第4章、解析函数的幂级数表示法

第四章 解析函数的幂级数表示法本章将介绍复数项级数及复函数项级数一些相关性质，此章学习要注意和实数项级数和实函数项级数概念性质做类比，这里很多内容与数学分析是一致的。

第一节 复级数的基本性质1、复数项级数和复数序列：复数序列就是：111222,,n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+L在这里，z n 是复数，Re ,Im n n n n z a z b ==一般简单记为{z n }。

按照{| z n | }是有界或无界序列，我们也称{z n }为有界或无界序列。

设z 0是一个复常数。

如果任给0>ε，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{z n }收敛或有极限0z ，或者说{z n }是收敛序列，并且收敛于0z ，记作lim z z n n =+∞→。

如果序列}{n z 不收敛，则称{z n }发散，或者说它是发散序列。

令z 0=a+ib ，其中a 和b 是实数。

由不等式0||||||||n n n n b b z z a a b b -≤-≤-+-容易看出，0lim n n z z →+∞=等价于下列两极限式：,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{z n }收敛的充分必要条件是：序列{a n }收敛（于a ）以及序列{b n }收敛（于b ），即复数列可转化成实数列研究。

注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{z n }收敛于z 0，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给z 0的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n>N 时，z n 在这个邻域内。

注3、两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。

复数项级数就是......21++++n z z z或记为1n n z +∞=∑，或∑n z ，其中n z 是复数。

定义其部分和序列为：n n z z z +++=...21σ如果序列}{n σ收敛，那么我们说级数∑n z 收敛；如果}{n σ的极限是σ，那么说∑n z 的和是σ，或者说∑n z 收敛于σ，记作σ=∑+∞=1n nz，如果序列}{n σ发散，那么我们说级数∑n z 发散。

注1、对于一个复数序列{z n }，我们可以作一个复数项级数如下...)(...)()(123121+-++-+-+-n n z z z z z z z则序列}{n z 的敛散性和此级数的敛散性相同。

注2、级数∑n z 收敛于σ的N -ε定义可以叙述为：有时使得当,,0,0N n N >>∃>∀εεσ<-∑=||1nk k z ，注3、如果级数∑n z 收敛，那么,0)(lim lim 1=-=++∞→+∞→n n n n n z σσ注4、令σσIm ,Re ,Im ,Re ,Re =====b a z b z a z a n n n n n n ，我们有∑∑==+=nk kn k k n b i a 11σ因此，级数∑n z 收敛（于σ）的必要与充分条件是：级数∑n a 收敛（于a ）以及级数∑nb 收敛（于b ）。

注5、关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，例如下面的柯西收敛原理：柯西收敛原理（复数项级数）：级数∑n z 收敛必要与充分条件是：任给0>ε，可以找到一个正整数N ，使得当n>N ，p=1,2,3,…时， ε<++++++|...|21p n n n z z z柯西收敛原理（复数序列）：序列}{n z 收敛必要与充分条件是：任给0>ε，可以找到一个正整数N ，使得当m 及n>N ，ε<-||m n z z对于复数项级数∑n z ，我们也引入绝对收敛的概念：如果级数...||...||||21++++n z z z收敛，我们称级数∑n z 绝对收敛。

注1、级数∑n z 绝对收敛必要与充分条件是：级数∑n a 以及∑n b 绝对收敛注2、若级数∑n z 绝对收敛，则∑n z 一定收敛。

例、当1||<α时，......12+++++n ααα绝对收敛；并且有lim ,11 (111)2=--=++++++∞→+n n n nαααααα我们有，当1||<α时，.11......12αααα-=+++++n2、复变函数项级数和复变函数序列：设{f n (z )}(n=1,2,…)在复平面点集E 上有定义，那么：...)(...)()(21++++z f z f z f n是定义在点集E 上的复变函数项级数，记为1()n n f z +∞=∑，或()n f z ∑。

设函数f (z )在E 上有定义，如果在E 上每一点z ，级数∑)(z f n 都收敛于f (z )，那么我们说此级数在E 上收敛（于f (z )），或者此级数在E 上有和函数f (z )，记作1()()n n f z f z +∞==∑设12(),(),,()n f z f z f z L 是E 上的复变函数列，记作+∞=1)}({n n z f 或)}({z f n 。

设函数)(z ϕ在E 上有定义，如果在E 上每一点z ，序列)}({z f n 都收敛（于)(z ϕ），那么我们说此序列在E 上收敛（于)(z ϕ），或者此序列在E 上有极限函数)(z ϕ，记作),()(lim z z f n n ϕ=+∞→注1、复变函数项级数∑)(z f n 收敛于f (z )的N -ε定义可以叙述为：有时使得当,,0,0N n N >>∃>∀ε.|)()(|1ε<-∑=z f z f nk k注2、复变函数序列()n f z ∑收敛于)(z ϕ的N -ε定义可以叙述为：有时使得当,,0,0N n N >>∃>∀ε.|)()(|εϕ<-z z f n如果任给0>ε，可以找到一个只与ε有关，而与z 无关的正整数)(εN N =，使得当E z N n ∈>,时，有.|)()(|1ε<-∑=z f z f n k k或 .|)()(|εϕ<-z z f n那么我们说级数()n f z ∑或序列{f n (z )}在E 上一致收敛（于f (z )或)(z ϕ）。

定理 4.5柯西一致收敛原理（复变函数项级数）：复变函数项级数∑)(z f n在E 上一致收敛必要与充分条件是：任给ε，可以找到一个只与ε有关，而与z 无关的正整数)(εN N =，使得当E z N n ∈>,，p =1,2,3,…时，有.|)(...)()(|21ε<++++++z f z f z f p n n n柯西一致收敛原理（复变函数序列）：复变函数序列)}({z f n 在E 上一致收敛必要与充分条件是：任给0>ε，可以找到一个只与ε有关，而与z 无关的正整数)(εN N =，使得当E z N n m ∈>,,时，有()|()|n m f z f z ε-<注、一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法（M-判别法）：设,...)2,1)}(({=n z f n 在复平面点集E 上有定义，并且设是一个收敛的正项级数。

设在E 上，()||(1,2,.....)n n f z a n ≤=那么级数()n f z ∑在E 上一致收敛。

定理 4.6 设复平面点集E 表示区域、闭区域或简单曲线。

设{()}(1,2,...)n f z n =在集E 上连续，并且级数()n f z ∑或序列{()}n f z 在E 上一致收敛于f (z )或)(z ϕ，那么f (z )或)(z ϕ在E 上连续。

定理4.7 设()(1,2,...)n f z n =在简单曲线C 上连续，并且级数()n f z ∑或序列{()}n f z 在C 上一致收敛于f (z )或)(z ϕ，那么或.)()(⎰⎰=CCn dz z dz z f ϕ注1、在研究复变函数项级数和序列的逐项求导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和序列；注2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究和函数与极限函数的解析性及其导数。

设函数{()}(1,2,...)n f z n =在复平面C 上的区域D 内解析。

如果级数......21++++n a a a ,)()(1⎰∑⎰=+∞=Cn Cn dz z f dz z f()nf z ∑或序列{()}nfz 在D 内任一有界闭区域（或在一个紧集）上一致收敛于f (z )或)(z ϕ，那么我们说此级数或序列在D 中内闭（或内紧）一致收敛于f (z )或)(z ϕ。

定理4.9（魏尔斯特拉斯定理）设函数{()}(1,2,...)n f z n =在区域D 内解析，并且级数()n f z ∑或序列{()}n f z 在D 内闭一致收敛于函数f (z )或)(z ϕ，那么f (z )或)(z ϕ在区域D 内解析，并且在D 内,)()(1)()(∑+∞==n k n k z f z f或,...).3,2,1(),(lim )()()(==+∞→k z f z k n n k ϕ证明：先证明f (z )在D 内任一点z 0解析，取z 0的一个邻域U ，使其包含在D 内，在U 内作一条简单闭曲线C 。

由定理2.2以及柯西定理，,0)()(1==∑⎰⎰+∞=n Cn Cdz z f dz z f因为根据莫勒拉定理，可见f (z )在U 内解析。

再由于0z是D 内任意一点，因此f (z )在D 内解析。

其次，设U 的边界即圆K 也在D 内，于是∑+∞=+-110)()(n k n z z z f ，对于K z ∈一致收敛于10()()k f z z z +-。

由定理2.2，我们有,)()(21)()(2111010∑⎰⎰+∞=++-=-n K k n K k dz z z z f i dz z z z f i ππ也就是,...)3,2,1(,)()(1)()(==∑+∞=k z f z fn k n k因此，定理中关于级数的部分证明结束。

对于序列，我们也先证明)(z ϕ在D 内任一点0z 解析，取0z 的一个邻域U ，使其包含在D 内，在U 内作一条简单闭曲线C 。

由定理2.2以及柯西定理，,0)(lim )(lim )(===⎰⎰⎰+∞→+∞→Cn n C n z Cdz z f dz z f dz z f因为根据莫勒拉定理，可见)(z ϕ在U 内解析。

再由于0z 是D 内任意一点，因此)(z ϕ在D 内解析。

其次，设U 的边界即圆K 也在D 内，于是10)()(+-k n z z z f ，对于K z ∈一致收敛于10()()k z z z ϕ+-。