截交线-平面切割平面立体
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第08章截交线
Ⅱ Ⅳ Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点 2’
5’(6’) 3’4’ 1’
7’8’
（2）再作一般点。
2”
6”
4”
8”
5” 3”
7”
（3）依次光滑连接各点，即得 截交线的水平投影和侧面投影。 （4）补全侧面转向轮廓线。
1” 4
Ⅱ
6 2
8
Ⅳ Ⅲ
正垂线
1
7
3 5 平面与圆锥相交
1
7 2
求 4 交 6 线 1。求交点连线 方 2。根据条件直接求交线 法
求切割体的投影就是在 基本体的基础上，画出 截断面的投影，去掉截 去部分轮廓的投影
注意利用平面投影特 性中“类似形”“积 聚性”这些投影特征 来分析、作图、检查。
例2 求立体截切后的投影
4 5 1
（3）
3 6
4
3” 2”
1”
二：作图:①求正垂面 与立体的交线
1 ·
4 3
2
(a) 求正垂面与立体的交线
作图:②，判别可见性， 完成轮廓投影、加深。
2’ (4’)
1’
3’ 4” 1”
3” 2”
4 3 1 2
(c) 整理、加深 正四棱锥被一正垂面截切
作图: ③检查、完成
(d) 检查、完成 图3-21 正四棱锥被一正垂面截切
8
1 7 6 2
4
3
(d) 整理、加深
图3-22 正四棱锥被两平面截切
作图: ③检查、完成
(e) 检查、完成 图3-22 正四棱锥被两平面截切
例：求立体截割后的投影
1’(2’) 1〞 4〞 2〞 3〞
切割体13详解
分析：槽是由三个截平面形 成的，左右对称的两个截平 面是平行于圆柱轴线的侧平 面，它们与圆柱面的截交线 均为两条直素线。另一个截 平面是垂直于圆柱轴线的水 平面，它与圆柱面的截交线 为两段圆弧。三个截平面间 产生了两条交线，均为正垂线。
• 1
•5 (3)
完成后的投影图
在形状较为复杂的机件上，有时会见到由平面与曲面立 体相交而形成的具有缺口的曲面立体和穿孔的曲面立体，只 要逐个作出各个截平面与曲面立体的截交线，并画出截平面 之间的交线，就可以作出这些曲面立体的投影图。
第八章 切割体的视图
第一节 平面切割体的视图
截切——用一个与立体相交
的平面， 截去立体的一部分。
截平面——用以截切立体的 截交线
平面。
截交线——截平面与立体
表面的交线。
截断面
截断面——因截平面的截切，
在立体上形成的平面。
截平面
一、平面立体截切的基本形式
截交线的性质：
封闭性:平面立体的截交线是一个由直线组成的平面封闭多边 形，其形状取决于平面立体的形状及截平面在平面立体上的截 切位置。 共有性:截交线的每条边都是截平面与棱面的交线。
例、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个 投影。
8' 6'（7'）
8"
7"
6"
4' （5'） 5"
2' （3'） 1'
3"
2"
1"
3 1
5 7
8
具体由步于骤平如面下与：圆柱的轴线 斜交，因此截交线为一椭圆。 截（（交2134）））线先再将补的作作这全正出出些侧面截适点面投交当的投影线数投影重上量影中影的为一 4" 直的特依线一殊次转，般点光向水点。滑轮平。的廓投连线影接。与起圆来柱。面的 投影重影为圆。侧面投影可
§4.2 平面与立体相交求截交线
1
s 2
3
(3)连接各点同面投影即等截交 线的三个投影
(4)补全棱线投影
求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
分析：截平面为正垂面 截交线的正面投影积聚 为直线。截平面与四条 棱线相交，从正面可直 接找出交点。 作出各对应点的投影， 4• 1 2
•
1'
(4') 2'
3'
4"
3"
2"
1"
依次连接各点。 3 补全棱锥体的外形投影。
3 1
2
a
3
2
[例题5]
分析并想象出圆锥穿孔后的投影
主要内容
4.2.1 圆柱截交线 4.2.2 圆锥截交线
4.2.3 圆球截交线
一.面与圆球相交所得截交线
圆
二.求圆球截交线上点
平行圆画法:在圆球表面上取若干个平行于投
影面的平行圆,求这些平行圆与截平面的交点;
三.圆球截交线
[例题1]求圆球截交线
ο
截平面与圆锥轴线
倾斜，倾角θ>α 截交线为椭圆。
Pv
Pv
Pv
截平面与圆锥轴线 倾斜面，倾角θ=α 截交线为抛物线。
截平面与圆锥轴线 平行或倾角θ<α， 截交线为双曲线。
截平面过锥顶截 交线为三角形。
特殊点 一般点 b'
a'
a''
c'
b''
c''
整理加深
S
由点连线
P
b
c
a
Ⅰ
解题步骤 1 分析 截交线的水 平投影和侧面投影已 知，正面投影为双曲 线并反映实形； 2 求出截交线上的特 殊点A、C； 3 求出一般点B ； 4 光滑且顺次地连接 各点，作出截交线， 并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
截交线-平面切割平面立体讲解
小结
平面与平面立体相交，其截交线是一封闭 的平面折线。求平面与平面立体的截交线， 应先求出立体棱线与截平面的交点，并判 别可见性，然后依次连接各交点，即为所 求的截交线的投影。
谢 谢！
平面切割平面立体
§3-2 截交线的投影作图
截切立体的平面，称为截平面。 平面截切立体所得的表面交线，叫截交线。 截交线所围成的平面图形，称为截断面。
§3-2-1 截交线的基本性质
(1) 由于基本体表面是有范围的，所以截 交线必定是封闭的平面图形。
(2) 截交线是截平面和基本体表面共有的 线，截交线上的点都是它们的共有点。
平面切割长方体
1’(4’)
主视图
2’(3’)
左视图
3”
2”
4”
1”
4
3
45°
1 俯视2图
截断面
截交线
截平面
Ⅳ
Ⅲ
P
Ⅱ
Ⅰ
§3-2-2 平面截交线的特点
平面与平面立体的截交线为封闭的多边形。 多边形的各个顶点是截平面与立体的棱线
或底边的交点，多边形的各条边是截平面 与平面立体表面的交线。
（一）水平面切割正六棱柱
主视图
左视图
俯视图
（二）正垂面切割正六棱柱
4’
3’(5’)
5”
4” 3”
2’(6’)
6”
1”
2”
1’
6 1
2
5 4
3
Ⅴ
Ⅳ
Ⅵ
P
Ⅲ
Ⅱ Ⅰ
§3-2-3 平面截交线的作图步骤
分析立体的表面性质，截平面与投影面的 相对位置，截平面与立体的相对位置，初 步判断截交线的形状及其投影。
14截平面截切平面立体和回转体时截交线的求法解析
表3-1
平面与圆柱的交线
3.3 切割体的投影
当截平面与圆柱轴线平行时，其截交线为矩形〔其中两对边为圆柱面的素 线〕;当截平面与圆柱轴线垂直相交时，其截交线为圆;当截平面与圆柱轴线倾斜 相交时，其截交线为椭圆。
【例3-3】 求一斜切圆柱的截交线的投影〔图3-19〕。 【解】 圆柱被正垂面P截断，由于截平面P与圆柱轴线倾斜，故所得的截交 线是一椭圆，它既位于截平面P上，又位于圆柱面上。因截平面P在V面上的投影 有积聚性，故截交线的V 面投影应与PV 重合。圆柱面的H面投影有积聚性，截交 线的H面投影与圆柱面的H面投影重合。所以，只需求出截交线的W面投影。其作 图过程〔图3-19〕如下:Βιβλιοθήκη 图3-23 平面与球面交线的根本作图
3.3 切割体的投影
【例3-7】 画出图3-24〔a〕所示立体的投影。 【解】 〔1〕空间分析 该立体是在半个球的上部开出一个方槽后形成的。 左右对称的两个侧平面P和水平面Q与球面的交线都是圆弧，P和Q彼此相交于直线 段。
图3-24 球上开槽的画法
3.3 切割体的投影
3.3 切割体的投影
教学目的： 1.生疏截交线的性质，娴熟把握平面与常见平面立
体和 回转体的截交线的画法。 2.把握常见平面立体和回转体切口的分析方法和画
法； 3.截切体的尺寸标注方法。 教学重点： 1.截平面截切平面立体和回转体时截交线的求法。 2.切割体的尺寸标注。 教学难点： 截交线的绘制方法。
3.3 切割体的投影
常见切割体的尺寸注法如图3-25所示。
图3-25 切割体的尺寸标注
3.3 切割体的投影
3.3 切割体的投影
图3-18 四棱锥被二平面截切
留意: 平面Q与平面P交线的水平投影3、4应为细虚线。在侧面投影上的细虚 线也不要遗漏。
机械制图——截交线(平面切割平面体)课件
SUMMAR Y
一款专门用于有限元分析的三维 CAD软件，可以进行高质量的三 维建模。
使用三维软件绘制截交线
打开三维建模软件，新建一个 空白文档。
使用软件的绘图工具，根据截 交线的形状和尺寸进行绘制。
根据需要，对截交线进行必要 的修改和调整，确保其符合实 际需求。
保存并导出三维模型，以便后 续应用和展示。
三维模型的应用与展示
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMARY
机械制图——截交 线(平面切割平面体) 课件
目录
CONTENTS
• 截交线的基本概念 • 平面切割平面体的截交线 • 实际应用中的截交线 • 截交线的三维建模 • 截交线的实际操作练习
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
05
截交线的实际操作练习
练习题一：绘制正方体的截交线
总结词
掌握正方体截交线的绘制方法
详细描述
通过平面切割正方体，观察截交线的形状和特点，掌握绘制正方体截交线的基本步骤和 技巧。
练习题二：绘制长方体的截交线
总结词
熟悉长方体截交线的绘制技巧
02
平面切割平面体的截交 线
正方体的切割
正方体在平面切割时，其截交线可能 是一个点、一条直线或一个平面多边 形。根据切割面的位置和角度，截交 线的形状会有所不同。
当切割面与正方体的一个面平行时， 截交线是一条直线；当切割面与正方 体的棱线平行时，截交线是一个平面 多边形；当切割面与正方体的顶点相 交时，截交线是一个点。
第四章 截交线
2020/6/11
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39
【例题十六】已知圆球被两个面所截，求截交线的水平投影和 侧面投影 。
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4-17 动画演示
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40
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41
§4.2 同轴叠加回转体截交线的画法
求取：分解多体为基本体，分析各基本体截交线形状，画出交线的投影。 [例十七]已知圆锥被两个平面P、Q所截，求截交线的水平投影和侧
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4-1 动画演示 上一页
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6
（二）作图
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7
【例三】已知六棱柱被P、Q面所截切，求截交后交线的各投影。 （一）分析
截平面P是正垂面，Q是侧平面， 正面投影都有积聚性。 求截交线的H、W面的投影。
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二、求取：同平面立体 对圆锥、圆球等用素线法或纬圆法作图求交点。
三、 注意： ①同平面立体； ②连线：多点光滑相连；找点 ：特殊点（转向轮廓线上 点如最高、最底、最前、最后、最 左、最右）； 一般点。 ③同平面立体； ④曲面立体截交线要明确其特点：
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（二）作图
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【例四】已知四棱柱被五个面所截切，求截切后形体的俯视图
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4-2 动画演示
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【例题十六】已知圆球被两个面所截，求截交线的水平投影和 侧面投影 。
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4-17 动画演示
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§4.2 同轴叠加回转体截交线的画法
求取：分解多体为基本体，分析各基本体截交线形状，画出交线的投影。 [例十七]已知圆锥被两个平面P、Q所截，求截交线的水平投影和侧
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（二）作图
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【例三】已知六棱柱被P、Q面所截切，求截交后交线的各投影。 （一）分析
截平面P是正垂面，Q是侧平面， 正面投影都有积聚性。 求截交线的H、W面的投影。
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二、求取：同平面立体 对圆锥、圆球等用素线法或纬圆法作图求交点。
三、 注意： ①同平面立体； ②连线：多点光滑相连；找点 ：特殊点（转向轮廓线上 点如最高、最底、最前、最后、最 左、最右）； 一般点。 ③同平面立体； ④曲面立体截交线要明确其特点：
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（二）作图
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【例四】已知四棱柱被五个面所截切，求截切后形体的俯视图
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4-2 动画演示
§平面与立体相交求截交线
线面交点法：求平面立体棱线与截平面的交 点，顺序连接各交点，即为所求。
面面交线法：求截平面与平面立体表面的交 线。
2、单一平面与平面立体截交
例.三棱锥被正垂面所截切
s’ Pv 3’
2’
s”
3” 2”
(1)求Pv与s’a’、s’b’、s’c’的交点 1’、2’、3’为截平面与各棱线的 交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影
截交线是封闭的平面曲线或曲线与平面 组成的平面图形。
截交线的形状，取决于回转体表面的形 状及截平面对回转体轴线的相对位置。
曲面立体截交线形状
平面(截平面)与曲面立体表面相交,截交线的形状是 ①由曲线围成的平面图形， ②由曲线和直线围成的平面图形， ③由直线围成的平面多边形。
曲面立体截交线求法
5.整理轮廓线;
Ⅲ
Ⅰ
Ⅴ
Ⅱ
Ⅶ
Ⅳ
Ⅷ
Ⅵ
圆柱截交线
3'
4('5)'
3" 5'
1('2)'
2"
2 5
3
4 1
解题步骤
4'
1．分析侧面投影为圆的一部分，截交线 的水平投影为椭圆的一部分；
1" 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ ；
3．求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ；
4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线 ，并且判别可见性；
2
4
3、多个平面与平面立体截交
如下图所示，作四棱柱被截切后的投影。
B
a' (b') b"•
•a"
A
b
分析：四棱柱的上部被一个正垂面和 一个侧平面所截切，因四棱柱的四个
面面交线法：求截平面与平面立体表面的交 线。
2、单一平面与平面立体截交
例.三棱锥被正垂面所截切
s’ Pv 3’
2’
s”
3” 2”
(1)求Pv与s’a’、s’b’、s’c’的交点 1’、2’、3’为截平面与各棱线的 交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影
截交线是封闭的平面曲线或曲线与平面 组成的平面图形。
截交线的形状，取决于回转体表面的形 状及截平面对回转体轴线的相对位置。
曲面立体截交线形状
平面(截平面)与曲面立体表面相交,截交线的形状是 ①由曲线围成的平面图形， ②由曲线和直线围成的平面图形， ③由直线围成的平面多边形。
曲面立体截交线求法
5.整理轮廓线;
Ⅲ
Ⅰ
Ⅴ
Ⅱ
Ⅶ
Ⅳ
Ⅷ
Ⅵ
圆柱截交线
3'
4('5)'
3" 5'
1('2)'
2"
2 5
3
4 1
解题步骤
4'
1．分析侧面投影为圆的一部分，截交线 的水平投影为椭圆的一部分；
1" 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ ；
3．求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ；
4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线 ，并且判别可见性；
2
4
3、多个平面与平面立体截交
如下图所示，作四棱柱被截切后的投影。
B
a' (b') b"•
•a"
A
b
分析：四棱柱的上部被一个正垂面和 一个侧平面所截切，因四棱柱的四个
截交线
例 求圆柱体被平面P、Q截切后的投影
P Q
非圆曲线画法
p'
q'
找特殊点 检查 截交线分析 中间点 外形轮廓线投影 Q光滑连接曲线 圆柱体轴线，Q圆柱面交线为椭圆曲线 P//圆柱体轴线，P圆柱面交线为直线
36
若增加圆柱孔 结果将如何？
检查孔的外形 求外表面交线 求内表面交线 检查交线 无线! 轮廓线投影 内、外交线分别求解 注意检查 孔的外形轮廓线投影 截平面与孔的交线
确定截交线 的投影特性
7
课本例4-1 三棱锥被一正垂面所截割，求切去顶部 后三棱锥的水平投影和侧面投影。 C c' A c"
P
b'
B
b"
a' a c
b
a"
截交线求法
截平面棱线=交点 棱线法
求截交线 先求棱锥侧投影
8
例：求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
(4') 2'
1'
3'
3"
4" 1"
2"
分析：截平面为正垂面 截交线的正面投影积聚 为直线。截平面与四条 棱线相交，从正面可直 接找出交点。 作出各对应点的投影， 依次连接各点。
4• 1 2• 3
补全棱锥体的外形投 影。
9
被截切后的投影图：
10
例：正垂面截切六棱柱，完成截切后的三面投影。
6'（7'） 4' （5'） 5"
2' （3'） 1' 3 5 7
37
圆柱切割体
8 (9 ) 6 (7 ) 4 (5 ) 2 (3 ) 1 5 3 2 1 y 9( 7 ) y 7 9 8 6 4
平面截切的基本形式
4”
3”
1”
(12)’
7’ 11’
5’ (6)’
12” 6” 8”
5” 7”
11”
9’ (10)’
10”
9”
10 8 12
6 4
11 7 9
3 5
㈢ 圆球表面的截交线
平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但 根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线 的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。 例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
5 4 3 2 1 4 3 2 1 5
平面与圆锥相交
例3:圆锥被正平面截切，补全主视图。 截交线 的空间 E 形状？ 截交线 D C 的投影 特性？ A
● ●
e′
●
B
c d′
′
●
●
a′
b′
a c
●
●
●
e
●
d
●
b
例4:已知立体的正面投影，试完成另外两面投影
1’ (2)’ (8)’
(4)’ 3’
2”
例1:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的 另外两个投影。
3’ 2’ 1’ 5” 4” (4’) (5’) 3” 2” 1”
具体步骤如下： （1）先求特殊点。 （2）再求一般点。 （3）依次光滑连接各点。
平面截切的基本形式
截平面
截断面 截交线
截交线与截断面
一、平面体表面的截交线
截交线是一个由直线组成的封闭的平 面多边形。 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。 ⒈ 求截交线的两种方法： ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 ⒉ 求截交线的步骤： 确定截交 线的形状 ★ 空间及投影分析 ☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 ★ 画出截交线的投影 确定截交线 分别求出截平面与棱面的交 的投影特性 线，并连接成多边形。
工程制图第四章
例2：正垂面截切六棱柱，完成截切后的三面投影。
6'（7'） 4' （5'） 5" 2' （3'） 1' 3 5 7 1 6 2 4 3" 1" 7" 6" 4" 2" 分析：由图可知，截交线的 正面投影积聚为一直线。水 平投影，除顶面上的截交线 外，其余各段截交线都积聚 在六边形上。
完成后的投影图
截平面与圆锥轴线 平行或倾角θ<α， 截交线为双曲线。
截平面过锥顶截 交线为三角形。
例1：已知圆锥体的正面投影和部分水平面投影，求斜切圆 锥体的水平投影和侧面投影。
c'(d ') b' • a' •
•• k'l'
b" d" • • • c" • • l" • •k" •
a"
ld •••
a
•
•
kc
•••
e'
a'
d f h •••
a• ec
例2：已知带通槽半球的正面投影，完成水平和侧面投影。
分析：半球的通槽由三个平面构成， 一个水平面和两个侧平面截切圆球， 它们与球面的截交线都是分别平行于 投影面的圆弧。 作图的关键是确定截交圆弧的半径， 可根据截平面位置确定。 1、通槽的水平投影作图：过槽底部 作辅助水平面，水平投影为圆，并 在圆周上截取与正面投影相对应的 前后两段圆弧。 2、通槽侧面投影的作图：两侧平面 距球心等远，两圆弧的半径相等， 两段圆弧的侧面投影重合。
b' g'(h' ) • c'(d') • (f ') • 分析：截平面为正垂面，截交线的正面投影为 直线，水平投影为椭圆。 作图：1.求特殊点 截交线的最低点A和最 高点B也是最左点和最右点，还是截交线水平 投影椭圆短轴的端点，水平投影a、b在其正面 投影轮廓线的水平投影上。 e'f'是截交线与球的水平投影轮廓线的正 面投影的交点，其水平投影ef在球的水平投影 轮廓线上。 • b • •• g a'b'的中点 c ' d'是截交线的水平投影椭 圆长轴端点的正面投影，其水平投影c、d投影 在辅助纬圆上。 2.求一般点 选择适当位置作辅助水平面， 与 a'b'的交点g' 、h'为截交线上两个点的正 面投影，其水平投影g、h投影在辅助纬圆上。
第三章 立体的投影(2截交线)
垂直 圆
倾斜 椭圆
平行 两平行直线
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的另外两个 投影（类似习题3-9）。
5’ 4’(6 ’)
6”
5”
3’ 2’(8 ’) 1’ 8 1 2
7” (7)’
8”
由于平面与圆柱的轴线 具体步骤如下： 斜交，因此截交线为一椭圆。 4” （2）再作出适当数量 （4）补全侧面投影中 （1）先作出截交线上的 截交线的正面投影重影为一 （3）将这些点的投影 3” 直线，水平投影与圆柱面的 的一般点。 的转向轮廓线。 特殊点。 依次光滑的连接起来。 投影重影为圆。侧面投影可 2” 1” 根据圆柱表面取点的方法求 出。
截交线的性质：
1.截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形。
截交线的每条边是截平面与棱面的交线。即立体 被截断几条棱，那么截断面就是几边形。 2. 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。
求截交线的实质是求两平面的交线
二、平面切割体的投影
关键是正确地画出截交线的投影。
⒈ 求截交线的两种方法： ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 ⒉ 求截交线的步骤： 确定截交 线的形状 ★ 空间及投影分析
轮廓线要不 要?
例3、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影（习题3-11）
具体步骤如下： （1）先求特殊点。
（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。 （3）依次连接各点的水平投影。
2’
5’ 1’ (6’) 3’(4’) 5’ 1’ (6’) 3’(4’)
2’
6
4 2 3
6
4 2 3 1 2 4 3
1
●
2
●
Hale Waihona Puke 3例1：求 四棱锥被 截切后的 俯视图和 左视图。
8 平面与立体相交-截交线
截切立体
二、截交线的性质： 截交线的性质： 1、截交线是截平面与立体表面的共有 线，线上的任意一点都是截平面与立 体表面的共有点。 2、截交线是一个封闭的平面多边形。 3、截交线的形状取决于立体表面形状， 以及截平面与立体的相对位置。
截交线
三、截交线的求法： 截交线的求法： 画截切立体的投影时，为了清楚地表达该立体的 形状，既要画出截切立体表面上截交线的投影，又要 画出立体轮廓线的投影。
[例题 例题1] 求圆锥截交线。 例题
1.分析 1.分析 截平面为正垂面 截交线为椭圆； ，截交线为椭圆；截交线 的水平投影和侧面投影均 为椭圆； 为椭圆；
3'
2.求出截交线上的特殊点 2.求出截交线上的特殊点 Ⅰ、 Ⅱ、Ⅳ； 3.求出一般点 3.求出一般点Ⅲ、 Ⅴ； 4.光滑顺次连接各点， 4.光滑顺次连接各点，作 光滑顺次连接各点 出截交线，判别可见性； 出截交线，判别可见性； 5．整理轮廓线
五、平面与组合回转体相交
[例题1] 已知顶尖截切后的正面、侧面投影，求作水平投影。 例题1]
分析：
a' g'h' d'e' • f '• • • • b' (c') a" • e" d" c"• • • • • b" h" f " g"
e
h • • f • g • • c •a • • d b
顶尖头是由圆锥和圆柱相 连,被两个平面截切而成，轴线 为侧垂线，截平面分别为侧平 面和水平面。 侧平面与圆柱轴线垂直，与 圆柱的截交线为圆弧，正面投 影积聚为直线，侧面投影为圆 弧的实形。 水平面平行于回转轴，与 圆柱的截交线为开口矩形，与 圆锥的截交线为双曲线，其正 面和侧面投影均为直线 。
第四讲 平面立体切割
Page 12(5)(8)
[例2]求P、Q 两平面与三棱锥截交线的投影 。
S S"
1" 2 (3 ) 3" ( c´ ) c" b´ c 3 4 1 2 4"
Pv
1
Qv 4 a´
a"
a
s
解题步骤 1)分析: 截平 面为正垂面和 水平面，正面 投影积聚； 2)求出点1、2、 2" 3 4 b" 、 ； 3)顺次地连接 各点，作出截 交线，并且判 别可见性；
4)补全轮廓线。
b
P
4 ≡ 5 7
5
4
Ⅴ
2 Ⅶ Ⅷ Ⅰ Ⅳ Ⅵ Ⅲ Ⅱ
2 ≡ 3 ≡ 6 ≡ 7 1 ≡ 8 8
6 3
7 5 6
8
1
3 1 2
4
分析棱线的 截交线的投影 检查截交 截交线的形状？ 求截交线 投影 特性？ 线的投影
作业：
Page 10 Page 11(1)(3)(4)
第三章
立体的切割与相贯
§3-1 截 切 立 体
一、截切平面立体
7.4、平面与立体相交——截交线
截交线：平面与立体 表面相交而产生的交 线称为截交线 。
1、截交线的性质：
截交线既是截平面上的线，又在立体表面上 的线，因此截交线上的每个点都是截平面与立 体表面的公有点 截交线的形状是由直线段围成的平面多边形。多边 形的顶点是立体棱线与截平面的交点，多边形的各边 是截平面与立体各表面的交线。 截交线的形状取决于立体的形状、 截平面与立体的相对位置。其投影 情况还取决于截平面与投影面的相 对位置
Байду номын сангаас 求平面与平面立体截交线的方法：
[例2]求P、Q 两平面与三棱锥截交线的投影 。
S S"
1" 2 (3 ) 3" ( c´ ) c" b´ c 3 4 1 2 4"
Pv
1
Qv 4 a´
a"
a
s
解题步骤 1)分析: 截平 面为正垂面和 水平面，正面 投影积聚； 2)求出点1、2、 2" 3 4 b" 、 ； 3)顺次地连接 各点，作出截 交线，并且判 别可见性；
4)补全轮廓线。
b
P
4 ≡ 5 7
5
4
Ⅴ
2 Ⅶ Ⅷ Ⅰ Ⅳ Ⅵ Ⅲ Ⅱ
2 ≡ 3 ≡ 6 ≡ 7 1 ≡ 8 8
6 3
7 5 6
8
1
3 1 2
4
分析棱线的 截交线的投影 检查截交 截交线的形状？ 求截交线 投影 特性？ 线的投影
作业：
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第三章
立体的切割与相贯
§3-1 截 切 立 体
一、截切平面立体
7.4、平面与立体相交——截交线
截交线：平面与立体 表面相交而产生的交 线称为截交线 。
1、截交线的性质：
截交线既是截平面上的线，又在立体表面上 的线，因此截交线上的每个点都是截平面与立 体表面的公有点 截交线的形状是由直线段围成的平面多边形。多边 形的顶点是立体棱线与截平面的交点，多边形的各边 是截平面与立体各表面的交线。 截交线的形状取决于立体的形状、 截平面与立体的相对位置。其投影 情况还取决于截平面与投影面的相 对位置
Байду номын сангаас 求平面与平面立体截交线的方法：
截 交 线
与柱面的交线为圆弧，如下图所示。
画图步骤（参见下图）：
主视图的投射方向由例图可知，先画出未切割前圆柱体的三视图。 画切角的投影。切角的投影要先画主视图，再画俯视图，然后由主视图和俯视
4 画矩形切槽的投影。矩形切槽的投影要先画左视图，再画俯视图，主视图由俯视图
和左视图求出（主视图中，矩形切槽的底面不可见，因此要画成虚线）。 整理轮廓线，将切去的轮廓线擦除并加深图线。
b. 求矩形槽的侧面P与锥面交线（即双曲线）的顶
4 点和端点。假想侧平面P将该锥台切断，则右图（b）
中的点3′为双曲线的顶点，该顶点在锥面对V面的转 向轮廓线上，其W面投影和轴线重合，双曲线的端点 在锥台的底圆上。
c. 求双曲线弧的上端点。 在主视图上取特殊点4′和 5′，然后用辅助圆法确定 俯视图和左视图中双曲线 弧上这两个点的投影。
d. 用辅助圆法求双曲线弧上的一般位置点，然后用 光滑曲线依次连接这些特殊点和一般位置点。
4 e. 求矩形槽的顶面R与锥面的交线。该交线为圆弧，
圆弧的水平投影反映实形，W面的投影为线段。
f. 整理轮廓线。从主 视图上可以看出，锥面 对W面的转向轮廓线被 矩形槽切去了一段，圆 台的底圆也被切去了一 段圆弧，所以俯视图不 再是完整的圆。
截平面垂直 于轴线
截平面平行 于轴线
截平面倾斜 于轴线Fra bibliotek当截平面与圆柱体的轴线垂直时，截交线为圆。 当截平面与圆柱体的轴线平行时，截交线为矩形。 当截平面与圆柱体的轴线倾斜时，截交线为椭圆。
2．投影面垂直线 求圆柱切割体的三视图，主要是求截交线的投影，其具体画图步骤如下：
1
第一步
画出没有切割前圆柱体的三视图。
由主视图和左视图绘制 俯视图。椭圆弧截交线的俯视 图仍为椭圆弧，可先求出截交 线上的特殊点（转向轮廓线上 的点和交线的端点），再求出 一些一般位置点，求一般位置 点时可利用对称性求出对称点， 然后用曲线板光滑连接各点。 整理轮廓线，将切去的 轮廓线擦除并加深图线。
3-5 平面立体-平面切割体的三视图
§3-5 平面切割体的三视图
举例
例1、切割体的三维图如图1所示，试画出其三视图。
（1）形体分析：切割体被切割前的基本体是长方体，即四棱柱体。
（2）位置分析：长方体的左上角被水平面A和侧平面B切去；右前上 方被水平面C和正平面D切去一角。
（3）截交线、截断面及其投影分析：各截平面与长方体表面的交线 以及截平面之间的交线均为相应的投影面垂直线，交线的投影与截 切后平面的投影积聚在一起。
举例
根据被切割部 分的主俯视图 画出其左视图 并描深
§3-5 平面切割体的三视图
小结
本章重点：画平面切割体三视图的步骤
作业：
习题集 P6: 1, 2(1) (2) P7 P8
§3-5 平面切割体的三视图
本节结束
§3-5 平面切割体的三视图
工程中可以看到不少像下面这样的形体。
这类形体的三视 图如何绘制？
一、平面切割体、截交线
平面切割体——平面立体被截平面切去某些部分后的形体。
名词术语： 截平面：用于截切立体的平面。 截交线：截平面与立体表面的交线。 截断面（断面）：由截交线围成的平面 图形。
Ⅲ
Ⅱ
截平面 截交线
Ⅰ
截断面
基本体被平面截切后，在表面上出现了新的表面(截断面)和交线(截交线) §3-5 平面切割体的三视图
一、平面切割体、截交线
平面切割体截交线具有的特点： 为截平面与立体表面的共有 线、且均为直线 绘制平面切割体三视图的基本思路： 绘制基本形体 绘制每个截断面 擦除被切除的表面及边
如何画三 视图？
图1 切割体三维图 §3-5 平面切割体的三视图
基本体
举例
如何画三 视图？
先画基本体
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补全轮廓线，光滑地连接各点，得截交线 的投影。
两平面切割正六棱柱
1’(6’)
2’(5’)
3’(4’)
Байду номын сангаас
4”
3”
5”
6” 1”
2”
5
6
4
1
3
2
Ⅳ
Ⅴ
Ⅲ
Ⅵ
P1
P2
Ⅰ
Ⅱ
平面切割四棱锥
4’ 3’(5’)
2’(1’)
5 1
4 2
3
不能漏
4”
5”
3”
1” 2”
Ⅳ Ⅴ
Ⅲ
P
Ⅰ Ⅱ
平面切割四棱锥
可以看出，本题中的截交线围成的是一个 五边形，而一般情况下得到的是四边形。 这是由于截平面与三条侧棱和两条底边相 交共五个交点而致。
小结
平面与平面立体相交，其截交线是一封闭 的平面折线。求平面与平面立体的截交线， 应先求出立体棱线与截平面的交点，并判 别可见性，然后依次连接各交点，即为所 求的截交线的投影。
谢 谢！
平面切割平面立体
§3-2 截交线的投影作图
截切立体的平面，称为截平面。 平面截切立体所得的表面交线，叫截交线。 截交线所围成的平面图形，称为截断面。
§3-2-1 截交线的基本性质
(1) 由于基本体表面是有范围的，所以截 交线必定是封闭的平面图形。
(2) 截交线是截平面和基本体表面共有的 线，截交线上的点都是它们的共有点。
平面切割长方体
1’(4’)
主视图
2’(3’)
左视图
3”
2”
4”
1”
4
3
45°
1 俯视2图
截断面
截交线
截平面
Ⅳ
Ⅲ
P
Ⅱ
Ⅰ
§3-2-2 平面截交线的特点
平面与平面立体的截交线为封闭的多边形。 多边形的各个顶点是截平面与立体的棱线
或底边的交点，多边形的各条边是截平面 与平面立体表面的交线。
（一）水平面切割正六棱柱
主视图
左视图
俯视图
（二）正垂面切割正六棱柱
4’
3’(5’)
5”
4” 3”
2’(6’)
6”
1”
2”
1’
6 1
2
5 4
3
Ⅴ
Ⅳ
Ⅵ
P
Ⅲ
Ⅱ Ⅰ
§3-2-3 平面截交线的作图步骤
分析立体的表面性质，截平面与投影面的 相对位置，截平面与立体的相对位置，初 步判断截交线的形状及其投影。
求出截交线上的点，先求出截交线上的特 殊点。
两平面切割正六棱柱
1’(6’)
2’(5’)
3’(4’)
Байду номын сангаас
4”
3”
5”
6” 1”
2”
5
6
4
1
3
2
Ⅳ
Ⅴ
Ⅲ
Ⅵ
P1
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Ⅰ
Ⅱ
平面切割四棱锥
4’ 3’(5’)
2’(1’)
5 1
4 2
3
不能漏
4”
5”
3”
1” 2”
Ⅳ Ⅴ
Ⅲ
P
Ⅰ Ⅱ
平面切割四棱锥
可以看出，本题中的截交线围成的是一个 五边形，而一般情况下得到的是四边形。 这是由于截平面与三条侧棱和两条底边相 交共五个交点而致。
小结
平面与平面立体相交，其截交线是一封闭 的平面折线。求平面与平面立体的截交线， 应先求出立体棱线与截平面的交点，并判 别可见性，然后依次连接各交点，即为所 求的截交线的投影。
谢 谢！
平面切割平面立体
§3-2 截交线的投影作图
截切立体的平面，称为截平面。 平面截切立体所得的表面交线，叫截交线。 截交线所围成的平面图形，称为截断面。
§3-2-1 截交线的基本性质
(1) 由于基本体表面是有范围的，所以截 交线必定是封闭的平面图形。
(2) 截交线是截平面和基本体表面共有的 线，截交线上的点都是它们的共有点。
平面切割长方体
1’(4’)
主视图
2’(3’)
左视图
3”
2”
4”
1”
4
3
45°
1 俯视2图
截断面
截交线
截平面
Ⅳ
Ⅲ
P
Ⅱ
Ⅰ
§3-2-2 平面截交线的特点
平面与平面立体的截交线为封闭的多边形。 多边形的各个顶点是截平面与立体的棱线
或底边的交点，多边形的各条边是截平面 与平面立体表面的交线。
（一）水平面切割正六棱柱
主视图
左视图
俯视图
（二）正垂面切割正六棱柱
4’
3’(5’)
5”
4” 3”
2’(6’)
6”
1”
2”
1’
6 1
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Ⅵ
P
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Ⅱ Ⅰ
§3-2-3 平面截交线的作图步骤
分析立体的表面性质，截平面与投影面的 相对位置，截平面与立体的相对位置，初 步判断截交线的形状及其投影。
求出截交线上的点，先求出截交线上的特 殊点。