青岛版九年级数学上册 3.1.1圆的对称性

你发现线段CE与DE有什么关系？ AC 与AD有什
C
E
D
么关系？BC与BD有什么关系？为什么？
A
因为⊙O关于直线AB成轴对称， 所以当⊙O沿直线AB折叠时，点C与点D 重合， AC与 AD重合，BC与 BD重合， 所以 AC＝ AD，BC＝ BD．
6
4.我们得到垂径定理 : 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
求证：∠ACD＝∠ADC．
A
证法2：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM＝MD．
O
∴在△AMC和△AMD中，
AM AM ， ∠AMC ∠AMD 90， CM DM ， ∴△AMC≌△AMD．
C
M
D
B
∴∠ACD＝∠ADC．
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2．如下图所示，⊙O是水平放置的输油管道的横截面，其 直径为650 mm，油面的宽度AB＝600 mm．求油的最大深度．
B O
P A
因为OP⊥AB，
根据垂径定理，得点P就为AB的中点．
13
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，
求证：∠ACD＝∠ADC．
A
证法1：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴AM垂直平分CD，
∴AC＝AD．
C
∴∠ACD＝∠ADC．
O
M
D
B
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1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，
1 2
×37.02＝18.51，OD＝OC-CD＝R-7.23．
10
在Rt△ODA中，由勾股定理， 7.23 m
37.02 m C
得OA2＝AD2+OD2，
A
D
B
即R2＝18.512+(R-7.23)2．
R
解这个方程，得R≈27.3．
O
所以，赵州石拱桥桥拱所在圆的半径约为27.3 m．
11
பைடு நூலகம்
例3 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C、D．AC与BD相等吗？为什么？
你发现线段CE与DE有什么关系？ AC 与AD有什
C
E
D
么关系？BC与BD有什么关系？为什么？
A
解：发现：CE＝DE； AC＝ AD， BC＝ BD．
理由：连接OC，OD．
因为OC＝OD，OE⊥CD，
所以CE＝DE．
所以点C与点D关于直线AB对称． 5
（3）如图，CD是⊙O的弦，AB是与CD垂
B
直的直径，垂足为点E．将⊙O沿直径AB折叠， O
解：如下图所示，过点O作OF⊥AB于点E，
交⊙O于点F，连接OA，则EF就是油的最大深度．
∵OE⊥AB，∴AE＝ 1 AB 1 600 300 (mm)．
2
2
A
O E
B
在Rt△OAE中，∵OA2＝OE2+AE2，
F
∴OE＝
OA2 AE 2
650 2 2
3002
125 (mm)．
600
7
例1 如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交AB于点
C，D，且AC＝BD．求证：OA＝OB．
证明：作OE⊥AB，垂足为点E．
O
由垂径定理，得CE＝DE．
∵AC＝BD， ∴AC+CE＝BD+DE，即AE＝BE．
AC
E
DB
∴OE为线段AB的垂直平分线．
∴OA＝OB．
8
例2 1400多年前，我国隋朝时期建造的赵州石拱桥（如 图）的桥拱近似于圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为 37.02 m，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形的高）为 7.23 m．求桥拱所在圆的半径（精确到0.1 m）．
3.1圆的对称性 （第1课时）
1
1 ．什么是轴对称图形？轴对称有哪些性质？ 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 轴对称的性质： 成轴对称的两个图形全等； 如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两 个图形全等．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是 任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
解：AC与BD相等．
理由：如图，过点O作OP⊥AB，垂足为P．
O
P
∵OP⊥AB，
AC
DB
∴AP＝BP，CP＝DP（垂直于弦的直径平分弦）．
∴AP-CP＝BP-DP，即AC＝BD．
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如图，P为⊙O内一点，你能用尺规作⊙O的一条弦AB，
使点P恰为AB的中点吗？说明你的理由．
解：能； 理由：连接OP， 过点P作OP的垂线AB，交⊙O于A，B两点， 则AB就是所求的⊙O的弦．
2
2 ．什么是弧、弦、直径、等弧？ 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧； 连接圆上任意两点的线段叫做弦； 经过圆心的弦叫做直径； 同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 今天这节课我们就利用轴对称的相关性质来研究圆．
3
3.思考下面的问题，并与同学交流：
（1）在一张半透明的纸片上画一个圆，标出它的圆心
∴EF＝OF-OE＝
650 2
125
200(mm)．
答：油的最大深度为200 mm．
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小结 圆的对称性 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是 它的对称轴． 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
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9
解：设桥拱所在圆的半径为R(m)．如下图所示，用 AB表示
桥拱， AB的圆心为O．经过点O作弦AB的垂线，垂足为点D，与
AB交于点C．
37.02 m
∵OC⊥AB，
7.23 m
C
∴D是线段AB的中点，
A
D
B
C是 AB的中点，CD就是拱高．
R
∵AB＝37.02，CD＝7.23，
O
∴AD＝
1 2
AB＝
O，再任意作出一条直径AB（如下图所示）．将⊙O沿直径
AB折叠，你发现了什么？
B
发现：直径AB两旁的两个半圆能够完全重合．
O
（2）再任意作一条直径，重复（1）中的操 A
作，还有同样的结论吗？
发现：上面的结论仍然成立．
4
（3）如图，CD是⊙O的弦，AB是与CD垂
B
直的直径，垂足为点E．将⊙O沿直径AB折叠， O