n }。按照{| z n | }是有界或无界序列，我们也称{z n }为有界或无界序列。

设z 0是一个复常数。如果任给0>ε，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时

ε<-||0z z n ,

那么我们说{z n }收敛或有极限0z ，或者说{z n }是收敛序列，并且收敛于0z ，记作

lim z z n n =+∞

→。

如果序列}{n z 不收敛，则称{z n }发散，或者说它是发散序列。

令z 0=a+ib ，其中a 和b 是实数。由不等式

0||||||||n n n n b b z z a a b b -≤-≤-+-

容易看出，0lim n n z z →+∞

=等价于下列两极限式：

,

lim ,lim b b a a n n n n ==+∞

→+∞

→

因此，有下面的注解：

注1、序列{z n }收敛的充分必要条件是：序列{a n }收敛（于a ）以及序列{b n }收敛（于b ），即复数列可转化成实数列研究。

注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{z n }收敛于z 0，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给z 0的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n>N 时，z n 在这个邻域内。

注3、两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。

复数项级数就是

......21++++n z z z

或记为1

n n z +∞

=∑，或∑n z ，其中n z 是复数。定义其部分和序列为：

n n z z z +++=...21σ

如果序列}{n σ收敛，那么我们说级数∑n z 收敛；如果}{n σ的极限是σ，那么说∑n z 的和是σ，或者说∑n z 收敛于σ，记作

σ

=∑+∞

=1

n n

z

，

如果序列}{n σ发散，那么我们说级数∑n z 发散。

注1、对于一个复数序列{z n }，我们可以作一个复数项级数如下

...)(...)()(123121+-++-+-+-n n z z z z z z z

则序列}{n z 的敛散性和此级数的敛散性相同。 注2、级数∑n z 收敛于σ的N -ε定义可以叙述为：

有时使得当,,0,0N n N >>∃>∀ε

ε

σ<-∑=||1n

k k z ，

注3、如果级数∑n z 收敛，那么

,

0)(lim lim 1=-=++∞

→+∞

→n n n n n z σσ

注4、令σσIm ,Re ,Im ,Re ,Re =====b a z b z a z a n n n n n n ，我们有

∑∑==+=n

k k

n k k n b i a 1

1

σ

因此，级数∑n z 收敛（于σ）的必要与充分条件是：级数∑n a 收敛（于

a ）以及级数∑n

b 收敛（于b ）。

注5、关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，例如下面的柯西收敛原理：

柯西收敛原理（复数项级数）：级数∑n z 收敛必要与充分条件是：任给0>ε，可以找到一个正整数N ，使得当n>N ，p=1,2,3,…时， ε

<++++++|...|21p n n n z z z

柯西收敛原理（复数序列）：序列}{n z 收敛必要与充分条件是：任给0>ε，可以找到一个正整数N ，使得当m 及n>N ，

ε<-||m n z z

对于复数项级数∑n z ，我们也引入绝对收敛的概念：如果级数

...||...||||21++++n z z z

收敛，我们称级数∑n z 绝对收敛。

注1、级数∑n z 绝对收敛必要与充分条件是：级数∑n a 以及∑n b 绝对收敛

注2、若级数∑n z 绝对收敛，则∑n z 一定收敛。

例、当1||<α时，......12+++++n ααα绝对收敛；并且有

lim ,11 (111)

2

=--=++++++∞→+n n n n

αααααα

我们有，当1||<α时，

.11......12αααα-=

+++++n

2、复变函数项级数和复变函数序列：

设{f n (z )}(n=1,2,…)在复平面点集E 上有定义，那么：

...)(...)()(21++++z f z f z f n

是定义在点集E 上的复变函数项级数，记为1

()n n f z +∞

=∑，或()n f z ∑。设

函数f (z )在E 上有定义，如果在E 上每一点z ，级数∑)(z f n 都收敛于f (z )，那么我们说此级数在E 上收敛（于f (z )），或者此级数在E 上有和函数f (z )，记作1()()n n f z f z +∞

==∑

设12(),(),,()n f z f z f z L 是E 上的复变函数列，记作+∞

=1)}({n n z f 或)}({z f n 。设函数)(z ϕ在E 上有定义，如果在E 上每一点z ，序列)}({z f n 都收敛（于)(z ϕ），那么我们说此序列在E 上收敛（于)(z ϕ），或者此序列在E 上有极限函数)(z ϕ，记作

),

()(lim z z f n n ϕ=+∞

→

注1、复变函数项级数∑)(z f n 收敛于f (z )的N -ε定义可以叙述为：

有时使得当,,0,0N n N >>∃>∀ε

.

|)()(|1

ε<-∑=z f z f n

k k

注2、复变函数序列()n f z ∑收敛于)(z ϕ的N -ε定义可以叙述为：

有时使得当,,0,0N n N >>∃>∀ε

.|)()(|εϕ<-z z f n

如果任给0>ε，可以找到一个只与ε有关，而与z 无关的正整数

)(εN N =，使得当E z N n ∈>,时，有

.

|)()(|1

ε<-∑=z f z f n k k