信号分析及数据处理理论初步

矩—累积量转换公式：
c2 x ( ) E{x(t ) x(t )} E{x(t )}E{x(t )}
若x(t)为零均值，则
c2 x ( ) E{x(t ) x(t )} Rx ( )
集合 I 1, 2,3 的分割
(1) 分割为1个子集合： q 1

j 1 x1 k xk

k个随机变量r阶矩：
r mr1rk E x1r1 xkk ( j ) r ( r ) (1 , , k )


1 k 0
当 r1 rk 1 时，有
m11 E x1 xk ( j ) r ( k ) (1 , , k )
函数f(x)的Fourier反变换。
特征函数的k阶偏导数 k ( ) (k ) ( ) j k E x k e j x k
K阶矩的定义： 原点矩： mx E x k 中心矩： x E ( x ) k 用特征函数描述K阶原点矩：令 0,
6
平稳信号的高斯性检验


概率密度法 峭度和偏度检验法 卡方拟合优度检验（参见概率论等相关书籍） 双谱检验法
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随机信号的统计特性
均值
均方值 方差 概率密度函数 自相关函数、互相关函数 自功率谱密度函数、互功率谱密度函数
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几种常见信号的概率密度
1）正弦信号（相位为随机量） 2）正弦加随机噪声
高阶矩与高阶累积量
1. 单个随机变量x的高阶矩与高阶累积量
函数g(x)的均值： E g ( x) f ( x) g ( x)dx

j x 特别地，若 g ( x) e ，则称

( ) E e
j x



f ( x)e j x dx
是随机变量x的特征函数。它实际上是概率密度
ckx ( 1 ,, k 1 ) ？
x(t ), x(t 1 ),, x(t k 1 )
符号集 1, 2, , k I
矩—累积量转换关系：
cx ( I )
U q 1I p I p

(1)
q 1
(q 1)! mx ( I p )
p 1
q
集合 I 1, 2, , k 的无序、非空、无交连分割 (唯一性)
信号分析及数据处理理论初步
1
信号分类
连续信号 信号 离散信号
能量信号 信号 功率信号
周期信号 确定信号 非周期信号 信号 各态历经信号 随机信号平稳随机信号非各态历经信号 非平稳随机信号
高斯信号 超高斯信号 信号 非高斯信号 亚高斯信号
I 1, 2, 3 I1 1 , 2,3 mx ( I ) E x(t ) x(t 1 ) x(t 2 ) mx ( I1 ) E x(t ) E x(t 1 ) x(t 2 )
(2) 分割为2个子集合： q 2
I 2 2 , 1,3 I 3 3 , 1, 2 mx ( I 2 ) E x(t 1 ) E x(t ) x(t 2 ) mx ( I 3 ) E x(t 2 ) E x(t ) x(t 1 ) mx ( I1 ) E x(t ) E x(t 1 ) E x(t 2 )
高阶矩的计算： 定义式：
mkx ( 1 , , k 1 ) E x(t ) x(t 1 ) x(t k 1 )
1 ˆ 估计式： mkx ( 1 ,, k 1 ) N
x(t ) x(t ) x(t
t 1 1
N
k 1
)
问题：如何估计
集合 I 1, 2 的分割
(1) 分割为1个子集合： q 1
I 1, 2 I 1 , 2 mx ( I ) E x(t ) x(t 1 )
(2) 分割为2个子集合： q 2
mx ( I ) E x(t ) E x(t 1 )
( k ) (0) j k E x k
则
即
mx E x k ( j ) k ( k ) (0) ( j ) k ( k ) ( )
0
由于K阶矩由( ) 生成，故称特征函数 ( ) 为随机 变量x的矩生成函数(矩母函数)，又称第一特征函数。
3）窄带随机信号
4）宽带随机信号
常见信号概率密度函数
5）白噪声信号
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自相关函数定义及应用
自相关函数的定义 自相关函数消除噪声 维纳—辛钦定理
典型信号的自相关及功率谱
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互相关函数的定义及应用
互相关函数的定义 在测试技术中互相关技 术得到了广泛地应用,如 测量系统的延时、识别、 提取混淆在噪声中的信 号等。 举例
随机信号x(t)的k阶累积量：
ckx ( 1 ,, k 1 ) cum x(t ), x(t 1 ),, x(t k 1 )
高斯随机变量 N (0, 2 ) 的矩与累积量 第一特征函数： ( ) e K阶矩
2 2 2
k 奇数 0, mkx k 3 1 (k 1) , k 偶数
(3) 分割为3个子集合：
I 1 , 2 , 3
q3
矩—累积量转换公式： c3 x ( 1 , 2 ) E x(t ) x(t 1 ) x(t 2 )
E x (t ) E x (t 1 ) x (t 2 ) E x (t 1 ) E x (t ) x (t 2 ) E x (t 2 ) E x (t ) x (t 1 ) 2 E x (t ) E x (t 1 ) E x (t 2 )
第二特征函数： ( ) ln ( ) 2 2
2 2 k 由于 ( ) , ( ) , ( ) 0, k 3
故有
0, k 1 ckx 2 , k 2 0, k 3
结论：高斯随机变量的奇次阶矩恒为零，偶次阶矩仅决 定于二阶矩，而二阶累积量与二阶矩等价，所有高阶累积 量恒为零。

相关测速 相关定位
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功率谱的应用
12
功率谱的应用
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功率谱的应用
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相干函数
定义
物理意义
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倒谱
定义
物理意义
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倒谱的应用
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其他统计量
高阶统计量及谱
低阶统计量及谱
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高阶统计量及谱
1、高阶统计量包括高阶矩和高阶累积量 2、工程中采用高阶累积量（或高阶谱）而不采用高阶矩（高阶矩谱）作为非高斯信 号处理的理由： 1）高阶累积量及其谱在理论上可完全抑制高斯有色观测噪声，即高斯有色噪声的双 谱为零，高阶矩及其谱则不能； 2）特征函数与高阶累积量存在一一对应关系，因此，高阶累积量问题有唯一解，高 阶矩则不具有这种优点； 3）多个统计独立的随机过程的累积量为各个随机过程的累积量之和，该结论对于高 阶矩不成立。 3、在信号处理领域，高阶累积量及其谱主要应用于： 1）在信号检测、参量估计中抑制高斯过程。如非高斯信号在高斯噪声中被观测， 则可利用高阶累积量及其谱有效的抑制高斯噪声，从而使得非高斯信号的检测 过程得到一定程度上的简化，特别是在信噪比较低的情况下，该方法仍能有效 的对非高斯信号进行检测。 2）对信号或系统的相位及幅值进行重建。众所周知，功率谱对相位是盲的，只能 在最小相位的假设前提下对信号重建，但高阶累积量谱却保留的相位信息，可 以对非最小相位系统进行重建及辨识。 3）检测和描述时间序列的非线性。
第二联合特征函数
1 k 0
(1 ,, k ) ln (1 ,, k )
k阶联合累积量：
c1,,1 cum x1 , xk ( j ) k ( k ) (1 , , k )
1 k 0
3. 随机信号的高阶矩与高阶累积量
随机信号的高阶矩与高阶累积量分别是多个随 机变量的高阶矩与高阶累积量的推广 考查随机信号
x(t ) ，令
x1 x(t ), x2 x(t 1 ), , xk x(t k 1 )
随机信号x(t)的k阶矩：
mkx ( 1 , , k 1 ) E x(t ) x(t 1 ) x(t k 1 )
第二特征函数：( ) ln ( )
k阶累积量 (cumulant)：
d k ( ) cx ( j ) k ( k ) (0) ( j ) k d k 0
第二特征函数 ( ) 积量模母函数 累积量生成函数或累
2. 多个随机变量的高阶矩与高阶累积量
k个随机变量r.v. (random variable) 第一联合特征函数
x1 , , xk
(1 , , k ) E e j (1x1 k xk )


第一联合特征函数的 r r1 rk 阶偏导数
r (1 , , k ) ( r ) (1 , , k ) 1r1 krk
r j r E x1r1 xkk e
累积量的估计公式： 二阶累积量的估计： 三阶累积量的估计：
( ) m ( ) R ( ) 1 c 2x x 2x N
N
x ( n) x ( n )
n 1 1 2
( , ) m ( , ) 1 c 3x 1 2 3x 1 2 N
x ( n) x ( n ) x ( x
2
随机信号与样本

随机信号＝随机过程 X (t ) xn (t k )
随机过程的点： n、k均固定 随机过程的变量： k固定 随机过程的样本： n固定
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随机信号的平稳与非平稳

严平稳
Fn ( x1 , x2 , xn ; t1 , t 2 ,t n ) Fn ( x1 , x2 , xn ; t1 1 , t 2 2 ,t n n )
宽平稳
E( x) const
Rx (t1 , t 2 ) Rx (t1 t 2 )
循环平稳
随机相位正弦序列 随机振幅正弦序列
4
宽平稳检验
借助前人的经验
目视检验法 轮次检验法 统计检验法 单根检验
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各态历经性
如果随机过程中的任意一个样本函数，其时
间统计特征相同，且等于随机过程的时间统 计特征，即可称该随机过程具有各态历经性， 又称遍历性。 遍历性的意义在于：可以用单个样本函数的 时间统计特征来代替随机过程的时间统计特 征。
特别地，若 x(t ) 具有零均值，则
c3 x ( 1 , 2 ) E x(t ) x(t 1 ) x(t 2 ) m3 x ( 1 , 2 )
类似地，对于零均值的随机过程或信号，有
c4 x ( 1 , 2 , 3 ) E x(t ) x(t 1 ) x(t 2 ) x(t 3 ) E x (t ) x (t 1 ) E x (t 2 ) x (t 3 ) E x (t ) x (t 2 ) E x (t 3 ) x (t 1 ) E x (t ) x (t 3 ) E x (t 1 ) x (t 2 )