数学与应用数学专业常微分方程试题

数学与应用数学专业常微分方程试题
电大天水分校麦积教学点 王景昕
2004年9月
一、填空题（每小题3分，本题共15分）
1．方程0d )1(1)d (2
2=-+-y x y x y x 所有常数解是 ． 2．方程04=+''y y 的基本解组是 ．
3．方程1d d +=y x
y
满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．
4．函数组)(,),(),(21x x x n ϕϕϕ 在区间I 上线性无关的 条件是它们的朗
斯基行列式在区间I 上不恒等于零． 5．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共同零点．
二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
6．方程
y x
y
=d d 的奇解是（ ）
． （A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y
7. 方程21d d y x y -=过点)1,2
(π
共有（ ）个解．
（A ）一 （B ）无数 （C ）两 （D ）三
8．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个． （A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +2 9．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ ）．
（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解 （C ）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解 10．如果),(y x f ，
y y x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f x
y
=的任一解的存在区间（ ）．
（A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+ （C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定
三、计算题（每小题６分，本题共30分）
求下列方程的通解或通积分：
11.
x y x y x y tan d d += 12.
1d d +=x
y
x y 13. 2(e )d d 0x
x y x x y -+= 14．1)ln (='-'y x y
15．022
=+'+''x y y y
四、计算题（每小题10分，本题共20分）
16．求方程x
y y e 2
1=-''的通解．
17．求下列方程组的通解
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x t
y y x t
x
43d d 2d d ．
五、证明题（每小题10分，本题共20分）
18．在方程)()(d d y y f x
y
ϕ=中，
已知)(y f ，)(x ϕ'在),(∞+-∞上连续，且0)1(=±ϕ．求证：对任意0x 和10<y ，满足初值条件00)(y x y =的解)(x y 的存在区间必为),(∞+-∞．
19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，已知)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续．求证：该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切．
试题答案及评分标准
一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1．1,1±=±=x y 2．x x 2cos ,2sin
3．}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面） 4．充分 5．没有
二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．D 7．B 8．A 9．C 10．D 三、计算题（每小题６分，本题共30分）
11．解： 令u x
y
=，则
x u x u x y d d d d +=，代入原方程，得 u u x u x u tan d d +=+，u x
u
x tan d d = （2分）
当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得
C x
x
u u ln d tan d +=⎰⎰ （4分）
C x u ln ln sin ln += （5分）
即通积分为：
Cx x
y
=sin
（6分） 12．解： 对应齐次方程dy y
dx x
=
的通解为 Cx y = （2分）
令非齐次方程的特解为
x x C y )(= （3分）
代入原方程，确定出
/1
()c x x
=
（4分） 再求初等积分得
C x x C +=ln )( （5分）
因此原方程的通解为
Cx y =+x x ln （6分） 13．解： 积分因子为
21()2
()2ln 2
1()x x e y x dx dx x x y x
x x e
e e x μ∂-∂-
--
-∂∂⎰
⎰==== （3分）
取001,0x y ==，则原方程的通积分为 101
2d d )(e C y x x
y y x
x =+-
⎰⎰
（5分） 即
1e ,e C C C x
y
x
+==+
（6分）
14．解： 令p y ='，则原方程的参数形式为
⎪⎩⎪⎨⎧
='+=p y p
p x ln 1 （2分） 由基本关系式 y x
y
'=d d ，有
2111
d d ()d (1)d y y x p p p p p p
'==⋅-+=- （4分）
积分得 C p p y +-=ln （5分）
得原方程参数形式通解为
⎪⎩
⎪
⎨⎧
+-=+=C p p y p p x ln ln 1 （6分） 15．解： 原方程是恰当导数方程，可化为
0)(2
='+'x y y （2分） 于是积分得
12d d C x x
y
y
=+ （4分） 分离变量得
21()ydy c x dx =- （5分）
积分得通积分为
23123
1
21C x x C y +-= （6分）
四、计算题（每小题10分，本题共20分）
16．解： 对应的齐次方程的特征方程为：
012
=-λ （1分） 特征根为：
1,121-==λλ （2分）
故齐次方程的通解为：
x
x
C C y -+=e
e 21 （4分）
因为1=α是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为 x
Ax x y e )(1= （6分）
代入原方程，有
x
x x x Ax Ax A e 2
1e e e 2=
-+， （7分）
可解出
4
1=
A ． （8分） 故原方程的通解为
x
x x x C C y e 4
1e e 21+
+=- （10分）
17．解： 方程组的特征方程为 043
21=----=
-λ
λλE A
即 0232
=+-λλ （1分） 特征根为
11=λ，22=λ （2分） 11=λ对应的解为 t
b a y x e 1111⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥
⎦⎤⎢
⎣⎡ （3分） 其中11,b a 是11=λ对应的特征向量的分量，满足
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a （4分）
可解得1,111-==b a ． （5分） 同样可算出22=λ对应的特征向量分量为 3,212-==b a ． （8分）
所以，原方程组的通解为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡t t t t C C y x 2221e 32e e e （10分） 五、证明题（每小题10分，本题共20分）
18．证明： 由已知条件，该方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理
条件． （2分） 显然1±=y 是方程的两个常数解． （4分） 任取初值),(00y x ，其中),(0∞+-∞∈x ,10<y ．记过该点的解为)(x y y =，由上面分析可知，一方面)(x y y =可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过1=y ，下方不能穿过1-=y ，否则与惟一性矛盾,故该解的存在区间必为),(∞+-∞． （ 10分） 19．证明： 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是),(∞+-∞． （2分） 显然，该方程有零解0)(≡x y ． （5分）
假设该方程的任一非零解)(1x y 在x 轴上某点0x 处与x 轴相切，即有)()(01
01x y x y '== 0，那么由解的惟一性及该方程有零解0)(≡x y 可知),(,0)(1∞+-∞∈≡x x y ，这是因为零解也
满足初值条件)()(01
01x y x y '== 0，于是由解的惟一性，有∈≡≡x x y x y ,0)()(1,(-∞ )∞+．这与)(1x y 是非零解矛盾． （10分）。