分式的基本概念、约分、通分
分式的基本性质应用：约分、通分
1.通分：
归例纳((112.))通4分b22adca33：22bb与与与34abcaa26bb522bcc
找最简公分母的方法： 1.把各分母因式分解
2.取系数的最小公倍数；
3.取所有因式的最高次幂。
例2.通分： 2x x5
与
3x x5
1
2
1
2
x 1 与 1 x (x 1)2 与 1 x2
找最简公分母的方法：
1.你根据什么进行分式变形？
2.分式变形后，各分母有什么变化？
通分的定义：
利用分式的基本性质，把不同分母
的分式化为相同分母的分式，这样的分 式变形叫分式的通分。
3.分式的分母 4ab 、6a2最终都化成什么？
4ab
6a2
12a2b 最简公分母
取各分母的所有因式的最高次幂的积作 为公分母，它叫做最简公分母。
1、分式的基本性质内容是什么？
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同
一个不等于0的整式 ，分式的值不变.
2、什么是分式的约分？分式的约分 有什么要求？
1 3、把右边的分数通分：2
,
3 4
,
5 6
探究
一. 填空：
ab 4ab
3a2 3ab
12a2b
,
2a b 6a2
4ab 2b2
12a2b
,
1.已知 x y z ,试求 x y z 的值.
234
x yz
2.已x2
的值.
3.已知x2
3x
1
0, 试求x 2
1 x2
的值.
1. (多项式)因式分解；
2xy 与 x (x y)2 x2 y2
2.取系数的最小公倍数； 1 与 x x2 4 4 2x
分式的约分和通分
15 21
=
35 5 37 7
理解应用
a 2bc a2bc ab ac
ab ab ab 分式的约分
把一个分式的分子和分母的公因式约去,不改 变分式的值，这种变形叫做分式的约分.
约分的依据是： 分式的基本性质.
最简分式:一个分式的分子与分母没有1以外的公 因式，叫做最简分式．
分式的约分和通分
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）一个 不等于０的整式，分式的值不变。
用式子表示为：
C , C .(C 0) C C
其中Ａ，Ｂ，Ｃ是整式。
分数是如何约分的? 1、约分： 约去分子与分母的最大公约数，化为最简分数。
解： (2)
x2
x2 9 6x
9
(
x
3)( x ( x 3)2
3)
x3 x3
约分时,分子或分母若是 多项式,能分解则必须先 进行因式分解.再找出分 子和分母的公因式进行 约分
例：约分 6x2 12xy 6y2
(3) 3x 3y
解：(3) 6x2 12xy 6y2
确定几个分式的最简公分母的方法：
（1）系数：分式分母系数的最小公倍数； （2）因式：凡各分母中出现的不同因式都 要取到； （3）因式的指数：相同因式取指数最高的。
理解应用 分式的通分
例4 通分：
(1)
3 2a2b
与
ab ab2c
;
(2) 2x 与 3x . x5 x5
分析：为通分要先确定分式的公分母.
1 3xyz
1
2x2z
4x2 y3 12x3 y 4 z
6xy 4 12 x3 y 4 z
16.1 分式及其基本性质 课件-华师版数学八年级下册
感悟新知
知2－练
例2 x 满足什么条件时下列分式有意义？
(1)
2 x＋1 5 x－3
;(2)
x
2 －1
;(3)
x＋1 x2＋3
；(4)
x－2
x－2 x＋4
.
解题秘方：分母的值不等于0 时，分式有意义.
感悟新知
知2－练
(1)
2 x＋1 5 x－3
;
解：当5x－3 ≠ 0，即x ≠
4 m
，－2
x
2， 3 5＋y
，2 5
，x
2＋y 6
2
，p2 p
，1 4
3
x－y
பைடு நூலகம்
,
2
x
x 3＋3
，3a＋b
2
， a－b a＋b＋c
.
知1－练
感悟新知
知1－练
解题秘方：利用分式的三要素判断即可，关键是分
母中是否含有字母.
解：分式有 4 ， 3 ，p2 ， a－b ； m 5＋y p a＋b＋c
整式有－2x2，2，x2＋y2 ，1 3x－y，3a＋b .
第十六章 分式
16.1 分式及其基本性质
学习目标
1 课时讲解
分式的概念 分式有意义和无意义的条件 分式的值为 0 的条件 分式的基本性质 分式的约分 分式的通分
感悟新知
知识点 1 分式的概念
知1－讲
1. 定义：形如AB (A， B是整式，且B中含有字母， B≠ 0)
的式子，叫做分式 . 其中 A 叫做分式的分子， B 叫做
;
－3n (2) ;
8m
－3n － 3n ; 8m 8m
15.1.3分式的约分和通分
15.1.3分式的约分和通分一知识要点：【约分】（1）定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
（2）步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
（3）注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
（4）最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
约分时。
分子分母公因式的确定方法：①系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.②取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.③如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式【通分】（1）定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
（依据：分式的基本性质！）（2）最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
通分时，最简公分母的确定方法：①系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.②取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.③如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.【分式的约分和通分--关键先是分解因式】二 例题教学：题型一：最简分式的概念例1: 1）下列各分式中，最简分式是( )A 、()()y x y x +-8534B 、2222xy y x y x ++ C 、y x x y +-22 D 、()222y x y x +- 2）下列分式.,24,,424,x 2222ba b a b b x x m m x +++-++π中，最简分式是————————————。
题型二：分式的约分例2：约分：（1）322016xy yx -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x . 题型三：最简公分母的确定例3: 1）分式23a ，a 65，28ba 的最简公分母是（ ） A ．48a 3b 2 B ．24a 3b 2 C ．48a 2b 2 D ．24a 2b 22）分式22)2(14a 1--a b b b 和的最简公分母是———————— 。
分式的约分与通分
分式的约分与通分
分数在数学中非常常见。
在进行数学计算和分析时，通常需要
将分数进行约分或通分。
在本文中，我们将探讨分数约分和通分的
方法及其在数学中的应用。
分数的约分是指将分数的分子和分母同时除以它们的公约数，
使分数变得简化。
例如，2/4可以约分为1/2，因为2和4的最大公
约数是2，除以2后得到1和2。
分数约分的方法是，先求出分子
和分母的最大公约数，然后同时除以最大公约数。
分数的通分是指将两个或多个分数的分母改为相同的数，使它
们具有相同的分母。
例如，1/3和2/5的通分可以得到5/15和6/15，因为它们的最小公倍数是15。
分数通分的方法是，先分别求出每个分数的因数分解式，然后将分母的因数相乘，再将分子和新的分母
相应乘上一个倍数，使新分子和旧分子相等。
分数的约分和通分在数学中具有广泛的应用。
例如，当我们想
要将两个分数进行比较时，通常需要将它们变成相同分母的分数，
然后再比较它们的分子大小。
又例如，在分数加减法中，通常需要先将分数通分，然后再做加减运算。
综上所述，分数的约分和通分虽然看上去简单，但却是数学中很重要的基础知识。
对于初学者来说，熟练掌握这些方法，可以为后续的学习打下坚实的基础。
分式的约分与通分技巧
分式的约分与通分技巧在数学中，分式是由分子和分母组成的表达式，分式可以通过约分和通分来进行简化或合并。
约分是指分式的分子与分母同时除以它们的公约数，使分子和分母尽可能小。
通分则是将两个分式的分母统一为相同的数，以便进行比较或运算。
在本文中，我们将介绍分式的约分与通分的一些技巧。
一、分式的约分技巧当一个分式的分子和分母有公约数时，可以进行约分。
约分的目的是使得分子和分母尽可能地简化，这样可以方便计算和比较。
1. 找出分子和分母的公约数：公约数是指能够同时整除两个或多个数的数。
例如，对于分式4/8，公约数有1、2和4。
2. 除去公约数：将分子和分母分别除以它们的公约数。
对于分式4/8，我们可以除以公约数2，得到最简分式1/2。
3. 化简分式：如果分式的分子和分母仍然有公约数，可以继续进行约分操作，直到无法再约分为止。
例如，对于分式12/24，我们可以先找出它们的最大公约数为12，然后进行除法操作，得到最简分式1/2。
二、分式的通分技巧在进行分式的比较或运算时，往往需要将分式的分母统一为相同的数，这就是通分操作。
1. 找出分式的最小公倍数：最小公倍数是指两个或多个数的公倍数中最小的一个数。
例如，对于分式1/2和3/4，我们可以找出它们的最小公倍数为4。
2. 乘以适当的倍数：将分子和分母同时乘以适当的倍数，使得分母变为最小公倍数。
对于分式1/2，我们乘以2/2得到2/4；对于分式3/4，我们乘以1/1得到3/4。
3. 进行比较或运算：通分后的分式可以进行比较或运算。
例如，对于分式1/2和3/4，通分后分别为2/4和3/4，可以直接比较它们的大小。
三、约分与通分的应用约分与通分技巧在数学中的应用非常广泛，特别是在分数的计算、比较和运算中。
1. 分数的加减运算：当进行分数的加减运算时，需要先找到它们的最小公倍数，然后进行通分操作，最后进行相应的运算。
例如，对于分式1/2和1/3的相加，我们可以找到它们的最小公倍数为6，然后分别将它们通分为3/6和2/6，再进行加法运算得到5/6。
分式的通分和约分
分式的通分和约分
今天我来跟大家聊聊分式的通分和约分。
第一节，什么是分式
分式也叫做分数，表示两个不同的大小的数，由分子和分母两部分组成，先定义一下分子分母的含义：分子：是分式的分子部分，表示两个数的比值；分母：是分式的分母部分，表示两个数的大小。
第二节，什么是分式的通分
所谓的分式的通分就是将两个分式的分子和分母都变成同一个数，让它们具有相同的大小，这样就可以比较它们之间的大小，从而挑出最大的和最小的。
第三节，分式的通分怎么做
要想将两个分式通分，首先需要先确定它们的最大公约数（LCD）。
最大公约数就是能够同时整除两个数的最大数。
最后，将分子分别乘以分母与最大公约数的商，将分母分别乘以分子与最大公约数的商，这样两个分式的分子和分母就都变成同一个数，完成了分式的通分。
第四节，什么是分式的约分
所谓的分式的约分，就是通过求出一个分式中分子和分母的最大公约数，并将它们各自化简为最小公分数，以达到求出分式的最简形式，也就是约分的过程。
第五节，分式的约分怎么做
首先计算两个分式的最大公约数，然后将分子各自化简为最小公分数，再将分母也各自化简为最小分数，最后将两个分式的也可以变成最小公分数的形式，完成了分式的约分。
综上所述，分式的通分和约分经常被广泛使用，两个分式的通分可以让它们具有相同的大小，从而比较它们之间的大小；而分式的约分则可以求出这个分式的最简形式。
也希望通过本文，人们能够对分式的通分和约分有更深刻的理解。
分式的基本性质通分
梳理
1、分式的基本性质。
2、分式的约分，最简分式。
3、分式的通分，最简公分母。
再见
25a bc (1) 约分： 2 15ab c
2
示范
3
x 9 ( 2) 2 x 6x 9
2
分析：为约分要先找出分子和分母的公因式。
5ac2 25a 2 bc3 5abc 5ac2 解： (1) 2 3b 15ab c 5abc 3b
x2 9 ( x 3)( x 3) x3 ( 2) 2 2 x 6x 9 ( x 3) x3
1 1 解： 与 的最简公 分母为( x y )( x y ), x y x y 即 x 2 y 2 , 所以
1 1 （ x y) x y 2 , 2 x y ( x y )( x y ) x y
1 1 ( x y) x y 2 . 2 x y ( x y )( x y ) x y
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）一个 不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为：
C , C C .(C 0) C
其中Ａ，Ｂ，Ｃ是整式。
分式的约分
把一个分式的分子和分母的公因式 约去,不改变分式的值，这种变形叫做分 式的约分。 1.约分的依据是：分式的基本性质 2.约分的基本方法是： 先找出分式的分子、分母公因式,再约 去公因式. 3.约分的结果是： 整式或最简分式
(3)
1 x²－y² ,
1 x²＋xy
(x＋y)(x－y) ∵ x²－y²＝________________,
x(x＋y) x²＋xy＝_____________,
先把分母
分式与分式方程
分式与分式方程分式是指形如 $\frac{a}{b}$ 的数，其中 a 和 b 都是实数，且 b 不等于零。
分式方程则是含有分式的方程。
在解分式方程之前，我们先来了解一下分式、分式的化简和分式方程的一些基本概念。
一、分式的基本概念分式由分子和分母组成，分子表示分式的被除数，而分母则表示分式的除数。
1. 真分数和假分数当分子小于分母时，分式称为真分数；当分子大于等于分母时，分式称为假分数。
如 $\frac{3}{4}$ 是真分数，$\frac{5}{3}$ 是假分数。
2. 约分和通分约分是指将分式的分子和分母同时除以一个公约数，使得分子和分母的最大公约数为1。
通分是指将分式的分子和分母同时乘以一个系数，使得分式的分母相等。
通分后可以进行分式的加减运算。
如$\frac{3}{8}$ 和 $\frac{6}{16}$ 可以通分为 $\frac{6}{16}$ 和$\frac{6}{16}$。
二、分式的运算法则1. 分式的加减法当分母相同时，可以直接相加或相减分子，而分母保持不变。
例如，$\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1$。
当分母不同时，需要先通分，然后再进行加减运算。
通分后，将分子相加或相减，分母保持不变。
例如，$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} =\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$。
2. 分式的乘法分式的乘法是将两个分式的分子相乘，分母相乘。
例如，$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$。
3. 分式的除法分式的除法是将第一个分式的分子与第二个分式的分母相乘，第一个分式的分母与第二个分式的分子相乘。
例如，$\frac{2}{3} \div\frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} =\frac{5}{6}$。
北师大版八年级下册数学 第五章 分式与分式方程(知识点)
第五章分式与分式方程知识点1：分式的概念1、分式的定义：一般地，用A,B表示两个正式，A÷B可以表示成AB的形式。
如果B中含有字母，那么称AB为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。
分式需要满足的三个条件：（1）是形如AB的式子；（2）A,B都整式；（3）分母B中必须含有字母。
分式有意义的条件：分母不能为0.分式无意义的条件：分母等于0.分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0.知识点2：分式的性质2、分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
字母表示：AB =A·CB·C，AB=A÷CB÷C(C≠0，其中A,B,C均是整式)运用条件：（1）分子和分母要同时做“乘法（或除法）”运算；（2）“乘（或除以）”的对象必须是同一个不等于0的整式。
3、分式的符号法则法则内容：分式的分子、分母与分式本身的符号同时改变其中两个，分式的值不变。
字母表示：AB =−A−B=−−AB=−A−B知识点3：分式的约分与通分4、分式的约分约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分，即A·CB·C =AB（C为整式且C≠0）.约分的方法：如果分式的分子、分母都是单项式，那么直接约去分子、分母的公因式；如果分式的分子、分母中至少有一个多项式，那么先分解因式，再约去分子、分母的公因式。
最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
5、分式的通分通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
用字母表示：将AB 和CD通分，AB=A·DB·D，CD=B·CB·D（分母都为B·D）。
通分的步骤：（1）将所有分式的分母化为乘积的形式，当分母为多项式时，应进行因式分解；（2）确定最简公分母，即各分母的所有因式的最高次幂的积；（3）将分子、分母同乘一个因式，使分母变为最简公分母。
八年级数学上册分式知识点
八年级数学上册分式知识点八年级数学上册分式知识点在我们的学习时代，不管我们学什么，都需要掌握一些知识点，知识点是知识中的最小单位，最具体的内容，有时候也叫“考点”。
哪些才是我们真正需要的知识点呢？下面是店铺帮大家整理的八年级数学上册分式知识点，仅供参考，欢迎大家阅读。
八年级数学上册分式知识点1分式知识点1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
2.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0;分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3.分式值为零的条件：分式AB=0的条件是A=0，且B≠0.(首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。
)4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为(其中A、B、C是整式)，5.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。
几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点：(1)“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的;(2)如果各分母的系数都是整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;(3)如果分母是多项式，一般应先分解因式。
6.分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。
约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。
(1)约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分;分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分;(2)找公因式的方法：①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式;②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。
分式的基本概念、约分、通分
分式的基本概念、约分、通分精品资料【概念巩固】1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ （1）9x+4, （2）x 7 , （3）209y +,（4） 54-m , （5） 238y y -，（6）91-x 是分式的有 ；2、对于BA 分式而言 （1）当 时，分式有意义；（2）当 时，分式无意义；（3）当 时，分式的值为0；（4）当 时，分式的值为1；（5）当 时，分式的值为-1；（6）当 时，分式的值大于0； 0；例1 、 对于分式53-x ， （1）当 时，分式有意义；（2）当 时，分式无意义；（3）当 时，分式的值为0；（4）当 时，分式的值为1；（5）当 时，分式的值为-1；（6）当 时，分式的值大于0；（7）当 时，分式的值小于0；【针对性练习】1、当x 取何值时，分式 2312-+x x （1）当 时，分式有意义；（2）当 时，分式无意义；（3）当 时，分式的值为0；（4）当 时，分式的值为1；（5）当 时，分式的值为-1；（6）当 时，分式的值大于0；（7）当 时，分式的值小于0；2、 当x 为何值时，分式xx x --21|| 的值为0？ 3、当x 取何值时，下列分式有意义？（1）x 25 （2）x x 235-+ （3）2522+-x x 答案：（1） ；（2） ；（3） ；【基础知识点】3、分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数或者式子，分式的值不变。
4、分式的约分(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．(2)分式约分的依据：分式的基本性质．(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．5、分式的通分把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。
※思考：分数通分的方法及步骤是什么？答：先求出几个异分母分数的分母的最小公倍数，作为它们的公分母，把原来的各分数化成用这个公分母做分母的分数。
八年级数学下分式的通分和约分
八年级数学下分式的通分和约分分式的通分和约分是数学中的一个重要概念，它们在解决问题和简化计算过程中起着至关重要的作用。
本文将详细讨论八年级数学下分式的通分和约分，以及相关的概念和应用。
一、分式的基本概念首先，我们来了解一下分式的基本概念。
分式是指两个整数或两个整式相除得到的式子，通常表示为a/b的形式，其中a被称为分子，b被称为分母。
分数在数学中有着广泛的应用，它可以表示实数、整数和分数之间的关系，且可以简化计算过程，提高计算的效率。
在分式中，分母不为0，这是因为除数不能为0，这一点在实际应用中尤为重要。
同时，我们还需要了解分式的约分和通分，它们对于化简分式和比较大小有着重要作用。
二、分式的通分和约分1.通分：通分是指将分母不同的分式转化为分母相同的分式。
通分的目的是便于比较大小和进行加减运算。
通分的方法有两种：一种是找到两个分母的最小公倍数，将分子和分母同时乘以一个适当的数；另一种是利用分式相乘的性质将分母相乘得到通分分母。
举例来说，要将1/2和1/3通分，我们可以找到它们的最小公倍数6，分别乘以3和2，得到通分后的分式3/6和2/6。
2.约分：约分是指将分子和分母将公因式约去成最简分式的过程。
约分的目的是使分式更加简洁和易于理解。
约分的方法是找到分子和分母的最大公约数，并将其约去。
继续以上面的例子，分式3/6和2/6可以约分得到1/2和1/3，分别是它们的最简分式。
三、分式的应用分式在数学中有着广泛的应用，它们可以用来解决各种实际问题。
在解决实际问题时，通分和约分是必不可少的步骤。
下面我们通过一些具体的例子来进一步说明分式的应用。
1.比较大小：比较大小是分式的一个常见应用，通分和约分是比较大小的关键步骤。
例如，我们要比较1/2和2/3的大小，可以通分得到6为通分分母，分别乘以3和2得到3/6和4/6，发现2/3比1/2大。
2.加减运算：在加减运算中，通分是必不可少的步骤。
例如，我们要计算1/2+1/3，可以先通分得到6为通分分母，分别乘以3和2得到3/6和2/6，然后相加得到5/6。
分式的约分与通分技巧
分式的约分与通分技巧分式是数学中常见的一种表达形式，它由分子和分母组成。
在进行数学运算或问题解答时，需要对分式进行约分或通分，以便更方便地进行计算或分析。
本文将介绍分式的约分与通分技巧，并提供一些实例进行说明。
一、分式的约分技巧分式的约分是指将分式的分子和分母同时除以它们的最大公约数，使得分子和分母的比值保持不变，但分式的表示形式更简洁。
下面是一些常见的约分技巧：1. 找出分子和分母的公共因子，计算它们的最大公约数。
然后将分子和分母同时除以最大公约数。
例如，对于分式6/12，我们可以找到分子6和分母12的最大公约数为6。
将分子和分母同时除以6，得到约分后的分式1/2。
2. 利用质数进行约分。
如果分子分母都可以被同一个质数整除，那么可以直接将分子和分母同时除以这个质数。
例如，对于分式18/24，我们可以发现分子18和分母24都可以被2整除。
将分子和分母同时除以2，得到约分后的分式9/12。
继续约分，我们可以得到3/4。
二、分式的通分技巧通分是指将两个或多个分式的分母统一为相同的数值。
通分可以使得分式之间的比较和运算更加便利。
下面是一些常见的通分技巧：1. 找出两个分式分母的最小公倍数，将两个分式的分母都改为最小公倍数，并使得分子保持不变。
例如，对于分式1/2和2/3，它们的分母分别为2和3。
2和3的最小公倍数为6，因此我们可以将1/2乘以3/3，2/3乘以2/2，得到通分后的分式3/6和4/6。
2. 利用分母之间的因数关系进行通分。
如果两个分数的分母之间存在因数关系，可以根据这个关系进行通分。
例如，对于分式1/3和1/6，我们可以发现6可以整除3。
将1/3乘以2/2，得到通分后的分式2/6。
以上是分式的约分与通分技巧的简要介绍。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和分式的特点选择合适的约分与通分方法。
熟练掌握这些技巧可以提高我们在数学运算和问题解答中的效率和准确性。
通过本文的介绍，我们对分式的约分与通分技巧有了更深入的了解。
分式的约分与通分及其运算规则
分式的约分与通分及其运算规则分式是数学中常见的一种数形式，由分子和分母组成，表示为a/b的形式。
分式的约分与通分是分式运算的基础，它们在分式的运算过程中起到了重要的作用。
本文将介绍分式的约分与通分的概念和运算规则。
一、分式的约分与通分的概念1. 约分：约分是指将分式中的分子和分母同时除以它们的公因数，使得分式的值保持不变且分子与分母互素（即它们的最大公约数为1）。
约分后的分式与原式等值，但其分子与分母通常会更小。
2. 通分：通分是指将两个或多个分式的分母进行相同的乘积操作，使它们拥有相同的分母。
通分后的分式可以方便地进行相加、相减、相乘、相除等运算。
二、约分与通分的运算规则1. 约分运算规则：a) 分式的分子与分母可以同时除以一个相同的非零整数，得到等值的分式。
b) 分式的分子与分母可以同时乘以一个相同的非零整数，得到等值的分式。
2. 通分运算规则：a) 对于两个分式a/b和c/d，若它们的分母相等，则可以直接相加、相减、相乘、相除等运算。
b) 对于两个分式a/b和c/d，若它们的分母不等，则需要进行通分操作，即将它们的分母相乘，并将分子按相应倍数扩大，使得它们的分母相等，然后再进行相加、相减、相乘、相除等运算。
三、约分与通分的实例演示1. 约分实例：分式4/8可以约分为1/2，因为它们的最大公约数是4。
分式6/15可以约分为2/5，因为它们的最大公约数是3。
分式12/18可以约分为2/3，因为它们的最大公约数是6。
2. 通分实例：分式1/3和2/5需要进行通分操作才能相加。
首先，它们的分母分别为3和5，所以它们的最小公倍数为15。
将1/3乘以5/5，得到5/15；将2/5乘以3/3，得到6/15。
现在，它们的分母相等，所以可以相加，结果为5/15 + 6/15 =11/15。
四、总结分式的约分与通分是数学中重要的运算规则，能够简化分式表达式和方便分式的运算。
约分能够使分式的分子和分母互素，降低分式的大小；通分能够使不同分式的分母相等，进而方便进行分式的加减乘除等运算。
分式基本性质
04
分式运算
分式乘除法运算
分子乘分子，分母乘分母
当分式的分子和分母都是多项式时，应先进行因式分解 ，再约分。约分时，分子和分母同时除以它们的最大公 因式。
整式与分式的乘除法
在分式的乘除法运算中，如果分子或分母是多项式，可 以将这个多项式作为一个整体，运用整式的乘除法法则 进行计算。
负号移到分母
当分式的分子或分母是多项式时，如果有负号，可以将 这个负号移到分母上，同时改变分式的符号。
例如解方程 x/2 + 1/(x-1) = 2，步骤 为：设y=x-1，则原方程变为y/2 + 1/y = 2，解得y=1或y=-2，经检验 得x=3或x=-1
参数法
例如解方程 (x+1)/x = (3-x)/(2x+4) ，步骤为：设t=x+1，则原方程变为 t/t-1 = (3-t)/(2t+2)，解得t=1或t=3，经检验得x=-2或x=4
因式分解
在进行通分时，需要对分子或分母进行因式分解，以便更好地进行通分。例如， $\frac{2x+4}{3x^2+2x}$可以分解为$\frac{2(x+2)}{x(x+1)}$。
乘除法通分
对于一些简单的分式，可以通过乘除法进行通分。例如，$\frac{2}{3}$和$\frac{3}{4}$可 以通分为$\frac{8}{12}$和$\frac{9}{12}$。
VS
间接通分
间接通分是指通过引入中间变量或利用等 价关系进行通分。例如，将 $\frac{x+1}{x^2-1}$和$\frac{x-1}{x^22x+1}$进行通分，可以先将后者变形为 $\frac{(x-1)^2}{x^2-2x+1}$，再利用等 价关系进行通分。
分式方程知识点总结
分式方程知识点总结
一、定义与性质
定义：分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程，称为分式方程。
基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
二、运算与变形
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
乘方法则：分式乘方时，要将分子、分母各自乘方。
加减法则：同分母的分式相加减时，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减时，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。
约分与通分：分式可以约分，即根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去；分式也可以通分，即把分子、分母同时乘以适当的整式，将异分母的分式转化为同分母的分式。
三、分式方程的解法
去分母：方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程。
注意，当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母。
解整式方程：通过移项、合并同类项、系数化为1等步骤，求出整式方程的解。
验根：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解；若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。
注意，解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根。
四、分式方程的应用
分式方程在多个领域都有广泛的应用，如金融和经济领域中的运输和速率问题、货币兑换、利润和成本计算；科学领域中的浓度计算问题、反应速率计算；数学领域中的比例问题等。
通过掌握这些知识点，可以更好地理解和应用分式方程，解决各种实际问题。
如需更深入的学习，建议查阅数学教材或咨询数学老师。
分式的基本概念、约分、通分
分式的基础观念、约分、通分粗品资料之阳早格格创做【观念坚韧】1．推断下列各式哪些是整式，哪些是分式？（1）9x+4, （2）x7,（3）209y +,（4）54-m , （5）238y y -，（6）91-x是分式的有； 2、对付于B A分式而行（1）当时，分式蓄意思； （2）当时，分式偶尔思； （3）当时，分式的值为0； （4）当时，分式的值为1； （5）当时，分式的值为-1； （6）当时，分式的值大于0； （7）当时，分式的值小于0；例1 、 对付于分式5312-+x x ，（1）当时，分式蓄意思； （2）当时，分式偶尔思； （3）当时，分式的值为0； （4）当时，分式的值为1； （5）当时，分式的值为-1； （6）当时，分式的值大于0；（7）当时，分式的值小于0； 【针对付性训练】1、当x 与何值时，分式 2312-+x x（1）当时，分式蓄意思； （2）当时，分式偶尔思； （3）当时，分式的值为0； （4）当时，分式的值为1； （5）当时，分式的值为-1； （6）当时，分式的值大于0； （7）当时，分式的值小于0；2、当x 为何值时，分式x x x --21|| 的值为0？3、当x 与何值时，下列分式蓄意思？（1）x 25 （2）xx 235-+ （3）2522+-x x问案：（1）；（2）；（3）； 【前提知识面】3、分式的基赋本量：分式的分子分母共时乘以大概除以共一个不为0的数大概者式子，分式的值稳定.4、分式的约分(1)约分的观念：把一个分式的分子与分母的公果式约去，喊干分式的约分．(2)分式约分的依据：分式的基赋本量．(3)分式约分的要领：把分式的分子与分母领会果式，而后约去分子与分母的公果式．(4)最简分式的观念：一个分式的分子与分母不公果式时，喊干最简分式．5、分式的通分把几个同分母的分数化成共分母的分数，而不改变分数的值，喊干分数的通分.※思索：分数通分的要领及步调是什么？问：先供出几个同分母分数的分母的最小公倍数，动做它们的公分母，把本去的各分数化成用那个公分母干分母的分数.分式的通分战分数的通分是一般的：通分的闭键是决定几个分式的公分母.6、最简公分母：各分式分母中的系数是最小公倍数与所有的字母（大概果式）的最下次幂的积，喊干最简公分母.※找最简公分母的步调：（1）．与各分式的分母中系数最小公倍数；（2）．各分式的分母中所有字母大概果式皆要与到；（3）．相共字母（大概果式）的幂与指数最大的；（4）．所得的系数的最小公倍数与各字母（大概果式）的最下次幂的积（其中系数皆与正数）即为最简公分母.※回瞅领会果式找公果式的步调：（1）找系数：找各项系数的最大契约数；（2）找字母：找相共字母的最矮次幂；例1： 约分：()532164.1abc bc a -()()()x y a y x a --322.2 例2：不改变分式的值，把下列各式的分子分母中的各项系数皆化为整数，且分子分母不含公果式把下列各式约分： ()x x x 525.122--()634.222-+++a a a a (3)d b a cb a 32232432-(4))(25)(152b a b a +-+- (5)b a ab a --2； (6)2242x x x ---；1．约分的主要步调：先把分式的分子，分母领会果式，而后约去分子分母中的相共果式的最矮次幂，（包罗分子分母中系数的最大契约数）.2．约分的依据是分式的基赋本量：约去分子与分母的公果式相称于被约去的公果式共时除本分式的分子分母，根据分式的基赋本量，所得的分式与本分式的值相等.3．若分式的分子、分母皆是几个果式的积的形式，则约去分子、分母中相共果式的最矮次幂，分子、分母的系数约去它们的最大契约数．4．若分式的分子、分母中有多项式，则要先领会果式，再约分．注意：1.当分式的分子与分母的果式只好一个标记时，要先处理佳标记再约分，果式变号准则如下：()()()()⎩⎨⎧--=--=---121222n n n n ab b a a b b a （其中n 为自然数）.2．分式的分子，分母的多项式中有部分项分歧时，不得将其中的一部分相共的项约去（约分只可约分子分母中相共的果式）.例1 、 供分式4322361,41,21xy y x z y x 的公分母.例2 供分式2241xx -与412-x 的最简公分母.例3 通分：（1）xy y x x y 41,3,22； （2）22225,103,54ac b b a c c b a -.例4 通分：（1）42,361,)42(222---x x x x x x ， （2）232,1122+--x x x x ；1、通分：y x y y x +-22;)1(1;1)2(23----x x x x （3）21,42b a ac（4）221,939a a a --- （5）))((1,))((1,))((1b a c a a c c b c b b a ------ ※小结1．把同分母的分式化为共分母的分式的表面依据是分式的基赋本量；2．分式通分的闭键是，决定各分式的最简公分母；3．分式通分的手段是，把同分母的分式转移为与本分式相等的共分母的分式，为教习同分母分式的加减法干准备.两、坚韧训练：1．约分：（1）3262a bab- （2）2222a ab a ab b +++2、挖空：（1）z y x z y x 43231221=； （2）z y x y x 43321241=； （3）z y x xy 4341261=.3．供下列各组分式的最简公分母：（1）22265,41,32bcc a ab ； （2）c m n m mn 32291,61,21；（3）))((1,1b a a b b a +--； （4）2)3(21,)3)(2(1,)2(31++--x x x x x ；（5）11,1,2222-++x x x x x .最简公分母是：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；4．通分：（1）zx y z x y 43,3,2； （2）c b a ab c a b 23326,43-； （3）232465,32,81xz z y x y x -.（4）)2(,)2(++x b xx a y ； （5）yx x y x 221,)(1--； （6）2)2(34,)2(25x x --；五、课后训练1、下列各式是不是分式？为什么？2、正在下列各式中，当x 与什么数时，下列分式蓄意思？问：（1）；（2）；（3）；3、正在下列分式中，当与什么数时，分式值为整？4、下列分式变形中粗确的是（ ）A 、ab a b a 2=B 、1121122-++=-+a ab a a a C 、2b abb a = D 、211a ab ab +=+ 5、把下列各式约分 6、通分：（1）3241,34,21x x x x x +--； （2）222254,43,32ba ab a -；（3）)(,)(x y b yy x a x --；（4）)2)(2(,)2(12-+-x x xx （11）))((,))((a b c b cb c b b a b a --+--+；（12）))((1,))((1,))((1b c a c a b c b c a b a ------。
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分式的基本概念、约分、通分精品资料
【概念巩固】
1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ （1）9x+4, （2）x 7 , （3）209y +,（4） 54-m , （5） 2
38y y -，（6）91-x 是分式的有 ；
2、对于B
A 分式而言 （1）当 时，分式有意义；
（2）当 时，分式无意义；
（3）当 时，分式的值为0；
（4）当 时，分式的值为1；
（5）当 时，分式的值为-1；
（6）当 时，分式的值大于0； 0；
例1 、 对于分式5
3-x ， （1）当 时，分式有意义；
（2）当 时，分式无意义；
（3）当 时，分式的值为0；
（4）当 时，分式的值为1；
（5）当 时，分式的值为-1；
（6）当 时，分式的值大于0；
（7）当 时，分式的值小于0； 【针对性练习】
1、当x 取何值时，分式 2
312-+x x （1）当 时，分式有意义；
（2）当 时，分式无意义；
（3）当 时，分式的值为0；
（4）当 时，分式的值为1；
（5）当 时，分式的值为-1；
（6）当 时，分式的值大于0；
（7）当 时，分式的值小于0；
2、 当x 为何值时，分式x
x x --21|| 的值为0？ 3、当x 取何值时，下列分式有意义？
（1）x 25 （2）x x 235-+ （3）2
522+-x x 答案：（1） ；（2） ；（3） ；
【基础知识点】
3、分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数或者式子，分式的值不变。
4、分式的约分
(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
(2)分式约分的依据：分式的基本性质．
(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．
(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．
5、分式的通分
把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。
※思考：分数通分的方法及步骤是什么？
答：先求出几个异分母分数的分母的最小公倍数，作为它们的公分母，把原来的各分数化成用这个公分母做分母的分数。
分式的通分和分数的通分是一样的：通分的关键是确定几个分式的公分母。
6、最简公分母：各分式分母中的系数是最小公倍数与所有的字母（或因式）的最高次幂的积，叫做最简公分母。
※找最简公分母的步骤：
（1）．取各分式的分母中系数最小公倍数；
（2）．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
（3）．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；
（4）．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。
※回顾分解因式找公因式的步骤：
（1） 找系数：找各项系数的最大公约数；
（2） 找字母：找相同字母的最低次幂；
例1： 约分：()532164.1abc bc a - ()()()x y a y x a --3
22.2 例2：不改变分式的值，把下列各式的分子分母中的各项系数都化为整数，且分子分母不含公因式
=-+
b a b a 413
2312
1)1( =-+y x y x 6.02125.054)2(
把下列各式约分： ()x x x 525.
122-- ()634.222-+++a a a a (3) d
b a
c b a 32232432-
(4) )(25)(152b a b a +-+- (5) b a ab a --2； (6) 2242x
x x ---；
1．约分的主要步骤：先把分式的分子，分母分解因式，然后约去分子分母中的相同因式的最低次幂，（包括分子分母中系数的最大公约数）。
2．约分的依据是分式的基本性质：约去分子与分母的公因式相当于被约去的公因式同时除原分式的分子分母，根据分式的基本性质，所得的分式与原分式的值相等。
3．若分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，则约去分子、分母中相同因式的最低次幂，分子、分母的系数约去它们的最大公约数．
4．若分式的分子、分母中有多项式，则要先分解因式，再约分．
注意：1.当分式的分子与分母的因式只差一个符号时，要先处理好符号再约分，因式变号规则如下：()()()
()⎩⎨⎧--=--=---121222n n n
n a b b a a b b a （其中n 为自然数）。
2．分式的分子，分母的多项式中有部分项不同时，不得将其中的一部分相同的项约去（约分只能
约分子分母中相同的因式）。
例1 、 求分式
4322361,41,21xy y x z y x 的公分母。
例2 求分式
2241x x -与412-x 的最简公分母。
例3 通分：
（1）
xy y x x y 41,3,22； （2）22225,103,54ac b b a c c b a -。
例4 通分：（1）
42,361,)42(222---x x x x x x ， （2）2
32,1122+--x x x x ；
1、通分： y x y y x +-22;)1( 1;1)2(23----x x x x （3）21,42b a ac
（4）
221,939
a a a --- （5）))((1,))((1,))((1
b a
c a a c c b c b b a ------
1．把异分母的分式化为同分母的分式的理论依据是分式的基本性质；
2．分式通分的关键是，确定各分式的最简公分母；
3．分式通分的目的是，把异分母的分式转化为与原分式相等的同分母的分式，为学习异分母分式的加减法做准备。
二、巩固练习：
1．约分：（1）3262a b ab - （2）2222a ab a ab b
+++ 2、填空：
（1）z y x z y x 43231221=； （2）z y x y x 43321241=； （3）z
y x xy 4341261=。
3．求下列各组分式的最简公分母：
（1）2
2265,41,32bc c a ab ； （2）c m n m mn 32291,61,21； （3）
))((1,1b a a b b a +--； （4）2)3(21,)3)(2(1,)2(31++--x x x x x ； （5）1
1,1,2222-++x x x x x 。
最简公分母是：（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；
4．通分：
（1）
z x y z x y 43,3,2； （2）c b a ab c a b 23326,43-； （3）232465,32,81xz z y x y x -。
（4）)2(,)2(++x b x x a y ； （5）y
x x y x 221,)(1--； （6）2)2(34,)2(25x x --；
五、课后练习
1、下列各式是不是分式？为什么？
π
m y x x x 2)3(;8)2(;)1(2+ 2、在下列各式中，当x 取什么数时，下列分式有意义？
2||).3....(9
1).2....(3).1(2--+-x x x x x x 答：（1） ；（2） ；（3） ；
3、在下列分式中，当取什么数时，分式值为零？
)5)(3(5||).2....(3
21).1(2-+-+-x x x x x
4、下列分式变形中正确的是（ ）
A 、ab a b a 2=
B 、1121122-++=-+a ab a a a
C 、2b ab b a =
D 、
211a ab a b +=+ 5、把下列各式约分 996).1.(22-++a a a 323627).2(b a b a n n + .)(24)(6).3(32
y a x x a x ----
6、通分：
（1）
3241,34,21x x x x x +--； （2）222254,43,32b a ab a -； （3）)(,)(x y b y y x a x --；
（4）
)2)(2(,)2(12-+-x x x x （11）))((,))((a b c b c b c b b a b a --+--+；
（12）
))((1,))((1,))((1b c a c a b c b c a b a ------。