二次曲面拟合法

1、曲线拟合法
当测区范围较小、地形平坦且呈线状分布时，可采用多项 式曲线内插法，其数学模型为：
注意：一般要求 病态问题
，因为当n 过大时往往会出现计算
2、样条曲线拟合法
当测区范围较大且呈狭长分布时、地形较复杂，可采用多 样条曲线拟合法，其数学模型为：
注意：要求至少5个公共点，用追赶法求解。
案例一
5、最小二乘配置法
根据最小二乘原理
拟合结果四
从拟合统计结果来看在结合了平面拟合、相关平 面拟合、二次曲面拟合、三次曲面拟合方法的最 小二配置之后，精度提高明显。
6、基于EGM2008的“移去-恢复”法
根据物理大地测量学的理论,高程异常 可分解为3个分 量：
移去--恢复法的思想就是首先在高程异常中移 去长波分量部分或短波分量部分,对其剩余值进 行拟合,然后再在待定点上恢复移去的长波分量 值或短波分量值
4、多面函数法 设有n个公共点，其nX1向量记为 ，选取其中m个 结点为 为mX1向量，则有：
按间接平差原理，可求拟合系数，再代入待求点 坐标求出高程异常
拟合结果三
平滑因子取0
5、最小二乘配置法 常规方法是通过拟合出与高程异常相近似的趋势 面来代替拟合区域的似大地水准面，而并未考虑 趋势面与似大地水准面之间的差值，即将全部待 定参数看作非随机变量。而考虑函数模型中非随 机的系统部分的同时还考虑随机部分的方法称为 最小二乘配置法。其数学模型为：
检核点检测中误差差要求
根据“航外规范”要求，平地、丘陵地、山地高程 检测较差Δ 介于1.5 ~2.0倍中误差之间的误差数量 分别不得超过平地、丘陵地、山地被检测像控点总 数的5%。
拟合结果二
由于测区地形起伏较大，二次曲面拟合法、三次曲面拟 合法是相对较好拟合模型。
4、多面函数法 多面函数法是从几何观点出发，解决根据数据点 形成一个平差数学曲面问题。其理论认为任何数 学表面和任何不规则的圆滑表面，总可用一系列 有规则的数学表面的总和，以任意精度逼近。
用2、4、10号作为内插点，用其它点作为公共点
拟合结果一
结论：从拟合结果来说，线形拟合，效果一般
3、曲面拟合
当测区面状区域时，可用数学曲面拟合法求待定点的高程 异常，其数学模型。
根据所选系数不同，又可分为平面拟合法、相关平面拟 合法、二次曲面拟合法、三次曲面拟合法
3.1、平面拟合法
当测区地形平坦，面积较小时，可采用平面拟合法，即取 统一公式的前3项，其数学模型为：
6.1、EGM2008地球重力场模型简介 EGM2008是由美国国家地理空间情报局在以往重 力场模型的基础上充分利用最新数据基础上研发 的最新的地球重力场模型，该模型的阶次完全至 2159(另外球谐系数的阶扩展至2190次)，相当于 模型的空间分辨率约为 (约9km)。
6.2、EGM2008高程异常精度分析
当公共点个数大于3时，按间接平差原理：
3.2、相关平面拟合法
当测区地形较平坦，也可采用相关平面拟合法，即取统一 公式的前3项和第5项，其数学模型为：
当公共点个数大于4时，按间接平差原理：
3.3、二次曲面拟合法
当测区地形稍有起伏，可采用二次曲面拟合法，即取统一 公式的前6项，其数学模型为：
当公共点个数大于6时，按间接平差原理：
大地高、正高和正常高示意图
二、高程拟合的基本原理
由于我国使用的正常高系统，而GPS高程是在WGS-84坐标系下 大地高，无法直接使用。 似大地水准面沿铅垂线方向至参考椭球面的距离叫高程异常， 一般用 表示。
三、高程拟合的基本方法
1、物理大地测量方法 2、数学模型法 3、神经网络方法 4、组合方法
GPS高程拟合原理其应用
测绘工程系：谢忠俍
一、高程系统
1、正高系统：以大地水准面为基准的高程系统，地面某一点 沿铅垂线至大地水准面的距离； 2、正常高系统：以似大地水准面为基准的高程系统；地面某 一点沿铅垂线至似大地水准面的距离；
3、大地高系统：以参考椭球面为基准的高程系统，某点沿法
线方向到参考椭球面的距离，称为大地高。
基于“移去-恢复”拟合方法中常规方法无论是曲面拟合 、多面函数、移动曲面还是最小二乘配置法都是以三次曲 面拟合效果最好。
7、分块拟合
将测区进行分块，对测区分为高山地及平地两种类型，利 用测区范围内的公共点利用“移去-恢复”法对分块之后 区域内的像控点进行高程异常拟合，并进行精度评定。
7、小结 根据测区地形选取拟合的数学模型； 多面函数法中平滑因子及核函数的选择对拟合结 果影响非常大； 最小二乘配置法既考虑了系统误差又考虑了随机 误差，可提高拟合精度； 于GEM2008地球重力模型的“移去-恢复”法可 以有效提高高程异常拟合的精度； 对于面积较大、地形复杂的测区最好进行分块拟 合。
3.4、三次曲面拟合法
当测区地形起伏较大，可采用三次曲面拟合法，即取统一 公式的所有项，其数学模型为：
当公共点个数大于6时，按间接平差原理：
案例二 工程概况：西部某省级测绘院承担并完成了西煤东运煤 炭基地A测区1:10000地形图基础测绘及264幅地形图 航空摄影测量外业工作。测区范围南北宽约60 km， 东西长约165 km，总面积约6600km2，合计 1∶10000地形图264幅（其中利用卫星影像成图157 幅，航摄像片成图107幅）。测区最高高程约为 2800m，最低高程约为600m，相对高差约为2200m 。测区大部分区域平均高程约为800m。测区内道路 通行情况较差，一年当中大部分时间属大风极寒天气 。通过外业测量，共获得GPS水准公共点61个，航测 像控点158个，其中采用几何水准检核点25个。
6.2、EGM2008高程异常在中国的精度分析
EGM2008模型高程异常在我国大陆的总体精度为 20cm，华东华中地区12cm，华北地区达到9cm， 西部地区为24cm。
6.3、EGM2008高程异常计算公式
6.4、EGM2008计算器
6.5、EGM2008计算器批量计算结果
拟合结果五
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