初中数学弧长和扇形面积教案一

初中数学弧长和扇形面积教案一

第1课时弧长和扇形面积

1．经历弧长和扇形面积公式的探求过程．

2．会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算．

一、情境导入

在我们日常生活中，弧形随处可见，大到星体运行轨道，小到水管弯管，操场跑道，高速立交的环形入口等等，你有没有想过，这些弧形的长度怎么计算呢？

二、合作探究

探究点一：弧长

【类型一】求弧长

在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是________cm.

解析：根据弧长公式l ＝n πr

180，这里r ＝1，n ＝120，将相关数据代入弧长公式求解．即

l ＝120·π·1180＝23

π.

方法总结：半径为r 的圆中，n °的圆心角所对的弧长为l ＝n πR

180

，要求出弧长关键弄清

公式中各项字母的含义．

如图，⊙O 的半径为6cm ，直线AB

是⊙O 的切线，切点为点B ，弦BC ∥AO .若∠A ＝30°，则劣弧BC ︵

的长为________cm.

解析：连接OB 、OC ，∵AB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BO .∵∠A ＝30°，∴∠AOB ＝60°.∵

BC ∥AO ，∴∠OBC ＝∠AOB ＝60°.在等腰△OBC 中，∠BOC ＝180°－2∠OBC ＝180°－2×60°

＝60°.∴BC ︵

的长为60×π×6180

＝2π.

方法总结：根据弧长公式l ＝n πR

180

，求弧长应先确定圆弧所在圆的半径R 和它所对的圆

心角n 的大小．

【类型二】利用弧长求半径或圆心角

(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等

于π

2

，则该扇形的半径是________； (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是π

3，那么此扇形的圆心角的大小为________．

解析：(1)若设扇形的半径为R ，则根据题意，得45×π×R 180＝π

2，解得R ＝2.

(2)根据弧长公式得

n ×π×1180

＝π

3

，解得n ＝60，故扇形圆心角的大小为60°.

方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径．

【类型三】求动点运行的弧形轨迹

如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，

AC ＝3，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°.若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第

3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．

解析：点A 所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为3，圆心角为90°的扇形弧长之和，即l ＝3×120π×2180＋2×90π×3

180＝4π＋

3π.故填

(4＋

3)π.

方法总结：此类翻转求路线长的问题，通过归纳探究出这个点经过的路线情况，并以此推断整个运动途径，从而利用弧长公式求出运动的路线长．

探究点二：扇形面积 【类型一】求扇形面积

一个扇形的圆心角为120°，半径为3，

则这个扇形的面积为________．(结果保留π)

解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式S ＝

n πr 2360

＝

120×32π

360

＝3π.

方法总结：公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇形面积还有另外一种求法S ＝1

2

lr ，其中l 是弧长，r 是半径．

【类型二】求运动形成的扇形面积

如图，把一个斜边长为2且含有30°

角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过图形的面积是( )

A ．π B.

3

C.3π4＋32

D.11π12＋3

4

解析：在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，∴BC ＝1

2AB ＝1，由于这个三角板扫过的图形为扇

形BCB 1和扇形ACA 1，∴S 扇形BCB 1＝90·π·12360＝π4，S 扇形ACA 1＝90·π·（3）2360＝3π

4

，

∴S 总＝π4＋3π

4

＝π.故选A.

【类型三】求阴影部分的面积

如图，半径为1cm 、圆心角为90°的

扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )

A ．πcm 2

B.2

3

πcm 2 C.12cm 2 D.2

3

cm 2

解析：设两个半圆的交点为C ，连接OC ，AB ，根据题意可知点C 是半圆OA ︵，OB ︵

的中点，所以BC ︵＝OC ︵＝AC ︵

，所以BC ＝OC ＝AC ，即四个弓形的面积都相等，所以图中阴影部分的面积等于Rt △AOB 的面积，又OA ＝OB ＝1cm ，即图中阴影部分的面积为1

2cm 2，故

选C.

方法总结：求图形面积的方法一般有两种：规则图形直接使用面积公式计算；不规则图形则进行割补，拼成规则图形再进行计算．

三、板书设计

教学过程中，强调学生应熟记相关公式并灵活运用，特别是求阴影部分的面积时，要灵活割补法、转换法等.